定義一 : 相對極大值與相對極小值令點為在平面上某一圓形區域的中心點 a b 的鄰域對任一函數來說若所有皆滿足 a b D a b [ a b ] 的定義域落在此圓形區域裡則 a b 為一相對極大值 Relative Maimum [ 相對極小值 Relative Minimum]

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笛充
7 years ago
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1 多變數函數的極值含 Lagrange 法極大值與極小值相對極值檢測法拉格朗日法 Lagrange s Method 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

2 定義一 : 相對極大值與相對極小值令點為在平面上某一圓形區域的中心點 a b 的鄰域對任一函數來說若所有皆滿足 a b D a b [ a b ] 的定義域落在此圓形區域裡則 a b 為一相對極大值 Relative Maimum [ 相對極小值 Relative Minimum] 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

3 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

4 定義二 : 絕對極大值與絕對極小值若點 a b 落在函數的定義域裡且滿足 a b 對所有的 D 則 [ a b ] a b 為一絕對極大值 Absolute Maimum [ 絕對極小值 Absolute Minimum] 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

5 定理一 : 極值的發生處若點 a b 為函數的一相對極大值或相對極小值且 a b 和 a b 皆存在則 a b 且 a b 重點 : 但 a b a b 並不保證極值一定存在 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 5

6 定義三 : 臨界點對任一函數來說所有滿足 a b a b 或者有任一個不存在的所有點 a b 與 a b a b 稱為函數的臨界點 Critical Point 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 6

7 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 7 定義四 : 鞍點若點為臨界點但既不是極大值也不是極小值則此點稱為鞍點 Saddle Point 舉例來說對函數而言因此為一臨界點也是鞍點 b a

8 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 8

9 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 9 範例一試求的臨界點解 : 所以求得點為此函數的唯一臨界點

10 定理二 : 相對極值檢測法對任一函數來說令二階偏導數以及皆存在於以點 a b 為中心的平面上某一圓形區域點 a b 的鄰域且和 a b 定義 D a b a b [ a b ] 則 a. 若 D > 且 a b < 則 a b 為一相對極大值 a b 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

11 b. 若 D > 且則 a b 為一 a b > 相對極小值 c. 若 D < 則 a b 為一鞍點 d. 若 D 則無法判斷 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

12 範例二續範例一請問點是相對極大值相對極小值或兩者皆不是? 解 : Q D Q D 函數 6 > 且 8 > 且 [ ] 在點處有一相對極小值 6 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

13 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法範例三請找出函數的所有相對極大值及相對極小值解 : 6 9 為臨界點和或 9 且 9 Q

14 又所以對點對點 6 D 處有一相對極大值 D D 8 < > 6 以及 [ 點為一鞍點且 ] < 所以在點 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

15 範例四有一公司正研發一不含酒精的新飲料其生產的成本為 c 其中為糖的公斤數為香料的公克數請問該如何調配使成本最低? 又最低成本為多少? 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 5

16 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 6 解 : 又為臨界點 8 和 8 或 c c c c c c c 且 Q

17 所以 D 對點對點 8 在點 8 D D 7 58 且處有一相對極小值 > < 點為一鞍點 c 8 68 > 結論 : 當糖使用公斤香料使用 8 公克時有最小成本且此最小成本為 c 8 6 元 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 7

18 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 8 範例五請找出函數的所有極值與鞍點解 : e e Q e 且為唯一臨界點 e e

19 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 9 可知為一鞍點所以且又 < e e e D e e e e e

20 範例六將一正數 N 表示為三數的和使這三數的乘積為最大值解 : 令為此三數則 N 令三數乘積 Q p p p N N N N 且 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

21 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法為唯一臨界點 / / 不合 / / N N N N N N p p 所以且又 N N D N p p p

22 對點 N p N / / N N 所以在點 N / / / N D N / N / < > 且 / 處有一相對極大值結論 : 當 N / 時有最大乘積 N / 7 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

23 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法範例七有一條長的線欲切成至多段以形成一個圓及二個正方形每一者可能為退化圖形如何切成使其所圍成的面積為最大值及最小值? 解 : 將此線切成三段其長度分別為則 6 / 6 / / / / / / / / 所圍面積 A

24 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 8 8 所以 8 且 8 又為唯一臨界點 > > D A A A A A A A 且 Q

25 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 5 成的面積最大時所當 8 所圍成的面積最小時 8 8 結論 : 當 6 時或當時當處有一相對極小值 8 8 可知在點圍 A A A

26 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 6 範例七有一條長的線欲切成至多段以形成一個圓及二個正方形每一者可能為退化圖形如何切成使其所圍成的面積為最大值及最小值? 解 : 將此線切成三段其長度分別為則 6 / 6 / / / / / / / / 所圍面積 A

27 拉格朗日法 Lagrange s Method: 舉例來說在滿足的條件下若想求函數的最小值該怎麼作? 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 7

28 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 8

29 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 9 定理三 : 拉格朗日法對滿足限制式的函數來說其相對極值可以從滿足此聯立方程式的點裡求得其中且所有的偏導數存在 g g

30 重點 :. 稱為拉格朗日函數稱為拉格朗日乘數 Lagrange Multiplier. 我們這裡雖只考慮兩個自變數的情況但可推廣至多個自變數 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

31 範例八在滿足的限制下求出函數 5 6 的最小值解 : 步驟 : 限制式 g 步驟 : g 5 6 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

32 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法所以最小值 6 9 代入得和由為步驟 ~5:

33 問題 : 如何知道所求的值 6 為最小值? 答案 :< 方法一 > 代入 69 附近的點去做驗證仍要滿足限制式舉例來說令則 > < 方法二 > 利用電腦繪圖做觀察 6 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

34 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法拉格朗日法步驟 :. 把限制式表示成. 寫出拉格朗日函數. 求出. 寫出聯立方程組 5. 求解並找出極值 g 以及 g

35 範例九假設有一建築商想在控制成本為 5 萬的狀況下將一新大樓的樓層面積極大化請問他該怎麼蓋? 若成本函數 cos ts 中代表樓層寬度代表樓層長度 7 其 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 5

36 解 : 步驟 : g 6 步驟 : 步驟 ~5: /9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 6

37 範例九假設有一建築商想在控制成本為 5 萬的狀況下將一新大樓的樓層面積極大化請問他該怎麼蓋? 若成本函數 cos ts 中代表樓層寬度代表樓層長度 7 其 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 7

38 解 : 步驟 : g 6 步驟 : 步驟 ~5: /9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 8

39 由和得代入 6. 5 負不合. 5 且最大樓層面積為. 5 6 平方英呎 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 9

40 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法範例十在控制材料為 6 平方英呎的狀況下請問該如何才能做出最大的矩形箱子? 解 : 令和分別表示此箱子的長寬高步驟 : 步驟 : 步驟 ~5: g

41 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法立方英呎積所圍成的箱子有最大體英呎時及高度皆為所以當長度寬度以不合亦即代入得由

42 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法範例十在控制材料為 6 平方英呎的狀況下請問該如何才能做出最大的矩形箱子? 解 : 令和分別表示此箱子的長寬高步驟 : 步驟 : 步驟 ~5: g

43 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法立方英呎積所圍成的箱子有最大體英呎時及高度皆為所以當長度寬度以不合亦即代入得由

44 範例十一一長方形盒子的底部材料成本每平方英呎為其邊及頂部材料成本的三倍若其材料總值為 $ 時且底部材料每平方英呎值 $.6 求這樣一個盒子的最大容量解 : 令和分別表示此盒子的長寬高步驟 : 步驟 : g /9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法

45 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 5 步驟 ~5: 得由

46 6/9/6 多變數函數的極值含 Lagrane 法 6 立方英呎 6 5 量此長方形盒子有最大容英呎時 5 英呎高度為 5 結論 : 當長度寬度為 5 5 不合亦即代入.

第十一單元(圓方程式)

第十一單元(圓方程式) 第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ

定義一 : 相對極大值與相對極小值 令點為在 平面上某一圓形區域的中心 點 a b 的鄰域 對任一函數來說 若所有 皆滿足 a b D a b [ a b ] 的定義域 落在此圓形區域裡 則 a b 為一相對極大值 Relative Maimum [ 相對極小值 Relative Minimum]

定義一 : 相對極大值與相對極小值令點為在平面上某一圓形區域的中心點 a b 的鄰域對任一函數來說若所有皆滿足 a b D a b [ a b ] 的定義域落在此圓形區域裡則 a b 為一相對極大值 Relative Maimum [ 相對極小值 Relative Minimum]