Microsoft Word - 15_Quantified_statement.doc

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蜀钱
7 years ago
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1 .5 全稱命題 (universal statement) 與特稱命題 (existential statement) 將一些有明確性質的東西看成一體, 就形成一個集合 (set), 例如 :{ 所有會飛的動物 }, { 所有能被 5 整除的正整數 }, { 所有法國或德國進口的跑車 } 等都是集合至於沒有元素的集合, 我們特別稱之為空集合 (empty set), 用符號表示, 如 { 有四個邊的三角形 }, { 會下蛋的公雞 } 都是空集合, 而且, 我們認為空集合只有一個, 也就是說 { 有四個邊的三角形 } = { 會下蛋的公雞 } = 集合常以大寫英文字母表示, 如 :A, B, 而裡頭的元素則以小寫英文字母表示, 如 :a, b 若要說 x 是集合 A 中的元素, 我們記做 xa; 否則記做 xa 另外, 我們會將元素以大括號 { } 括起來以表示它們在一個集合中我們常常把要討論的集合放在某個足夠大的集合中, 稱為宇集 (universal set), 用符號 U 來表示假設 B 集合含有 A 集合的所有元素, 則稱 A 為 B 的子集 (subset), 以 A B 表示通常我們以 R 代表所有實數所成的集合, 以 Q 代表所有有理數所成的集合, 以 Z 代表所有整數所成的集合, 而以 N 代表所有正整數所成的集合所謂一個述語 (predicate) 是一個包含了若干個變數的敍述, 而當敍述中所含的變數都確定之後此敍述即成為一個命題 ; 敍述中的各個變數的範圍則稱為此變數之定義域 (domain) 例 :. P( x ) := x, xr, 是一個包含變數的述語. P( x, y ) := x y 0, x, yr, 是一個兩個變數的述語設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語, 所謂全稱命題 (universal statement) 是指 xd, P(x). 這樣的命題型式, 若對每一個 xd,p(x) 均為真, 則 xd, P(x). 為真; 若至少有一個 xd 使得 P(x) 為偽, 則 xd, P(x). 偽使得 P(x) 為偽的 x 則稱為此全稱命題的反例 (counterexample) 設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語, 所謂特稱命題 (existential statement) 是指 xd such that P(x). 這樣的命題型式若至少有一個 xd 使得 P(x) 為真, 則 xd such that P(x). 為真; 若對每一個 xd,p(x) 均為偽, 則 xd such that P(x). 為偽我們稱 ( 所有, for all) 及 ( 有些, there exists) 為量詞 (quantifiers)

2 例 :. x{,,, 4, 5}, x x 為真因為, 4, 9, 4 6 4, xr, x x 為偽, x. xr, such that x x 為一反例為真, 因為全稱命題和特稱命題的否定 (negation) 是什麼呢? 設 D 為一集合,P(x), xd 是一個述語若 xd, P(x). 為真, 則每一個 xd,p(x) 均為真 ; 故 ~P(x) 均為偽因此, xd such that ~P(x). 為偽若 xd, P(x). 為偽, 則至少有一個 xd, P(x) 為偽 ; 故 ~P(x) 為真因此, xd, such that ~P(x). 為真若 xd such that P(x). 為真, 則至少有一個 xd, 使得 P(x) 為真 ; 故 ~P(x) 為偽因此, xd, ~P(x). 為偽若 xd such that P(x). 為偽, 則每一個 xd,p(x) 均為偽 ; 故 ~P(x) 均為真因此, xd, ~P(x). 為真由上面的討論, 我們知道 ~ ( x, P(x) ) x such that ~P(x). ~ ( x such that P(x) ) x, ~P(x). 例 :. xr, x 0. 的否定為 xr, such that x 0.. xr, such that x. 的否定為 xr, x 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x), xd 是述語, 我們可以考慮下面這四個命題型式 : xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x). xd, P(x) Q(x).

3 請注意 : xd, P(x) Q(x). ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). xd, P(x) Q(x). ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)) 然而, xd, P(x) Q(x). 和 ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). 等價 xd, P(x) Q(x). 和 ( xd, P(x)) ( xd, Q(x)). 等價為什麼呢? 由 DeMorgan s Laws 我們得出 xd, P(x) Q(x). 的否定為 xd such that ~ P(x) ~Q(x). xd such that P(x) Q(x). 的否定為 xd, ~ P(x) ~Q(x). xd, P(x) Q(x). 的否定為 xd such that ~ P(x) ~Q(x). xd such that P(x) Q(x). 的否定為 xd, ~ P(x) ~Q(x). 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x) 是定義域為 D 的述語, xd, if P(x) then Q(x). 為真的意思是對每一個 xd, if P(x) then Q(x) 均為真 " 我們稱 xd, P(x) 為 xd, Q(x) 的充分條件(sufficient condition), 稱 xd, Q(x) 為 xd, P(x) 之必要條件(necessary condition) 任給一 xd, 若 P(x) 為偽, 則 if P(x) then Q(x) 為真因此, 要判定 xd, if P(x) then Q(x). 的真偽, 我們只需考慮 P(x) 為真的情形以 xr, if x then x 4. 為例, 任給一實數 x, 我們知道 x 或 x, (i). 若 x, 則 x 4 ; 故 if x then x 4. 為真 (ii). 若 x, 則 x 為偽; 故 if x then x 4. 為真因此, xr, if x then x 4. 為真同時, 我們也注意到我們只需要考慮 x 的情形換句話說, xr, if x then x 4. 和 x { x }, x 4. 是等價的因此, 我們通常將它寫成 If x, then x 4. 或 x, x 4.

4 一般而言, 我們有下面的等價關係 : xd, if P(x) then Q(x). xa, Q(x). 其中 A = { xd P(x) 為真 }, 我們稱之為 P(x) 的真集 (truth set) 若 D 為一集合,P(x) 和 Q(x) 是定義域為 D 的述語, 則 xd, if P(x) then Q(x). 的否定為 xd, P(x) ~ Q(x). 考慮命題型式 xd, if P(x) then Q(x)., 其逆轉命題 (contrapositive) 為 xd, if ~ Q(x) then ~P(x)., 其逆命題 (converse) 為 xd, if Q(x) then P(x)., 其轉命題 (inverse) 為 xd, if ~P(x) then ~Q(x). 口語或文字中全稱命題和特稱命題常出現的形式 : 全稱命題 ( ) 特稱命題 ( ) 對於所有 (for, for all) 有些 (for some, some) 每一個 (for every) 存在 (there exists, there is such that) 讓 (let be) 至少有一個 (at least one for which) 每當 (whenever satisfies) 有一個 (has a such that) 給定 (given satisfies) 任意 (any, arbitrary) 若則 (if then) 例 :. 下面的敍述均表示 xr, x 0. : For all xr, x 0. If xr, then x 0. Given xr, x 0. Every xr, x 0. x 0, whenever xr. Let x be a real number, x 0. 4

5 . 下面的敍述均表示 xr, such that x. : There exists xr, such that x. Some xr, x. x, for some xr. At least one real number x for which x. 數學中的敘述常包含不只一個量詞 x, y, such that P ( x, y). 表示 x, { y, such that P ( x, y) }., 其否定為也就是 x, such that ~{ y, such that P ( x, y) }. x, such that y, ~P ( x, y). 同樣地, x, such that y, P ( x, y). 表示 x, such that { y, P ( x, y) }., 其否定為 x, y, such that ~P ( x, y). 若考慮包含只一個變數的述語, 量詞的順序將會影響命題的真偽我們以下列的命題為例來說明 : 命題真偽值 x, y R, y x. F x, y R such that x R, y R, such that y x. T y x. T x R such that y R, y x. F y R, x R, such that y R such that x R, y x. T y x. F 5

6 命題真偽值 x, y R, xy 0. F x, y R such that xy 0. T x R, y R such that xy 0. T x R such that y R, xy 0. T y R, x R, such that xy 0. T y R such that x R, xy 0. T 命題真偽值 x R, n N, nx. F x R +, n N, such that nx. T x R +, n N, such that nx. T x R + such that n N, nx. T n N, x R +, such that nx. T n N such that x R +, nx. F ( 其中 R + 表示所有正實數所成之集合 ) 註 :. x R +, n N such that nx. 即為有名的阿基米德性質 (Archimedean Property). n N, x R + such that nx. 為真, 因為對於任意的正整數 n, n. n N such that x R +, nx. 之否定為 n N, x R + such that nx. 對於任意的正整數 n, 若取 x, 則 nx n n n 因此, n N, x R + such that nx. 為真, 而其否定 n N such that x R +, nx. 為偽 6

7 最後, 讓我們來仔細看看單變數實函數極限 (limit) 的定義 : 也就是或是 lim f ( x) L 的定義為 xa 0, 0 such that f ( x) L whenever 0 x a 0, 0 such that {if 0 x a, then f ( x) L.} 0, 0 such that { 0 x a, f ( x) L.} 因此, lim f ( x) L 的意思是或是 xa 0 such that 0, { 0 x a such that f ( x) L.} 0 such that 0, { x R, such that 0 x a and f ( x) L.} x 你能由定義證明嗎? x lim0 x 7

命题 3 逻辑的研究推理, 推理由一系列命题组成本章介绍命题的基本概念和种类 3.1 语句及其赋值语句具有广义和狭义和两种含义广义语句即语言学规定的语句 : 合乎语法规

命题 3 逻辑的研究推理, 推理由一系列命题组成本章介绍命题的基本概念和种类 3.1 语句及其赋值语句具有广义和狭义和两种含义广义语句即语言学规定的语句 : 合乎语法规数学中的逻辑学 Logic in Mathematics 华东师范大学数学系羊丹平 1 命题 3 逻辑的研究推理, 推理由一系列命题组成本章介绍命题的基本概念和种类 3.1 语句及其赋值语句具有广义和狭义和两种含义广义语句即语言学规定的语句 :