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钞胡
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1 - 平面向量的基本運算第三章平面向量第三章平面向量 0 甲向量的表示法乁重點整理乁一幾何表示法有向線段 : 如圖帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以表示 A 稱為始點,B 稱為終點為有向線段, 的長度以表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小向量 :A 為始點,B 為終點, = AB 為向量之長度 ( 大小 ) 當向量之始點與終點相同時稱為零向量如 = = 當向量長度為時, 稱為單位向量, 如 =, 稱為單位向量向量的相等 : 向量有二構成要件 : 大小與方向當兩向量大小相等方向也相同, 則稱兩向量相等如圖 : 若 AB = CD 且 AB // CD 則與相等以 = 表示二坐標表示法向量的坐標表示法 : 若 P(a, b) 為平面上一點,O 為原點, = = (a, b), 其中 a 稱為的 x 分量,b 稱為之 y 分量,(a, b) 稱為的坐標表示法, 稱為 P 點的位置向量設 A(x, y ), B(x, y ), 則 = (x x, y y )( 終點坐標減始點坐標 ) 向量的相等 : 設 = (a, a ), = (b, b ), 則 = a = b 且 a = b 向量的長度 : 設 = = (a, b), 的長度 = = = 向量的方向角 : x) + (y y) ( x = AB a + b,a(x, y ), B(x, y ), 設 = = (a, b),x 軸正向與所夾之有向角 θ(0 θ <60 ), 稱為的方向角, 若 = = (a, b), 的方向角為 θ, 則 a = ( cosθ, sinθ) = (a, b) cosθ =,sinθ = b

2 0 鳳中數學講義例設在圓 O 的內接正六邊形中, 若 =, =, =, 則右圖七點所決定之向量中何者與,, 相等? 答 : = = = =, = = = =, = = = = 類題 : 設正五邊形 ABCDE, 則以 A, B, C, D, E 為端點所決定之向量 ( 不含幾個? ) 共有答 : 0 個例. 設 A(, ), B(4, x), C(, ), D(, 5), 若 =, 則 x 之值為答 : 或類題 : 設 A(, ), B(, a), 若 = 5, 則 a = 答 : 7 或例. 已知 A(, ) 且的長度為 8,方向角為 0,試求 B 坐標答 : (,4 + )

3 乙向量的加減法與係數積第三章平面向量 0 乁重點整理乁向量的加法 : 幾何意義 : 三角形加法 : 設, 為兩個已知的向量, 若 =, =, 則 = + 註 : + = 平行四邊形加法 : 設, 為兩個已知的向量, 若 =, = 以 AB, AD 為兩邊作平行四邊形 ABCD, 則 = + 註 : + = =, 與長度相同, 方向相反, 稱為之加法反元素 ( 反向量 ) 記為 =, \// 可得三角不等式 + + 坐標表示 : 設 = (a, a ), = (b, b ), 則 + = (a + b, a + b ). 向量的減法 : 幾何意義 : 設, 為兩個已知的向量, 則規定 = + ( )= ( ) + 坐標表示 : 設 = (a, a ), = (b, b ), 則 = (a b, a b ). 向量加法的基本性質 : 交換性 : + = + 結合性 :( + ) + = + ( + ) 單位元素 : + = + = 可逆性 : + ( ) =( ) + = 向量的分解 : = + = + +, 其中 P, Q 為任意相異二點 = : 終點 - 始點, 其中 P 為任意點向量的係數積 : 幾何意義 : 設是一個向量,r R, 則係數積 r 仍為一個向量, 且 r = r 若 r > 0, 則 r 與同向若 r < 0, 則 r 與反向坐標表示 : 設 a = ( a, a ), r 為實數,則 r a = (r a, r a ) 向量平行的條件 : 設 = ( a, a), = ( b, b), 當 // 時, 與為同向或反向, 即 // r R, 使得 = r ( a, a) = ( rb, rb) ab = ab 向量係數積的性質 : r R,r( + ) = r + r r, s R,(r + s) = r + s r, s R,(rs) = r(s ) = s(r )

4 04 鳳中數學講義例邊長為之正六邊形 ABCDE 中設 =, =, =, 則以和表與 + + =, + = 答 : =, =,0 類題 : 設 A, B, C, D 為平面上相異四點, 若 + = +, 則 = 如右圖所示,ABCD-EFGH 為一平行六面體, =, =, =, 試以,, 表示下列各向量 : = = = 答 : 例在 ΔABC 中, 令 =, =, 試圖示下列各向量 : + ( + ) A C B

5 第三章平面向量 05 例. 下圖為二組兩兩平行的直線組合, 且相鄰兩線等距離試以和表下列各向量 : = = = 答 : 例 4. 如右圖,已知 AB = AD, AE = AC,若 DE = xab + y AC,試求數對(x, y) 答 : ( x, y) =,. 例 5. 如圖, OA =, AB =, BC = 4, 0 θ =, 求 C 的坐標答 : + +,

6 06 鳳中數學講義例 6. 已知 = (, 4), = (5, ), 則 ΔABC 的周長 = 設 A(, 4), B(, ), C(, ), D(x, y), 若四邊形 ABCD 為平行四邊形, 則 = 答 : 類題 : ΔABC 中, = (4, ), = ( 5, 5), 則之坐標表示為設 = (, ), = (5, ), = (, ), 則 + = 設 A(, ), B(, 0), C( 4, ), D(, ) 為坐標平面上的四點 O 為原點若 = +, 試求 P 的坐標為若 =, 試求 Q 的坐標為坐標平面上有一質點沿方向 u = (, ) 前進現欲在此平面上置一直線 L, 使得此質點碰到 L 時依光學原理 ( 入射角等於反射角 ) 反射, 之後沿方向 v =(, ) 前進, 則直線 L 的方向向量應為 w = (, ) 97. 學測答 : (, 4) 0 (, 4) (7, 0) 例 7. 設 A(, ), B(, 7), C(, 4), 若 + =, 則 P 點之坐標為答 :(, ) 類題 : 設 P(, ), Q(, ), R(, ), =, 若 A(, ) 且 =, 則 B = 設 = (, ), = (, ), = (, ), 若 = x + y, 則數對 (x, y) = 答 : (, 4) (, 5)

7 第三章平面向量 07 例 8. 設 = (, ), = (, 6), 若 t + 有最小值 m, 則 t =,m = 答 :t = 4,m = 類題 : 設 = (, ), = (, 4),t R, 則 t + 的最小值為, 此時之 t = 答 : 5, 例 9. 設 = (, ), = (, 4), 若 (t + ) // ( ), 求 t = 答 : 類題 : 設 = (, 4), = (, ), 若 + t 與平行, 則實數 t = 答 : 例 0. 設 A(, ), B(, ), C(4, 6) 求方向上之單位向量為若 // 且 = 0, 求 D 點的坐標為 4 答 : (, ) (0, 4) 或, ) 5 5 類題 : 設 = (, 4), 試求一向量使得與反方向, 且 =, 則 = 6 8 答 : (, ) 5 5

08 鳳中數學講義綜合練習. 如右圖所示,O 為正方形 ABCD 對角線的交點, 且 E, F, G, H 分別為線段 OA, OB, OC, OD 的中點, 試問下列何者為真? () = OH () =- OG () + = 0 (4) + = (5) - =. 長方體如右, 設 =, =, =, 試以,, 表示,,,.A, B, C, D 是空間中的點, 求 + + + 4.

8 08 鳳中數學講義綜合練習. 如右圖所示,O 為正方形 ABCD 對角線的交點, 且 E, F, G, H 分別為線段 OA, OB, OC, OD 的中點, 試問下列何者為真? () = OH () =- OG () + = 0 (4) + = (5) - =. 長方體如右, 設 =, =, =, 試以,, 表示,,,.A, B, C, D 是空間中的點, 求設 ABCD 為一平行四邊形, 則下列何者為真? (A) + = (B) + = (C) + = (D) + = (E) + = (F) + = (G) = (H) = 5. 設 A, B 為相異兩點,r R, = r, 則下列各敘述何者為何? (A) 當 r = 時, 與方向相同 (B) 當 r = 時,x 在 AB 上 (C) 當 r = 時, 與方向相反 (D) 當 0 < r < 時 < (E) 當 r < 時 < 6. 設 ΔABC 三邊 AB, BC CA 的中點分別為 D(, ), E(, 4), F(5, ), 求三頂點 A, B, C 的坐標 7. 已知 A(, ), B(0, ), C(, ), 設 = +, 求 D 點坐標 8. 已知 = (, 4), = ( 5, ), 求 ΔABC 的周長 = 9. 求一向量使 = 且與 = (, 4) 反方向 0. 設 = (, ), = ( 4, ), = (, ), 求向量, 使 = +. 求向量與, 使 + = (, ), + = (, ). 設 = (, ), = (, ), = + t,t R () 若為最小時,t = 若平分 AOB 時,t =. 如右圖,下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO, QO 之和等於零向量? () AO () BO ()CO (4) DO (5) EO. 9 學測答案 ()()(5) = +, = + +, =, = (A)(B)(C)(D)(E)(G)(H) 5.(A)(B)(C)(D) 6.A(, ),B( 9, 5),C(7, ) 7.(0, 4) (, ) 0. = (, ). = ( 5, 8), = (7, ) 5 5..() 5

9 丙分點公式第三章平面向量 09. 分點公式 : 乁重點整理乁內分點公式 : 設 A 和 B 為平面上的兩定點,P 為線段 AB 上的一點, 且 AP : BP = m:n,o 為平面上任一點, 則 n m = + m + n m + n 外分點公式 : 設 A 和 B 為平面上的兩定點,P 為線段 AB 的外分點, 且 AP : BP = m:n,o 為平面上任一點, 則 n m = + m n m n. 分點公式之坐標表示 : 內分點公式 : 設 A(x, y ), B(x, y ),P 為 AB 上一點且 AP : PB= m:n, 則 nx + mx ny + my P(, ) m + n m + n 外分點公式 : 設 A(x, y ), B(x, y ),P 在直線 AB 上 ( 但 P AB), 且 AP : PB= m:n, 則 nx + mx ny + my P(, ) m n m n. 重心公式 : x + x + x y + y + y 設 A(x, y ), B(x, y ), C(x, y ), 則 ΔABC 之重心 G 坐標為 (, ) 4. 三點共線的條件 : A, B, C 三點共線 r R 使得 = r A, B, C 三點共線 α, β R 且 α + β = 使得 = α + β 5. 孟氏定理 : 若一直線交 ΔABC 之三邊 AB, BC, CA 或其延長線於 D, E, F, AD BE CF 則 = DB EC FA 6. 面積比公式 : 設 P 為 ΔABC 內部一點, 若, m, n > 0 使 + m + n = 成立, 則 ΔPBC:ΔPCA:ΔPAB = :m:n

10 0 鳳中數學講義例設 A 和 B 為平面上的兩定點,P 為直線 AB 上的一點且 AP: BP = m:n,o 為平面上任一點若 P 在 AB 上, 即 P 為 AB 的內分點, 試證 = 若 P 不在 AB 上, 即 P 為 AB 的外分點, 試證 = = 答 : 略例. 設 A(6, 7), B(, ), 若點 P 在直線 AB 上, 且 PA : PB= :, 試求 P 點坐標為答 :(, 0) 或 ( 9, ) 類題 : 設 A(, 0), B(8, ), 設 P 在直線 AB 上, 且 AP : BP = :5, 則 P 的坐標為設 A(0, 0), B(7, ), C(, 0), 求 ΔABC 之重心坐標 7 答 : (, 7) 或 ( 7, ) (6, 4) 4

11 第三章平面向量例. 若 A(0, ), B(6, 0), C(, ), A 之內角平分線交 BC 於 D, A 之外角平分線交 BC 於 E, 求 D,E 之坐標答 :D(4, ),E(0, 4) 類題 : Δ ABC 中, 若 A(, -), B(8, 7), C(-4, ), A 之內角平分線交 BC 於 D, A 之外角平分線交 BC 於 E, 求 D,E 之坐標答 : D ( 4, 4), E ( 8, -8) 5 例 4. ΔABC 中, 點 D 在 AB 上, 且 AD : DB= :, 若點 P 在 CD 上, 且 CP : PD = 4:, 令 = x + y, 則 x =,y = 如右圖所示,ABCD 為平行四邊形,E 為 BC 之中點, 且 AE 與 BD 交於 P 點, 設 =, =, 若 = x + y, 則 x =,y = 8 答 : x =,y = x =,y = 5 5

12 鳳中數學講義例 5. A,B,P 三點共線 α, β R, 且 α +β=, 使得 = α +β 成立, 試證明之類題 : 如圖,D 在 ΔABC 之 BC 邊上, 且 CD = BD,G 為 AC 之中點, 若 = r + s, 其中 r, s R, 則 r + s = O, A, B 三點不共線, 若 P 在直線 AB 上, 且 5 = (t + ) + (t 6), 則 t = 答 : 例 6. 在 ΔABC 中,E 在 AC 上且 AE : EC = 4:,F 在 AB 上且 AF : FB= :, BE 與 CF 交於 P 點, 若 = x + y, 則數對 (x, y) = 又若交 BC 於 Q 且 = 8 8 r + s, 則數對 (r, s) = 答 :(x, y) = (, ),(r, s) = (, ) 7 7 類題 : ΔABC 中,D 為 AB 中點,E 在 AC 上, 且 AC = AE, BE 與 CD 交於 P, 若 = x + y, 則數對 (x, y) = 如右圖 :A, B, C 三點不共線, 若 = +, 又 AP 交 BC 於 D 點, 若 = x + y, 則數對 (x, y) = 答 : (, ) (, )

13 第三章平面向量例 7.. 平行四邊形 ABCD 中,E 在 CD 上, 且 DE = DC,F 在 AB 中點, 設 BE 與 CF 交於 P 點, 若 = x + y, 則 x =,y = 5 答 :x =,y = 7 7 類題 : ABCD 為平行四邊形 E 在 CD 上且 DE : EC = :,F 在 AD 上且 AF : DF = :,P 為 AE 與 BF 之交點, 求若 = x + y, 則數對 (x, y) = AP : PE = 6 答 : (, ) 6: 9 9 例 8. 設 ΔABC 中,G 為重心, 則 = = O 為任一點 = + + 答 :,,,

14 4 鳳中數學講義例 9. ΔABC 中,D, E, F 分別在 BC, CA, AB 之邊上, 且 AF:FB= :,AE:EC = :, BD : CD = :5, 且 G 為 ΔDEF 之重心, 若 = α + β, 求數對 (α, β) = 7 5 答 : (, ) 8 8 類題 : ΔABC 中,E, E, F 各在 AB, BC, CA 上, 且 AD = DB, BE = CE, CF = FA,G 為 ΔDEF 的重心, 若 = x + y, 則 x =,y = 設 G 為 ΔABC 之重心,M 為 AG 之中點, 若 = x + y, 則數對 (x, y) = 7 答 :, 6 8 (, ) 4 4 例 0. 設 I 為 ABC 的內心,已知 AB = 4, BC = 5, CA = 6,且 A 的內角平分線交 BC 於 D 點, () 若 AD= xab+ yac,則數對 (x, y) = () 若 AI = r AB + s AC,則數對 (r, s) = () 若 O 為任意點,且 OI = loa + mob + noc,則 l =,m =,n = 答 :() (, ) 5 5 (), () l =, m =, n = 4 5 5

15 例. 設 P 為 ABC 內部的一點,且 AP = 4PB 第三章平面向量 5 + 5PC,求 PAB 面積 : PBC 面積 : PAC 面積 =? 答 :5:: 4 例. P 在 ΔABC 內部, 若 ΔACP:ΔBCP:ΔABP = ::4, 且 = x + y + z, 4 O P, 試求 x =,y =,z = 答 :(,, ) 類題 : P 為 ΔABC 所在平面上任一點, 若 + =, AB 交 CP 于點 E, 求 : AE : EB PE : EC aδpca:aδpab:aδpbc 答 : : : :: 例. 如右圖所示, 兩射線與交於 O 點, 試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內? (A) + (B) 4 + (C) 4 (D) (E) 學測答 :(A)(B) 類題 : 設 ΔABC 為平面上的一個三角形, P 為平面上一點且 AP = AB + t AC, 其中 t 為一實數試問下列哪一選項為 t 的最大範圍, 使得 P 落在 ΔABC 的內部? (A) 0 < t < (B) 0 < t < (C) 0 < t < (D) 4 答 :(D) 0 < t < (E) 0 < t < 4 9 學測

16 6 鳳中數學講義綜合練習. 設 A, B 兩點的坐標分別為 A(, ), B(5, 4) 若 P 點在直線 AB 上, 且 AP : BP = :5, 求 P 點的坐標.O, A, B 三點不共線,P 點在直線 AB 上, 但不在線段 AB 上, 且 AP:BP = 5:, 設 = x + y, 求 x, y.δabc 中,D 點在 AB 上, AD:DB= :,E 點在 CA 上,CE :EA = 5:4, BE 與 CD 交於 P, 設 = x + y, 求 x, y 求 CP : PD 4. 設 AD, BE, CF 為 ΔABC 的三中線, 試證 : + + = 5. 設 ΔABC 的重心為 G, 若 = x + y, 求數對 (x, y) = AF AE BD 6. 如右圖, =, =, = 且 G 為 ΔDEF 之重心, FB EC DC 5 = α + β, 求 (α, β) = 7. 設 O, A, B 三點不共線, 若 =, = 4, 設 AD 與 BC 相交於 E, 且交 CD 於 F, 且 = r + s, 則 (r, s) = 8. 如圖平行四邊形 ABCD 中, 點 E, F 分別在 AB 與 AD 邊上, 且 AE: EB = :,AF:FD = :, 若 DE 與 CF 交於 P 點, 且 = x + y, 則數對 (x, y) = 9.ΔOAB 之重心為 G, 過 G 之直線與邊 OA, OB 分別交於 P, Q 兩點, 若 = h, =k, 則 + = h k 0. ABC,, 不共線三個相異點, αab + βac 的終點 P 所成圖形如何? () 0 α, β R () α R, β = () α, β (4) 0 α 4, β = (5) α + β = (6)α + β = 6 (7)α β =. 設 ABC 為坐標平面上一三角形, P 為平面上一點,且 AP = 5 AB + 5 AC ABP,則面積 ABC面積等於 () () () (4) (5) 學測. 在坐標平面上的 ABC 中, P 為 BC 邊之中點, Q 在 AC 邊上,且 AQ = QC,已知 PA = (4, ), PQ = (, 5),則 BC = 96 學測答案.(0, 7 ),( 0 5 0, ).x =,y =. x =,y = 7 7 5: 4. 略 (, ) 6. (, ) 7. (, ) 8. (, ) () 二平行線圍成區域 () 直線 () 平行四邊形區域 (4) 線段 (5) 直線 (6) 直線 (7) 直線.(). (,)

17 丁直線的參數式第三章平面向量 7 平行向量之直線的參數式設 P(x 0, y 0 )) 為一定點, = (a, b), 則過定點 P 恰有平行於, 則參數式為 x = x0 + at L:,t R y = y0 + bt 過兩點之直線的參數式設 P (x, y ), P (x, y ) 為二定點, 則過 P, P 之直線 L 的參數式為 x = x + (x x)t L:,t R y = y + (y y)t 註 : 參數式的寫法非唯一乁重點整理乁註 : 當 t = 0 表點 P 當 t = 表點 P 當 0 t 表 P P 當 t 0 表當 t 表當 t R 表 P P 例直線 L 過點 A(, ) 且平行向量, 其中點 B(6, 0), 點 C(, 9), 則 L 之參數式為消去中之參數式, 求直線方程式為答 : L: x = t,t R x + y = y = + 9t 類題 : 設 A(, 8), B(4, 9), 則直線 AB 的方程式 ( 以參數式表示 ) 為過 P(, 4), Q(6, ) 二點之直線參數式可為 (A) x = + t,t R (B) x = t,t R (C) x = + t,t R y = 4 t y = + t y = 4 t (D) x = t,t R (E) x = t,t R y = t y = t 答 : x = + t,t R (A)(D)(E) y = 8 + t

18 8 鳳中數學講義例設 A(, ), B(, ), 求線段 AB 射線 BA 射線 AB 直線 AB 的參數式答 : 略類題 : 設 L: x = t,t R, 則 y = 6 t L 的斜率為若 t, 則其所表示的線段長為答 : 5 5 例 () 二直線 L : x = + t,t R;L : x = + t,t R, 求 L 與 L 之交點坐標 y = t y = 5 t x = t (() 已知點 A(, ),若在一直線 L: {, t 為實數,上取一點 P,則當點 P 的坐 y = t 標為時,點 A 到點 P 有最短距離答 :()(, ) (),, x = t x = + t 類題 : L :,t R;L :,t R, 則 L 與 L 之交點坐標為 y = 6 t y = t 試求 A(7, 4) 關於直線 L:x + y = 0 之投影點坐標與對稱點坐標答 : (, ) (5, ),(, ) 5 5

19 綜合練習第三章平面向量 9. 設直線 L 有一方向向量為 (, ), 且過點 (, 4), 求 L 的方程式 x= + at. 若直線 L: x+ y+ = 0的參數式為, t R, 求數對 (a,b) y = b t x = t. 設 L :,t R,L :x + y 7 = 0, 求 L 與 L 的交點坐標 y = + 5t 4. t R, 坐標平面上, 所有坐標為 (4 t, + 5t) 的點所成的圖形, 其方程式為何? x = t 5. 求線段, t 的長度 y = + 4t x = t 6. 設 L :, 求 L 的斜率 y = + 4t 7.A(,5),B(,47), 則 AB 上共有多少個格子點 ( 坐標均為整數的點 )? 8. 設 A(, ), B(, ) 動點 P(x, y) 在線段 AB 上, 求 x + y 的最大值與最小值 9. 設 A (, 8) 小值為,B(5,6),L:x-y+=0,P 在直線 L 上, 當 PA + PB 為最小時,P 點坐標為, 最 0. 小明玩戰爭網路遊戲, 在螢幕上有一坐標平面, 飛機 P 以等速直線前進, 在坐標 (,4) 的位置被發現, 經過秒後到達坐標 ( 0,4), 再經秒後, 小明從原點選一方向發射一飛彈 R, 假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同, 而且 R 剛好擊中 P 試求 R 擊中 P 時的坐標 ( ab, ) 為 94 指乙. 坐標平面上有四個點 O(0, 0), A(, 5 ), B(6, 0), C(x, y),今有一質點在 O 點沿 AO 方向前進 AO 距離後停在 P,再沿 BP 方向前進 BP 距離後停在 Q,假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 CQ 距離後回到原點 O,則 (x, y) = 98 學測答案.x + y = 0. (, ).(, 4) 4.5x + y = 最大值 =, 最小值 = 9.(,), 0 0.(, 4).( 4,0) 4

20 0 鳳中數學講義 - 平面向量的內積甲向量的內積向量的夾角 : 設且, 若將向量平移使其始點重合則它們的夾角 θ 就稱為向量與的夾角規定 0 θ 80 與同向其夾角 θ = 0 乁重點整理乁與反向其夾角 θ =80 內積的意義 : 設, 為兩個非零向量, 其夾角為 θ, 則規定與之內積為 = cosθ, 記為, 讀作 dot 規定 = = 0 cosθ R 注意為一實數, 不再是向量 cosθ = = 0 內積的坐標表示法 : 設 = (a, a ), = (b, b ), 則與的內積為 = cosθ = a b + a b, 其中 θ 為與的夾角設,,θ 為與的夾角 cosθ = 4. 內積的運算性質 : 交換律 : = 結合律 : ( + ) = + = 0 且 = 0 = (α ) = (α ) = α( ) (α R) 5. 外心與垂心 : 設 ΔABC 的外心與垂心分別為 O 與 H b + c a AB AC = AO AB = AB, AO AC = AC b + c a AH AB = AH AC = AB AC = = a a b + a + a b b + b

21 第三章平面向量例 ΔABC 中, 若 BC = a, AC = b, AB= c, 試以 a, b, c 表示 = 答 : (b + c a ) 類題 : ΔABC 為正三角形, 邊長為 4, 則 =, = ΔABC 為正三角形, 邊長為,D 為 BC 上一點, BD = BC, 則 = ΔABC 中, 若 AB=, BC =, AC = 4, 則 + + = 答 : 8, 例設 a = 4, b =,且 a 與 b 的夾角為 0,求 () a b = () ( a+ b) ( a b) = () a b = 答 :() 6 ()7 () 6 7

22 鳳中數學講義例 ΔABC 中,AB= 6,AC = 4, A = 60,D 在 BC 上且 BD = BC, 則 AD = 4 答 : 類題 : 設 =, =, 且與之夾角為 0, 若 =, = +, 則 = 設, 均為非零向量, 且 = = +, 則, 之夾角為 =, =, + = 4, 若, 之夾角為 θ, 則 sinθ = 5 答 : 例若 =, = 5, = 7, 且 + + =, 則 = 與之夾角為 = 答 : 60 9 類題 : 若 =, =, = 5, 且 + + = 0, 則 + + = = 若 + + = 且 = = =, 求 ΔABC 之周長答 : 9 7 6

23 第三章平面向量例設兩向量,, = 0, + 與 5 垂直, 求與之夾角為答 : 60 類題 : 若, 為平面上兩向量,, =, =, 若 + (t + ) 與 + t 互相垂直, 求實數 t = Δ ABC 中, AB = 5, AC = 7, BC = 8, 若 BC 上的高為 AD 且 AD= xab+ yac, 求 x =? y =? 答 : t = x=, y = 例 6. 設 = (5, ), = (7, 7), 則 = 與之夾角為 θ, 則 θ = 答 : 69 θ = 45 類題 : 設 A(4, 0), B(0, 4), C(0, ), 點 P 在直線 AB 上, 則當 P 之坐標為時, 有最小值 = 若 = (, ), = (, ), 且 + 與之夾角為 θ, 則 θ = 設 ΔABC 的三頂點為 A(, ), B(, 4), C(6, ), 求內角 A 的角度 = 7 答 : (, ), 90 5

24 4 鳳中數學講義例 7. = (, ), = (, 4), 若 ( + t ), 則實數 t = 答 : 5 例 8. 設 = (, ), = (, ), 若, //, + =, 則 =, = 答 :(4, 7),(, 6) 類題 : A(, ), B(, ), C(a, a ) 若 //, 則 a = 若, 則 a = 5 答 : 8 0 或 4 例 9. 設 Δ ABC 中,O 為外心, 且 AB = 6, CA = 4, BC = 7, 若 AO= xab+ yac, 則 x =, y = 答 : x= 4, y = 9 6

25 第三章平面向量 5 類題 : ABC 中, AB =, AC =, A = 60 且 O 為外心,求 () AB AC =? () 若 AO= xab+ yac,則數對 ( x, y ) =? () 直線 AO 交 BC 於一點 P,若 AP = r AB + sac,則數對 ( r, s ) =? 答 :() () 4, 6 9 (), 8 例 0. 設 H 為 ABC 的垂心,且 AB = 5, BC = 6, CA = 4,則 () AB AC =? () 若 AH = xab + y AC,則 x=? y =? 答 :() 5 () x=, y = 5 7 類題 : 設 Δ ABC 中, H 為垂心, 且 AB = 6, CA = 4, BC = 7, 若 AH = xab + y AC, 則 x =, y = 答 : x=, y = 9

26 6 鳳中數學講義乙內積的應用柯西不等式 : 設, 為任意二向量, 則且等號成立時 // 設 = (a, a ), = (b, b ), 則 (a + a ) (b + b ) (a b + a b ), 等號成立時 a a =, 其中 bb 0 b b 正射影 : 單位向量 : 設, 則位向量表示與同方向的向量, 且其長度 =, 因此稱為方向上的單設 =, =, 自 A 點到直線 OB 的垂足為 C, 則稱為在上的正射影 ( 在上的正射影 ) 乁重點整理乁在上的正射影就是在上的分量乘以方向上的單位向量, 即在上的正射影為 ( ) 例. 設 x, y R 且 x + y = 4, 則 x + y 之最小值為 = (x, ), = (, y),x, y R, 若 x + y = 5, 則之最小值為, 此時 = 答 : 8 最小值 = 5, = (, ) 例. 若 x + 4y + 5 = 0, 則 (x + ) + (y ) 之最小值為答 :4

27 第三章平面向量 7 類題 : 設 = (, ), = 5, 當有最小值時, = 4 9 設 x, y 為正數且 x + y = 6, 則 + 之最小值為, 此時數對 x y (x, y) = 設 = (, 4), = (, m), 若 + 4m = 7, 則當 = 時, 有最小值 = 答 : (, ) , (, ) (, ), 最小值 = 例. A(, ), B(, 5), C(4, 6), 則在上之正射影為 B 在 AC 上之投影點為,B 到 AC 的距離為 5 9 答 : (, ) (, ), 類題 : 設三點 P(8, 9), Q(, 4), R(, 8), 則在方向上的正射影為, 由此可求出 P 點在直線 QR 的正射影點 ( 投影點 ) 為設 A(a, ), B(, a + ), C(, ), D(, ), 若在上的正射影為 (, b), 試求 a, b 之值? 設 = (, 4), = (, ), 試求 : 在方向上的正射影在方向上的正射影答 : (6, 8),(4, ) a =,b = 0 4 (, ) (, ) 5 5

28 8 鳳中數學講義綜合練習. =, =, + =, 求與的夾角. = 4, =,, 的夾角為 60, 求 + t 的最小值. 設 =, =, = 4, 且 + + =, 求坐標平面上三點 A(, 5), B(, ), C(4, ) 求設 θ = BAC, 求 cosθ 5. = (, 7), = ( 4, 5), 求 ( + ) ( ) 6. 已知 = (4, ), = (, x) 若與 + 平行, 求 x 之值若與 + 垂直, 求 x 之值 7. 設 = (, ), = (, 4), 若 ( + t ), 求 t 之值 8. = (, ), = (, ),t R, 求 + t 的最小值 9. 平行四邊形 ABCD 中, = (, ), = (5, ), 設 θ 是兩對角線的夾角, 求 cosθ 的值 0. 設 x, y R, 且 x + y = 4, 求 x y 的最大值與最小值 ( 提示 : 可用柯西不等式 ). 設 A, B 兩點的坐標分別為 A(, 4), B(, ), P(x, y) 在線段 AB 上, 求 x + 5y 的最大值與最小值. 設 A(, ), B(, 5), C(, ) 三點, 則在上之正射影長 = 點 B 在直線 AC 上之正射影點坐標為. 設 O 為坐標平面上的原點, P 點座標為 (, ) ; 若 A B 分別是正 x - 軸及正 y - 軸上的點, 使得 PA PB, 則 ΔOAB 面積的最大可能值為 ( 化成最簡分數 ) 94 學測 4. 坐標平面上有相異兩點 P,Q, 其中 P 點座標為 (s,t) 已知線段 PQ 的中垂線 L 的方程式為 x-4y=0, 則下列何者正確? (A) 向量 6s 8t PQ 與向量 (,-4) 平行 (B) PQ = 5 (C)Q 的座標為 (t,s) (D) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必通過點 (-s,-t) (E) 以 O 表示原點, 則向量 OP + OQ 與向量 PQ 的內積必為 0 96 學測 5. 坐標平面中, 向量 w 與向量 v = (, 5) 互相垂直且等長請問下列哪些選項是正確的? (A) 向量 w 必為 ( 5, ) 或 ( 5,) (B) 向量 v+ w與 v w等長 (C) 向量 v+ w 與 w 的夾角可能為 5 (D) 若向量 u = av+ bw, 其中 a,b 為實數, 則向量 u 的長度為 a + b (E) 若向量 (, 0) = cv + dw, 其中 c,d 為實數, 則 c>0 00 學測答案或 ± 0. 最大值 =, 最小值 = 65. 最大值 =, 最小值 = 6.()( 7 9, 7 ) (, ) ABDE 5.ABE

29 丙直線直線的法向量與直線 L 垂直的向量稱為直線 L 的法向量, 故法向量不唯一設直線 L:ax + by + c = 0, 則兩直線的夾角 : 向量的觀點 : = (a, b) 為 L 的法向量設兩直線 L :a x + b y + c = 0 = (a, b ) L :a x + b y + c = 0 = (a, b ) 若與的夾角 = φ, 則直線 L 與 L 的夾角 θ = φ 或 θ = 80 φ cosθ = ±cosφ = ± = ± a a a + a + b b b + b 第三章平面向量 9 斜率的觀點 : m m 設兩直線 L, L 的斜率分別為 m 及 m, 且 L 與 L 之夾角為 θ, 則 tanθ =± + mm 點到直線的距離 : ax 0 + by0 + c 點 P(x 0, y 0 ) 到直線 L:ax + by + c = 0 之距離 d(p 0, L) = a + b 兩平行線之距離 c c 二平行線 L :ax + by + c = 0 L :ax + by + c = 0 之間的距離 d(l, L ) = a + b 角平分線的方程式 : 兩直線 L :a x + b y + c = 0 L :a x + b y + c = 0, 則 L 與 L 之交角平分線為 ax + by + c a x + by + c ax + by + c a x + by + c = 即 = ± a + b a + b a + b a + b 乁重點整理乁例設 L :x + y = 0,L : x y + = 0, 則 L, L 之夾角為若直線 y = mx 與 x + 4y = 0 之一交角為 45, 則 m = 答 : 75 或 05 7 或 7

30 0 鳳中數學講義類題 : 若 L :x y + = 0, L :x + y 4 = 0, 試求 L 與 L 之夾角 = 若二直線 L : x + y 6 = 0 與 L :x + y = 0 之交角為 θ, 則 sinθ = L :x + y + = 0, L :4x + ay + 5 = 0, 若 L 與 L 之夾角為 45, 求 a = 答 : 45 或 5 4 或例試求過點 P(, ) 而與直線 x y + 6 = 0 成 45 角的直線方程式為答 :x + y 6 = 0 或 x y + 8 = 0 類題 : 過點 (, ) 且與直線 L:x y + = 0 夾成 60 角的直線方程式為直線 L 過 (, ) 且和 4x + y 8 = 0 之夾角為 45, 則 L 之方程式為答 : y = (x ) 或 x = 0 x + 5y = 0,5x y + = 0 例試求 P(, ) 到直線 x + 4y 5 = 0 之距離 = 若動點 (x, y) 滿足 L:x + 4y =, 求 x + y 之最小值 =, 此時 (x,y) = 答 : 5 5, 4 (, ) 5 5

31 第三章平面向量類題 : 若點 (, ) 到直線 x + y = k 之距離為, 則 k = 5 平面上連接二點 P(6, ) 及 Q(, 5) 之直線與直線 L:x y + = 0 於點 R, 則 PR : QR = 若 x, y 滿足 x + 4y =, 則 ( x ) + (y ) 之最小值為答 : 5 或 :6 例設直線 L 通過點 (, 5) 且與點 A(, ) 相距, 則 L 之方程式為答 :x 5y = 0 或 4x y 7 = 0 類題 : 設 A(4, 6), B(8, ), 若直線 L 通過 (0, ) 且 A, B 到 L 等距, 求 L 之方程式答 : 5x y + 4 = 0 或 x + 4y 8 = 0 例試求兩平行線 x y + = 0 與 x 4y 5 = 0 間的距離為試求與直線 L:x 4y + = 0 平行且相距為之直線方程式為 5 答 : x 4y 4 = 0 及 x 4y + 6 = 0 0

32 鳳中數學講義類題 : 求兩直線 L :6x 8y 5 = 0 與 L : x + 4y 5 = 0 間之距離為與 x y + = 0 平行且距離為 0 的直線方程式答 : x y + = 0 或 x y 9 = 0 例求二直線 L: x 4y+ 7= 0及 L: 4x y 5= 0之銳交角的角平分線方程式?答 : 7x 7y+ = 0 例 7. 求由三直線 L: x+ y = 0, L : x y 4= 0及 L: x y+ 4= 0所圍成的三角形之內心坐標為何?答 : (, ) 類題 : 求二直線 x + 4y + = 0, x 5y = 0 的鈍交角的角平分線方程式? 設二直線 L :x + 4y = 0 與 L :5x + y + = 0 所交銳角之平分線的斜率為 m, 則 m = 答 : x 77y 6 = 0 7 4

33 第三章平面向量綜合練習. 求直線 L : x y + 5 = 0 與直線 L : x + y = 0 的夾角.L :x 4y + = 0, L :x + y 5 = 0, 設 θ 是直線 L 與 L 的一個夾角, 求 sinθ 的值.L: x = + 5t,t R, 設 θ 是直線 L 與 y 軸的一個夾角, 求 cosθ 的值 y = 4t 4. 直線 L 過點 A(, ), 且與點 B( 5, 4) 之距離為, 求 L 的方程式 5. 直線 L 的斜率為, 且與點 A(, 4) 之距離為 5, 求 L 的方程式 6. 設 L :x 4y + = 0, L :6x 8y = 0, 求平行線 L 與 L 的距離 7. 設一直線 L 通過點 P(0, ) 且與直線 x + 4y = 0 的夾角為 45, 求 L 的方程式 8. 設直線與直線 x + 4y 5 = 0 平行, 且其距離為 6, 求 L 的方程式 9. 求直線 L :x + y = 0 與 L :x + y + = 0 的夾角平分線 0. 求 x+ y 5= 0, x y 5= 0, x+ y+ 5= 0三線圍成三角形之內心座標?. 已知一正方形的中心為 P (, ), 它一邊所在直線的方程式為 x + y + =0 () 求此正方形的面積 () 求此正方形的兩對角線所在直線之方程式.0 和答案 4 4. ± 4.y = 或 4x + y 7 = 0 5.y = x + 5 或 y = x x + y = 0 或 x 7y + = 0 8.x + 4y + 5 = 0 或 x + 4y 5 = 0 9.x y 5 = 0 或 5x + 5y + = 0 0.(0,0). ()0 ()x-y + = 0,x+y-4=0

34 4 鳳中數學講義 - 面積與二階行列式甲面積與二階行列式一面積公式乁重點整理乁設 ΔABC 中, = (a, b ), = (a, b ), ΔABC 的面積 = ( ) = a b a b 以, 為相鄰兩邊之平行四邊形的面積 = ( ) = a b a b 二二階行列式. 二階行列式定義 a b 行列式水平稱列, 鉛直稱行, 稱此為二階行列式 a, b, c, d R c d a b 行列式 = ad bc, 稱行列式之值 c d. 面積的行列式表示法 ΔABC 中, AB = (a, a ), AC = (b, b ), 則 aδabc = a a b b a 若 = (a, a ), = (b, b ) 均非, 則由, 所張拓之平行四邊形面積 = b a b. 設 AB = ( a, a ), AC = ( b, b ), 若 A, B, C 三點共線,則 a b a b = 二階行列式的性質 () 一行列式中若將其列與行順序互換, 則所得新行列式的值與原行列式的值相等 () 一行列式中若任一 ( 或一行 ) 中的各元皆為 0, 則這行列式的值為 0 () 一行列式中若將其二列 ( 或二行 ) 互換, 則所得新行列式的值等於原行列式的值乘 ( ) (4) 一行列式, 若有二列 ( 或二行 ) 完全相同或各對應元成比例, 則這行列式的值為 0 (5) 一行列式中, 若以常數 k 遍乘其某一列 ( 或一行 ) 中的各元則等於這行列式的值乘以 k (6) 一行列式中, 若一行 ( 或列 ) 的各元, 加上另一行 ( 或列 ) 的各對應元的 k 倍, 則所得新行列式的值與原行列式的值相等 (7) 行列式加法 : a + e b = a b c+ f d c d + e b f d

35 第三章平面向量 5 例. 求下列行列式之值 : 4 5 x 若 4 x + = 8, 求 5 之值 6 答 : 4 7 類題 : 求 () = () = a 若 c b a b =, 求 d c d 5b 之值 5d 答 : ()- () 0 45 例. 設 A(4, ), B(, ), C(k, 4) 且 ΔABC 面積為 6, 求 k 之值為答 :0 或類題 :. 設 A(, ), B(, 4), C(, 5), 則 ΔABC 面積 =. 設 = (, ), = ( 5, ), = (, 6), 則四邊形 ABCD 之面積為. 點 A(, ),B(, 4),C(4, k) 共線, 求 k 4. 直線 L :5x y 7 = 0,L :x 4y + 6 = 0,L :x + y + 4 = 0 此三直線圍成一三角形, 求此三角形的面積答 : 7 k=7 4. 7

36 6 鳳中數學講義乙克拉瑪公式一克拉瑪公式 ax + by = c a, 令 Δ = a x + by = c a b b c,δ x = c 乁重點整理乁 b b a,δ y = a c c Δ () 若 Δ 0, 則 x = x Δ ;y = y Δ Δ () 若 Δ = 0 = Δ x = Δ y, 則無限多組解 () 若 Δ = 0;Δ x,δ y 有一不為 0, 則無解 ax + by = 0 二二元一次齊次方程組中, ax + by = 0 () 若 Δ 0,則方程組有一組解 x = 0, y = 0. () 若 Δ=0,則方程組有異於(0, 0) 的解. 例使用克拉瑪公式解下列方程組 : 6x 7y = x y = x y = 4 5x + y = y x = x y = 4 答 : (, ) 無解 x = t +,y = t,t R ax + by = c a x + 4by = 5c 例設 (c c 0) 之解為 x = α,y = β, 求之解 a x + by = c a x + 4by = 5c 答 :( 5 α 5, β ) 4

37 ax + by = c (a 類題 : 設的解是 x =,y =, 求 a x + by = c (a ax + by = e 4bx 5ay + 6e = 0 設之解為 x =,y = 5, 求之解 cx + dy = f 4dx 5cy + 6f = 0 5 答 : (, 0) (, ) 5 第三章平面向量 7 b)x + by + c = 0 之解 b )x + b y + c = 0 ax + by + cz = 0 a 例設, 若 a x + by + cz = 0 a b b b 0, 試證 x:y:z = b c c c : c a a a : a x y + z 5xy 設 9x 4y + z = 7x + y + 5z = x 8y z 且 xyz 0, 求 4x 5y 6z + xz 7 之值答 : 5 b b xy + yz + 4zx 類題 : xyz 0 且 x y + z = x + y z = x y + z, 求之值 x + y + 5z x = y + z x 若, 則求 x = y + 6z 4x y 5y x y + z = 0 設, 求 x:y:z =? x + 4y z = 0 答 : :5:9 + z 5xy 之值為? 6z + xz

38 8 鳳中數學講義 ( k ) x y = k 例試就 k 值討論方程組的解 x+ (k+ ) y = k 答 :()k 且 k,則方程組恰有一組解 4( k + ), x =, y = ( k + 6) k k () k = x= t 則方程組無解 () k =,則方程組有無限多解,且, t R y = t x + y = 5 類題 : 試解 4x + ay = 7 (a )x y = a 試解 x + (a + )y = a 並就 a 的值討論並就 a 的值討論答 : a = 6 無解,a 6 恰一解 a = 無限多組解,a = 無解,a 時恰一解 x + y = ax 例已知方程組 5x + y = ay 有無限多組解,試求 a 值答 : 或 6 x + y = ax 類題 : 方程組除了 x = 0, y = 0 外尚有其他解, 試求 a 值 x + y = ay 答 : a = 4 或

39 綜合練習第三章平面向量 9. 試求下列各行列式之值 : () 6 7 = () =. 已知 a b c d = 5, a b e f =,試求 4a 4b c e d f =. 於 ΔABC 中, 若 A(, ),B(0, k),c(-,-), 且 aδabc = 4, 求 k 之值 ax + by = c ax + 5by c = 0 4. 已知方程組的解為 x = 4, y = 5,試求方程組的解. ax + by = c ax + 5by c = 0 8 x+ ( a+ ) y = 5. 已知二元一次聯立方程組,試求: ( a 5) x y+ = 0 () 若方程組無解,則 a 值為 () 若方程組有無限多解,則 a 值為 x + y = kx 6. 已知有異於 x = 0, y = 0的解, 求 k 之值 4x y = ky 7. 若有 θ 使下述方程組不只有一組解, 求 sinθ + cosθ 的值 (+ cos θ ) x y = 0 9. 數甲 x + (+ sin θ ) y = 0 5 a 8. 已知 a, b 為整數且行列式 = 4,則絕對值 a + b 為何? ()6 () () (4)9 b 7 (5) 條件不足,無法確定. 99 學測 x y = 9. 設實數 a > 0.若 x y 的方程組 x y = a x ay = 有解,則 a = 99 學測答案.() 4 () , 4. x= 6, y = 5.() () , () 9. 4

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc

數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc 98 向量 4- 向量的意義向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之和向量 CD 的長度相等方向相同則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量以表之 () 反向量