Microsoft Word - 文件1

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徐邹
7 years ago
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1 數與代數 : 有向數運算分數運算變換主項解一次方程解一次不等式因式分解多項式的加減乘除 :. 兩邊做相同運算 (eg: 兩邊同時加減乘除平方開方.. 等 ) eg: 兩邊同時乘分母的 LCM, 使分母等於 " 交差相乘 " 移項.. 同類項相加減 3. 分配律拆括號抽公因子 4. 利用恆等式 5. 兩邊同時乘 / 除負數, 不等式方向改變百分法 : ( 百分數增減 ) 新值原值原值新值 = 原值 + 百分數增減 = 00 % 盈利 : 售價 = 成本 ( + 盈利 %) 虧蝕 : 售價 = 成本 ( - 虧蝕 %) 折扣 : 售價 = 標價 ( - 折扣 %) 利息 : 本利和 = 本金 + 利息單利利息 = 本金每期的利率期數單利本利和 = 本金 ( + 每期的利率期數 ) 期數複利利息 = 本金 ( + 每期的利率 ) - 本金期數複利本利和 = 本金 ( + 每期的利率 ) 增長及折舊 : 期數期數增長新值 = 原值 ( + 每期的增長率 ) 折舊新值 = 原值 ( 每期的折舊率 )

2 指數運算 : (). ( a m ) ( a n ) = a m + n e.g. 3 7 = 0 = ( a m ) ( a n ) = a m - n 5 3 e.g. = 7 = 7 = ( a m ) n = a mn e.g. ( 5 ) = 5 = 5 = ( ab ) m = a m b m e.g. ( 5 ) = 5 7 左方 = 0 3 = 000, 右方 = 8 5 = 000 a b m a b m 5. = m 0 e.g. = 其中 b 0 左方 5 4 = 65 a m 6. = a m 其中 a 0 e.g. = 0000 = = 6 =, 右方 = = 7 = = a 0 恆等式 : 其中 a 0, 0 0 無定義 (). a + ab + b = ( a + b ) e.g. 7 + ( 7 ) ( 3 )+3 = ( 7+3 ) = 00. a ab + b = ( a b ) e.g. 7 - ( 7 ) ( 3 )+3 = ( 7-3 ) = 6 3. a b = ( a + b) ( a b ) e.g. 7-3 = ( 7+3 ) ( 7-3 ) = a + b 3 = ( a + b) 3 ( a ab + b ) 5. a b 3 = ( a b) 3 ( a ab + b ) e.g = ( 0+ ) ( ) = e.g = ( 0- ) ( ) = a x = ( x a) e.g. -9 = -( 9- ) 7. a x = a x a = x 7 e.g = =

3 根號運算 : 對於整數 p 和 q : q p q p ( a ) a p q a = =, 其中 a q > 將分母有理化 : = = a b = ab a = b a b 誤差 : 絕對誤差 = 量度值真確值真確值一般是無法得知的量度工具上兩個相鄰刻度之間所代表的量最大誤差 = 相對誤差 = 最大誤差量度值百分誤差 = 最大誤差量度值 00% = 相對誤差 00% 真確值上限 = 量度值 + 最大誤差真確值下限 = 量度值 - 最大誤差最大誤差最大誤差 x 真確值下限量度值真確值上限真確值所在之範圍例題 : 一枝鉛筆長 6.5 cm, 準確至 0.5 cm (i) 求百分誤差 (ii) 下列哪項可能是鉛筆的實際長度? 6 cm 6. cm 6.7 cm 6.8 cm 解答 :(i) 0.5 cm 就是兩相鄰刻度之間所代表的量最大誤差 = = 0. 5cm, 百分誤差 = 00% =.55% (3.d.p.) 6.5 (ii) 量度值 = 6. 5 cm ( 準確至最接近的 0.5 cm) 真確值 < cm 真確值 <6.75 cm 所以, 鉛筆的實際長度有可能是 6.7 cm

4 十進數和二進數 / 十六進數的互換 : 例 : 例 : 670 = 0000 = = = 例 : A85 6 例 : = DF 6 6 = 0 6 = = 有效數字 ( 最為主要, 由最左數起 ) s.f s.f s.f s.f = ( s.f.) = (3 s.f.) = 7600 (4 s.f.) = 0.0 ( s.f.) = 0.05 ( s.f.) = (3 s.f.) = (4 s.f.) 指數記數法 n 5 a 0, 其中 a < 0, n = 0, ±, ±, e.g.: , 循環小數化分數 : 將. & 3 & 化成分數, 設 x =. & 3&, x = x = x = x = 99

5 圖形與幾何 : 初中幾何定理反射對稱旋轉對稱 ; n 重旋轉對稱反射變換旋轉變換平移變換放大或縮小變換尤拉公式 F + V-E = 直線上的鄰角和為 80 繞一點的鄰角和 / 同頂角之和為 360 對頂角相等同位角, PQ // RS 內錯角, PQ // RS 同旁內角, PQ // RS 已知 PQ // RS, 則會有同位角相等 ; 內錯角相等 ; 同旁內角互補同位角相等內錯角相等同旁內角互補這三個方法用來證明兩條直線平行 Δ 內角和等於 80 全等 Δ 的對應角相等 Δ 外角等於兩內對角之和全等 Δ 的對應邊相等多邊形內角和 (n-)x80 SSS 多邊形外角和 360 ASA 畢氏定理 ; 畢氏定理的逆定理 AAS SAS RHS 這五個方法用來證明兩個三角形全等相似 Δ 對應角相等等腰 Δ 底角相等相似 Δ 對應邊成比例等角對邊相等 AAA 三邊成比例兩邊成比例且夾角相等這三個方法用來證明兩個三角形相似等邊 Δ 性質等腰 Δ 性質

6 Δ 任何兩邊之和必大於第三邊中點定理截線定理角平分線內心傍心垂直平分線外心中線形心 ( 重心 ) 頂垂線 ( 高 ) 垂心定義 : 性質. 梯形 : 有一組對邊平行的四邊形. 平行四邊形 : 有兩組對邊平行的四邊形 3. 菱形 : 四條邊的長度都相等的四邊形 4. 長方形 : 四個角都相等的四邊形 5. 正方形 : 各邊的長度相等及各內角都相等的四邊形 > 兩組對邊分別相等 > 兩組對角分別相等 > 對角線互相平分 > 對邊平行且相等 > 具有平行四邊形全部性質 > 對角線互相垂直 > 具有平行四邊形全部性質 > 對角線長度相等 > 所有內角都是直角 > 對角線互相平分成四條等長線段 > 具有平行四邊形全部性質 > 對角線與邊的夾角是 45 充要條件 ; 連同定義, 共有五個方法去判斷一個四邊形是否是平行四邊形

7 求積法會考球體體積 = 3 4 πr 3 表面積 = 4πr 試卷上的圓柱體積 = πr h 側面積 = πrh 圓錐體積 = 3 πr h 側面積 = πrl 其中 l =r +h 參考角柱體積 = 底面積高公式角錐體積 = 3 底面積高任何柱體體積 = 底面積高任何錐體體積 = 3 底面積高圓形面積 = π r 圓周 = πr 扇形面積及弧長均與圓心角成正比正方形面積長方形面積平行四邊形面積梯形面積 =( 邊長 ) = 長闊 = 底高 = ( 高 )( 上底 + 下底 ) Δ 面積 = s ( s a)( s b)( s c) Δ 面積 = ab sinθ Δ 面積 = ( 底 )( 高 ); 兩 Δ 同高同底面積相等 ; 兩 Δ 同高不同底, 面積與底長成正比相似平面圖形 : 面積比例 =( 對應邊比例 ) 相似立體圖形 : 體積比例 =( 對應邊比例 ) 3 對應面面積比例 =( 對應邊比例 )

8 坐標幾何學 : 直角坐標極坐標 :. 兩點 A ( x, y ) 和 B ( x, y ) 間的距離 : AB = ( x ) ( ) x + y y 水平線上的兩點的距離鉛垂線上的兩點的距離 AB = x x PQ = y y. 直線的斜率 (a) 過 A ( x, y ) 和 B ( x, y ) 的直線斜率 m 是 : m = y x y x (b) 水平線的斜率是 0; 鉛垂線的斜率是沒有意義的

9 3. 平行線與垂直線若 AB // CD, 則 m = m 若 AB CD, 則 m = m 若 m = m, 則 AB // CD 若 m m =, 則 CD AB 4. 分點 (a) 若 P ( x, y) 是線段 AB 的中點, 則 x = y = x + x y + y (b) 若 P ( x, y) 是線段 AB 上的某點, 且 y AP PB r : s x : =, 則 rx r + + sx s = ry r + + sy s =

10 三角學 : 三角比 : 對邊鄰邊對邊 sin θ = cos θ = tan θ = 斜邊斜邊鄰邊三角比 sin θ cos θ tan θ θ 或 3 3 或或解直角三角形, 只需要用到 sin cos tan 及畢氏定理常用的三角恆等式 : (a) tanθ sinθ cosθ (b) sin θ + cos θ 亦可寫成 sin θ = cos θ 或 cos θ = sin θ (c) sin θ cos( 90 θ ) (d) cos θ sin( 90 θ ) (e) tan θ 即 tan( 90 θ ) tan( 90 θ ) tanθ

11 斜率傾角仰角俯角方位 : AB 的斜率 = 由 A至 B的上升距離由 A至 B的平移距離 = BC AC 斜率和傾角在圖 0 中,θ 是斜坡 AB 與水平線 AC 的夾角, 稱為 AB 的傾角 AB 的斜率 = tanθ 仰角視線與水平線所形成的角稱為仰角例如 : 在圖中, 由 P 測得 Q 的仰角是 θ 俯角視線與水平線所形成的角稱為俯角例如 : 在圖中, 由 P 測得 Q 的俯角是 φ 由一點 B 測得另一點 A 的仰角等於由 A 點測得 B 點的俯角

12 方位 A. 基本方法圖 3 所示為常用的方位 : 東 (E) 東南 (SE) 南(S) 西南(SW) 西 (W) 西北(NW) 北(N) 和東北 (NE) B. 準確表示方位的方法 (a) 象限角它的形式是 N x E N x W S x E 或 S x W, 其中 x 是由 N 或 S 開始量得的角度, 且 0 < x < 90 例如 : 在圖 4 中, 由 A 測得 B 的象限角是 S 58 E (b) 方位角方位角的形式是 y, 其中 y 是由正北開始, 並按順時針方向量得的角度, 其中 0 y < 360 例如 : 在圖 5 中, 由 A 測得 B 的方位角是 073 ( 或只寫成 73 )

13 統計及概率 : 離散數據連續數據 ( 甲 ). 離散數據的整理和組織 : 頻數分佈表 :. 離散數據的表達及闡釋 A. 圓形圖 B. 折線圖

14 C. 幹葉圖圖 (C) 所示為 5 位同學測驗分數的幹葉圖圖 (D) 所示為牌子甲和牌子乙 ( 各 30 個 ) 電池的壽命 ( 單位是小時 ) 的背靠背幹葉圖

15 D. 散點圖 ( 乙 ). 連續數據的整理和組織 : 頻數分佈表 : 以下是 35 位同學的跳高成績 ( 單位是 cm) 把以上的數據先歸入不同的組區間, 然後得出以下的頻數分佈表高度 (cm) 頻數在 0 cm 4 cm 這個組區間中, (i) 組中點是 cm; (ii) 下組限是 0 cm 而上組限是 4 cm; (iii) 下組界是 9.5 cm 而上組界是 4.5 cm

16 . 組織圖頻數多邊形及頻數曲線 A. 組織圖 B. 從已知組織圖也可以得出頻數多邊形 C. 頻數曲線 : 把頻數多邊形繪畫成平滑的曲線圖像

17 3. 累積頻數 A. 累積頻數表 B. 累積頻數多邊形和累積頻數曲線

18 ( 丙 ) 集中趨勢的量度平均數 x = x + x + x3 + L+ xn 中位數眾數 n 在頻數分佈表中, 計算離散數據的集中趨勢 (a) 如果數據 x, x, x 3,, x n 的頻數分別是 f, f, f 3,, f n, 則平均數 x = x f + x f + x f + L+ x f f + f + f + L f 3 3 n n 3 n (b) 中位數可由頻數分佈表中位於中間位置的數據求得 (c) 眾數可由頻數分佈表中頻數最高的數據求得計算以區間分組的數據的集中趨勢 (a) 在一組已分組的數據中, 每組數據的組中點可用來代表整組數據, 從而求出全組數據的平均數 (b) 在累積頻數多邊形 / 曲線中, 對應於累積頻數為總頻數的一半的數據就是中位數 ; 3 對應於總頻數的和的數據分別稱為第第和第 3 個四分位數 ; 而對應於總頻數的 3 99 L 的數據分別稱為第第第 3 L 第個百分位數 (c) 頻數分佈表中頻數最高的組別稱為眾數組

19 數據變化對集中趨勢的影響 (a) 假設一組數據的平均數中位數和眾數分別是 m p 和 q (i) 如果把這組數據的每一項都加上一個常數 k, 則平均數中位數和眾數會分別變成 m + k p + k 和 q + k (ii) 如果把這組數據的一每一項都乘以一個常數 k, 則平均數中位數和眾數會分別變成 km kp 和 kq (b) 當一組只有正數的數據加入 0 這項後, 平均數會減少, 中位數會減少, 而眾數卻不變 (c) 由一組數據中剔除一個項目, (i) 如果所剔除的項目較平均數大 ( 小 ), 則平均數會減少 ( 增加 ) (ii) 一般來說, 如果所剔除的項目較中位數大 ( 小 ), 則中位數會減少 ( 增加 ) (iii) 無論該項目是多少 ( 只要不是眾數 ), 對眾數都沒有影響加權平均數 (a) 權 ( 或權數 ) 是用來表示一組數據中每一項目的相對重要性 (b) 如果一組數據 x, x, x 3,, x n 的權分別是 w, w, w 3,, w n, 則加權平均數 = x w + x w + x w + L+ x w w + w + w + L+ w 3 3 n n 3 n (c) 加權平均數可用來求某實驗的期望值, 或日常生活中某類事物的指數

20 概率 (a) 設 E 是一件事件, 而 P (E) 則是事件 E 發生的概率如果所有可能結果都屬於等可能結果, 則符合 E 的結果的數目 P(E) = 所有可能結果的總數 (b) 對於任何一件事件 E, 它發生的概率 P(E) 有以下的性質 : (i) 當 P (E) 越大時,E 發生的機會越大 (ii) 0 P ( E) (iii) 如果以 E 代表 E 沒有發生這個事件, 則 ( E) + P( E ) = P 較複雜的概率問題 (c) 以下較有系統的方法, 有助於列出某事件的所有可能結果 I. 樹形圖例如 : 一個家庭有兩個孩子該兩個孩子性別的所有可能結果顯示如下 : 第一個孩子第二個孩子結果男男男男女... 男女女男... 女男女.. 女女

21 II. 列表例如 : 擲兩枚骰子一次, 骰子的點數和的所有可能結果表列如下 : 第二枚骰子第一枚骰子幾何概率 : 考慮幾何圖形的面積或線段的長度而計算出的概率實驗概率利用邏輯推理所求得的概率稱為理論概率 ; 透過實驗及數據的收集, 利用相對頻數所求得的概率稱為實驗概率對大量試驗而言, 實驗概率理論概率期望出現的次數如果在一次試驗中, 一件事件出現的概率是 p, 在經過 n 次試驗後, 我們期望該事件會出現 np 次試驗的期望值 (a) 對於一個有 n 個可能結果的試驗, 如果每個結果發生的概率分別是 p, p,., p n, 且對應取得的值分別是 a, a,, a n, 則這個試驗的期望值是 (b) 期望值可幫助我們決定一件物件是否物有所值 p + a + pa + L p n an

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s