第二节换元积分法

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石胥
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1 第二节换元积分法一第一类换元法二第二类换元法三小结思考题

2 一第一类换元法问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C.

3 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] ( )d f [ ( )] ( )d F[ ( )] C [ f ( u)d u] u ( ) 由此可得换元法定理

4 定理定理设 f (u) 具有原函数, u () 可导, 说明则有换元公式 f [ ( )] ( )d [ f ( u)d u] u ( ) 第一类换元公式 ( 凑微分法 ) 使用此公式的关键在于将 g( )d 化为 f [ ( )] ( )d. 注意 : 观察点不同, 所得结论不同. 考虑 sin d 如何求解?

5 解法 sin d,d d sin d cos C cos C; 解法 sin d sin cos d d c 解法 3 sin sin,d cos d sin C; d sin cos d d C cos,d sin d cos C.

6 例求解 3 d d du lnu u C d ln c (3 ), ( 3 ) d 3 ln(3 u 3 ) C. 注 : 第一类换元法的中间变量可以不设出来, 即直接令 f d f d, 体现凑微分的思想.

7 例求又解 3 d ln 3 C. f ( a b )d f ( a b)da b a 一般地 3 d. 3 d3 (3 ) d 3 3 d d 3 d ln C 凑微分

8 d. ( ) d d 3 ( ) ( ) [ ]d( ) 3 ( ) ( ) C ( ) C. ( ) 例求 3 解 3

9 例 3 解求 d. ( ln ) d ( ln ) ln ln d( ln ) ln ln C. d(ln )

10 例 4 求 e d ; cos d ; e d ; d ; e e e ln d; d. e f [ ( )] ( ) d f [ ( )] d( ) 凑微分

11 利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成中间变量的微分, 常见的有 : d da b a n n d d d d(ln ); n e d d( e ) a d d( a ) ln a cos d d(sin ) sin d d(cos ) sec d d(an ) csc d d(co ) d d(arcsin ) d(arccos ) d d(arcan ) d( arc co )

12 例 5 求 an d和 co d. 解 an d co d sin d cos d(cos ) ln cos C. cos cos d sin d(sin ) ln sin C. sin an d ln cos C co d ln sin C

13 例 6 求 a d. d 解 a a d a a a a a d arcan a a d arcan a C a C.

14 例 7 求 d. a 解 d arcsin a C a d d d arcsin. a a a C a a a

15 例 8 求 a d. 解 a d d a a a d a a a a da a ln a ln a c ln C. a a a a a d ln a a C

16 例 9 求 csc d. 解 ( 一 ) csc d d d sin sin cos d d an an cos an ln an C lncsc co C. csc d ln csc co C

17 解 ( 二 ) sin csc d d d sin sin d(cos ) u cos cos du du u u u ln u u C ln cos cos C. 类似地可推出 sec d ln sec an C

18 例 0 求解 85 d. 85 d ( 4) 9 d d d arcan 3 C. a d arcan a a c

19 例求 ( ) d. e 解, ( ) d e d( ) e. C e

20 例求 3 d. 原式 d 3d d 4 4 3d( 3) d( ) C.

21 例 3 求解形如 sin 5 4 sin cos d和 sin cos d. 5 sin cos d n cos m sin ( sin ) d(sin ) m, n有一个为奇数时, 将单个的提出来凑微分. 4 sin cos d(sin ) 4 6 (sin sin sin )d(sin ) sin sin sin C. d的解题思路 :

22 4 cos cos sin cos d d ( cos cos cos 3 )d 8 降幂拆项 cos cos 形如用 cos sin n cos m, n均为偶数时, m d的解题思路 : cos, sin cos 降幂.

23 例 4 求解 cos3cos cos3 cosd. (cos cos5), cos 3 cos d (cos cos 5 )d sin sin 5 C. 0 结合例 4, 5, 所有三角正弦余弦相乘形式都可求.

24 例 5 求解形如 sin sin cos d sin sin cos cos sin d sin cos sin cos a sin Asin 令 a sin bcos m cos sin d d sin cos ln sin cos C. bcos d的解题思路 : Bcos Asin Bcos nasin Bcos 拆项. d

25 例 6 求解 an 3 d an (sec )d ; 5 3 an sec d d 3 sin cos d cos 4 an sec an sec d ; sec an d sec d. cos d ( 分子分母同除 cos ); an sec, co csc

26 例 7 求解 d和 d. cos sin d cos cos cos d cos cos cos cos d sin d d(sin ) sin sin co C. sin d

27 sin d sin sin sin d sin sin d sin d cos d d(cos ) cos cos an c. cos

28 例 8 求 d. 4 arcsin 解 d 4 arcsin d arcsin d(arcsin ) lnarcsin C. arcsin

29 二第二类换元法问题 5 d? 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 sin d cos d, 5 d 5 (sin ) sin cos d 5 sin cos d ( 应用凑微分即可求出结果 )

30 定理设 () 是单调的可导的函数, 并且 ( ) 0, 又设 f [ ( )] ( ) 具有原函数, 则有换元公式 f ( )d f [ ( )] ( )d 其中 () 是 () 的反函数. 证设为 f [ ( )] ( 的原函数, () ) 令 F( ) [ ( )] 则 ( ) d d F( ) f [ ( )] ( ), d d ( )

31 f [ ( )] f (). 说明 F () 为 () f 的原函数, f ( )d F( ) C [ ( )] C, f ( )d f [ ( )] ( )d ( ) 第二类积分换元公式

32 例 9 求 a 解法一解法二 a 第一类换元法第二类换元法 d 0. 令 a sin, d a cos d, d a cos d a acos d c arcsin c a a

33 例 0 求解令 3 sin 3 4 d 4 d. d cos d sin cos d, sin 4 4sin cos d 4 3 (cos cos )d cos 3 sin ( cos )cos d 3 5 3( cos cos ) C C

34 例求解令 d ( a 0). a a an d asec d d asec d a asec sec d ln(sec an ) C a ln C ln a C. a a d ln a C ( a 0) a,

35 例求解令 a asec d a d ( a 0). d asec an d asec an d aan sec d ln(sec an ) C 0, a a a d ln a C ( a 0) a ln C ln a C.

36 说明 () 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下 : 当被积函数中含有 ( ) ( ) ( 3) a a 可令 asin; a 可令 aan; 可令 asec.

37 说明 () 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的, 需根据被积函数的情况来定. 5 例求 ( 三角代换很繁琐 ) 解 d 令, d d, 5 d d 4 d 5 3 C 4 (8 4 3 ) C

38 说明 (3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换. 例 3 求 d 7 ( ) 解令 d d, d 7 ( ) 6 7 d ln 7 C ln 7 ln C d

39 例 4 求解令 d. 4 d 4 3 d ( 分母的阶较高 ) d d, 4 d d u

40 d u u u d u u u d( ) u u u C u u C

41 说明 (4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 k l n,, 时, 可采用令 ( 其中 n为各根指数的最小公倍数 ) d. ( ) 例 5 求 3 解令 6 5 d 6 d, 5 d 3 ( ) 6 3 ( ) d 6 d 6 d

42 6d d 6 arcan C 6 arcan 6 6 C

43 例 6 求积分 3 6 解令 d. 5 6 d d, d d d 3 6 6ln C ln( ) C. 注意无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

44 说明 (5) 当被积函数含有将无法处理的部分设为 n a b, n a c b d, 例 7 求积分 d 解令, d d,,

45 d d d d ln C ln. C

46 例 8 求 e d. 解令 e, e ln, d d, d d e d ln C ln e C.

47 说明 (6) 当被积函数含有例 9 求解根号内配方法 a d. b c d d 令 an,d sec d 原式 +sec cos ( cos ) sec d d

48 d cos cos d cos cos ln sec an an c ln c.

49 说明 (7) 无理函数的积分方法要会用会选例 d 4 法一令 sin,d cos d 法二令法三令 4 法四凑微分.

50 基本积分表 (4) an d ln cos C; (5) co d ln sin C; (6) sec d ln sec an C; (7) csc d ln csc co C; (8) d arcan C; a a a

51 (9) a d ln C; a a a (0) a d ln C; a a a () d arcsin C; a a () d ln( a ) C. a

52 三小结两类积分换元法 : ( 一 ) 凑微分 ( 二 ) 三角代换倒代换根式代换基本积分表 (4)~()

53 思考题 p 求积分 ( ln ) (ln )d.

54 思考题解答 d( ln ) ( ln )d p p ( ln ) (ln )d ( ln ) d( ln ) p ( ln ) C, p p ln( ln ) C, p

55 一填空题 :. 若 f ( )d F( ) C 而 u () 则 f ( u)du ;. 求 a a d ( 0) 时, 可作变量代换, 然后再求积分 ; 3. 求 d时可先令 ; 4. d d( ); 5. e d d( ); e 6. d d( 3 5 ln ) ; 练习题

56 d 7. = d( arcg3 ); 9 d 8. d( ) ; sin 9. d ; 0. d a. 二求下列不定积分 :( 第一类换元法 ) a d. d ;. ; a ln ln(ln )

57 d d 3. an. ; 4. e e ; 3 5. d; 6. sin cos d 4 sin ; sin cos 7. 3 d; 8. d; sin cos d 9. d; 0. ; 6 9 ( 4). arcan d ( ) ;. d; ( e ) arccos 0 ln 3. d; 4. d g cos sin.

58 三求下列不定积分 :( 第二类换元法 ). d ; d. ; 3 ( ) 3. d ; 4. d a ; 5. 设 n g d, 求证 : n I n an I n, 并求 5 g d. n

59 练习题答案一. F( u) C ;;. a sec 或 a csc ; 3. ; 4. ; 5. -; 6. 5 ; 7. ; 8. ; 9. cos C ; 3 a 0. (arcsin a ) C. a a 二. a arcsin a C ;. ln lnln C ; a 3. ln(cos ) C ; 4. arcan e C ; 3 5. ( 3 ) C ; 6. arcan(sin ) C ; 9

60 (sin cos ) C ; arcsin C ; ln( 9) C ; 6 0. ln C ; (arcan ) C ;. ln( e ) ln( e ) C ; 0 arccos 3. C ; 4. (ln an ) C. ln0

61 三. [arcsin ln( )] C ;. C ; 3. ln( ) C; 4. 3a arcsin a (a ) a a + (a ) C.

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f

第二节 换元积分法

第二节换元积分法