微积分 授课讲义
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- 嘉 孙
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2 / 18:00-20: :00-17:00
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4 I
5 II Taylor :
6 , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1:
7 1.1 ( ). Ω R n (n 2), f Ω n, f: Ω R. 1. p, V T : p = CT /V, C = Const., T > 0, V > 0.,.
8 ., : 2.1. a f(x) x 0, ϵ > 0, δ > 0, f(x) a < ϵ, 0 < x x 0 < δ. lim f(x) = a. x x 0
9 : 2.2. f(x, y) P 0 (x 0, y 0 ) A, ϵ > 0, δ > 0, f(x, y) A < ϵ, (x, y) Ů(P 0, δ). lim f(x, y) = A. (x,y) (x 0,y 0 )
10 , (x, y) ( ) (x 0, y 0 ), f(x, y) a... lim x x 0 lim f(x, y), y y0 lim y y0 lim f(x, y) x x0 f(x, y).
11 2.3. : lim f(x, y), lim (x,y) (x 0,y 0 ) lim y y 0 x x 0 lim f(x, y) x x0 lim f(x, y), y y0, ;,, ;,
12 2. f(x, y) = xy/(x 2 + y 2 ),., lim f(x, y) = 0 = lim f(x, y), x 0 y 0, y = kx, lim f(x, y) = k/(1 + (x,y) (0,0) k2 ),,.
13 ( ) 3. x sin 1 f(x, y) = y + y sin 1, xy 0, x 0, xy = 0 证明., f(x, y) 0 x + y 2 x 2 + y 2 0, lim (x,y) (0,0) f(x, y) = 0. lim sin 1 x 0 x,
14 2.4. f(t) (a, b), g(x, y) (x 0, y 0 ) Ω: = Ů( (x 0, y 0 ), δ 1 ), g(ω) (a, b). lim g(x, y) = t 0, (x,y) (x 0,y 0 ) lim f(t) = A, t t0 t 0 g(ω) f t 0, lim f(g(x, y)) = A. (x,y) (x 0,y 0 )
15 证明., ϵ > 0,, ϵ 1 > 0 f(t) A ϵ, 0 < t t 0 < ϵ 1., ϵ 1 > 0, δ > 0, t 0 g(ω), g(x, y) t 0 ϵ 1, (x, y) Ů( (x 0, y 0 ), δ ). 0 < g(x, y) t 0 ϵ 1, (x, y) Ů( (x 0, y 0 ), δ ).
16 f(g(x, y)) A ϵ, (x, y) Ů( (x 0, y 0 ), δ ). f(t) t 0, f(t) A ϵ, t t 0 < ϵ 1, f(g(x, y)) A ϵ, (x, y) Ů( (x 0, y 0 ), δ ).
17 4. lim x2 + y 2 1 sin (x,y) (0,0) x2 + y 2.
18 4. lim x2 + y 2 1 sin (x,y) (0,0) x2 + y 2. 证明. f(t) = t sin 1 t, g(x, y) = x 2 + y 2 lim g(x, y) = 0, lim (x,y) (0,0) g(x, y) = 0 x = y = 0, lim (x,y) (0,0) f(t) = 0. t 0 f(g(x, y)) = lim f(t) = 0. t 0
19 , P 0 P P 0, P 0.,,., f Ω, f P 0 (x 0, y 0 ) Ω, lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 )., f P Ω, f Ω.
20 ϵ-δ ϵ-δ, f(x, y) Ω. f P 0 (x 0, y 0 ), ϵ > 0, δ > 0, P = (x, y) U(P 0, δ) Ω, f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ϵ.
21 , : ; ;, ; :..
22 : 3.1. f(x) x 0. a f(x) x 0, f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ): = lim x 0 x. ϵ-δ, : ϵ > 0, δ > 0, x δ, f(x 0 + x) f(x 0 ) f (x 0 ) x ϵ x.
23 ,. f(t) t, f (t) t,.,,, f (t),..
24 , 100km/h 28m/s, 5, f(t) = 25(10t t 2 )/9. 2:, V km/s T
25 f(x, y), f (x, y 0 ), f (x 0, y), f(x, y), f x (x, y 0 ), f x (x, y 0)., ( ϵ-δ )., f x (x, y 0 ) f(x, y 0 ).. f x, f x ( ); ;
26 I,. 5. z = ln(1 + arctan x y ).
27 II 证明., z D = {(x, y) : y 0}, {x = 0},. z D = {(x, y) : x 0, y 0}, z x = (1 + arctan(x/y) ) 1 1 sgn(x/y) 1 + (x/y) 1/y, 2 sgn(x/y)y = (x 2 + y 2 )(1 + arctan(x/y) ), z y = (1 + arctan(x/y) ) 1 1 sgn(x/y) 1 + (x/y) x 2 y 2 sgn(x/y)x = (x 2 + y 2 )(1 + arctan(x/y) ).
28 , f(x) ϵ-δ : ϵ > 0, δ, x U(x 0, δ), f(x 0 + x) f(x 0 ) f (x 0 ) x ϵ x., o( x ) f(x 0 + x) f(x 0 ) = f (x 0 ) x + o( x ), o( x ) lim x 0 x = 0.
29 , P 0 (x 0, y 0 ) f(x, y), A, B, f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = A x + B y + o(ρ), ρ = x 2 + y 2. Adx + Bdy f(x, y) P 0, df P0. f P 0., f P 0, f P 0., f P 0 f x (P 0 ) = A, f y (P 0 ) = B., f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy.
30 I 6. f(x, y) P 0 (0, 0), f(x, y) + ax by lim (x,y) (0,0) ln(1 + x 2 + y 2 ) = 1, a, b, f x (P 0 ) + f y (P 0 )
31 II 证明. f P 0, f(0, 0) = 0. f(x, y) f(0, 0) ( ax + by) lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 f(x, y + ax by) = lim ln(1 + x2 + y 2 ) (x,y) (0,0) ln(1 + x 2 + y 2 ) x2 + y 2 = 1 0 = 0, f x (P 0 ) = a, f y (P 0 ) = b, f x (P 0 ) + f y (P 0 ) = a + b.
32 ,,.,.
33 3.3. f(x, y) P 0 (x 0, y 0 ), f P 0. 证明. f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 + y) + f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) y + o( y ), f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 + y) = f x (x 0, y 0 + y) x + o( x ).
34 , f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 + y) x + f y (x 0, y 0 ) y + o( x ) + o( y ), f x P 0, f x (x 0, y 0 + y) f x (x 0, y 0 ) = o( y ). f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y + o( y ) x + o( x ) + o( y ),, f P 0.
35 I : u = u(x) x 0, f = f(u) u 0 = u(x 0 ), z = f(u(x)) x 0, z = f (u(x 0 )) u (x 0 ).
36 II,, 3.3. u = u(x, y), v = v(x, y) P 0 (x 0, y 0 ). z = f(u, v) Q 0 = (u(x 0, y 0 ), v(x 0, y 0 )), z = f(u(x, y), v(x, y)) P 0 ( ), z x (P 0 ) = f u (Q 0 ) u x (P 0 ) + f v (Q 0 ) v x (P 0 ), z y (P 0 ) = f u (Q 0 ) u y (P 0 ) + f v (Q 0 ) v y (P 0 ).
37 III., P 0., u, v P 0. [1,. 6.13].,, dz = f u du + f v dv, du = u x dx + u y dy, dv = v x dx + v y dy. dz = (f u u x + f v v x )dx + (f u u y + f v v y )dy, z = f(u(x, y), v(x, y)) ( )
38 I 7. z = z(x, y), z = z xx + z yy z. x = r cos θ, y = r sin θ, f(r, θ) = z(r cos θ, r sin θ) ( z ).
39 II 证明. f rr = (z x x r + z y y r ) r = z xx x 2 r + 2z xy x r y r + z yy y 2 r + z x x rr + +z y y rr = z xx cos θ 2 + 2z xy cos θ sin θ + z yy sin θ 2, f θθ = z xx x 2 θ + 2z xy x θ y θ + z yy y 2 θ + z x x θθ + z y y θθ = z xx ( r sin θ) 2 2z xy (r 2 sin θ cos θ) + z yy (r cos θ) 2 + z x ( r cos θ) + z y ( r sin θ) = r 2 ( z xx sin 2 θ 2z xy sin θ cos θ + z yy cos 2 θ ) rf r,
40 III, z = z xx + z yy = f rr + 1 r f r + 1 r 2f θθ., f(r, θ) = ln r, r > 0, f = 0, z(x, y) = ln x 2 + y 2 ( z = 0).
41 I : D = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1 }. F (x, y) = x 2 + y 2 1, D F (x, y) xy-. y = y(x), x. ( 1, 0) (1, 0) P U(P ; δ), U(P ; δ) y = y(x)., y = ± 1 x 2 = y (x) = x 1 x 2.
42 II ( 1, 0) (0, 1) y (x)., y (x) x = x 0, F x + F y y = 0 = y = F x /F y = F y 0. F y, F y (x 0, y(x 0 ))., x, f(y): = F (x, y) y., x y F (x, y) = 0. y = y(x), F (x, y(x)) = 0.
43 F (x, y) P 0 (x 0, y 0 ) U(P 0 ; δ) F y, F (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0, F (x, y) = 0 P 0 U(P 0 ; δ ) y = y(x), y F (x, y(x)) = 0, y 0 = y(x 0 )
44 F (x, y, z) P 0 (x 0, y 0, z 0 ) U(P 0 ; δ) F z, F (x 0, y 0, z 0 ) = 0, F z (x 0, y 0, z 0 ) 0, F (x, y, z) = 0 P 0 U(P 0 ; δ ) z = z(x, y), F (x, y, z(x, y)) = 0, z 0 = z(x 0, y 0 ) z(x, y) z x = F x (x, y, z)/f z (x, y, z), z y = F y (x, y, z)/f z (x, y, z).
45 I,.,,., (x 0, y 0 ) z x z y, z = z(x, y) (x 0, y 0 ). 8. F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 z = z(x, y).
46 II 证明. F x + F z z x = 0 = z x = F x /F z = 2x/2z = x/z, (x 0, y 0, z 0 ), z 0 0, z = z(x, y), x z x = x/z., (x 0, y 0, z 0 ), z 0 > 0, z = 1 x 2 y 2, z x = x/z = x/ 1 x 2 y 2.,.
47 I,. :,?,?
48 II, xy- v x-, y- α,β. v = (cos α, cos β). y cosβ O β α v cosα x 3:
49 III f(x, y) v 3.6. f(x, y) P 0 (x 0, y 0 ), v = (cos α, cos β) (, cos 2 α + cos 2 β = 1). f(x 0 + t cos α, y 0 + t cos β) f(x 0, y 0 ) lim t 0 t, f P 0 v. f. (x0,y 0 ) v
50 IV v = (1, 0) v = (0, 1), f v f x, f y. f v v., f(x, y) P 0 (x 0, y 0 ), v = (cos α, cos β). f P 0, f P 0 v, f v = f x (x 0, y 0 ) cos α + f y (x 0, y 0 ) cos β. x0,y 0 p. 116, 40(3)
51 f(x, y) P 0 (x 0, y 0 ), v = (cos α, cos β) f v = (f x, f y ) P0 v. (x0,y 0 ) (f x, f y ) P0 f P 0, f P0 f(p 0 )., f(p 0 ) v = f(p 0 ) v cos ( f(p 0 ), v)., :,, ;,,.
52 f/ f = 1 (f x, f y ), fx 2 + fy 2. (x, y, f(x, y)) 1 (f x, f y, f (fx 2 + fy 2 )(1 + fx 2 + fy 2 x 2 + fy 2 ) ). ( ).
53 , f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 1. 4:
54 I 9. x + y + z = a 2az + a 2 = x 2 + y 2 γ P 0 (0, a, 0), a > 0. γ : x(t) = t, y(t) = a (2a t)t z(t) = ± (2a t)t t,
55 II, t [0, 2a], γ, γ(0) = P 0 = (0, a, 0): γ (0) = ( 1, t a a t, 1) (2a t)t (2a t)t t=0 = (1, 1 0, 1 0 1),.?
56 III F (x, y, z) = x + y + z a, G(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2az a 2. P 0 y = y(x), z = z(x), F x + F y y + F z z = 0, G x + G y y + G z z = 0. (y, z ) Jacobi ( ) (F, G) (y, z) = det Fy G y 0. F z G z
57 IV, P 0, (F, G) (y, z) = det ( ) 1 2y = 0 1 2a, P 0, x y = y(x), z = z(x)., y, x = x(y), z = z(y). ( ) ( ) x 1 ( ) ( Fx F z = z Fy 0 = G x G z G y 1)
58 V, P 0 γ (0, 1, 1). P 0 x 0 0 = y a 1 = z 0 1. x(t) = 0 y(t) = a + t z(t) = t
59 VI P 0 ( ) (x 0), (y a), (z 0) (0, 1, 1) = 0, y a z = 0., : F, G, P 0, dx + dy + dz = 0, 2ady + 2adz = 0,
60 VII dx = 0, dz = dy. γ (x(t), y(t), z(t), ( ( ) ), (x (t), y (t), z (t)) = (0, y (t), y (t)), (0, 1, 1). p. 116, 44(3).
61 I S F (x, y, z) = 0, P 0 (x 0, y 0, z 0 ), F. γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) S P 0, F (x(t), y(t), z(t)) = 0, γ(t 0 ) = P 0, γ (t) = 0. F x (P 0 )x (t 0 ) + F y (P 0 )y (t 0 ) + F z (P 0 )z (t 0 ) = 0, F (P 0 ) γ (t 0 ) = 0,
62 II F (P 0 ) S P 0 ( )., S P 0 F (P 0 ) ((x x 0 ), (y y 0 ), (z z 0 ) ) = 0, F x (P 0 )(x x 0 ) + F y (P 0 )(y y 0 ) + F z (P 0 )(z z 0 ) = 0., x x 0 F x (P 0 ) = y y 0 F y (P 0 ) = z z 0 F z (P 0 ).
63 III, z = f(x, y)( ), F (x, y, z) = f(x, y) z F = (f x, f y, 1). z = f(x, y). x = x 0, z(y) = f(x 0, y) (0, 1, f y ), y = y 0, z(x) = f(x, y 0 ) (1, 0, f x ), (0, 1, f y ) (1, 0, f x ) = (f x, f y, 1),.,,.
64 Taylor, f(x) x 0 n, f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x), n!, R n (x) = { o ( (x x0 ) n), Peano f (n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0 ) n+1, ξ x 0 x f x 0 n + 1
65 Taylor I Taylor f(x 0 + x) = f(x 0 ) + x x f(x 0 ) + 1 2! ( x)2 2 xf(x 0 )+ + 1 n! ( x)n n xf(x 0 ) + R n (x), { Rn (x) = o( x n ), Peano ( x) n+1 x n+1 (x 0 +θ x) (n+1)!,
66 Taylor II Taylor f(x, y) (x 0, y 0 ) n + 1, f(x 0 + x, y 0 + y) = n k=0 1 k! ( x x + y y ) k f(x 0, y 0 ) + R n (x, y), R n (x, y) = { o(ρ n ), 1 (n+1)! ( x x + y y ) (n+1) f(x 0 + θ x, y 0 + θ y), Peano.
67 f(x) x 0 x 0 f (x 0 ) = 0. f(x) x 0, x 0 f (x 0 ) > 0( ), f (x 0 ) < 0( ).
68 Taylor, f (x 0 ) f(x 0, y 0 )( = (f x, f y )) x0,y 0, f (x 0 ) fxx f Jacobi(f) = xy., f(x, y) f yx f yy P 0 (x 0, y 0 ) f(x, y) P 0, P 0 f f x (P 0 ) = f y (P 0 ) = 0 f(p 0 ) = 0. f(x, y) P 0, P 0 f xx (P 0 ) > 0& det Jacobi(f)(P 0 ) > 0( ) f xx (P 0 ) < 0& det Jacobi(f)(P 0 ) > 0( ).
69 10. f(x, y) = x 2 y D = { (x, y) : x 2 + y 2 /4 1 } 证明. f = (2x, 2y) = 0 = x = 0 = y, det Jacobi(f)(0, 0) = 4 < 0 (0, 0) f D = {θ [0, 2π] : x = cos θ, y = 2 sin θ} f f(x, y) D = cos 2 θ 4 sin 2 θ + 2 = cos 2 θ. f(0, ±2) = 2, f(±1, 0) = 3.
70 u = f(x, y), ϕ(x, y) = 0 f(x, y) D := {(x, y) : ϕ(x, y) = 0} F (x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y)..
71 I 11.,, A B y x z C
72 II 证明. x, y, z, ABC S(x, y, z) = 1 (sin x + sin y + sin z) 2 ϕ(x, y, z) = x + y + z 2π = 0. F (x, y, z, λ) = S(x, y, z) + λϕ(x, y, z),
73 III F = 0, S x + λϕ x = 0, S y + λϕ y = 0, S z + λϕ z = 0, ϕ = 0 = { cos x = cos y = cos z = 2λ, x + y + z = 2π. x, y, z (0, π), x = y = z = 2π/3, ABC
74 I p. 110: 3(2)( ); 4(3); p. 111: 5( ) ( ): f: R n \ {0} R. f k (, t > 0, x = (x 1,..., x n ) R n \ {0}, f(tx) = t k f(x)), x f(x) = kf(x)., g(t, x) = f(tx), t g(t, x) = kg(t, x)/t ODE. p. 111: 7(1)( ) : { x sin 1 y f(x, y) = + y sin 1 x, xy 0, 0, xy = 0,
75 II O(0, 0). (,,,.,.) p. 113: 25 p. 116: 40(3)( ), u = x arctan(y/z) P 0 (1, 2, 2) v, v M 0 (5, 5, 15). p. 117: 46(1); 47 p. 118: 56 :
76 III 1. f = f xx + f yy + f zz, f(x, y, z) = f(r) (r, φ, θ) 2. 2 f(x, y) 3. f(x, y, z) = sin(x 2 + y 2 + z) P 0 (0, 0, 0) Taylor
77 I [1],. II: [M]., :, 2008.
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
( )
( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................
untitled
arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
koji-13.dvi
26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
5 (Green) δ
2.............................. 2.2............................. 3.3............................. 3.4........................... 3.5...................... 4.6............................. 4.7..............................
untitled
4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
Cauchy Duhamel Cauchy Cauchy Poisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel ) u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (
Cauchy Duhamel Cauchy CauchyPoisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel) 1.1.......... u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (t, x) 1 C 1 C 2 u(t, x) = C 1 u 1 (t, x) + C 2 u 2 (t,
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3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,
1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P
2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,
/ Ν #, Ο / ( = Π 2Θ Ε2 Ρ Σ Π 2 Θ Ε Θ Ρ Π 2Θ ϑ2 Ρ Π 2 Θ ϑ2 Ρ Π 23 8 Ρ Π 2 Θϑ 2 Ρ Σ Σ Μ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ2 Σ Π 2 Θ 3 Θ Ρ Κ Η Σ Π 2 ϑ Η 2 Ρ Π Ρ Π 2 ϑ Θ Κ Ρ Π
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尿路感染防治.doc
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
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DS Ω(1.1)t 1 t 2 Q = t2 t 1 { S k(x, y, z) u } n ds dt, (1.2) u us n n (t 1, t 2 )u(t 1, x, y, z) u(t 2, x, y, z) Ω ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t 2, x, y,
u = u(t, x 1, x 2,, x n ) u t = k u kn = 1 n = 3 n = 3 Cauchy ()Fourier Li-Yau Hanarck tcauchy F. JohnPartial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 1. 1.1 Du(t, x, y, z)d(x, y, z) t Fourier dtn
中医疗法（下）.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...2...3...4...13...15...17...17...24...25...26...26...28...28...29...31...31...33...33
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +
微 积 分 B2 曲 面 曲 线 积 分 小 结 马 晓 光 2014 年 5 月 15 日 1 第 一 型 曲 线 曲 面 积 分 这 一 部 分 的 积 分 区 域 是 没 有 定 向 的 解 题 的 关 键 是 计 算 长 度 微 元 dl 和 面 积 微 元 ds 1.1 第 一 型 曲 线 积 分 积 分 区 域 是 一 条 曲 线 L, 可 以 在 二 维 平 面 内, 也 可 以 在
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( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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1. 7.1 ux 1, x 2,, x n n 2 u, u,, u F x 1, x 2,, x n ; u, u, u,, u = 0 7.1 2. F u, u, u,, u a 0 x 1, x 2,, x n u + 3. fx 1, x 2,, x n 0 a i x 1, x 2,, x n u i = fx 1, x 2,, x n 7.2 a 0 x 1, x 2,, x n u
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第 2 頁 (a) 擔 任 機 場 擴 建 統 籌 辦 總 監 的 首 席 政 府 工 程 師 職 位 第 3 點 ) ; (b) 擔 任 ( 機 場 擴 建 統 籌 辦 ) 的 首 長 級 丙 級 政 務 官 職 位 ; 以 及 (c) 擔 任 總 助 理 ( 機 場 擴 建 統 籌 辦 ) 的
財 務 委 員 會 人 事 編 制 小 組 委 員 會 討 論 文 件 2015 年 11 月 4 日 總 目 158- 政 府 總 部 : 運 輸 及 房 屋 局 ( 運 輸 科 ) 分 目 000 運 作 開 支 請 各 委 員 向 財 務 委 員 會 提 出 下 述 建 議, 即 由 財 務 委 員 會 批 准 當 日 起, 在 運 輸 及 房 屋 局 運 輸 科 機 場 擴 建 工 程 統
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3654 ( 571 ) 88(4) 2014 3 31 10766 10778 2014 3 31 ( ) 2 21 ( ) 2014 3 31 10768 10778 6 9 1. ( ) 2. 3. 4. 5. 2014 6 3 ( ) 10768 10778 ( ) 2014 3 31 ( 622 ) 11 80 2014 3 31 2014 6 3 10 8 2014 3 31 ( ) 2014
Gauss div E = 1 ε 0 ρ(x, y, z), (1.3) E (x, y, z)ε 0 ρ(x, y, z) E = 0 (curl E = 0), (1.4) E = u(x, y, z), (1.5) u ( )(1.5) (1.3) u(x, y, z) = 1 ε 0 ρ(
Laplace Laplace() Poisson () Laplace Poisson Laplace Poisson ( ) GreenLaplace Green ( )Laplace Poisson Harnack Laplace Laplace 1. Laplace ( ) u n i=1 u x i = 0 (1.1) Poisson u n i=1 u x i = f(x 1,, x n
Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε
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1988 4 1998 12 1990 5 40 70.................................................. 40.............................................................. 70..............................................................
怎样使孩子更加聪明健康（五）.doc
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數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
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i ii iii iv v vi vii viii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 26 27 2 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 3 4 41 42 43 5 44 45 46 6 47 48 49 50 51 52 1 53 2 54 55 3 56
電腦相關罪行跨部門工作小組-報告書
- ii - - iii - - iv - - v - - vi - - vii - - viii - (1) 2.1 (2) (3) 13.6 (4) 1.6 (5) 21 (6) (7) 210 (8) (9) (10) (11) ( ) ( 12) 20 60 16 (13) ( ) (
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发展党员工作手册
发 展 党 员 工 作 问 答 目 录 一 总 论...9 1. 发 展 党 员 工 作 的 方 针 是 什 么? 如 何 正 确 理 解 这 个 方 针?... 9 2. 为 什 么 强 调 发 展 党 员 必 须 保 证 质 量?... 9 3. 如 何 做 到 慎 重 发 展?... 10 4. 如 何 处 理 好 发 展 党 员 工 作 中 的 重 点 与 一 般 的 关 系?...11 5.
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9 1 2 3 4 i 5 6 ii iii iv v vi vii viii 1 1 1 2 3 4 2 5 6 2 3 2.10 ( 2.11 ) ( 2.11 ) ( 2.9 ) 7 8 9 3 10 5% 2% 4 11 93% (2001 02 2003 04 ) ( ) 2,490 (100%) 5 12 25% (2.57% 25%) 6 (2001 02 2003 04 ) 13 100%
中医疗法（上）.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...1...1...2...4...5...7...13...15...17...18...19...21...23...24...24...26...26...27 I ...28...29...30...30...31...32...33...34...35...36...37...39...40...41...42...43...43...45...46...47...47...48
香 港 舞 蹈 總 會 北 京 舞 蹈 學 院
報 名 規 則 : I. 保 送 教 師 資 格 : 香 港 舞 蹈 總 會 主 辦 二 零 一 六 年 秋 季 趣 學 堂 幼 兒 舞 蹈 課 程 評 核 報 名 及 規 則 ( 請 於 報 名 前 詳 細 閱 讀 整 份 文 件 ) 學 生 必 須 由 認 可 教 師 保 送 參 加 評 核, 而 以 下 為 認 可 教 師 的 資 格 : i. 持 有 由 香 港 舞 蹈 總 會 頒 發 之
Microsoft Word - 中三選科指南 2014 subject
必 修 科 目 簡 介 < < < 1. 中 文 > > > 本 科 的 公 開 評 核 以 課 程 發 展 議 會 與 香 港 考 試 及 評 核 局 聯 合 編 訂 的 中 國 語 文 科 課 程 及 評 估 指 引 ( 中 四 至 中 六 ) 為 根 據 目 標 本 科 主 要 評 核 考 生 : (1) 讀 寫 聽 說 能 力 思 維 能 力 審 美 能 力 和 自 學 能 力 ; (2)
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内 地 与 香 港 关 于 建 立 更 紧 密 经 贸 关 系 的 安 排 ( 安 排 ) 常 见 问 答 个 别 行 业 : 法 律 服 务 法 律 服 务 ( 18) I 受 聘 于 内 地 律 师 事 务 所 1 II 律 师 事 务 所 联 营 组 织 2 III 香 港 律 师 事 务 所 驻 内 地 代 表 机 构 ( 代 表 处 ) 4 I V 最 低 居 留 条 件 6 V 律 师
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Microsoft Word - EDB Panel Paper 2016 (Chi)_finalr
2016 年 1 月 15 日 會 議 討 論 文 件 立 法 會 教 育 事 務 委 員 會 2016 年 施 政 報 告 教 育 局 的 政 策 措 施 行 政 長 官 在 2016 年 1 月 13 日 發 表 其 2016 年 施 政 報 告 本 文 件 旨 在 闡 述 施 政 報 告 中 有 關 教 育 事 務 的 主 要 措 施 2. 培 育 人 才 始 於 教 育 在 教 育 政 策
二零零六年一月二十三日會議
附 件 B 有 关 政 策 局 推 行 或 正 在 策 划 的 纾 缓 及 预 防 贫 穷 措 施 下 文 载 述 有 关 政 策 局 / 部 门 为 加 强 纾 缓 及 预 防 贫 穷 的 工 作, 以 及 为 配 合 委 员 会 工 作, 在 过 去 十 一 个 月 公 布 及 正 在 策 划 的 新 政 策 和 措 施 生 福 利 及 食 物 局 (i) 综 合 儿 童 发 展 服 务 2.
马太亨利完整圣经注释—雅歌
第 1 页 目 录 雅 歌 简 介... 2 雅 歌 第 一 章... 2 雅 歌 第 二 章... 10 雅 歌 第 三 章... 16 雅 歌 第 四 章... 20 雅 歌 第 五 章... 25 雅 歌 第 六 章... 32 雅 歌 第 七 章... 36 雅 歌 第 八 章... 39 第 2 页 雅 歌 简 介 我 们 坚 信 圣 经 都 是 神 所 默 示 的 ( 提 摩 太 后 书
厨房小知识（四）
I...1...2...3...4...4...5...6...6...7...9...10... 11...12...12...13...14...15...16...17...18...18...19...22...22 II...23...24...25...26...27...27...28...29...29...30...31...31?...32...32...33?...33...34...34...35...36...36...37...37...38...38...40
妇女更年期保健.doc
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小儿传染病防治（上）
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聘 僱 人 員 管 理 作 業 參 考 手 冊 行 政 院 人 事 行 政 總 處 編 印 中 華 民 國 104 年 3 月 序 人 事 是 政 通 人 和 的 關 鍵 是 百 事 俱 興 的 基 礎, 也 是 追 求 卓 越 的 張 本 唯 有 人 事 健 全, 業 務 才 能 順 利 推 動, 政 府 施 政 自 然 績 效 斐 然 本 總 處 做 為 行 政 院 人 事 政 策 幕 僚 機
女性青春期保健（下）.doc
...1...4...10... 11...13...14...15...17...18...19...20...21...22...23...24...26...27...30...31 I ...32...33...36...37...38...40...41...43...44...45...46...47...50...51...51...53...54...55...56...58...59
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禽畜饲料配制技术（一）.doc
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中老年保健必读（十一）.doc
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怎样使孩子更加聪明健康（七）.doc
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i ii iii iv v vi 1 g j 2 3 4 ==== ==== ==== 5 ==== ======= 6 ==== ======= 7 ==== ==== ==== 8 [(d) = (a) (b)] [(e) = (c) (b)] 9 ===== ===== ===== ===== ===== ===== 10 11 12 13 14 15 16 17 ===== [ ] 18 19
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes ... zqs... 10 66 60... fz zqs vonneumann vonneumann sub... Bless by Luobo June 21, 2008 1. 2. g(x) = e 2x+1, cos 3x 1 lim x 0 x 2 g(g(x)) g(e) lim x
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Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
1 2 (beta 10 ) 3 SOLVED AND TEXIFIED BY 4 HONORED REVIEWER BBS (lilybbs.us) 1 2002 6 1 2003 1 2 2 ( ) (E-mail: xiaoxinpan@163.com) 3 beta 2005 11 9 ( / ) 40.97% 4 02CS chouxiaoya tedy akaru yitianxing
Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ
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Solutions to Exercises in "Discrete Mathematics Tutorial"
1 2 (beta 16.11 ) 3 SOLVED AND TEXIFIED BY 4 (http://www.ieee.org.cn/list.asp?boardid=67) 1 2002 6 1 2003 1 2 2 (E-mail: xiaoxinpan@163.com) 3 2006 11 1 ( / ) 60.17% 4 xbz 02 chouxiaoya tedy akaru yitianxing
3 35. f (x), x dy y, lim dx x (fluxion).,, dy dx (differential quotient), (differential coefficient)., dérivée. y = f(x), y/ x (x, y) (x + x, y + y),
2 3 x y = f(x). x, x y, y, x x = x, y x = y y x x y x x. y y = y. x, x, y lim x 0 x, y = f(x) x, dy dx., x, y. h x, dy dx = lim h 0 f(x + h) f(x). h, y = f(x) x. f(x) x, f(x)., dy dx x, f(x), f (x). dy
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PowerPoint 演示文稿
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天主教永年高級中學綜合高中課程手冊目錄
天 主 教 永 年 高 級 中 學 綜 合 高 中 課 程 手 冊 目 錄 壹 學 校 背 景. 貳 教 育 理 念 與 教 育 目 標. 3 一 規 劃 理 念...3 二 教 育 目 標...3 參 畢 業 要 求. 5 一 總 學 分 數...5 二 必 選 修 學 分 數...5 三 必 須 參 加 活 動...9 四 成 績 評 量 方 式...9 肆 課 程 概 述.. 9 一 課 程
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