西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞

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1 二次曲線

2 西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞 十七世紀 解析幾何的主要 發現之一 是許多幾何曲線從幾 何的觀點來看似乎是彼此完全不 同的 但是從它們所對應的代數 方程式來看 卻顯示出它們是屬 於同一類型的 平面直角坐標系中 x y 的二元二次方程式所表示的圖形 統稱為二次曲線 常見的二次曲 線圖形有圓 拋物線 橢圓和雙 曲線 因為它們可以用不同位置 的平面截取直圓錐面而得到 因 此又稱為圓錐曲線 也是本章主 要討論的範疇 二元二次方程式 的圖形 除了上述圖形之外 也 可能是平行兩直線 交於一點的 兩直線 一直線 一點或者是沒 有圖形 圖片來源 shutterstock 35 35

3 -1 拋物線的圖形與標準式 -1 拋物線的圖形與標準式 -1.1 圓錐截痕 L L' L L L' -1 L L' L L' -1 K V L L' V K 圖 -1 36

4 二次曲線 E E V E K E L E K - 圖 - E L L' K E K -3 圖 -3 E E L' E K -4 37

5 -1 拋物線的圖形與標準式 圖 -4 E E K E K -5 圖 -5 E K 38

6 二次曲線 -1. 拋物線的定義 L F 拋 物線 -6-6 準 線 : 焦 點 : F 對稱軸 : F L 頂點 : V 焦距 : F V #VFd ( V,L ) 正焦弦 : F F 1 F #F 1 F 圖 -6 39

7 -1 拋物線的圖形與標準式 ( ) 4 說明 : 1 #MF 1 #FF 1 #VA#VF #MF 1 L#FF 1 #AF MAFF 1 #FF 1 #FA#VF 3 #F F#VF 4#F 1 F #FF 1 #F F4#VF #F 1 F #VF 4 圖 拋物線的標準式 x F ( c,0 ) Lxc P ( x,y ) -8 P F P L 40

8 二次曲線 #PFd ( P,L ) 當 c>0 時 圖 -8 當 c<0 時 al( xc ) ( y0 ) x(c )( 兩端平方 ) x cxc y x cxc y 4cx y 4cx 1 c0-8 c0-8 ( 0,0 ) 3F ( c,0 ) 4xc 5y0x 6c 74c 41

9 -1 拋物線的圖形與標準式 1 y 1x y 1x43x c30 1 ( 0,0 ) 3F ( 3,0 ) 4x3 5y061 隨堂練習 y 3x y x0 y x0 y x4 ( 1 4 )x c ( 0,0 ) 3F ( 1 4,0 ) 4x 1 4 5y061 4

10 二次曲線 隨堂練習 y 48x0 y F ( 0,c ) Lyc P ( x,y ) -9 P F P L #PFd ( P,L ) al( x0 ) ( yc ) y(c )( 兩端平方 ) x y cyc y cyc x 4cy 當 c>0 時 圖 -9 當 c<0 時 x 4cy 1 c0-9 c0-9 ( 0,0 ) 3F ( 0,c ) 4yc 5x0y 6c 74c 43

11 -1 拋物線的圖形與標準式 3 x 3y x 3y4 ( 3 4 ) y c ( 0,0 ) 3F ( 0, 3 4 ) 4y 3 4 5x0 63 隨堂練習 4x y 4 x 5y0 x 5y0 x 5 y4 ( 5 8 ) y c ( 0,0 ) 3F ( 0, 5 8 ) 44

12 二次曲線 4y 5 8 5x0 6 5 隨堂練習 14y x x 0y0 y 4cxx 4cy 45

13 -1 拋物線的圖形與標準式 1 c 3 5 ( 4,0 ) x40 ( 4,0 ) x40 1 ( 0,0 ) c0 3 4 c4 y 44x y 16x 隨堂練習 ( 3,0 ) x3 46

14 二次曲線 6 ( 0,0 ) y 3 ( 0,0 ) y 3 1 ( 0,0 ) c0 3 3 c 3 x 4( 3 )y x 6y 隨堂練習 ( 0,0 ) 拋物線標準式圖形的平移 ( h,k ) y 4cx -10 ( h,k ) ( yk ) 4c ( xh ) 47

15 -1 拋物線的圖形與標準式 圖 -10( 就 c>0 而論 ) y 4cx ( yk ) 4c ( xh ) y =4cx ( 0,0 ) ( c,0 ) x=-c y=0 4 c ( y-k ) =4c ( x-h ) ( h,k ) ( c+h,k ) x=-c+h y=k 4 c -11 ( 0,0 ) x 4cy ( h,k ) ( xh ) 4c ( yk ) 圖 -11( 就 c>0 而論 ) x 4cy ( xh ) 4c ( yk ) x =4cy ( 0,0 ) ( 0,c ) y=-c x=0 4 c ( x-h ) =4c ( y-k ) ( h,k ) ( h,c+k ) y=-c+k x=h 4 c 48

16 二次曲線 7 ( y3 ) 8 ( x4 ) ( y3 ) 8 ( x4 ) 4 ( )( x4 ) c0 1 ( 4,3 ) 3 ( 4,3 ) (,3 ) 4x46 5y3 68 隨堂練習 ( y ) 0 ( x3 ) 49

17 -1 拋物線的圖形與標準式 8 ( x ) 0 ( y1 ) ( x ) 0 ( y1 ) 4 ( 5 )( y1 ) c50 1 (,1 ) 3(,15 )(,6 ) 4y154 5x 60 隨堂練習 y 4x1 50

18 二次曲線 9 F (,3 ) y1 1 V (,1 ) c0 3 c ( x ) 4 ( ) ( y1 ) ( x ) 8 ( y1 ) 隨堂練習 F ( 4,5 ) y ( ) ( 1,7 )( 1,1 ) ( 1,3 ) (1,3 ) 51

19 -1 拋物線的圖形與標準式 -1.5 拋物線的一般式 ( h,k ) ( yk ) 4c ( xh ) ( xh ) 4c ( yk ) x 1 4c y k c y k 4ch 4c y 1 4c x h c x h 4ck 4c xay byc yax bxca0 xay byc yax bxca0 yax bxc 10 4yx 4x8 4yx 4x8 4yx 4x448 ( x ) 4y14 ( y3 ) (,3 ) x c10 (,31 )(, ) 5

20 二次曲線 隨堂練習 8xy 8y 11 y ( 0,9 )( 1,0 ) ( 9,0 ) y x yax bxca0 ( 0,9 )( 1,0 )( 9,0 )! 9c # 0abc % 081a9bc a1b10c9 yx 10x9 隨堂練習 x ( 1,0 )( 4,3 ) ( 0, ) 53

21 -1 拋物線的圖形與標準式 一 基礎型 -1 1 ( 3,0 ) F ( 0,4 ) x1 3 F ( 0,3 ) y3 4 F ( 0,6 ) y0 5 F ( 4,3 ) x 1 x 36y y 8x0 3 ( y5 ) 16 ( x4 )0 4 x 1y480 y (,1 ) 二 研究型 V (,1 ) F ( 6,5 ) A ( 5,0 )Ly60 #PAd ( P,L ) P y ( 0,0 )(,1 ) ( 4,1 ) 54

22 二次曲線 - 橢圓的圖形與標準式 -.1 橢圓的定義 F F' a #FF'a FF' a 橢圓 P #PF#PF'a -1 圖 -1 #FF'a #FF'a #PF#PF'a#FF' P #FF' #FF'a #PF#PF'a#FF' #PF#PF'#FF' -13 圖

23 - 橢圓的圖形與標準式 焦 點 : F F' 中 心 :#FF' 長 軸 : FF' A A'#AA' 短 軸 : B B' #BB' 正焦弦 : F 1 F F 1 ' F '#F 1 F #F 1 'F ' ( ) A ( 5,1 )B (1,1 ) #PA#PB6 P -. 橢圓的標準式 x y -14 圖

24 二次曲線 x F ( c,0 ) F' ( c,0 ) a ac0 P ( x,y ) #PF#PF'a al( xc ) y al( xc ) y a al( xc ) y aal( xc ) y ( xc ) y 4a 4aal( xc ) y ( xc ) y aal( xc ) y a cx ( a c ) x a y a ( a c ) b a c b x a y a b a b x y a b 1 b a c x y a b 1 1( 0,0 ) abc ab0ac0 a b c 3A ( a,0 )A' ( a,0 ) a 4B ( 0,b )B' ( 0,b ) b 5F ( c,0 )F' ( c,0 ) 57

25 - 橢圓的圖形與標準式 x a 說明 : y b 1ab b a 圖 -15 x y a b 1 F ( c,0 )F' ( c,0 ) F 1 F xc -15! xc # x y % a b 1 y b a ala c b a b b a c b a F 1 ( c, b a )F ( c, b a ) #F 1 F b a b a 58

26 二次曲線 1 x y x y x! a 5! a5 # b 9 # b3 % c a b % c4 1( 0,0 ) ( 4,0 )( 4,0 ) 3a10 ( 5,0 )( 5,0 ) 4b6 ( 0,3 )( 0,3 ) 隨堂練習 x 9 y 1 59

27 - 橢圓的圖形與標準式 4x 9y 36 4x 9y x y x y x! a 9! a3 # b 4 # b % c a b % ca5 1( 0,0 ) ( a5,0 )( a5,0 ) 3a6 ( 3,0 )( 3,0 ) 4b4 ( 0, )( 0, ) 隨堂練習 x 4y 4 60

28 二次曲線 y x -16 圖 -16 y F ( 0,c ) F' ( 0,c ) a ac0-14 P ( x,y ) #PF#PF'a x y b a 1 b a c x y b a 1 1( 0,0 ) abc ab0ac0 a b c 3a A ( 0,a )A' ( 0,a ) 4b B ( b,0 )B' ( b,0 ) 5F ( 0,c )F' ( 0,c ) 6 b a 61

29 - 橢圓的圖形與標準式 3 4x y 1 4x y 1 x 1 4 y 1 1 y x y! a 1! a1 b 1 b 1 # 4 # c a b c a3 % % 1( 0,0 ) F ( 0, a3 )F' ( 0, a3 ) 3a ( 0,1 )( 0,1 ) 4b1 ( 1,0 )( 1,0 ) 5 ( 1 ) 1 1 隨堂練習 x y 3 1 6

30 二次曲線 4 F ( 3,0 )F' ( 3,0 ) P #PF#PF'10 #FF' ( 0,0 ) F ( 3,0 ) ( 0,0 ) 3 c3 #PF#PF'10a a5 b a c b4 F ( 3,0 )F' ( 3,0 ) x x y x y 隨堂練習 ( 0,4 )( 0,4 ) 10 5 ( 0,0 ) y 1 3 隨堂練習 y y x a1 a6 3 b a x 9 b3 y 36 1 (,0 )(,0 ) ( 0, ) 63

31 - 橢圓的圖形與標準式 -.3 橢圓標準式圖形的平移 ( h,k ) -17 ( h,k ) x x y a b 1 ( xh ) ( yk ) a b 1 圖 ( h,k ) y x y b a 1 ( xh ) ( yk ) b a 1 圖 -18 ( h,k ) 64

32 二次曲線 6 ( x3 ) ( y ) x y x! a 5! a5 # b 9 # b3 % c a b % c4 abc 1( 3, ) 4 ( 1, )( 7, ) 3a10 5 (, )( 8, ) 4b6 3 ( 3,5 ) ( 3,1 ) 5 b a 隨堂練習 ( x4 ) ( y3 )

33 - 橢圓的圖形與標準式 7 F ( 3,4 )F' ( 3, ) 6 F ( 3,4 )F' ( 3, ) x 3 y x3 x y ( 3,1 ) c3 6 b3 a b c a3a ( x3 ) 9 ( y1 ) 18 1 隨堂練習 F ( 0,0 )F' ( 0,8 ) P #PF#PF' 橢圓的一般式 ( h,k ) ( xh ) a ( yk ) b 1 ( xh ) ( yk ) b a 1ab Ax Cy DxEyF0 AC 66

34 二次曲線 Ax Cy DxEyF0 AC Ax Cy DxEyF0AC0 8 1x 3y 4x18y30 x 3y 4x18y90 3x 3y 4x18y350 1 x 3y 4x18y30 xy ( x x )3 ( y 6y )3 ( x x1 )3 ( y 6y9 )37 ( x1 ) 3 ( y3 ) 6 ( x1 ) ( y3 ) 1 3 ( 1,3 ) x 3y 4x18y90 xy ( x x )3 ( y 6y )9 ( x x1 )3 ( y 6y9 )97 ( x1 ) 3 ( y3 ) 0 xy( x1 ) 0( y3 ) 0 ( x1 ) 3 ( y3 ) 0 ( x1 ) 0 3 ( y3 ) 0 67

35 - 橢圓的圖形與標準式 x1y3 ( 1,3 ) 3 x 3y 4x18y350 xy ( x x )3 ( y 6y )35 ( x x1 )3 ( y 6y9 )357 ( x1 ) 3 ( y3 ) 60 x 3y 4x18y350 隨堂練習 1x 5y 6x40y880 x 5y 6x40y890 ( ) 63x y 68

36 二次曲線 - 一 基礎型 1 ( 0,8 )( 0,8 ) 0 ( 3,0 ) 8 3 x3 y x y 36 ( x1 ) 9 ( y4 ) 1 二 研究型 1 ( 1, )( 9, ) 10 ( 0,0 )( 10,0 ) 6 x y 1 69

37 -3 雙曲線的圖形與標準式 -3 雙曲線的圖形與標準式 -3.1 雙曲線的定義 F F' a #FF'a FF' a 雙曲線 P #PF#PF'a -19 圖 -19 #FF'a #FF'a#PF#PF'a#FF' P -0 圖 -0 #FF'a P #PF#PF'a ( ) F ( 1,1 )F' ( 1,5 ) #PF#PF'3 P 70

38 二次曲線 -1 圖 -1 焦 點 : F F' 中 心 :#FF' 貫 軸 : FF' A A'#AA' 共軛軸 : #BB' #BB' #BB' #AA' #FF' #BB' 正焦弦 : F 1 F F 1 ' F '#F 1 F #F 1 'F ' -3. 雙曲線的標準式 x y - 圖 - 71

39 -3 雙曲線的圖形與標準式 x F ( c,0 ) F' ( c,0 ) a ca0 P ( x,y ) #PF#PF'a al( xc ) y al( xc ) y a al( xc ) y aal( xc ) y x cxc y 4a 4aal( xc ) y x cxc y cxa aal( xc ) y c x a cxa 4 a x a cxa c a y ( c a ) x a y a ( c a ) ca0 b c a b x a y a b a b x y a b 1 b c a x a 1( 0,0 ) y b 1 abc ca0cb0 c a b 3A ( a,0 )A' ( a,0 ) a 7

40 二次曲線 4B ( 0,b )B' ( 0,b ) b balc a 5F ( c,0 )F' ( c,0 ) x a y b 1 b a 1 x y x x! a 9! a3 # b 16 # b4 % c a b % c5 1( 0,0 ) ( 5,0 )( 5,0 ) 3a6 ( 3,0 )( 3,0 ) 4b8 ( 0,4 )( 0,4 )

41 -3 雙曲線的圖形與標準式 隨堂練習 x y x y 1 x x! a 1! a1 # b 1 # b1 % c a b % ca 1( 0,0 ) ( a,0 )( a,0 ) 3a ( 1,0 )( 1,0 ) 4b ( 0,1 )( 0,1 ) 隨堂練習 x 4 y 1 74

42 二次曲線 y x -3 圖 -3 y F ( 0,c )F' ( 0,c ) a ca0 - P ( x,y ) #PF#PF'a y x a b 1 c a b y a 1( 0,0 ) x b 1 abc ca0cb0 c a b 3aA ( 0,a )A' ( 0,a ) 4bB ( b,0 )B' ( b,0 ) 5F ( 0,c )F' ( 0,c ) 6 b a 75

43 -3 雙曲線的圖形與標準式 3 4x 3y 10 4x 3y 10 y 4 y y! a 4! a # b 3 # ba3 % c a b % ca7 1( 0,0 ) ( 0,a7 )( 0,a7 ) 3a4 ( 0, )( 0, ) 4ba3 ( a3,0 )( a3,0 ) 5 a3 3 x 3 1 隨堂練習 y x 1 76

44 二次曲線 4 F ( 6,0 )F' ( 6,0 ) 8 #FF' ( 0,0 ) F ( 6,0 ) 6 c6 a8 a4 c a b ba5 F ( 6,0 ) F' ( 6,0 ) x x x y 隨堂練習 A ( 0,5 )B ( 0,5 )#PA#PB8 P -3.3 雙曲線標準式圖形的平移 ( h,k ) -4 ( h,k ) x x a y b 1 ( xh ) a ( yk ) b 1 77

45 -3 雙曲線的圖形與標準式 圖 -4-5 ( h,k ) y y x a b 1 ( yk ) a ( xh ) b 1 圖 -5 ( h,k ) a bc 78

46 二次曲線 5 ( x ) 16 ( y3 ) 9 1 x x! a 16 # b 9 % c a b! a4 # b3 % c5 abc 1(,3 ) (,3 ) 5 F ( 7,3 )F' ( 3,3 ) 3a8 (,3 ) 4 A ( 6,3 )A' (,3 ) 4b6 (,3 ) 3 B (,0 )B' (,6 ) 5 b a 隨堂練習 ( y1 ) 5 ( x1 )

47 -3 雙曲線的圖形與標準式 6 F ( 6,0 )F' ( 6,10 ) 6 F ( 6,0 )F' ( 6,10 ) x 6 y x6 y ( 6,5 ) c5 a6 a3 c a b b4 ( y5 ) 9 ( x6 ) 16 1 隨堂練習 F (,1 ) F' (,5 )#PF#PF'4a P ( ) al(x4) (y1) al(x) (y1) 4 (1,1 ) 80

48 二次曲線 -3.4 雙曲線的一般式 ( h,k ) ( xh ) a ( yk ) b 1 ( yk ) a ( xh ) b 1 Ax Cy DxEyF0 AC Ax Cy DxEyF0 AC 異號 Ax Cy DxEyF0AC0 7 1x 3y 4x1y160 x y x4y30 1x 3y 4x1y160 xy ( x x )3 ( y 4y )16 ( x x1 )3 ( y 4y4 )161 ( x1 ) 3 ( y ) 6 ( x1 ) 3 ( y ) 1 ( 1, ) 81

49 -3 雙曲線的圖形與標準式 x y x4y30 xy ( x x )( y 4y )3 ( x x1 )( y 4y4 )314 ( x1 ) ( y ) 0 [ ( x1 )( y ) ] [ ( x1 )( y ) ]0 ( xy1 ) ( xy3 )0 xy10 xy30 隨堂練習 1x y 6x16y540 x y 6x16y 雙曲線的漸近線 tan xcot xsec x csc x P ( x 0,y 0 ) x b x 0 a y 0 a b a y ( bx 0 ay 0 ) ( bx 0 ay 0 )a b b 1 x 0 a y 0 b 1 x y a b 1 b x a y a b 0

50 二次曲線 b x a y 0 ( bxay ) ( bxay )0 L 1 bxay0 L bxay0 P ( x 0,y 0 ) L 1 L d ( P,L 1 ) bx 0ay 0 d ( P,L ala b ) bx 0ay 0 ala b d ( P, L 1 )d ( P, L ) bx 0ay 0 bx 0ay 0 ala b ala b b x 0 a y 0 a b a b a b P ( x 0,y 0 ) L 1 L P d ( P,L 1 ) d ( P,L ) P ( x 0,y 0 ) P ( x 0,y 0 ) L d ( P,L ) 0 d ( P,L 1 ) 0 L 1 L x 1 x y 1 0 a b x a y b 0 x a y b 0 a y 1 b ( xh ) a ( yk ) b 1 0 xh a yk b 0 xh a yk b 0 83

51 -3 雙曲線的圖形與標準式 x y 1 a b L 1 L x y 1-6 a b 84 8 圖 -6 1x y 1 ( x1 ) 1 x y 1 0 x y 0 ( xy )( xy )0 xy0 xy0 ( x1 ) 4 ( y3 ) 9 ( x1 ) 4 ( y3 ) ( y3 ) ( x1 y3 3 ) ( x1 y3 3 )0 x1 y3 x1 y xy30 3xy90 1

52 二次曲線 隨堂練習 4y 9 ( x1 ) 5 9 ( 1,3 ) xy0 xy0 ( xy ) ( xy )k ( 1,3 ) x1y3 ( 3 ) ( 3 )k k5 ( xy ) ( xy )5 y 4x 5 隨堂練習 (,1 ) yx10 yx0 85

53 -3 雙曲線的圖形與標準式 一 基礎型 -3 1 ( 0,13 ) ( 0,1 ) ( 1,3 ) x3y04x3y0 ( 1,1 ) 1 4y 5x 100 x y 3 ( y3 ) 4 ( x1 ) 16 1 二 研究型 1 x 18 1 (,1 )(,7 ) 6 ( 3,4 ) xy0 xy0 86

54 -1 重點摘要 4 y 4cx 1 c0 c0 ( 0,0 ) 3 F ( c,0 ) 4 xc 5 y0 6 4c x 4cy 1 c0 c0 ( 0,0 ) 3 F ( 0,c ) 4 yc 87

55 5 x0 6 4c ( yk ) 4c ( xh ) 1 c0 c0 ( h,k ) 3 ( ch,k ) 4 xch 5 yk 6 4c ( xh ) 4c ( yk ) 1 c0 c0 ( h,k ) 3 ( h,ck ) 4 yck 5 xh 6 4c xay byc yax bxca0 88

56 - 重點摘要 x a 1 ( 0,0 ) y b 1 a b c 3 a( a,0 ) 4 b( 0,b ) 5 ( c,0 ) 6 b a x b 1 ( 0,0 ) y a 1 a b c 3 a( 0,a ) 4 b( b,0 ) 5 ( 0,c ) 6 b a 89

57 ( xh ) 1 ( h,k ) a b c ( yk ) a b 1 3 a( ah,k ) 4 b( h,bk ) 5 ( ch,k ) 6 b a ( xh ) 1 ( h,k ) a b c ( yk ) b a 1 3 a( h,ak ) 4 b( bh,k ) 5 ( h,ck ) 6 b a Ax Cy DxEyF0AC0 90

58 -3 重點摘要 x a 1 ( 0,0 ) y b 1 c a b 3 a( a,0 ) 4 b( 0,b ) 5 ( c,0 ) 6 b a y a 1 ( 0,0 ) x b 1 c a b 3 a( 0,a ) 4 b( b,0 ) 5 ( 0,c ) 6 b a ( xh ) 1 ( h,k ) c a b a ( yk ) b 1 91

59 3 a( ah,k ) 4 b( h,bk ) 5 ( ch,k ) 6 b a ( yk ) 1 ( h,k ) c a b a ( xh ) b 1 3 a( h,ak ) 4 b( bh,k ) 5 ( h,ck ) 6 b a Ax Cy DxEyF0AC0 1 x a y 1 0 b x a y b 0 ( xh ) a ( yk ) b 1 0 xh a yk b 0 9

60 ( ) 4x y ( 0,0 ) ( 0,1 ) x ( ) x x4y0 ( 0,0 ) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 1, 1 4 ) ( 1, 1 4 ) 1 ( ) ( 1, ) y cx ( ) ( 0, ) ( 0,3 ) x 4 ( y ) x 4 ( y ) x 4 ( y3 ) y 4 ( x ) y 4x 1 ( ) y0 ( 0,8 ) x 16 ( y4 ) x 4 ( y8 ) x 8 ( y4 ) y 16 ( x4 ) ( y4 ) 16x 1 ( ) x 4xy0 ( 4,0 ) (,4 ) (,4 ) ( 4, ) ( 0,0 ) 1 ( ) y 4x4y0 ( 1, ) (,1 ) ( 0, ) (,1 ) (, ) 1 ( ) x10 (,3 ) y10 y30 y10 y30 y

61 ( ) x y ( 0,0 ) ( 0,a5 ) ( ) ( x1 ) ( y ) 1 ( 4, ) 9 16 ( 1,7 ) ( 1a7, ) ( 1,a7 ) ( 1,a7 ) ( ) ( ) 4x y ( ) ( x1 ) ( y5 ) 1 ( 1,5 ) 9 5 ( 1,1 ) ( 3,5 ) ( 5,5 ) ( 5,7 ) ( ) ( 0,1 )( 0,1 ) 6 4 a 4a a3 ( ) FF' 3x y 6 P #PF #PF' a a a3 a3 6 ( ) 4x 9y 36 ( al13,0 ) ( 0,al13 ) ( a5,0 )( 0,a5 )( 0,5 ) 3 94

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