ok332 平面向量的座標表示法
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- 匀 耿
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1 1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry (3) a b x x, y y 若 P, Q 兩點的坐標分別為 x, y,, 則 PQ x x, y y x y, 已知 P6,, Q 3, Ans: PQ 3,4, PQ 5,求 PQ 及 PQ PQ 3 6, 3,4,且 PQ 高中數學虛擬教室
2 例題 1 如右圖, A 在 x 軸上, OA OB, AOB 150, 選出正確的選項: (1),0 OA () 1, 3 OB (3) OA (4) OA OB Ans:(1)(3) (1) 因為 A 的坐標為,0,所以 OA,0 () 因為 B 的坐標為 cos150,sin150 3,1, 所以 OB 3,1 (3) OA OA (4) 因為 OA 與 OB 的方向不同,所以 OA OB 故選 (1)(3) 類題 1 如右圖, A 在 x 軸上, OA OB 4, AOB 10, 選出正確的選項: (1) 4,0 OA (), 3 OB (3) OA 4 (4) OA OB Ans:(1)()(3) (1) 因為 A 的坐標為 4,0,所以 OA 4,0 高中數學虛擬教室
3 3 () 因為 B 的坐標為 4cos40,4sin 40, 3, 所以 OB, 3 (3) OA OA 4 (4) 因為 OA 與 OB 的方向不同,所以 OA OB 故選 (1)()(3) 例題 已知向量 a 3,, b 1,3 及, 1 c (1) 在坐標平面上,以原點當始點,畫出向量 a, b 與 c () 求 a b 及其長度 (3) 求 a b c 及其長度 Ans:() 1, 8, 65,(3), 7, 53 (1) 如右圖所示,令 A3,, B 1,3,, 1 C,得 a OA, b OB, c OC () a b 3, 1,3 3,,6 1, 8 a b (3) a b c 3, 1,3, 1, 7 a b c 7 53 高中數學虛擬教室
4 4 B B Hide () Show (3) Show () Hide (3) -5 C -5 C - A - A a-b a-b+c -8 類題 已知 a, 3, 1,1 Ans: 5, 6 ; 61 b,求 a 3 b 及 a 3 a 3 b, 3 3 1,1 5, 6, b a 3 b 例題 3 已知 a,0, 1,1 b, c a t b, t 為實數 (1) 若 c 10,則 t 的值為何? () 求使得 c 有最小值時的實數 t,又最小值為何? Ans:(1) 1 或 3,() t 1時, c 有最小值,所以 c,0 t 1,1 t t, 因為 c a t b, 高中數學虛擬教室
5 5 c t t t 4t 4 因此, c t t 10, (1) 因為 所以 t 4t 4 10 t t 3 0 t 1 或 3 () 因為 c t 1, 所以當 t 1時, c 有最小值 Animate Point t = Hide Locus B T P A 5 - 類題 3 已知 a 1,1,, 4 b, c t a b, 求使得 c 有最小值時的實數 t,又最小值為何? Ans: 當 t 1時, c 有最小值 3,所以 c t t t 因為 c t a b 1,1, 4, 4,因此, c t t 4 t 4t 0 t 1 18 故當 t 1時, c 有最小值 18 3 高中數學虛擬教室
6 6 主題二 向量的係數積與平行 1 兩向量平行的判定:設非零向量 a x, y 與 b x, y 1 1 若 a// b,則 x1 y x y1;反之亦成立 x1 y1 當 xy 0 時,常將等式 x1 y x y1 改寫為比例式 x y 已知 a 1, 與 b t,3 平行,求實數 t 的值 Ans: 3 因為 a// b,所以 1 t 3,解得 3 t 例題 4 設 A,1, B 3, 與 C 1,3 (1) 求向量 AC 與 BC 為坐標平面上的三點 () 已知 ABCD 為平行四邊形,求 D 點的坐標 Ans:(1) AC 3,, BC,1,() 4, (1) AC 1,3 1 3,, 1 3,3,1 BC () 設 D 點的坐標為 xy, 因為 ABCD 為平行四邊形, 所以 AD BC x, y 1,1 高中數學虛擬教室
7 7 解得 x 4, y,故 D 點的坐標為 4, 類題 4 設 P 1, 及 Q 為坐標平面上的兩點已知 a 1,,,3 Ans: 7, 3 b, PQ a 3 b,求 Q 點的坐標 設 Q 點的坐標為 xy, 因為 PQ a 3 b,所以 x 1, y 1, 3,3 8, 5 解得 x 7, y 3 故 Q 點的坐標為 7, 3 例題 5 已知 a 3,0, b 1,, c 5,4,且實數 t 滿足 a t b // c Ans:,求 t 的值 因為 a t b // c, 且 a t b 3,0 t1, 3 t,t, 3 t t 所以, 5 4 即 1 4t 10t,解得 t 高中數學虛擬教室
8 8 t = 0 4 C P T B O A 5 類題 5 已知 a 1,, b 1,3,, 1 c,且 a t b 與 b c Ans: 平行,求實數 t 的值 因為 a t b 與 b c 平行,且 1, 1,3 1, 3 a t b t t t, 1,3, 1 3,4 b c, 1t 3t 所以, 3 4 即 4 4t 6 9t,解得 t 例題 6 設 A 3,4, Bk,, C 1,1 Ans: k 1 3 三點共線,求實數 k 的值 因為 A, B, C 三點共線,所以 AB // AC, 高中數學虛擬教室
9 9 又 AB k 3,, 4, 3 AC, 所以 k 解得 1 k 3 類題 6 設 A,1, B4, 3 與 C 5,3 (1) 求向量 AB 與 BC () 問: A, B, C 三點是否共線? Ans:(1) AB 6, 4, BC 9,6 為坐標平面上的三點,() A, B, C 三點共線 (1) AB 6, 4, BC 9,6 6 4 () 因為,所以 AB // BC 9 6 又 B 點分別是兩向量的終點與始點, 故 A, B, C 三點共線 主題三 向量的線性組合 1 當向量以坐標表示時,利用代數的運算,可以將一向量 表成兩給定不平行非零向量的線性組合 例題 7 將向量 c 1,7 表成兩不平行向量 a 3,1 b 5, 的線性組合 與 Ans: c 3 a b 高中數學虛擬教室
10 10 設 c x a y b, x, y 為實數因此 1,7 x3,1 y5, 3x 5 y, x y 即, 3x 5y 1 xy 7 解得 x 3, y 故 c 3 a b Show Parallel Lines t = 30 s = -0 C O A T S- B 類題 7 已知向量 a, 3, b 3, 與 c 4,1, 求實數 x, y 的值使得 c x a y b Ans:x=1,y= 因為 c x a y b,所以 4,1 x, 3 y 3, x 3 y, 3x y 即, x 3y 4 3x y 1 解得 x=1, y= 高中數學虛擬教室
11 11 例題 8 已知 O 0,0, A,1, B 0, 為坐標平面上三點 設 OP xoa yob,試依下列各指定範圍標出向量 OP 之終點 P 的區域: (1) x 1, y 1 () x 1, 0 y 1 (3) 0x 1, 0 y 1 Ans: 見詳解 根據向量加法的定義,得 (1) 當 x=1, y=1,即 OP OA OB時, 終點 P 恰為平行四邊形 OAQB 的頂點 Q,3, 如下圖 (1) 所示 () 當 x=1,0 y 1 時, 終點 P 的範圍為平行四邊形 OAQB 的一邊 AQ, 如下圖 () 所示 (3) 當 0 x 1,0 y 1 時, 終點 P 的範圍為平行四邊形 OAQB 所圍成的區域 ( 含邊界 ), 如下圖 (3) 所示 (1) () (3) 類題 8 已知 O 0,0, A,1, B 0, 為坐標平面上三點 設 OP xoa yob,依下列各指定範圍標出向量 OP 之終點 P 的區域,並求其面積: (1) 1 x 1, 0 y 1 () 1 x 1, 1 y 1 高中數學虛擬教室
12 1 Ans:(1) 8,() 16 (1) 當 1 1 1,0 y 1 時,終點 P 的範圍為平行四邊形 CAQD 所圍成的區域 ( 含邊界 ) 如下圖 (1) 所示,其面積為 4=8 () 當 1 x 1, 1 y 1 時,終點 P 的範圍為平行四邊形 EFQD 所圍成的區域 ( 含邊界 ),如下圖 () 所示,其面積為 44=16 (1) () 高中數學虛擬教室
13 13 主題四 向量的分點坐標公式 1 分點坐標公式: 設 Ax, y 與, 1 1 若點, B x y 為坐標平面上的兩點 P x y 在線段 AB 上,且 AP : PB m: n, nx1 mx ny1 my 則 P 點的坐標為, m n m n 三角形的重心坐標: 若 ABC 三頂點的坐標分別為 Ax y, Bx, y,, 1, 1 C x y,則 ABC 的 3 3 x x x, y y y 3 3 重心之坐標為 例題 9 設 A 6,7, B 1,1 為坐標平面上的兩點, P 點為 直線 AB 上一點,且 AP : PB 3: (1) P 在線段 AB 上,求 P 點坐標 () P 不在線段 AB 上,求 P 點坐標 Ans:(1) 9, 3,10,() (1) 當 P 點在線段 AB 上時,利用分點坐標公式,得 P, 3, 另解 AP = 3 5 AB = 3 5 (5,5)=(3,3), 故 P=(6-3,7+3)=(3,10) () 當 P 點不在線段 AB 上時,因為 AP : PB 3:, 所以 AB: BP 1: 設 P 點的坐標為 xy, 利用分點坐標公式,得 高中數學虛擬教室
14 x 7 1 y 1 x 14 y B1,1,, , 1 x 14 y 即 1 且 解得 x=9, y=,故 P 點的坐標為 9, 另解 AP =3 AB =3(5,5)=(15,15), 故 P=(6-15,7+15)=(9,) 類題 9 已知 A 5,, B 3,1 為坐標平面上的兩點, P 點在線段 AB 上,且 AP : PB :3, 求 P 點的坐標 Ans: P 9, 利用分點坐標公式,得 P,, 另解 AP = 5 AB = 5 (8,1)=( 16, ) 5 5 故 P=(5 16, )=( , 8 5 ) 例題 10 已知 A 4,3, B 1, 和 C 6,7 求 ABC 的重心坐標 Ans: 3,4 為坐標平面上的三點, 利用重心坐標公式,得 ABC 的重心坐標為 高中數學虛擬教室
15 , 3,4 3 3 類題 10 已知 ABC 的重心坐標 G,1,且頂點 A 1,4, B 3,5 求頂點 C 的坐標 Ans: 4, 6 設 C x, y 利用重心坐標公式,得 1 3 x 45 y,,1 3 3 解得 x=4, y=6 故 C 的坐標為 4, 6, 例題 11 設 D 點在 ABC 的 BC 上,且 ABD 的面積 若 B 的坐標為 Ans: 10, 3 如右圖 0,, D 的坐標為 因為 ABD 與 ADC 同高, 所以面積比與底邊比相等 又因為 ABD 的面積 = 5 ABC 的面積, ABC 的面積, 5 4,0,求 C 的坐標 所以 ABD 的面積 : ADC 的面積 =:3, 即 BD : DC : 3設 C 的坐標為 xy, 因為 BD: DC : 3, 所以利用分點公式可列得 D 坐標為 30 x 3 y 4,0, 3 3,解得 x=10, y=3 故 C 坐標為 10, 3 高中數學虛擬教室
16 16 A B D B: (00, 0) D: (40, 00) C: (100, -30) C 類題 11 設 D 點在 ABC 的 BC 上,且 ABD 的面積 若 B 的坐標為 Ans: 14,3 5 0,5, C 的坐標為 7,0,求 D 的坐標 因為 ABD 的面積 : ADC 的面積 =:3, 所以 BD: DC : 3 利用分點公式,得 D 點坐標為 ,, ADC 的面積, 3 高中數學虛擬教室
17 17 主題五 直線的參數式 設直線 L 通過點 Ax, y,且與非零向量 v a, b 0 0 若 Px, y 為直線 L 上任一點,則 x 與 y 會滿足 x x0 at ( t 為實數 ) y y0 bt 反之,平面上坐標滿足上式的點都在直線 L 上 平行 我們稱此式為直線 L 的參數式, t 為參數,而向量 v 稱為直線 L 的方向向量 已知直線 L 通過點 A,3,且方向向量為 4, 5 求 L 的參數式 x 4t Ans: L : y 3 5t x 4t 由參數式,得 L : ( t 為實數 ) y 3 5t v, 高中數學虛擬教室
18 18 例題 1 設 L 為通過 A 1,, 3, 1 (1) 求直線 L 的參數式 B 兩點的直線 () 在 L 上找出異於 A, B 的第三個點 Ans:(1) x1t y 3t (1) 因為 L 通過點 A 1, (t 為實數 ),() 5, 4, 且與向量 v AB, 3 所以 L 的參數式為 平行, x 1t (t 為實數 ) y 3t () 因為 L 上任一點的坐標,都可表示成 1 t, 3t, 所以當 t 時,對應的點 5, 4 在 L 上 類題 1 x 3at 已知直線 L 的參數式為 ( t 為實數 ), y 5 t 且點 A 1,7 在 L 上,求 a 的值 Ans: 依題意,可列得 解得 t 1, a 13at 7 5 t 例題 13 x1t 將直線參數式 ( t 為實數 ) 化成直線的一般式 y 4 3t Ans: 3xy 11 高中數學虛擬教室
19 19 x 1t 令 y 4 3t 由 3-,消去 t,得直線的方程式為 3xy 11 類題 13 x 1 t 已知二直線 L1 : x y 5 0, L : y t 求 L 1 與 L 的交點坐標 Ans: 7, 將直線 L 化成直線的一般式,得 L : x y 3 x y 5 又由 x y 3,解得 x 7, y 故 L 1 與 L 的交點坐標為 7, ( t 為實數 ), 例題 14 已知直線 L : x 3y 1,求 L 的一個參數式 x 1 3t Ans: (t 為實數 ) y 1 t 在直線 L 上取 A1, 1, B,1 兩點 因為 L 過點 A1, 1,且與 AB 3, 所以 L 的參數式為 x 1 3t (t 為實數 ) y 1 t 平行, 類題 14 設直線 L :3x y 5 0 的一個參數式為 求實數 a, b 的值 Ans: a, b x 3at ( t 為實數 ), y b 3t 高中數學虛擬教室
20 0 在直線 L 上取 A 1,1, 3, 因為 L 過點 A 1,1, 且與 AB, 3 平行,所以 13at,且 1 b 3t a 3 3 解得 a, t 1, b 故 a, b 另解 B 兩點 (3,b) 在 L 上 33+b-5=0 b= 3 3 L 的斜率為 a= a 例題 15 已知 A 1, 與 B 3,4 為兩定點,, 求當 PA PB 時, P 的坐標 Ans: 7, P x y 為直線 xy3 上一點, x 3t 直線 xy 3的參數式為 (t 為實數 ) y t 因為 P x, y 為直線上一點,所以可設 P3 t, t 又因為 PA PB,所以 t t t t 4 4 8t 4t t 4t 4 4t t 8t 16 4t 8 16 t 故 P 的坐標為 7, 高中數學虛擬教室
21 1 類題 15 已知 A 3,4 與 B 1,1 為坐標平面上兩點,, 直線 AB 上一點,求 x 1 Ans: P 3, 時, x 8y有最小值 5 P x y 為 8y的最小值,及此時 P 的坐標 因為直線 AB 平行 AB 4, 3,且過點 A 3,4 x 34t 所以直線 AB 的參數式為 (t 為實數 ) y 4 3t 因為 P x, y 為直線 AB 上一點,所以可設 P34 t,4 3t 因此 x 8y 3 4t 8 4 3t, 故當 16t 48t t 5 3 t,即 1 P 3, 時, x 8y 有最小值 5 例題 16 x 1 3t 已知射線 AB : y 3 4 t 且 AC 10,求 C 點的坐標 ( t 1),若點 C 在射線 AB 上, 要注意點 C 是在射線 AB ( t 1) 上, 不是在直線 AB ( t R) 上 Ans: 4, 7 當 t=1 時,得 A,1 因為點 C 在射線 AB 上, 高中數學虛擬教室
22 所以可設 C 1 3 t, 3 4t 因為 AC 10,所以 t t t 50t t t 3 0 解得 t=3 或 1 因為 t 1,所以 t=3 不合,故 C 點的坐標為 4, 7 類題 16 已知 A 13,17, B 19,5,求在線段 AB 上的格子點 ( x 與 y 坐標均為整數 ) 共有多少個? 先寫出線段 AB 的參數式,再找哪些參數 t 的值會 使得 x 與 y 均為整數 Ans:7 因為 AB 6, 1,所以 AB 的參數式 x 13 6t AB : y 17 1t ( 0t 1) 因為 6 與 1 的最大公因數為 6,所以當 高中數學虛擬教室
23 3 t 0, 1 6, 6, 3 6, 4 6, 5 6, 1 時,線段 AB 上的點之 x 與 y 坐標均為整數, 故線段 AB 上的格子點共有 7 個 高中數學虛擬教室
24 4 ok33ex 1 已知 P,1, Q 4,3, R 3,1 向量 a PQ QR 為坐標平面上三點, (1) 求 a 及 a () 設,3 A,且 a AB,求 B 點的坐標 Ans:(1) a 8,6, a 10,() 6,6 PQ =(6,), QR =(1,), (1) a PQ QR =(6,)-(1,)=(8,6), 6 4 B a = =10 A Q () 設 B(x,y) P R a =(x-,y-3)=(8,6) 5 x-=4,y-3=3 x=6,y=6 B(6,6) 已知向量 a 4,3,若向量 u 與 a 方向相反, 且 u,求 u Ans: 8 6, 5 5 高中數學虛擬教室
25 5 a = 4 3 =5, u = a = 8 (4,3)=(, 6 ) 已知 a, 1, b 1,, c 1,4 (1) 若 c x a y b,則 x, y 的值為何? () 若 a 與 b t c 平行,則 t 的值為何? Ans:(1) x, y 3,() 1 t 3 (1) (1,4)= c x a y b =x(,1)+y(1,) (1,4)=(x-y,x+y) x-y=1,x+y=4 x=,y=3 () a b +t c (,1) (1,)+t(1,4)=(t-1,4t+) t1 4t 1 8t+4=t+1 t= 已知 A 3,4, Bk,, C 1,5 Ans:11 A 3,4, Bk,, C 1,5 三點共線,求 k 的值 三點共線, 高中數學虛擬教室
26 6 AB AC (k-3,-4) (-1-3,5-4) k k-3=8 k=11 C 6 4 A B 在 ABC 中, A 3,7, B 5,1, C 0,3 (1) 求 ABC 的重心坐標 () 設 A 的內角平分線交 BC 於 D,求 D 的坐標 Ans:(1) 11, 3 3,() 5 7, 3 3 (1) ABC 的重心坐標為 ( 35 0, )=(, 11 ) () AB = (3 5) (7 1) , AC = (3 0) (7 3) 5, 由分角線性質知 BD : CD = AB : AC =10:5=:1, BD = 3 BC = (5,)=(, 3 3 ), 故 D( , )=( 5 7, ) 3 3 高中數學虛擬教室
27 7 x 5 4 t, 6 已知直線 L1 : ( t 為實數 ) 與 y 1 at x 1 s, L : ( s 為實數 ) 表同一直線,求 a, b 的值 y b s Ans: a, b 化為一般式 : L1:ax-4y=5a+4, L:x+y=1+b L1=L, a 4 5a4 1 b 1 a=,5a+4=(b-1) a=,b= x 1 t, 7 求直線 L1 : ( t 為實數 ) 與 y 1 3 t x 3 3 s, L : ( s 為實數 ) 的交點坐標 y 7 s Ans: 3, 7 x 1 t, L1 : 3x-y=5 (1), y 1 3 t x 3 3 s, L : y 7 s x+3y=4 (),, (1)3+() 11x=33 x=3, 代入 (1) 9-y=5 y=7, 故交點為 (3,7) 高中數學虛擬教室
28 8 8 已知向量 a 1,1, 1, b (1) 求滿足 b a c 的向量 c 的坐標表示 () 求與 c 同方向且長度為 1 的向量 u Ans:(1) 3, 4,() 3 4, 5 5 (1) c = b - a =(1,)-(1,1)=(3,4) () u = c c (3, 4) 3 4 (, ) 3 ( 4) 給定平面上三點 6,,, 1, 1, 若有第四點和 此三點形成一菱形 ( 四邊長皆相等 ),則第四點的坐標 為何? 95 學測 Ans: 9,3 如下圖, AB = (+6) +( 1+) = 65, AC = (1+6) +(+) = 65, 故 AB 與 AC 為兩鄰邊 CD=AB=(8,1), 故 D(9,3) m CA = 806 cm m AB = 806 cm m DB = 806 cm m DC = 806 cm 4 C: (100, 00) C D: (900, 300) D B: B (00, -100) A: A (-600, -00) - 高中數學虛擬教室
29 9 10 已知 A 1,1, B 5,3, C 1, 1, D,0 為坐標平面上四點, 求使得 AB t CD 有最小值時的實數 t,又最小值為何? Ans: t 3時,有最小值 AB t CD 6 Show CD = (4,)+t(1,1) 4 Hide Locus t = -30 B = (4 t) ( t) A = t 1t 0 5 = ( t 3), 當 t=3 時得最小值為 11 已知兩定點 A,1, B 1,3 x t, 與直線 L : ( t 為實數 ) y 1 t 若點 P 在 L 上移動,則當 P 點的坐標為何時, PA PB 有 最小值,又最小值為何? 3 1 Ans: P 坐標為, 4 4,最小值 PA PB =(t--) +(1-t-1) +(t--1) +(1-t-3) =(t-4) +t +(t-3) +(t+) =4t -10t+9 =4(t- 5 4 ) 當 t= 5 4 時, 得最小值 91 4, 91 4 高中數學虛擬教室
30 30 此時 P(+ 5 4,1-5 4 )=( 3, 1 ) 在坐標平面上的 ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上且 AQ QC 已知 PA 4,3, PQ 1,5, 求 BC 的坐標表示 96 學測 Ans: 1,1 BC = PC =( PA AC), AC = 3 AQ 3 ( PQ PA) = 3 [(1,5)-(4,3)]=( 9,3), C C: (-05, 60) 6 1 Q 4 A 9 故 BC =(4,3)+(,3)=(1,1) 備註 座標化 : 設 P(0,0), 則 A(4,3),Q(1,5), P - -4 A: (40, 30) Q: (10, 50) P: (00, 00) 5 您是否可算得 C( 1,6),B( 1,6), -6 B B: (05, -60) 故 BC =(1,1) 13 坐標平面上有四點 O 0,0, A3, 5, B 6,0,, C x y 今有一質點在 O 點沿 AO 方向前進 AO 距離後停在 P,再沿 BP 方向前進 BP 距離後停在 Q 假設此質點繼續沿 CQ 方向 前進 3CQ 距離後回到原點 O,求實數 x, y 的值 98 學測 Ans: x 4, y 0 高中數學虛擬教室
31 31 OP = AO =(3,5), 即 P(3,5) OQ = OP BP =(3,5)+(3,5)=(3,15), 即 Q(3,15) OQ 3CQ =(3,15)+3(3-x,15-y) =(1-3x,60-3y)=(0,0), 得 1-3x=0,60-3y=0, 故 x=4,y=0 14 小明在天文網站上看到以下的資訊 可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星 : 由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星, 其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍 今小明將所見的星空想像成一個坐標平面, 其中天璇的坐標為 (9,8) 及天樞的坐標為 (7,11) 依上述資訊可以 推得北極星的坐標為 ( ) [ 學測 101] Ans:(19),(0) 3,(1),() 6 令北極星坐標為 xy, 樞北 5璇樞 x7, y ,11 8 x 7 10 得 x 3 y 11 15得 y 6 北極星坐標為 3,6 高中數學虛擬教室
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
ok313 正餘弦定理
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遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
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外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
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2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
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山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
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2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
CIP /. - 1999.1 ISBN 7-81059-300-! ". #. - - - - $. D909.5-44 CIP 1999 00865 100038 850 1168 1/32 8 200 1999 1 1 2003 3 1 2003 3 1 0001-5000 180.00 15.00 !! 2003 2 1998!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
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面積與二階行列式 陳清海 老師
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向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)
+ + 4 + + 998999 + 999000 + 4 + + 4 + 40 + 60 + 84 + + + 6 + 99 + 4 994 994994 9999 = + 4 abcd 9 7 7 7 4 4 4 6 4 9 4 4 4 7 7 90 0 8 8 40 n + n + n 00 70 0 0 70 0 0 40 0 60 40 0 4 60 0 0 90
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2 A
1 2 A 3 AB 8 11 12 13 14 15 16 4 5 6 21 200 (l)20 (2)15 (3)10 7 8 9 10 11 11 12 14 15 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 18 203500 1500 500 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 884
, : :,, : ( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 88415258( ) 787 1092 1 / 16 195 8 2004 10 1
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2015 ( ) 1 A. B. C. D. B A ; C ; D 2 A. B. C. D. B C ; D 3 2014 2 5 7 1 100 1.4 2014 12 31 9 1 2015 2 20 8 ;3 20 11.6 1 2015 A.260 B.468 C.268 D.466.6 B = 8+(11.6-9)*100+ (9-7)*100=468 4. A. B. C. D. C
CIP 1500 / ISBN X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D CIP edu. cn
1500 CIP 1500 /. 2006. 8 ISBN 7 5625 2128X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D920. 5 44 CIP 2006 087648 1500 388 430074 027 87482760 027 87481537 E-mail cbb@cug. edu. cn 2006 8 1 2006 8 1 850 1 168 1 /32 8. 625 220 26. 00 1.
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
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第 二 章 支 付 结 算 法 律 制 度 考 情 分 析 本 章 在 历 年 考 试 中 所 占 的 分 值 比 重 为 20 35 分 左 右 围 绕 支 付 结 算 展 开, 分 别 介 绍 了 现 金 管 理, 银 行 存 款 管 理, 以 及 各 种 支 付 结 算 工 具 本 章 重 点 为 第 四 节, 难 度 稍 高, 需 要 考 生 在 理 解 的 基 础 上 适 当 记 忆 第
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
ok321 直線方程式
主題一 直線的斜率 斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率 斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率 同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大
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0146) : 2 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 957-5.... G726. 9 CIP ( 2004) 069174 : 2 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2800 : 122 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153 -
考试大2011年高考试题答案
持 续 更 新 中... 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 30 小 题, 每 小 题 1 分, 共 30 分 每 小 题 备 选 答 案 中, 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 多 选 错 选 不 选 均 不 得 分 ) 1. 甲 乙 签 订 的 买 卖 合 同 中 订 有 有 效 的 仲 裁 条 款, 后 因 合 同 履 行 发 生 的 纠 纷, 乙 未 声 明 有
72 + + 60 2 4. 72 72 2 + 20 2 + 2.4 20 60 60 8 =.4 22 72 2 + 002 + 0.4 20 60 90 =.4 22 2 + 600 0.44 72 + + 60 72.422 + 2.4 20 + 20 2 60 72 =.4 22 2 + 0 20 + 40 60 72 =.4 40 + 600 + 600 60 72 =.400 + 600
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2016 14 1.5 21 1. 50% 20% 5% 10% A.2 B.10.5 C.10 D.2.1 A = 1/ - =50%20%/10%5%=2 2. 2015 1 1.2 1.5 2016 1.9 2015 A.50% B.90% C.75% D.60% A = / = =1.2 1.5=1.8 2016 =1.9-1 /1=0.9 =0.9/1.8=50% 3. A. B. C.
精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 7. 根 据 中 华 人 民 共 和 国 会 计 法 的 规 定, 对 登 记 会 计 账 簿 不 符 合 规 定 的 单 位 县 级 以 上 人 民 政 府 财 政 部 门 责 令 限 期 改 正, 并 可 以 处
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.
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3 5 1 2 239 1. 1 2 3 2. 1 2 7 1 1 2 3 4 5 A. B. C. D. ABC 2012 240 A. B. C. D. D D 1 7 2 2012 3 10 2 000 100 1 21 000 000 21 000 000 2 21 000 000 21 000 000 2 7 3 A 2012 1 1 1 2012 12 31 600 3 000 4 000
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
《侵权法》综合练习题
侵 权 法 综 合 练 习 题 (2011 年 11 月 ) 艾 奇 一 单 项 选 择 题 1. 因 环 境 污 染 受 到 损 害 的 受 害 人, 要 求 排 污 单 位 赔 偿 损 失, 需 证 明 ( ) A. 排 污 致 自 己 的 损 害 和 排 污 单 位 的 过 错 B. 排 污 造 成 自 己 的 损 害 C. 排 污 单 位 的 过 错 D. 自 己 无 任 何 过 错 2.
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東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
05. = 8 0. = 5 05. = = 0.4 = 0. = 0.75 6. 5 = 6 5 0 4 4-6 4 8. 4 5 5 + 0.9 4 = 84 5 9-6 + 0 0 4 5 4 0 = 0-5 + = + 0-4 0 = 0-4 0 = 7 0.5 [ 9 6 0.7-0.66 ] 4.9 = 9 9 7 49 [ ] 0 50 0 9 49 = [ ] 9 5 0 = 49
國 立 台 南 二 中 104 學 年 度 第 二 學 期 第 一 次 期 中 考 高 三 國 文 科 解 答 壹 選 擇 題 1 B 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D 13 A 14 B 15 B 16 D 17 A 18 AB 19 E
國 立 台 南 二 中 104 學 年 度 第 二 學 期 第 一 次 期 中 考 高 三 國 文 科 解 答 壹 選 擇 題 1 B 2 B 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D 11 A 12 D 13 A 14 B 15 B 16 D 17 A 18 AB 19 E 20 AD 21 BDE 22 ABCD 23 ABD 24 BD 解 析 1.(A) ㄌㄧˋ/ㄓㄣˇ
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第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
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0 5 60 ()0 () () 5 (4) 60 (5) 64 (6) S (7) N (8)0 (9) (0)0 x 0 a 0 AB CD 5 ab a b 4 ()a b ()x y () ab ()x y ()a b () a ()ab a b (4)a b () a b () 0 b () a 5 (4) ab 6 x () 4 () () 0 (4) 5 4 (a b) a a b a
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台 北 市 立 成 功 高 中 高 一 國 文 科 期 末 考 試 題 一 一 學 年 度 第 二 學 期 考 試 範 圍 : 三 民 版 課 本 ( 二 ):L9~L13 三 民 版 課 外 閱 讀 新 視 界 : 古 詩 選 鶯 鶯 傳 文 學 史 之 旅 : 第 46 至 50 天 在 答 案 卡 上 作 答, 答 案 卡 書 寫 班 級 座 號 姓 名 並 正 確 畫 記, 畫 記 錯 誤
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
光的直线传播
一 选 择 题 ( 本 大 题 共 12 个 小 题,1~6 小 题 每 小 题 2 分,7~12 小 题 每 小 题 3 分, 共 30 分, 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ) 1 下 列 计 算 正 确 的 是 ( ) A.-2+ -2 =0 B. 2 0 3=0 C. 4 2 8 D.2 3 1 3 =2 2 2 已 知 有
优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
U I = I = I = = 1 R R 40 U=.5V P=0.5 R= U P =.5 05. P=UIP=IRP= U t R I = U, R = U, U = I R R I sh x w r ao i [i:] ei [-!] e [+:] ou [+( ] a [%:] ai [%!] o [&:] au [%( ] u [( :] oi [&!] p [p] h [h]
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司 考 通 关 必 备 律 出 版 社 考 试 分 社 真 题 书 系 体 例 书 名 作 者 备 选 理 由 2014 年 国 家 司 考 试 试 题 司 部 国 家 司 考 试 中 官 方 唯 一 出 品, 命 题 专 家 权 威 解 析 心 之 作 2015 年 国 家 司 考 试 历 年 律 考 试 中 心 收 录 6+2 年 真 题 及 详 解, 附 赠 试 题 汇 编 及 详 解 ( 应
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
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2017 12 2 24 1 2 17 2 000 20 2 500 2 400 25 100 3 80 2 17 A B 80 C D 2 2 17 25 000 3 1 2 000 5 5 800 5 30 800 2 17 A B C D 3 2 17 2 16 20 20 2 17 2 16 2 17 20 000 18 000 A B C D 4 2 17 500 800 350 120
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
(C) 比 得 上 (D) 如 果 17. ( ) 聖 賢 經 傳 和 傳 奇 小 說 兩 個 傳 字, 其 音 義 關 係 為 何? (A) 音 同 義 異 (B) 音 義 皆 同 (C) 義 同 音 異 (D) 音 義 皆 異 18. ( ) 下 列 選 項 中 的 形 似 字, 何 者 讀 音
國 中 國 文 B4:L7 考 試 卷 年 班 座 號 : 姓 名 : 一 國 字 及 注 音 1. 1 謹 ㄔˋ : 2 裝 ㄕˋ : 2. 1 ㄕㄨˊ 大 於 是 : 2 私 ㄕㄨˊ : 3. 歙 縣 : 4. 拘 泥 : 5. 不 宜 痴 : 6. 1 經 傳 : 2 傳 承 : 7. ㄏㄨㄟ 諧 : 8. 徽 州 : 9. 閒 ㄒㄧㄚˊ : 10. 康 ㄒㄧ : 11. 默 而 識 之 :
: : : ( CIP ) : ( ) /. :, ISBN :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : : / 6 : 7 ( ) : 408 () : 00
() ( ) ( : ) : : : ( CIP ) : ( ) /. :, 00. 7 ISBN 7-8008 - 958-8... :. G7. 4 CIP ( 00 ) 005 : : ( ) : : ( 0 : 0004) : : 00 7 00 7 : 78709 / 6 : 7 ( ) : 408 () : 000 : ISBN 7-8008 - 958-8/ G89 : 9 98. 00
同 时 承 销 的 国 际 债 券 是 ( ) A. 龙 债 券 B. 外 国 债 券 C. 欧 洲 债 券 D. 亚 洲 债 券 10. 在 没 有 优 先 股 的 条 件 下, 普 通 股 票 每 股 账 面 价 值 是 以 公 司 ( ) 除 以 发 行 在 外 的 普 通 股 票 的 股 数
2011 年 6 月 份 证 券 业 从 业 资 格 考 试 证 券 市 场 基 础 知 识 真 题 一 单 项 选 择 题 ( 本 大 题 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 以 下 各 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 最 符 合 题 目 要 求 ) 1. 以 下 关 于 公 司 财 务 状 况 分 析 的 说 法, 错 误 的 是 ( ) A.
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9 (A) (B) (C) (D) 1.(C) 2. (C) (C) 1. 2. (D) 17 () (A) (B) (C) (D) 1. C 2. C (D) 19 (A) (B) (C) (D) 1.D (D) 20 85 (A) (B) (C) (D) 1. ( ) A BD 2. 88 A 3.(1) (2) 20 (A) (B)(C)(D) A C 4.(1) P.20 (2) 20 C
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( 0178) ( CIP). 1 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 956-7.... G726. 9 CIP ( 2004) 069175 : 1 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2400 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
2013年国家司法考试模拟试卷与答案
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 2013 年 国 家 司 法 考 试 模 拟 试 卷 与 答 案 一 单 项 选 择 题 每 题 所 设 选 项 中 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 或 不 选 均 不 得 分 本 部 分 含 1 50 题, 每 题 1 分, 共 50 分 第 1 题 张 某 从 银 行 贷 得 80 万 元
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
第一部分 公共基础知识
2016 年 福 建 事 业 单 位 笔 试 真 题 解 析 完 整 版 (5 月 28 日 联 考 ) 针 对 地 市 : 漳 州 莆 田 泉 州 龙 岩 福 州 第 一 部 分 公 共 基 础 知 识 根 据 题 目 要 求, 在 四 个 选 项 中 选 出 一 个 正 确 答 案 ( 共 30 题, 每 题 0.9 分, 计 27 分 ) 1 2016 年 1 月, 中 共 中 央 政 治 局
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
科別
年 力 料 1 劉 列 來 說 (A) 勞 (B) 不 (C) (D) 什 什 1. 說 說 什 什 說 (B) 不 不 2. 兩 (B) 亂 () 路 滑 () 路 ()(D) 什 什 (B) 不 不 不 不 不 什 (B) 說 (D) 什 什 精 亂 ( 惡 )( 惡 ) 路 來 () 路 兩 亂 惡 年 力 料 3 列 (A) (B) (C) (D) 1. 念 都 (C)(A) 不 ( 參 )
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
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科 別 : 國 文 科 (A 區 ) 分 發 16 名 1 600110129 黃 毅 潔 國 立 豐 原 高 級 商 業 職 業 學 校 2 600110446 鄭 安 芸 國 立 南 投 高 級 中 學 3 600110632 李 孟 毓 桃 園 市 立 大 園 國 際 高 級 中 學 4 600110492 洪 珮 甄 南 投 縣 立 旭 光 高 級 中 學 5 600110262 柯 懿 芝
Microsoft Word - 2015司考真?行政法勘?大表.doc
真 题 书 页 数 P220 P240 P241 P251 题 目 第 6 题 2015 司 考 真 题 行 政 法 与 行 政 诉 讼 法 勘 误 表 格 更 改 内 容 分 析 更 改 为 : 程 序 正 当 原 则 的 内 容 包 括 : 行 政 公 开 ; 公 众 参 与 和 公 务 回 避 选 项 A 中, 环 保 局 对 当 事 人 的 处 罚 听 证, 应 当 由 行 政 机 关 指
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
A.68 B.70 C.80 D.100 答 案 A 解 析 丁 产 品 的 可 变 现 净 值 =110-2=108( 万 元 ), 成 本 =100+40=140( 万 元 ), 可 变 现 净 值 低 于 成 本, 产 品 发 生 的 减 值, 所 以 丙 材 料 的 可 变 现 净 值 =1
2013 年 中 级 会 计 职 称 考 试 中 级 会 计 实 务 真 题 及 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 15 小 题, 每 小 题 1 分, 共 15 分 每 小 题 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 请 将 选 定 的 答 案, 按 答 题 卡 要 求, 用 2B 铅 笔 填 涂 答 题 卡 中 相 应 信 息 点 多 选 错 选 不 选 均
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2014 年 11 月 人 力 资 源 和 社 会 保 障 部 国 家 职 业 资 格 全 国 统 一 鉴 定 职 等 业 : 心 理 咨 询 师 级 : 国 家 职 业 资 格 二 级 卷 册 一 : 职 业 道 德 与 理 论 知 识 注 意 事 项 : 1 考 生 首 先 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 等 用 钢 笔 圆 珠 笔 等 写 在 试 卷 册 和 答 题 卡 的 相 应 位
2007年普通高等学校招生全国统一考试
高 考 语 文 陕 西 卷 试 题 以 及 答 案 解 析 本 试 卷 分 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 1 至 4 页, 第 Ⅱ 卷 5 至 8 页 考 试 结 束 后, 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 第 Ⅰ 卷 注 意 事 项 : 1. 答 题 前, 考 生 在 答 题 卡 上 务 必 用 直 径 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 将 自 己 的 姓
正 确 答 案 BC 答 案 解 析 融 券 方 是 逆 回 购 方 买 入 返 售 方 资 金 融 出 方 例 2 多 选 题 所 债 券 回 购 市 场 的 参 与 主 体 主 要 有 ( ) A. 证 券 公 司 B. 保 险 公 司 C. 证 券 投 资 基 金 D. 上 市 商 业 银 行
第 九 章 债 券 回 购 交 易 本 章 主 要 考 点 1. 掌 握 债 券 质 押 式 回 购 交 易 的 概 念 2. 掌 握 所 债 券 质 押 式 回 购 交 易 的 基 本 规 则 3. 熟 悉 全 国 银 行 间 市 场 债 券 质 押 式 回 购 交 易 的 基 本 规 则 4. 熟 悉 债 券 买 断 式 回 购 交 易 的 含 义 5. 熟 悉 银 行 间 市 场 买 断 式
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
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017 1 獨家發行 MATHEMATICS QR https://goo.gl/6js7dx 106 106 1 01 16 106 C 99 99 106 6 6 11 B C 100~106 100 13 11 7 4 3 6.67 101 13 11 7 4 3 6.57 10 1 10 7 4 3 6.4 103 13 11 8 5 3 6.67 104 1 10 7 4 3 6.53 105
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改 革 的 不 断 进 行, 课 堂 学 时 越 来 越 少
工 程 力 学 (I) 试 用 讲 义 中 国 石 油 大 学 ( 北 京 ) 机 械 与 储 运 工 程 学 院 安 全 工 程 系 011 年 8 月 1 序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改
2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧ¿¼ÊÔÕþÖÎÀíÂÛÊÔÌâ¼°´ð°¸
2006 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 政 治 理 论 试 题 及 参 考 答 案 ( 科 目 代 码 :101) 注 意 事 项 : 1. 答 题 前, 考 生 须 在 答 题 卡 和 答 题 纸 上 填 写 考 生 姓 名 报 考 单 位 和 考 生 编 号, 同 时 在 答 题 卡 上 涂 写 考 生 编 号 的 信 息 点 2. 选 择 题 的 答 案 必 须 涂
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
中華民國青溪協會第四屆第三次理監事聯席會議資料
- 1 - 中 華 民 國 第 八 屆 第 四 次 理 監 事 聯 席 會 議 程 序 表 日 期 中 華 民 國 1 0 4 年 1 2 月 1 9 日 ( 星 期 六 ) 地 點 臺 南 南 紡 夢 時 代 雅 悅 會 館 五 樓 ( 臺 南 東 區 中 華 東 路 一 段 366 號 ) 項 次 程 序 起 訖 時 間 使 用 時 間 主 持 人 或 報 告 人 報 到 16:30~17:00
高考数学广东版真题再现（理科）答案（1月份）
高 考 数 学 广 东 版 真 题 再 现 ( 文 科 ) ( 月 份 ) 第 期 第 课 时 : 空 间 几 何 体 的 线 面 位 置 关 系. (04 04 安 徽 卷 ) 如 图, 四 棱 锥 P - ABCD 的 底 面 是 边 长 为 8 的 正 方 形, 四 条 侧 棱 长 均 为 7. 点 G,E,F,H 分 别 是 棱 PB,AB,CD,PC 上 共 面 的 四 点, 平 面 GEFH
九十六學年度第一學期第三次定期考國文科試題
凡 答 案 卡 上 因 個 人 基 本 資 料 畫 記 錯 誤 或 不 完 全, 造 成 讀 卡 過 程 無 法 判 定 身 分 者, 本 科 此 次 定 期 考 分 數 扣 3 分 一 單 選 題 ( 每 題 2 分 )36% 1.( 甲 ) 乃 覺 三 十 里 :ㄐㄩㄝˊ( 乙 ) 經 宿 方 至 :ㄙㄨˋ( 丙 ) 乾 癟 :ㄅㄧㄢˇ( 丁 ) 垂 髫 : ㄊㄧㄠˊ( 戊 ) 一 綹 短 髮
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注 : P3 表 示 考 点 在 教 材 第 3 页 ( 对 应 2016 版 教 材 ) 2016 年 初 级 会 计 实 务 考 点 精 华 第 一 章 资 产 第 一 节 : 货 币 资 金 资 产 的 定 义 分 类 ( 流 动 资 产 非 流 动 资 产 等 ) P1 库 存 现 金 : 是 指 存 放 于 企 业 财 会 部 门 由 出 纳 人 员 经 管 的 货 币 P1 现 金 结
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义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又
《米开朗琪罗传》
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新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答
新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()