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龛叶
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 :. 設正四面體 ABCD 其每一稜長均為已知 AB 之中點為 M CD 之中點為 N 求()AB AN ;()MN 之長為. 6.

. 三角錐 ( 四面體 )ABCD 頂點 A 底面為 BCD 已知 AB AC AD 底邊 BC CD DB 6 求() 平面 ABC 與底面 BCD 的銳夾角為 ;() 若 AH 垂直於底面 BCD 於 H 則高 AH 的長為. 7.

有一正四角錐底面是邊長 0 公分的正方形側面是腰長公分的等腰三角形若底面與側面的夾角為 θ 則 cosθ 之值為. 9. 如圖正四面體的邊長為試求其高 AH.

1 台北市立陽明高中高二自然組動手動腦單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 :. 設正四面體 ABCD 其每一稜長均為已知 AB 之中點為 M CD 之中點為 N 求()AB AN ;()MN 之長為. 6. 有一側稜長均為 8 的金字塔形其側面為四個等腰三角形底面是邊長為 6 的正方形若底面與側面之夾角為 α 則 cosα.. 三角錐 ( 四面體 )ABCD 頂點 A 底面為 BCD 已知 AB AC AD 底邊 BC CD DB 6 求() 平面 ABC 與底面 BCD 的銳夾角為 ;() 若 AH 垂直於底面 BCD 於 H 則高 AH 的長為. 7. 如右圖其中底面為邊長是的正方形四個側面是腰為的等腰三角形若底面與相鄰兩側面所形成的二面角角度為 θ 則 cosθ.. A B C D 為一個正四面體之四頂點 θ 為 AB 與 CD 之夾角則 cosθ. 8. 有一正四角錐底面是邊長 0 公分的正方形側面是腰長公分的等腰三角形若底面與側面的夾角為 θ 則 cosθ 之值為. 9. 如圖正四面體的邊長為試求其高 AH.. 正四面體 OABC 的各稜長為 6 點 O 在底面 ABC 上的正射影為 H 則 ()OH 長為 ; () 四面體體積為. 5. 已知四面體 ABCD 中 AD 垂直平面 BCD 於 D BD BC 於 B AD BC BD 5 則 AC. 0. ABC 是邊長為的正三角形 D E F 為三邊中點沿 DE EF FD 上摺使 A B C 三點重疊在 P 點成為一個正四面體 PDEF 則此四面體頂點 P 與底面 DEF 的高度為. - -

. 如圖 ABCD 為四面體已知 AD 垂直於平面 BCD BC BD BC 7 AB AD 5 則 ()AC 之長為 ;

如右圖正立方體 ABCD EFGH 則 () 將正立方體的十二個稜延長為直線則與 AC 互為歪斜線的直線有條; ()

一正立方體之稜長為共頂點的三稜為 AB AC AD 則 A 到平面 BCD 的距離為.

立方體 ABCD EFGH 之稜長為 GF GH 之中點為 M N 則四面體 AEMN 之體積為.

2 . 如圖 ABCD 為四面體已知 AD 垂直於平面 BCD BC BD BC 7 AB AD 5 則 ()AC 之長為 ; () 若平面 ABD 與平面 ACD 之夾角為 θ 則 sinθ 之值為. 6. 如右圖正立方體 ABCD EFGH 則 () 將正立方體的十二個稜延長為直線則與 AC 互為歪斜線的直線有條; () 若平面 ACH 和平面 ACD 的夾角為 θ 求 cosθ. 7. 一正立方體之稜長為共頂點的三稜為 AB AC AD 則 A 到平面 BCD 的距離為.. 正四面體 ABCD 一邊 AB 長為公分 M 為 AD 的中點 N 為 BC 的中點則 ()MN ; () 相鄰二側面形成之兩面角角度為 θ cosθ. 8. 設 ABCD 為正四面體 ( 各面均為正 ) 其稜長設 M 為 CD 中點 AMB θ 則 () 其高 AG ; () 體積為 ; () 全表面積為 ; () cosθ.. 金字塔每一個稜長均為底部正方形側邊正三角形如圖所示 θ 為 ABP 平面與 CBP 平面所夾之二面角則 cosθ. 9. 立方體 ABCD EFGH 之稜長為 GF GH 之中點為 M N 則四面體 AEMN 之體積為.. 已知正四面體 OABC 中 AO 5 D E 分別是 OAB OBC 的重心則 DE. 0. 四面體 ABCD 中 AB AC BC BD CD () 當 AD 時若相鄰兩面 ABC 與 BCD 的夾角為 θ 則 cosθ ; () 當四面體 ABCD 有最大體積時 AD 的長為. 5. 正四角錐 OABCD 之底面是一個邊長為 8 的正方形 ABCD 此正四角錐之高為 8 則其側面 OAB 平面與底面 ABCD 平面之夾角 cos θ 為. - -

3 . 四面體 ABCD 中 AB AC AD 9 BC CD BD 6 則直線 AB 與直線 CD 的距離為. 6. 正四面體 ABCD 一稜長為 0 有一隻螞蟻由點 A 沿 ABC BCD ABD ACD 之順序在側面上移動終點為 C 則移動之最短距離為.. 如圖將一張四邊形的紙 ABCD 沿著對角線 BD 摺起使得 ABC 5 已知 AB AD BC CD A 60 若平面 ABD 與 BCD 的夾角為 θ 則 cosθ. 7. 如圖將一張正方形的紙 ABCD 沿著對角線 BD 摺起使得 ABC 60 試求二平面 ABD 與 BCD 的夾角為.. 右圖是邊長為的正立方體求 () 四面體 ABCD 的體積 ; ()AC 在平面 ABD 上的正射影長 ; () 若平面 ABD 與平面 BCD 之夾角為 θ 求 sinθ. 8. 有公共底邊的兩個等腰三角形它們所在的平面組成 60 的二面角公共邊長為 6 一個三角形的腰長為 7 另一個三角形的兩腰互相垂直求這兩個等腰三角形頂點間的距離為.. 右圖是一個四角錐它的底面 ABCD 是一個邊長為的正方形四個側面均是腰長為的等腰三角形則 () 此四角錐的體積為 ; () 相鄰兩側面的夾角為 θ sinθ. 9. 如圖有一各稜等長的金字塔形設其四個正三角形的斜面中相鄰二面的夾角為 α 側面與底面之夾角為 β 則 () cosα ;() sinβ. 0. 一長方體 ABCD EFGH 如圖 EF EH EA 又 AG 與 DF 之交角 θ 則 sinθ. 5. 有一個底為正方形的直角錐每一稜長都是 0 設 ABCD 為其底 O 為其錐頂 () 求此直角錐之高 ; () 若兩側面之夾角為 θ 則 cosθ. - -

4 . 斜坡平面和水平面成 0 的二面角在斜坡平面上有一條公路和二面角的稜成 0 沿此公路向上行走 000 公尺問其水平面升高了公尺.. 若 θ 為正八面體相鄰二面所成之二面角則 cosθ.. 正八面體各稜長均為相鄰二側面之夾角為 θ 求 cosθ.. - -

台北市立陽明高中高二自然組動手動腦解答單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 :

解答 () ;() () AB AN AB AC+ AD AB AC+ AB AD (

解答 () 6 ;()8 () AH AM 故 5. 解答 5 ( ) OH 6 6.

由三垂線定理 AD 平面 BCD DB BC AB BC AB + 5 ( ) AC +

解答 55 AM 6 9 55 ( ) ( ) AH AM HM 55 9 6 HM

5 台北市立陽明高中高二自然組動手動腦解答單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 : 一單選題 ( 每題分共 5 分 ). 解答 () ;() () AB AN AB AC+ AD AB AC+ AB AD ( cos60 ) + ( cos60 ). () AN MN.. 解答 () 60 ;() () AM 9. 解答 DM cosθ 6 θ 60. () DH DM AH. AB AD AB AC 0 ABCD θ. ABCD AB AD AC cos 0 AB CD. 解答 () 6 ;()8 () AH AM 故 5. 解答 5 ( ) OH 6 6. () 體積由三垂線定理 AD 平面 BCD DB BC AB BC AB + 5 ( ) AC 解答 55 AM ( ) ( ) AH AM HM HM cosα AM 解答取 M 為 BC 中點 A 在 BCDE 平面之投影 H 8. 解答則 AMH θ 又 AM MH cosθ 5 由圖: AM MH 5 MH 5 cosθ AM 6 9. 解答 0. 解答 BH BM AH AB BH 6. 6 DH DM PH 8 6. 解答 ()5;() 7 0 ()AD 平面 BCD BC BD 由三垂線定理知 AB BC 故 AC AB + BC () AD 平面 BCD BD AD 且 CD AD 故 BDC 為平面 ABD 與平面 ACD 之夾角 BC 7 7 BCD 中 sinθ CD

() BCM 中 BM + CM BC cosθ BMCM ( ) ( ) + 取 BP 之中點

. 解答 5 連接 AD 交 OB 於 F 連接 CF D E 為重心 AD : DF : CE

解答 () ;() ;() ;() () 稜長為底面 BCD 的中線 BM 長為 G 為重心

() 全表面積 ( BCD ). GM () AGM 中 cosθ. AM 9.

6 () BCD ABCD 體積 BCD AH AH ( AH 越大越好 ) (

6 . 解答 () ;() () AND 中 AN DN 中線 NM AD. 解答 ANM 中 AM AN NM AN AM 8 NM 8. () BCM 中 BM + CM BC cosθ BMCM ( ) ( ) + 取 BP 之中點 M 則 AM CM 又 AC cosθ cos AMC +.. 解答 5 連接 AD 交 OB 於 F 連接 CF D E 為重心 AD : DF : CE : EF : FD : FA : FE : FC : 5 DE AC. 5. 解答 5 (i) OH 8 CH AC OC 6. (ii) CM CB OM HM cosθ θ cos. OM 解答 ()6;() ()BF DH EF HG EH FG 共 6 條. () cosθ 6 A 到平面 BCD 之距離為解答 () ;() ;() ;() () 稜長為底面 BCD 的中線 BM 長為 G 為重心 BG ABG 中 6 AG AB BG AG. 6 () 體積 ( 底面積 ) 高. () 全表面積 ( BCD ). GM () AGM 中 cosθ. AM 9. 解答 8 EMN EFGH EFM EHN MGN 8 故四面體 AEMN 之體積為 EMN AE 解答 () 5 6 ;() 6 () 設 BC 的中點為 M DM AM cosθ 6 () BCD ABCD 體積 BCD AH AH ( AH 越大越好 ) ( 由三垂線定理中知 H 落在 DM 上 ) AM ( 即平面 ABC 平面 BCD ) AD AM + MD 解答設 A 到平面 BCD 之距離為 h 則四面體 ABCD 體積四面體 CABD 體積 ( ) h h 解答 (i) 取 CD 之中點 M 作 MN AB. (ii) BM BH BM AH (iii) ABM BM AH AB MN 69 9 MN 9 9MN 故 MN.

. 解答 (i) AB AD 且 A 60 BD. (ii)m 為 BD 之中點 CM 8 AM 6. (iii) ABC 中 8+ 6 AC cos 5 AC 8 + 8 AMC 中 cosθ. 解答 () 6 ;() 6 ;() 6 () 所求.

()(i) OAB 又 OAB OB AH AH AH. (ii) AH CH AC 8 8 8 + 8 cos θ 6 故 sinθ. 5. 解答 () 5 ;() () CH AC 5 OC 0 OH OC CH 00 50 5.

7. 解答 90 令 O 為 BD 的中點則 AO BD CO BD 設正方形 ABCD 的邊長為於 ABD A 90 ABD 5 AO ABsin 5 同理 OC 於 ABC AB BC 且 ABC 60 ABC 是正三角形故 AC AOC 中令 AOC

解答 AB 6 AC BC 7 令 AB 中點為 M 則 CMD 60 直角 BCM 中 BM AB 8 CM BC BM 7 8 5 BDM 中 DM BM 8 CMD 中由餘弦定理 CD DM + CM DM CM cos 60 6+ 5 8 5 69

7 . 解答 (i) AB AD 且 A 60 BD. (ii)m 為 BD 之中點 CM 8 AM 6. (iii) ABC 中 8+ 6 AC cos 5 AC AMC 中 cosθ. 解答 () 6 ;() 6 ;() 6 () 所求. 6 () 設 C 到平面 ABD 的距離為 h ABCD 的體積 ABD h h 6 h 6 所求 AC h. 6 () 設 M 為 BD 中點 CM AM + cos 6 θ sinθ 6. 解答 () ;() () 體積. ()(i) OAB 又 OAB OB AH AH AH. (ii) AH CH AC cos θ 6 故 sinθ. 5. 解答 () 5 ;() () CH AC 5 OC 0 OH OC CH () 取 OB 中點 M 連接 AM CM AMC 中 AM CM 5 AC 0 cosθ ( 5 ) + ( 5 ) ( 0 ) 解答 0 7 將正四面體攤開如圖其爬行之最短距離為 ( ) AC cos 解答 90 令 O 為 BD 的中點則 AO BD CO BD 設正方形 ABCD 的邊長為於 ABD A 90 ABD 5 AO ABsin 5 同理 OC 於 ABC AB BC 且 ABC 60 ABC 是正三角形故 AC AOC 中令 AOC θ 由餘弦定理得 + OA + OC AC cosθ 0 OA OC θ 90 則二平面 ABD 與 BCD 的夾角為解答 AB 6 AC BC 7 令 AB 中點為 M 則 CMD 60 直角 BCM 中 BM AB 8 CM BC BM BDM 中 DM BM 8 CMD 中由餘弦定理 CD DM + CM DM CM cos CD. 9. 解答 () ;() 6 () 如圖設 PB 之中點為 M PAB PBC 都是正三角形 AP AB CP CB AM PB CM PB 故 AMC α ( 二面角的定義 ) 令 AP 則 AM CM 又 AC AB + BC + ACM 中由餘弦定理得 + AM + CM AC cosα. AM CM () 設 E F 分別為 BC AD 之中點 PEF 中 PE PF EF + cosβ sinβ cos β

8 5 0. 解答 9 DF AG 解答 50 AF 令 DF 交 AG 於 O OAF 中 OA + OF AF cosθ OA OF sinθ. 9 9 如圖斜坡公路 AC 000 作 CH 水平面於 H 自 C 作稜的垂線垂足為 B 由三垂線定理知 HB AB 直角 ABC 中 CB 000sin 直角 CHB 中 CH CB sin ( 公尺 ).. 解答令正八面體之中心為 O CD 中點為 M 稜長為 PCD 為正 PM OM OM cos θ PM. 解答取 AC 中點 M 各面均為正 BM AC DM AC BMD 為二側面之夾角. BDM 中 BM DM BD BM + DM BD cosθ BM DM ( )

章節

試題空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易易出處康熹自命題解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易易出處康熹自命題解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點