遞迴數列

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家汪
5 years ago
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1 - 空間中的直線方程式目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線並能處理直線與直線直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外再進一步能處理點到直線的距離兩平行線之距離以及兩歪斜線的距離討論. 在坐標空間中設 O 是原點當 d m n) 是直線的一個方向向量且 A ) 是上一個定點時動點 P ) 在直線上的充要條件是 AP d 其中是一個實數如圖所示於是 OP OA AP OA d ) ) m n) 即 m n 這就是直線的參數式 5. 設直線 : 3 是實數平面 E :3 4 問直線與平面 E 是否相交? 若相交則交點坐標為何? 解答 : 由直線的參數式知上的點坐標皆為 5 3 ) 的形式代入平面 E 的方程式得 35 ) 3 ) 4 ) 4 得 3 故直線與平面 E 相交且交點為 3 ) 在例中參數有唯一解故直線與平面 E 相交於一點 ; 倘若無解則可知與 E 不相交 ; 又若有無限多解則在平面 E 上另一方面可由直線的方向向量 d ) 與平面 E 的法向量 n 3 4) 是否垂直判定與 E 的關係一般而言直線的方向向量 d 與平面 E 的法向量 n 垂直時 // E 或在 E 上 ; d 與 n 不垂直時與 E 相交於一點例中 d n ) 3 4) 4 表示 d 與 n 不垂直故直線與平面 E 相交於一點

2 3. 設直線有一方向向量 d m n) 且過點 A ) 則異於 A 的動點 P ) 在直線上的充要條件是 AP // d 即 )// m n) 當 m n 皆不為時上述條件即 m n 此式稱為直線的對稱比例式簡稱比例式比例式中的比值就是參數式中的參數因為 m m n n 4 4. 當一條直線的比例式為時它是兩個方程式的聯立即亦即 4 在坐標空間中方程式 3 7 的圖形是平面 ; 同樣的也是平面而直線正是這兩個平面的交線一般而言若 E : a b c d E : a b c d 是兩個不平行的平面相交於直線 a b c d 則聯立方程式的圖形即為直線 a b c d a b c d 可記為 : a b c d 5. 當一直線的方向向量 d m n) 其中 m n 有一為時不能以比例式表示例如直線 : 3 7 過點 A 3 4) 方向向量為 d 7 ) 4 3 它無法寫成比例式但可以表為 : 7 4

4 6. 設 : A 4 6 7) 3 求點 A 在直線上的投影點坐標及點 A 到直線的距離解答 : 方法一設投影點為 A3 4) 則 AA 3 5 4 3) 與直線的方向向量 d 3 ) 垂直即 AA d 故 33 5) 4) 3) 得故投影點 A 的坐標為 5 4 6) 於是 d A ) AA 4 6 方法二設直線上的動點 P3 4) 則 AP 3 5) 4) 3) 44 5

3 4 6. 設 : A 4 6 7) 3 求點 A 在直線上的投影點坐標及點 A 到直線的距離解答 : 方法一設投影點為 A3 4) 則 AA ) 與直線的方向向量 d 3 ) 垂直即 AA d 故 33 5) 4) 3) 得故投影點 A 的坐標為 5 4 6) 於是 d A ) AA 4 6 方法二設直線上的動點 P3 4) 則 AP 3 5) 4) 3) ) 6 ) 6 6 時 AP 有最小值 6 即 AP 有最小值 6 故投影點為 5 4 6) 且 d A ) 6 7. 還有一個方法可求上例中的 d A ) 取直線上點 B 4) 及方向向量 d 3 ) 則 BA 5 4 3) BA d ) 4 7) 3 3 d A ) 等於 BA 與 d 所張開的平行四邊形面積 BA d 除以底邊長 d 所得的高如圖所示 4) 7) 66 所以 d A ) 6 3 ) 8. 若是空間中兩條歪斜線設 d d 分別是的方向向量則向量 n d d 與 d d 皆垂直令平面 E 包含直線且以 n 為法向量則直線與平面 E 不相交再令在平面 E 上的投影為直線則與交於一點 P 設點 P 是上點 P 的投影則直線 PP 與直線皆垂直如圖所示直線 PP 稱為直線與的公垂線

4 9. 空間中給定兩直線若 P 是上的動點 P 是上的動點則 PP 長度的最小值稱為直線與的距離記為 d ) 根據此定義當直線與重合或相交時其距離 d ) ; 當與平行時兩線的距離等於其中一線上一點至另一線的距離 ; 而當與歪斜時與有一公垂線設分別交於 A B 如圖令 P 是上的動點 P 是上的動點則 PP PP P A AB BP P A AB BP P A AB AB BP P A BP ) P A AB BP P A BP ) AB P A BP P A BP AB P A BP AB AB 故 PP AB 可知 PP 的最小值為 AB 因此 AB 之長就是歪斜線與的距離. 在上例中若只要求歪斜線 : 4 的距離 d ) 則可令 d ) d 4 ) 得到 d d 3 7) 這就是公垂線的方向向量以此向量為法向量再取直線上一點 9 ) 作平面 E 的點法式 3 9) ) 則平面 E 包含直線且平行直線於是取的一點 P 3 4 ) 時可得 d ) d P E)

5 定義. 空間中直線的參數式 : 設直線過點 A ) 且以 d m n) 為方向向量則 : m 其中是實數 n. 空間中直線的比例式 : 設直線過點 A ) 且以 d m n) 為方向向量若 mn 則直線可表為稱為比例式 m n 方法. 設直線 : m 是實數平面 E : a b c d n 將的參數式代入 E 的方程式得的一次方程式 a ) b m) c n) d 當有唯一解無解無限多解時直線與平面 E 的關係依序為交於一點平行直線在平面 E 上. 直線與線外一點 ) 所決定的平面可取法向量為 m n m n) ) 3. 若 E : a b c d E : a b c d 是不平行的平面則聯立 a b c d 方程式表 E 與 E 的相交直線其方向向量可取為 a b c d a b c ) a b c) 4. 設點 A ) 直線 : m n P m n) 是上的動點則 AP ) m ) n ) 是的二次函數求出 AP 的最小值 k 則 d A ) k 5. 設是空間中兩直線則與的距離 d ) 如下 : ) 當與平行時若 P 是上一點則 d ) d P ) ) 當與歪斜時若其公垂線分別交於點 A B 則 d ) AB 6. 空間中兩直線的距離 : 設是空間中兩直線 ) 當與平行時若 P 是上一點則 d ) d P ) ) 當與歪斜時若公垂線分別交於 A B 則 d ) AB 7. 若是歪斜線點 P 在上平面 E 包含且平行 d ) d P E) 則 4

6 思考平面上的直線是利用直線的傾斜程度斜率 ) 方向向量或法向量來描述的再加上直線上一點就可以求出直線方程式那麼空間中的直線是如何來描述的? 是否也可以用傾斜程度方向向量或法向量然後再加上直線上一點以求出直線方程式? 定義. 直線方向向量 : 與直線平行的任意一個非零向量都稱為直線的方向向量. 直線方程式 - 參數式 : 設 v l m n) 為直線的方向向量且 A ) 為上一點 l 則 m 為實數稱為直線的參數式其中稱參數 n 註 : OP OA AP ) l m n) l m n) v A P O 3. 直線方程式 - 對稱比例式點向式 ): 設 v l m n) 為直線的方向向量其中 l m n 均不為且 A ) 為上一點則稱為直線的對稱比例式 l m n ) 若 n 且 l m均不為時直線可表示為 l m l ) 若 m n 且 l 不為時直線可表示為 4. 直線方程式 - 兩面式 : 設兩相異平面 E a b c d E a b c d 不平行 : : a b c d 則表示兩平面 E 與 E 的交線 a b c d 依此可求出交線的參數式或對稱比例式 5

7 6 5. 直線方程式 - 兩點式 : 過 ) A ) B 兩點之直線方程式為 : 或 R ) ) ) 問題. 直線的參數式對稱比例式兩點式與兩面式之間是否可以互相轉換? R R 問題. 試問如何判斷空間中兩直線 : : c b a c b a 的交點為無限多點重合 ) 一點共平面 ) 或無交點歪斜或平行 )? 解 : ) 若兩直線方向向量平行則表示兩直線平行或重合接著判別上的點是否在上即可分辨出為平行或重合 ) 若兩直線方向向量不平行則個別設參數後判斷為沒有交點或是交一點即可分辨歪斜或交一點. 試問如何判斷空間中直線是在平面上? 直線與平面交於一點? 直線與平面沒有交點平行 )? 解 : ) 若直線的方向向量與平面的法向量平行則表互相垂直故交一點 ) 若直線的方向向量與平面的法向量垂直內積為零 ) 則表互相平行或直線在平面上接著判別直線上的點是否在平面上即可辨別出平行或直線在平面上 3) 若直線的方向向量與平面的法向量的內積不為零則表示有交點再利用直線的參數式代入平面可求出交點

8 3. 試問如何求出空間中兩平面的交線? 解 : ) 利用兩平面法向量外積求出直線的方向向量 ) 令任取兩平面上之任一共同點即直線上之點 3) 寫出直線參數式定義. 歪斜線 : 空間中兩直線 : : a b c a b 也沒有交點稱此兩直線互為歪斜線. 公垂線 : 與兩歪斜線都垂直相交的直線稱為公垂線既不平行 c 註 : 設 P Q 且 PQ d ) 則直線 PQ 即是公垂線 3. 兩歪斜線的距離 : 公垂線在兩歪斜線間的線段長度稱為兩歪斜線的距離註 : 設為不平行且不相交的兩直線則在上分別有一點 A B 使直線 AB 為的公垂線此時 AB 即為兩線間的距離方法. 點到直線的距離 : a 空間中點 P ) 到直線 : b 為實數 ) 的距離求法有如下幾種 : c ) 求交點法 ) 平面適用 ) 求過點 P 且與直線垂直的直線 ' 再求兩直線的交點 Q 求出 PQ 即可 ) 配方法 ) 平面及空間都適用 ) 求出直線上的點 Q 的參數再配方或用微分 ) 求出 PQ 的極小值即可 3) 面積法 ) 平面及空間都適用 ) 若 Q R 為直線上任兩相異點則以 PQ PQ 故 d P ) PR 所圍成的三角形面積為 PR PQ PR) PQ PR PQ QR QP u 4) 商高定理法 ) 平面及空間都適用 ) QP PR ) PQ PR QR ) 即是所求其中 Q ) 為直線上的任一點 u 7

9 5) 夾角法 ) 平面及空間都適用 ) 若 Q 為直線上任一點方向向量 v a b c) 求出 PQ v 的夾角則 PQ sin 即是所求 6) 內積法 ) 平面及空間都適用 ) 若 Q 為直線上任一點方向向量 v a b c) 求出使 PQ v 的參數則 PQ 即是所求 7) 外積法 ) 空間適用 ) 若 Q R 為直線上任兩相異點求出 QR QP 即表示所圍成平行四邊形的面積 QR QP 則即是所求 QR 8) 平面法 ) 空間適用 ) 求過點 P 且與直線垂直的平面 E 再求出直線與平面 E 的交點 Q 求出 PQ 即可. 兩歪斜線的距離 : 空間中兩歪斜線 : : 的距離 a b c a b c 求法有如下數種 : ) 分別假設公垂線與兩直線的交點 P Q 的參數式 a s b s c ) 與 a b c ) s 則 PQ 與兩直線的方向向量都要垂直如此可以求出兩個參數值進而得出公垂線與兩直線的交點 P Q ) 求包含且與平行的平面 E 的方程式再求上任一點到平面 E 的距離即是 8

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc 98 向量 4- 向量的意義向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之和向量 CD 的長度相等方向相同則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量以表之 () 反向量