平面幾何作圖中, 有很大一部份是尺規作圖 所謂的 尺規作圖, 即是限制只能使用沒有記號的直尺和圓規, 在紙上有限次作出曲線 為什麼作圖要有這樣的限制? 首先, 從希臘的學術風潮來看, 古希臘人認為, 歐幾裡得幾何的理論是最完美的, 按照它的公理系統推證出來的結論才是最準確可靠的, 直尺上的刻度是不可

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1 平面幾何作圖中, 有很大一部份是尺規作圖 所謂的 尺規作圖, 即是限制只能使用沒有記號的直尺和圓規, 在紙上有限次作出曲線 為什麼作圖要有這樣的限制? 首先, 從希臘的學術風潮來看, 古希臘人認為, 歐幾裡得幾何的理論是最完美的, 按照它的公理系統推證出來的結論才是最準確可靠的, 直尺上的刻度是不可靠的 但是幾何離不開作圖, 為了把不準確不可靠的程度降到最低, 仿照它的公理, 規定了作圖公法, 選取了最少的工具和最簡單的功能, 由此產生了尺規作圖法 尺規作圖 : 在繪製幾何圖形時, 只能使用直尺和圓規來作圖 ( 其中的直尺, 就是沒有刻度 只能畫直線的尺 ), 現在我們先來做以下有關線段及角的基本作圖 範例 等線段作圖 已知 已知一線段, 長度為 a a 求作 用直尺和圓規畫一線段, 使它和 a 等長 作法 () 畫一直線, 在 上任取ㄧ點 () 以 為圓心,a 為半徑畫弧, 交 於 點, 則 即為所求 範例 線段和的尺規作圖 已知 已知兩線段, 長度為 a b 求作 利用直尺 圓規作出長為 a+b 線段 a b 作法 步驟一 : 利用直尺先畫一線段 步驟二 : 設線段的一端為 步驟三 : 以線段 a 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 步驟四 : 以線段 b 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 步驟五 : 即為所求 9

2 範例 線段差的尺規作圖 已知 已知兩線段, 長度為 a b 求作 利用直尺 圓規作出長為 a-b 線段 作法 步驟一 : 利用直尺先劃一線段 a b 步驟二 : 設線段的一端為 步驟三 : 以線段 a 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 步驟四 : 以線段 b 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 步驟五 : 即為所求 G 範例 等角作圖 已知 GO 求作 一角, 使 = GO 作法 步驟一 : 先用直尺劃一線段, 設線段的一端點為 O 步驟二 : 以適當長為半徑, 以 O 點為圓心畫弧, 交 O 於 點, 交 OG 於 點 以相同半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 G O 步驟三 : 以 為半徑, 為圓心畫弧交半圓於 點 步驟四 : 連, 即為所求 0

3 範例 兩角和的尺規作圖 已知 G KIJ 求作 一角, 使 = G+ KIJ K G I J 作法 步驟一 : 畫直線, 設端點為 步驟二 : 以相同半徑, 在直線 G 及 KIJ 上劃三圓弧 K U X G Y I V J 步驟三 : UV 為半徑, 為圓心畫弧, 得交點為 步驟四 : XY 為半徑, 為圓心畫弧, 得交點為 步驟五 : 連, 即為所求

4 範例 兩角差的尺規作圖 已知 G KIJ 求作 一角, 使 = KIJ- G K G I J 作法 步驟一 : 畫直線 步驟二 : 設端點為 步驟三 : 同一半徑, 劃三圓弧 K U X I V J G Y 步驟四 : UV 為半徑, 為圓心畫弧, 得交點為 步驟五 : XY 為半徑, 為圓心畫弧, 得交點為 步驟六 : 連, 即為所求

5 範例一 已知 兩線段長度分別為 a b 求作 一線段其長度為 a-b 作法 () 畫一線段 () 設線段的一端為 a b () 以線段 a 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 (4) 以線段 b 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 (5) 即為所求 練習一 已知 三線段長度分別為 a b c 求作 一線段其長度為 a+b-c 作法 () 畫一線段 範例二 () 設線段的一端為 () 以線段 a 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 (4) 以線段 b 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 (5) 以線段 c 為半徑, 以 點為圓心畫弧交線段 於 點 (6) 即為所求 已知 有一角為 求作 某一角其角度 = 作法 () 畫一直線, 在 上任取相異三點 G 練習二 () 作一角, 使 = () 則 G 即為所求 已知 有兩角分別為 求作 某一角其角度 = - 作法 () 畫一直線, 在 上任取相異兩點 a b c G () 作一角 = () 以 為一邊, 作一角 = (4) 以 為一邊, 作一角 = (5) 則 即為所求

6 在前面我們已經學會了線段與角的基本作圖, 想想看, 假如利用這些技巧, 有辦法直接做出直角三角形 正方形或菱形嗎? 所以我們將再進一步學習如何利用尺規作圖來作垂直及平分的技巧, 在此之前我們先介紹一些基本名詞 直角與垂直 直角 : 當一個角的度數是 90 0 時, 叫做直角 如圖一, =90 0 垂直 : 當兩條直線或線段相互成直角時, 稱這兩條直線或線段互相垂直 如圖二, 與 兩直線互相垂直以 表示 圖一 圖二 線段中點 : 若 是線段 上的一點, 且 =, 稱 點為線段 的中點 中垂線 : 直線 垂直於線段, 且其交點 P 平分綠段, 則直線 叫做線段 的垂直平分線或中垂線 P suur 角平分線 : 直線 把 平分成兩個相等的角, 也就是 =, suur 則我們說直線 是 的角平分線或分角線 有關垂直 平分的尺規作圖 : 在此我們要來做以下 5 個有關垂直與平分的尺規作圖. 過直線上一點作此直線的垂線. 過直線外一點作此直線的垂線. 給任一線段求作此線段中點 ( 中垂線 ) 4. 給任一角度求作此角的平分線 5. 中垂線應用 - 將線段 分成四等分 4

7 範例 過直線上一點作此直線的垂線 已知 直線 和 上一點 求作 畫一直線通過, 且與 垂直 作法 步驟一 : 以適當長為半徑, 為圓心畫圓弧, 交 於 兩點 步驟二 : 以 為半徑, 為圓心畫兩圓弧, 設其交點為 步驟三 : 連, 即為所求 範例 過直線外一點求作過此點與此直線垂直的直線 已知 直線 與 外一點 求作 畫一直線, 經過 點, 且垂直於 作法一 作圖原理 : 將等腰三角形對摺後, 所得到的摺線其實是一條底邊的中垂線 利用此概念, 我們可作出過線上一點的垂直線 中點 90 o 步驟一 : 取直線 外的任意點, 以 點為圓心, 適當長為半徑, 畫弧, 交 於 兩點 5

8 步驟二 : 以 為半徑, 分別以 為圓心, 畫弧, 設兩弧交點為 步驟三 : 連, 即為所求 作法二 作圖原理 : 箏形的對角線相互垂直, 利用這個概念可以完成, 過線外一點垂線的 尺規作圖 對角線 對角線 步驟一 : 在 上取 兩點 ( 大約在 點的兩側 ) 箏形 步驟二 : 以 為半徑 為圓心, 畫弧, 以 為半徑 為圓心, 畫弧, 設兩弧交點為 步驟三 : 連, 即為所求 6

9 範例 給任一線段求作此線段中點 ( 中垂線 ) 已知 線段 求作 的中點 作法 步驟一 : 分別以 與 為圓心, 取大於 的長為半徑畫弧, 設此二弧相交於 兩點 步驟二 : 連接, 則 與 的交點 即為所求的中點 範例 給一任意角度作此角的平分線 已知 某任意角 求作 的角平分線 作法 作圖原理 : 菱形的對角線可把自己等分成兩塊, 因此, 菱形的對角線也是角平分線 所以, 作角平分線也就是在作一個菱形的對角線 對角線 步驟一 : 以適當長為半徑, 點為圓心畫弧交 於 X Y 兩點 X Y 7

10 步驟二 : 以相同的半徑,X Y 為圓心畫兩個圓弧, 設其交點為 Z X Z Y 步驟三 : 連 Z, 即為 的角平分線 X Z Y 範例 中垂線應用- 將某一線段等分 已知 某一線段 求作 將線段 分成四等分 作法 步驟一: 作 的中垂線, 交 於 點 步驟二 : 作 的中垂線, 交 於 點 步驟三 : 作 的中垂線 N, 交 於 點, 則 三點將 四等分 N 結論 將一線段 n 等分, 需作中垂線 n - 次 範例 如右圖, =7 公分, = 公分, 又 為 中點, 則 = 公分 解答 =-7=4 公分 Θ 為 中點 = = 公分 = + =7+=9 公分 8

11 範例一 用尺規作圖在 Δ 中過 點作 上的高 作法 () 以 為圓心, 適當長為半徑畫弧, 交 於 P Q 兩點 () 分別以 P Q 為圓心, 大於 PQ 的長為半徑畫弧, 此兩弧的交點於 R uuur () 作 R 交 於 H 點, 則 H 即為所求 R P H Q 練習一 用尺規作圖將 分成 :7 作法 () 作 之中垂線 交 於 點 () 作 之中垂線 交 於 點 () 作 之中垂線 交 於 點 (4) 則 : =:7 範例二 用尺規作圖作已知三角形兩邊中點的連線 作法 () 作 之中垂線 交 於 點 () 作 之中垂線 交 於 點 () 連接, 則 即為所求 9

12 練習二 用尺規作圖作出三角形各頂點到對邊中點的連線 作法 () 作 之中垂線 交 於 點 () 作 之中垂線 交 於 點 () 作 之中垂線 交 於 點 (4) 連接 (5) 則 即為所 範例三 用尺規作圖作出已知三角形三內角的平分線 作法 () 以 的頂點 為圓心, 適當長為半徑畫弧, 交 的兩邊於 兩點 () 分別以 為圓心, 大於 的長為半徑晝弧, 設此二弧相交於 uuur uuur () 作, 則 即為 之角平分線 uuur uuur (4) 同理可作 H 為 之角平分線, K 為 之角平分線 K H 練習三 用尺規作圖作出一個 45 度的角 作法 () 畫一直線, 於 上取一點 () 以 圓心, 適當長為半徑畫弧, 則此弧交 於 P Q 兩點 () 分別以 P Q 為圓心, 大於 PQ 一半的長為半徑, 在上的同側畫弧, 設此二弧交於 N 點 (4) 連接 N 兩點, 則 NQ=90 uuur (5) 作 NQ 之角平分線 N (6) 則 Q 即為所求 P Q 40

13 範例四 用尺規作圖作出已知三角形三邊的中垂線 作法 () 畫一任意三角形 () 分別以 兩點為圓心大於 為半徑畫弧, 兩弧相交於 P Q suur suur () 連接 PQ, P 則 PQ 即為 之中垂線 suur (4) 同理可作 RS 即為 之中垂線 suur (5) 同理可作 UV 即為 之中垂線 R Q S U V 練習四 小名用圓規畫圓, 不小心鉛筆斷了, 只劃出右邊的圓弧, 請你找出圓心並把圓畫出來 作法 () 於圓弧上任取相異三點 三點 () 連接, 並作 之中垂線 () 交於 O 點, 以 O 點為圓心, O O 為半徑畫圓則此圓即為所求 範例五 如圖,O O, 若直線 OP 平分角 O, 直線 OQ 平分角 O, 則 POQ= 解 設 PO=x 0 QO=y 0 Q 直線 OP 平分角 O 直線 OQ 平分角 O PO=x 0 QO=y 0 即 x+y=90 0 x+y=45 0 則 POQ=45 0 P Q O 練習五 如圖, O 4, O O, =55, 則 =, =, 4= 解 = =5 0 = = =55 0 4= = =5 0 O 4

14 在前面的作圖, 都是有關垂直的作圖部分, 但在幾何學中我們亦常用到平行的觀念及性質, 所以我們接著來介紹如何畫平行線的尺規作圖 平行尺規作圖 : 給定任一直線及線外一點, 作出過此點且與此直線平行的直線 已知 直線 與線外ㄧ點 求作 過 點作ㄧ平行線 與 平行 作法一 步驟一: 過線外一點 隨意畫與 交錯之直線, 交直線 於 點, 所設成的角為 步驟二 : 分別以 為圓心, 相同長度為半徑畫弧, 交點分別為 步驟三 : 以 為圓心, 為半徑畫弧, 交點為 點 步驟四 : 連接 線段即為所求 4

15 suur 作法二 步驟一 : 過 點作 H H suur 步驟二 : 過 點作直線 垂直 H, 則 // H 4

16 古希臘的幾何, 也就是歐幾里德的幾何是由公設所建立, 其中公設五是很重要的, 此公設又稱之為平行公設, 是有關平行的幾何 公設五 若一直線和兩直線相交, 且其中一側的同側內角和小於兩直角, 則將此兩直線延長後, 會交於同側內角和小於二直角的一側 同側內角和小於兩直角 延長後相交 平行線的定義與性質平行線的定義 : 由 公設五 我們給定兩直線將平行的定義 在平面的兩條直線, 若有一直線能同時垂直於這兩條直線, 就說這兩條直線互相平行 且平行的兩條直線永不相交 如下圖, 直線 與 平行, 記作 //, 讀作 平行於 平行觀念 : () 兩平行線之間保持相同的距離, 且無限延伸後沒有交點 () 一線段若垂直於平行線中的一條直線, 必垂直於平行線中的另一條直線 截線 : 在一平面上, 直線 分別與直線 與 相交於不同兩點時, 則 叫做 與 的截線 如下圖, 叫做 與 的截線 截角 : 直線 為 與 的截線, 形成 8 個截角, 如下圖

17 () 同位角相等 : 在 的右上方, 5 在 的右上方, 位置相同都 在右上方, 故稱 與 5 為同位角, 同理, 4 與 8 與 6 與 7 都是同位角 在此我們可知 : = 5; 4= 8; = 6; = 證明 如右圖, 做 線段, 同時垂直於 與 在 與 中, = 皆為直角, 且 = 在 中, + + =80 0 ( 三角形內角和 80 0 ) 在 中, + + 5=80 0 ( 三角形內角和 80 0 ) = 5, 故同位角相等 () 內錯角相等 : 5 與 4 與 6, 都在 與 的內側, 但交錯在 的兩邊, 故稱為內錯角, 在此我們可知 = 5; 4= 6 證明 如右圖, = ( 對頂角相等 ) 又 Θ = 5( 同位角相等 ) = 5, 故內錯角相等 () 同側內角互補 : 5 與 4 都在 與 的內側, 且在 的同一側, 故稱為同側內角 ; 同理, 與 6 也為同側內角 在此我們可知 4+ 5 = 80 0 ; + 6 = 80 0 證明一 + 4=80 0 = 5( 同位角相等 ) 4+ 5= 證明二 如右圖, 做 線段, 同時垂直於 與 四邊形 內角和為 = = =80 0, 故同側內角互補

18 範例 如圖, //, 是 與 的一條截線, =55 0, 求? 解說 // = =55 0 ( 內錯角相等 ) + =80 0 ( 同側內角互補 ) = =5 0 範例 () 如附圖, 直線 4 中, 互相平行的有 () 其中 = 解說 () // 4 ( 同側內角互補 ) () = = 範例 設 與 的兩邊互相平行, 若 =65 0, 求 =? 解說 可能有兩種情形 ( 如右圖 ): () = =65 0 ( 同位角相等 ), = =65 0 ( 同位角相等 ) () = =65 0 ( 內錯角相等 ) 情形一情形二 65 O 65 O = = =5 0 ( 同側內角互補 ) 平行線的判別 : 在前面我們知道, //, 為 與 的截線, 則有同位角相等 內錯角相等 及同側內角互補的性質, 那反過來假設 與的 被一直線所截, 則此三性質是否也可 推得 //? () 兩條直線被一直線所截, 若截出的同位角相等, 則此兩直線平行 如下圖, 若 為 與的 截線, 且 = P x y 證明 過 點作直線 P, 使 P 於 + y= y=80 0 -x - - =90 0 -x = ( 同位角相等 ) x=90 0, 故 // 46

19 () 兩條直線被一直線所截, 若截出的內錯角相等, 則此兩直線平行 如下圖, 若 為 與的 截線, 且 = 證明 x+ = y=80 0 x= y y() 故 // x y () 兩條直線被一直線所截, 若截出的同側內角互補, 則此兩直線平行 如下圖, 若 為 與的 截線, 且 + 4=80 0 x y z 4 證明 y+ =80 0 z+ 4=90 0 x= y+ z ( 外角定理 ) + + ( y+ )+( z+ 4)+ x= ( y+ z) + 4+ x= =80 x=90 0, 故 // 結論 若兩平行線被一直線所截, 則 () 同位角相等 ;() 內錯角相等 ;() 同側內角互補 若兩條直線被一直線所截若 () 同位角相等 ;() 內錯角相等 ;() 同側內角互補, 三者其中一個成立, 則此兩直線平行 若兩條平行線被截線所截時, 形成的八個角, 角度只有兩種, 如圖所示 X O O X X O X O 47

20 平行線性質的應用 : 對於平行線, 除了常用平行線性質 :() 同位角相等 ;() 內錯角相等 ; () 同側內角互補, 我們將介紹幾個相關延伸性質. 若 //, 則 = + 證明 過 點作 平行, // // =, = 4 ( 內錯角相等 ) 故 = + 4= + 4. 若 //, 則 + + =60 0 證明 過 點作 平行, // // + =80 0, + 4=80 0 ( 同側內角互補 ) 故 + + = = 如右圖, 若 //, 則 + = 證明 過 點作 N 平行, // N // = 5, = 故 + = = N 48

21 4. 平行線上的三角形面積 ( 同底等高的概念 ) 當 點在 上移動時 的形狀會隨之改變, 但是 的面積是不變的 ' V H 說明 : 的底永遠是 ( 同底 ) 的高 H 是定值 ( 等高 )( H 即為平行線 V 的距離 ) 那假設 與 V 不平行的話, 如下圖 : 當 點在 上移動時 的形狀會隨之改變, 則 的面積會隨著高度不同 而改變 ' V 說明 : 的底永遠是 ( 同底 ) 的高會隨著 V 之間的距離不同而改變, 所以面積也會跟著改變 面積 ' 面積 5. 利用平行線性質證明三角形內角和 =80 0 如圖, 試證明 + + =80 0 證明 過 點作直線 平行 = ; = ( 內錯角相等 ) 內角和 = + + = + + = 利用平行線性質證明外角定理 如圖, 試證明 = + 證明 過 點作直線 // = ( 內錯角相等 ) = = + = + 49

22 範例 如圖, 若 //, 求 =? =? 解說 =5 0 ( 內錯角相等 ) = = 範例 如圖, 若 //, 求 x=? 解說 0 0 +x+5 0 = x 0 x= 範例 如圖, 若 //, 求 =? 解說 = = 範例 如附圖, 長方形 中, 沿 摺疊, 點落在 ' 點上, 若 =5 0, 則 : () =? () =? () =? 4 0 解說 () 中, =5 0, =90 0 = =65 0 = ' () = =5 0 ' = + =50 0 = =50 0 ( 內錯角相等 ) () = =5 0 ( 內錯角相等 ) = - = =40 0 範例 如附圖, //, 且正五邊形 GHI 的頂點 H 分別在 上, 又 G 的度數是 的 倍, 求 :() G =? () HI =? 0 ( 5 ) 80 解說 () 正五邊形一內角 = = 設 =x 0 G =x 0 I H G x x 0 =80 0,x 0 =8 0 故 G = 8 0 =54 0 () // HG = HG + G 08 0 = HG , HG = 54 0 HI = =8 0 50

23 範例 如附圖, 有一條光線 經過兩個互相垂直的平面鏡反射後, 反射光線為, 那麼 和 是否平行? 為什麼? 解說 = =90 0, 又 =, = 4, 所以 =80 0 ( 同側內角互補 ) 4, 故 // 範例 若 //, 選出面積相同的圖形 甲 乙丙丁 戊 H 解說 甲面積: 甲 = 4 H=H 乙面積 : 乙 =H 丙面積 : 丙 =H 丁面積 : 丁 = 4 H=H 戊面積 : 戊 = (+) H=H 範例 如圖, 已知 //, 若 =40 0 =70 0 =5 0, 則 P= 度 解說 P= + - = = 85 0 P 範例 如圖, 已知 //, 請問 : 等於 度 解說 作 平行 // = a ( 同位角相等 ) // a+ = b ( 同位角相等 ) // b+ = c ( 同位角相等 ) 則 = a = b b c a = c+ 4+ 5=80 0 5

24 範例 如附圖, 已知 //, 若 = 80 0, = 40 0, 則 = 解說 作 與 // = 4 = 80 0 ( 內錯角相等 ) 5=80 0-4= =00 0 = + 5= = 範例一 如圖, 是 與 的截線, 求 : () = 度, 的內錯角是, 其度數是 度 () = 度, 的同位角是, 其度數是 度 = =0 0 的內錯角是 5=95 0 =50 0, 的同位角是 5=95 0 練習一 如圖, 是 與 的截線, 設 =50 0 求 : () 的內錯角是, 其度數是 度 的同側內角是, 其度數是 度 () 5 的同位角是, 其度數是 度 () 4 的鄰角是, 其度數是 度 (4) 6 的對頂角是, 其度數是 度 的內錯角是 6= =0 0 的同側內角是 = 5= 的同位角是 = 的鄰角是 或 =0 0 6 的對頂角是 7= =0 0 範例二 如圖, //, 求 =? 練習二 如圖, 已知 //, 則 + =? = =70 0 = =55 0 5

25 範例三 如圖, //, : = 4:5, 且 = 99 0, 則 =? 練習三 如圖, 已知 //, 若 =( 7x+) 0, = ( x+8 ) 0, 則 + 4=? 45 0 () = =70 0 () 設 =4x 0, =5x 0 = + =4x 0 +5x 0 =99 0 x= =4x 0 = () = =55 0 = =7 0 + = =8 0 () = x + = x x = = 9 0, = 47 0 = 4 = = 範例四 如圖, //, 若 = 00 0, = 50 0, 則 =? + + =60 0 = = =0 0 範例五 如圖, //, 若 = 0 = 0 = 95 0, 則 4 =? + = = = = 練習四 如圖, //, =? = 80 0 =540 0 練習五 如圖, //, 求 的度數 作 // // 4 //, 所以 = 0 0, = = 90 0, 4 = = 90 0, 5 = 40 0, = 4 + 5= =0 0 5

26 範例六 () 如圖, 已知 //, 若 = 80 0, = 40 0, 則 = () 如圖, =, 且 0 = 5 = = 則 = 度 練習六 () 如圖, 已知 //, 四邊形 為正方形, 若 =50 0, 則 =? () 如圖, =5 0, =50 0, 則當 =? 時 // () = + ( 80 0 ) = = 40 0 ()0 = 5 = 0 = 5 = : : =::5 + + =80 0 = = () = 4+ = = = =60 0 = = - = =0 0 () 若 // + 4=80 0 4= + = =65 0 =80 0-4= =5 0 範例七 如圖, //, 為正方形, 求 練習七 如圖, //, 為正方形, 求 x x x =x 0 +x 0 =90 0 x=0 =45 0 = +( ) = =5 0 x =x 0 +x 0 =90 0 x=8 =45 0 = +( ) = =9 0 54

27 範例八 如圖,U//V, 為正五邊形, 求 y 0 4x y U 練習八 如圖,U//V, 為正五邊形, 求 y 0 5x y U 5x ( 5 ) = 80 0 =08 0 =4x 0 +5x 0 5 x= 4x+y+08 0 =80 0 y= =4 0 V 7x ( 5 ) = 80 0 =08 0 =7x 0 +5x 0 5 x=9 5x+y+08 0 =80 0 y= =7 0 V 範例九 如圖, 若 //, 求 練習九 如圖, 若 //, 求 O 78 O 5 O 4 O O 78 O 6 O 5 O 4 O 6 O = = =80 0 = =7 0 = = =66 0 範例十 練習十 如圖, 已知 //, 為截線, P 平分 如圖, 已知 //, 為截線, P 平分, P 平分, 試說明 P 與 P 之間, P 平分, 且 =0 0, 試 的關係 P 問 :() 4 各多少度? () + =? = =0 0 =60 0 = =0 0 = 4= =0 0 4 P 55

28 古希臘三大幾何作圖問題在數學的歷史上有三個問題始終以可驚的力量堅定了兩千多年 初等幾何學到現在至少已有了三千年的歷史, 在這期間努力於初等幾何學之發展的學者們曾經遇到過很多的難題, 而始終絞著學者腦汁的卻就是這三個問題 : 立方倍積, 化圓為方 和 三等分角, 而這三個問題, 也就被合稱為 古希臘三大幾何問題 () 立方倍積問題 : 求作一個正立方體, 使其體積為邊長為 的正立方體的 倍 () 方圓問題 : 求作一個正方形, 使其面積和半徑為 的圓面積相等 () 三等分角問題 : 三等分任意已知角 有關立方倍積問題 : 關於立方倍積的問題有一個神話流傳 : 當年希臘提洛斯 (elos) 島上瘟疫流行, 居民恐懼也向島上的守護神阿波羅 (pollo) 祈禱, 神廟裡的預言修女告訴他們神的指示 : 把神殿前的正立方形祭壇加到二倍, 瘟疫就可以停止 " 由此可見這神是很喜歡數學的 居民得到了這個指示後非常高興, 立刻動工做了一個新祭壇, 使每一稜的長度都是舊祭壇稜長的二倍, 但是瘟疫不但沒停止, 反而更形猖獗, 使他們都又驚奇又懼怕 結果被一個學者指出了錯誤 : 稜二倍起來體積就成了八倍, 神所要的是二倍而不是八倍 大家都覺得這個說法很對, 於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個祭壇, 可是瘟疫仍不見消滅 人們困擾地再去問神, 這次神回答說 : 你們所做的祭壇體積確是原來的二倍, 但形狀卻並不是正方體了, 我所希望的是體積二倍, 而形狀仍是正方體 居民們恍然大悟, 就去找當時大學者柏拉圖請教 由柏拉圖和他的弟子們熱心研究, 但不曾得到解決, 並且耗費了後代許多數學家們的腦汁 而由於這一個傳說, 立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題 X X 體積 = 體積 = X 而此問題即是解 =X 的代數問題 那請問 X= / 的長度是否可以用圓規直尺所畫出呢? 說明 : 設原立方體的邊長為, 要作出的立方體邊長為 x, 則 x 要滿足, 這個方 程式沒有有理根, 當然就沒有尺規作圖的 x 了 56

29 有關化圓為方問題 : 方圓的問題與提洛斯問題是同時代的, 由希臘人開始研究 有名的阿基米得把這問題 化成下述的形式 : 已知一圓的半徑是 r, 圓周就是 πr, 面積是 πr 由此若能作一個直 角三角形, 其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長 πr 及半徑 r, 則這三角形的面積就是 (πr) r=πr 與已知圓的面積相等 由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來 但是如何作這直角三角形的邊 πr 長度 即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長, 這 問題阿基米德可就解不出了 r r πr πr 有關三等分角問題 : 西元前五 六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法, 二等分一個已知角既是這麼容易, 很自然地會把問題略變一下 : 三等分怎麼樣呢? 這樣, 這一個問題就這麼非常自然地出現了 對於特別角 等角可以三等分, 但是任意的角並不可以三等分, 接著我們來看看如何將 90 0 角三等分 範例 將 90 0 角三等分 已知 某一角 =90 0 求作 兩直線將 三等分 作法 步驟一 : 以 為圓心, 適當長為半徑化弧, 交角的兩邊於 兩點 步驟二 : 分別以 為圓心, 為半徑化弧, 交 於 兩點 57

30 步驟三 : 連接, 則 將 三等分 注 :87 年法國數學家凡齊爾 (84-848) 首次運用了代數的方法嚴格證明了這個問題是尺規作圖不可能的, 至此這個才算獲得解決 但由於對他的研究, 使人們發現了一些特殊的曲線, 如圓錐曲線 蚌線 蔓葉線等, 促進了圓錐曲線理論的建立和發展 人們還發現, 只要不受尺規作圖工具的約束, 倍立方體的問題是可以解決的 58