初級中學數學課自學課本_幾何一_ch4
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- 病徨 蓝
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2 第四章 四邊形 4. 多邊形 一 多邊形 籬笆的格子 六角螺帽外圍的各個面 ( 圖 4-) 門 窗等, 都是多邊形的形象 圖 4- 如圖 4- 那樣, 由一些線段首尾順次連結組成的圖形, 叫做多邊形 組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊, 每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 連結多邊形不相鄰的兩個頂點之線段叫做多邊形的對角線, 多邊形各邊的長度之總和叫做多邊形的周長 例如圖 4- 甲中, 是多邊形的邊, 是多邊形的頂點, 是多邊形的對角線, 的長度之總和是多邊形的周長 F G 甲 圖 4- 多邊形用表示它的各個頂點之字母來表示 如圖 4- 甲的多邊形記作多邊形 一個多邊形至少要有三條邊, 有三條邊的是三角形, 有四條邊的叫做四邊形, 有五條邊的叫做五邊形, 有 n 條邊的叫做 n 邊形 乙
3 把多邊形的任何一條邊向兩方延長, 如果多邊形的其它各邊都在延長所得直線的同側, 這樣的多邊形叫做凸多邊形 ( 另一定義為 : 多邊形內部任意二點所連結的線段都落在此多邊形內部, 則稱此多邊形為凸多邊形 ) 例如, 圖 4- 甲 圖 4-3 甲中的多邊形是凸多邊形, 圖 4- 乙 圖 4-3 乙中的多邊形不是凸多邊形 ( 稱之為凹多邊形 ) 以後, 本書中所說的多邊形都是指凸多邊形 G N F 多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角, 簡稱多邊形的角 多邊形的角之一邊與另一邊的反向延長線所組成之角叫做多邊形的外角, 多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角之鄰補角 例如, 在圖 4-3 甲中, 是多邊形的角, N G 等式多邊形的外角 與多邊形每一內角相鄰有兩個外角, 這兩個外角是相等的 ( 為什麼?) 練習 甲 L K M H 圖 4-3. ( 口答 ) 在圖 4-3 甲中, 如果 = 0 mm = 30 mm = 3 mm = mm = 60, 那麼四邊形 的周長等於多少? 在頂點 處有幾個外角? 是哪幾個? 各等於多少度?. ( 口答 ) 從四邊形的一個定點出發, 可以作幾條對角線? 每條對角線把四邊形分成幾個三角形? 乙 F - 3 -
4 4. 多邊形的內角和 我們知道, 三角形的內角和等於 80, 怎樣計算邊數為 n 的多邊形之內角和呢? 如果能將多邊形分割成一些三角形, 問題就解決了 在已知 n 邊形 3 n 內任取一點 n O ( 圖 4-4), 連結 O O O 3 O n, 6 這些線段將 n 邊形分成以 O 為公共頂點的 n 個三角形 由此可得,n 邊形的內角和等 O 於這 n 個三角形的內角和減去以 O 為頂點的 n 個角之和 因為 n 個三角形內角的和 3 4 是 n i 80, 以 O 為頂點的 n 個角之和是一圖 4-4 個周角, 等於 360, 所以 n 邊形的內角和是 ni = ( n ) i 80 由此得到下面的定理 : 多邊形內角和定理 n 邊形的內角之和等於 ( n ) i 80 取多邊形每一個內角的一個鄰補角, 它們相加的和叫做多邊形的外角和 因為多邊形每一個內角與它的一個鄰補角的和等於 80, 應用上面的定理, 可以推算,n 邊形 n 個外角的和等於 ni80 ( n ) i 80 = 360 於是得到 推論 任意多邊形的外角和等於 360 在第二章, 我們學過兩邊分別平行的兩個角的關係, 現在, 我們應用多邊形內角和定理來研究兩邊分別垂直的兩個角的大小有什麼關係 如圖 4-5, 的兩邊分別垂直於 的兩邊, 那麼, 因為 與 是一個四邊形的兩個內角, 而這個四邊形的另外兩個內角都等於 90, 所以 圖
5 + = (4 ) i = 80 即 與 互補 又 3 4 的兩邊也分別垂直於 的兩邊 因為 3 =, 所以 3與 也互補 又因為 與 都是 的補角, 所以 = 同理 4 = 由此得到: 推論 如果一個角的兩邊分別垂直於另一個角的兩邊, 那麼這兩個角相等或互補 當兩個角都是銳角或都是鈍角時, 這兩個角相等 ; 當兩個角中一個角是銳角一個是鈍角時, 這兩個角互補 例 已知一個多邊形, 它的內角和等於外角和的兩倍, 求這個多邊形的邊數 解設多邊形的邊數為 n, 因它的內角和等於 ( n ) i 80 外角和等於 360, 所以 ; ( n ) i80 = i 360 解得 n = 6 答 : 這個多邊形的邊數是 6 例 測斜坡的傾斜角可以用坡度板 坡度板上有半圓形的角度刻度,0 線垂直於板邊, 在圓心處掛一自然下垂的金屬指針, 把板邊放在斜坡上, 看指針所指的度數, 就是斜坡傾斜角 α 的度數 說明它的道理 解 O α α 圖 4-6 圖 4-7 按題意, 畫出坡度板測斜坡傾斜角的幾何圖形, 如圖
6 O 且 < 90 α < 90 α = ( 兩邊分別垂直的銳角相等 ) 所以, 指針所指的度數就是斜坡的傾斜角 α 的度數 練習. 幾邊形的內角和等於它的外角和?. 一個多邊形的每一個外角都是 7, 這個多邊形的內角和是多少度? 3. 已知兩組對應邊互相垂直的兩個角之差為 35, 求這兩個角的度數 習題十二. 畫一個四邊形並連結它的各條對角線, 作一條線段等於 : () 它的各條對角線的和 ; () 四邊形的周長 並且比較它與各條對角線的和之大小. 五邊形有幾個頂點? 經過五邊形的一個頂點有幾條對角線? 五邊形共有幾條對角線? 3. 過 n 邊形的一個頂點有幾條對角線? 這些對角線把 n 邊形分成幾個三角形? 用這種分法證明多邊形內角和定理 4. 在四邊形 中, 已知 : = = 求證 : // 5. 六角螺母正面成六邊形, 六個內角相等, 求每一個內角的度數 6. () 一個多邊形的內角和等於 080, 求它的邊數 ; () 一個多邊形的每一個內角都等於 44, 求它的邊數 ; (3) 一個多邊形的每一個外角都等於 30, 求它的邊數 7. 銳角 的高 與 F 的交點是 H, HF 與 有什麼關係? H 與 呢? F 與 呢? 為什麼?
7 4.3 平行四邊形及其性質 二 平行四邊形 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 如圖 4-8 四邊形 中, // //, 那麼四邊形 是平行四邊形 平行四邊形利用 符號 表示, 平行四邊形 圖 4-8 記作, 讀作 平行四邊形 下面研究平行四邊形的一些性質 我們已經學過了三角形, 如果畫出平行四邊形的一條對角線, 就把平行四邊形分成兩個三 角形, 可以利用三角形的性質來研究平行四邊形 首先研究平行四邊形的兩組對邊 兩組對角的關係 作 的對角線, 將它分 成 與 ( 圖 4-9) 4 // // 3 = 3 = 4 又 = 圖 4-9 = = = 又 + 4 = + 3 = 由此得到 : 平行四邊形性質定理 平行四邊形性質定理 平行四邊形的對角相等 平行四邊形的對邊相等 如圖 4-0, l // l, 是 l l 之間的任意兩條平行線段, 顯然, 是平行四邊形 因為平行四邊形的對邊相等, 所以 = 由此得到: 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
8 l l l 圖 4-0 l 圖 4- 從推論可以知道, 如果兩條直線平行, 那麼一條直線上所有個點, 到另一條直線的距離都相等 兩條平行線中, 一條直線上任意一點到另一條直線的距離, 叫做這兩條平行線的距離 如圖 4-, l // l, 是 l 上的任意一點, l, 是垂足, 線段 的長就是 l l 的距離 平行四邊形還有下面性質 : 平行四邊形性質定理 3 平行四邊形的對角線互相平分 已知 :, 對角線 相交於點 O( 圖 4-) 求證 : O = O O = O 證明 : 中, O 3 // 4 = 4 = 3 又 = 圖 4- ( 平行四邊形的對邊相等 ) O O O = O O = O 我們知道, 三角形具有穩定性, 而四邊形就沒有穩定性 可以利用四邊形的不穩定性製成活動的平行四邊形框 ( 圖 4-3) 汽車的防護鏈 ( 圖 4-4) 等 圖 4-3 圖
9 例 過 的頂點, 分別引對邊的平行線, 它們 兩兩相交於 求證: 的三條高是 三邊的垂直平分線 已知 : 如圖 4-5, // // // F F 求證 : F 分別是 的垂 直平分線 證明 : // // // // 圖 4-5 = ( 夾在兩條平行線間的平行線段相等 ) 同理 = = 又 所以 是 的垂直平分線 同理 F 分別是 的垂直平分線 在前一章裡, 我們已經證明過三角形三邊的垂直平分線交於 一點, 由於例 中的 三邊的垂直平分線就是 的三 條高, 可見, 三角形的三條高也相交於一點 例 已知 : 中, 對角線 與 相交於點 O, M N 分別是 O O 的中點 ( 圖 4-6) 求證 : M = N M // N 證明 : 四邊形 M O 是平行四邊形 圖 4-6 N
10 O = O O = O ( 平行四邊形的對角線互相平分 ) OM = O ON = O OM = ON 又 MO = NO MO NO M = N MO = NO M // N 練習. 舉出日常生活中常見的平行四邊形的一些例子. 已知 : 在 中, F, F 是垂足求證 : F 3. 如圖 4-, 已知 O 是 的對角線交點, 如果 = 4 mm = 38 mm = 8 mm, 求 O 的周長 4.4 平行四邊形的判定 判定一個四邊形是不是平行四邊形, 除了根據定義來判斷以外, 還有以下判定定理 : 平行四邊形判定定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 已知 : 四邊形, // = ( 圖 4-7) 求證 : 四邊形 是平行四邊形 證明 : 連結 // 4 = 3 又 = = 圖
11 3 = 4 // 所以四邊形 是平行四邊形 平行且等於 用符號 表示 如圖 4-7, = //, 可以記作, 讀作 平行且等於 與定理 相類似, 利用全等三角形, 容易證明平行四邊形判定定理 3 平行四邊形判定定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 平行四邊形判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 例 已知 : 中, F 分別是邊 的中點 ( 圖 4-8) 求證 : = F 證明 : 四邊形 是平行四邊形 ( 平行四邊形對邊平行且相等 ) = F = F 四邊形 F 是平行四邊形 ( 一組對邊平行並且相等的四邊形是平行四邊形 ) = F ( 平行四邊形的對邊相等 ) F 圖 4-8 圖
12 例 已知 : 線段 與直線 外一點 ( 圖 4-9) 求作 : 以 為一頂點, 以線段 為一邊的平行四邊形 作法 :. 連結. 分別以 為圓心, 以 為半徑作弧, 兩弧相交於點 3. 連結 四邊形 就是所求的平行四邊形 證明 : = = 四邊形 是平行四邊形 ( 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ) 的一邊是 一個頂點是 四邊形 就是所求的平行四邊形討論 : 如果連結, 同理可作四邊形, 它也是所求的平行四邊形 此題有兩個解 練習. 求證 : 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形. 把兩個全等的三角形, 按不同的方法拼成四邊形, 可以拼成幾個不同的四邊形, 它們都是平行四邊形嗎? 為什麼? 3. 已知 :, 是 的中點 F 是 的中點求證 : F = 4. 延長 的中線 至, 使 = 求證 : 四邊形 是平行四邊形 習題十三. 在 中 : () 3 已知周長為 8 cm =, 求各邊的長 ; 4 () 已知 + = 00, 求各角的度數 - 4 -
13 . 已知 與 F 如圖 求證 : F 3. 求證 : 平行四邊形對角線的交點到一組對邊的距離相等 4. 已知 : F 是 對角線 上的兩點, 並且 = F 求證 : = F ( 第 題 ) 5. 求證 : 平行四邊形一條對角線的兩個端點到另一條對角線的 6. 距離相等 如圖, 中, F, 垂足分別是 F, = 60 = cm F = 3 cm, F 求各內角的度數與各邊的長 7. () 畫一條直線與已知直線平 行, 並且距離為 0 mm 這樣的直線可以畫幾條? () 求作一條直線與已知兩條平行直線平行且距離相等 8. 求證 : 一組對邊平行 一組對角相等的四邊形是平行四邊形 9. () 已知 是直線 l 同側的兩點, l 足分別是, 且 = 求證 : // l ( 圖甲 ) ( 第 6 題 ) F l, 垂 甲 l ( 第 9 題 ) () 如果一塊木板兩邊是直線, 把兩把曲尺的一邊靠緊木板邊緣, 再看木板另一邊緣對曲尺另一邊上刻度是否相等, 就能判斷木板的兩個邊緣是否平行 為什麼?( 圖乙 ) 乙
14 0. 已知 : F G H 分別是 的邊 上的點, 並且 = G F = H 求證 : 四邊形 FGH 是平行四邊形. 已知 : 是 的一條 對角線, M M N, 垂足分別是 M N N 求證 : 四邊形 MN 是平行四 ( 第 題 ) 邊形. 已知 : 的對角線 上兩點 F, 且 = F 求證 : 四邊形 F 是平行四邊形 3. 求證 : 平行四邊形一組對角的平分線如果不在同一條直線上, 那麼它們互相平行 4. 求作平行四邊形, 使 : () 以已知點 為頂點, 這樣的平行四邊形可以作幾個? 寫出其中一個的作法 () = a = b = α 4.5 矩形 根據四邊形的不穩定性, 我們可以把一個平行四邊形的形狀改變成有一個直角的平行四邊形 ( 圖 4-0) 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形 ( 通常也叫做長方形 ) 矩形是人們日常生活與生產中最常見的四邊形, 如課本 黑板 門 窗等都呈矩形 圖
15 因為矩形是一種特殊的平行四邊形, 所以它除具有平行四邊形的所有性質外, 還具有一些特殊的性質 如圖 4-, 中, 是直角 因為 = ( 平行四邊形的對角相等 ), 所以 也是直角 又因 都與 互補, 所以 也都是直角, 由此得到 : 矩形性質定理 矩形的四角都是直角 圖 4- 矩形還有下面的性質 : 矩形性質定理 矩形的對角線相等 已知 : 矩形 ( 圖 4-) 求證 : = 證明 : 在矩形 中, = = Rt ( 矩形的四個角都是直角 ) = ( 平行四邊形的對邊相等 ) = = 要判定一個四邊形是矩形, 除了根據定義外, 還可以根據下面的定理 : 矩形判定定理 有三個角是直角的四邊形是矩形 矩形判定定理 對角線相等的平行四邊形是矩形 已知 : 中, = ( 圖 4-) 求證 : 是矩形證明 : = = = ( 平行四邊形的對邊相等 ) 圖 4-
16 = 又 // + = Rt = Rt 是矩形 在生產中, 工人在製作門框或矩形零件時, 常用測量兩條對角線是否相等來檢查直角的精度, 就是根據這個定理 例 已知 : 如圖 4-3, 矩形 的兩條對角線相交於點 O, O = 0, = 4 cm 求矩形對角線長 解 四邊形 是矩形 = ( 矩形的對角線相等 ) O 又 O = O = 圖 4-3 O = O = ( 平行四邊形的對角線互相平分 ) O = O O = O = O = = 30 又 = Rt ( 矩形的四個角都是直角 ) = = 4 cm = 8 cm 練習. 求證 : 四個角都相等的四邊形是矩形. 求證 : 對角線互相平分並且相等的四邊形是矩形 3. 用刻度尺怎樣檢查一個四邊形零件是不是矩形? 4. 利用矩形性質, 證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
17 4.6 菱形 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 菱形也是一種特殊的平行四邊形, 所以它除具有平行四邊形的所有性質外, 也具有一些特殊的性質 如圖 4-4, 中, = 因為 = = ( 平行四邊形的對邊相等 ), 所以四條邊都相等 因此得到 : 菱形性質定理 菱形的四條邊都相等 O 圖 4-4 菱形還有下面的性質 : 菱形性質定理 菱形的對角線互相垂直, 並且每一條對角線平分一組對角 已知 : 菱形 中, 對角線 與 相交於點 O ( 圖 4-5) 求證 : ; 平分 與 ; 平分 與 證明 : 四邊形 是菱形 = O = O ( 菱形是平行四邊形 ) 在等腰三角形 中,, 平分 同理 平分 ; 平分 與 要判定一個四邊形是菱形, 除了根據定義外, 還可以根據下面的定理 : 菱形判定定理 菱形判定定理 圖 4-5 四邊都相等的四邊形是菱形 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
18 例 已知 : 矩形 的對角線 的垂直平分線與邊 分別交於 F( 圖 4-6) 求證 : 四邊形 F 是菱形 證明 : 四邊形 是 矩形 // F O = F 又 O = OF 圖 4-6 O = O O OF O = FO 四邊形 F 是平行四邊形 ( 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ) 又 F F 是菱形 練習. 證明菱形的兩個判定定理 ( 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ). 從菱形的鈍角之頂點向對邊作垂線, 如果垂線平分對邊, 求菱形各角的度數 3. 求證 : 有一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形 4.7 正方形 有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形 由正方形的定義可以得知, 正方形既是有一組鄰邊相等的矩形, 又是有一個角是直角的菱形 所以, 正方形同時具有矩形與菱形的所有性質 這些圖形的包含關係如圖 矩形集合 正方形集合 圖 4-7 菱形集合
19 容易知道, 正方形有下面的性質 : 正方形性質定理 正方形性質定理 正方形的四個角都是直角, 四條邊都相等 正方形的兩條對角線相等, 並且互相垂直平分, 每條對角線平分一組對角 反過來, 如果一個圖形既是矩形又是菱形, 那麼根據定義就可以斷定它是正方形 例 已知 : 如圖 4-8, 四邊形 是正方形, = = = 求證 : 四邊形 是正方形 3 證明 : 四邊形 是 正方形 = = = ( 正方形的四條邊都相等 ) 圖 4-8 又 = = = = = = = = = = 90 ( 正方形的四個角都是直角 ) = = = 四邊形 是菱形 ( 四邊都相等的四邊形是菱形 ) 又 = 3 + = = 90 = 80 3 = = 90 四邊形 是正方形 ( 有一個角是直角的菱形是正方形 )
20 練習. 兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是哪種四邊形? 為什麼?. 正方形的一條對角線與一邊所成的角是多少度的角? 為什麼? 3. 如果一個菱形的兩條對角線相等, 那麼它一定是正方形 為什麼? 4. 如果一個矩形的兩條對角線互相垂直, 那麼它一定是正方形 為什麼? 4.8 中心對稱 中心對稱圖形 在前一章, 我們學過關於直線對稱的圖形 在日常生活與工農業生產中, 還會遇到關於點對稱的圖形, 例如, 飛機的螺旋槳 風車的風輪等, 就是關於一點對稱的圖形的實例 ( 圖 4-9) 它們的每個葉片旋轉 80 後, 都轉到與它相對的葉片的位置 圖 4-9 圖 4-30 如果把一個圖形繞著一個點旋轉 80 後, 它與另一個圖形重合, 那麼我們說這兩個圖形關於這個點對稱 這個點叫做對稱中心 這兩個圖形中的對應點, 叫做關於中心的對稱點 例如, 圖 4-30 的 繞點 O 旋轉 80 後, 它就與 重合, 因此, 與 關於點 O 對稱, 點 O 是對稱中心, 點 與 點 與 點 與 是關於中心 O 的對稱點 根據定義, 關於中心對稱的兩個圖形可以重合, 因此, 這兩個圖形全等 O
21 如圖 4-30, 在中心對稱的兩個圖形中, 對應點 都分別與對稱中心 O 在一條直線上, 並且 O = O O = O O = O 由此得到下面性質: 性質 關於中心對稱的兩個圖形, 對稱點連線都經過對稱中心, 並且被對稱中心平分 又因為點 O 是線段 與 的中點, 容易證得 同理, 由此得到 性質, 關於中心對稱的兩個圖形, 對應線段平行 ( 或在同一條直線上 ) 且相等 性質 的逆命題 : 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點, 並且被這一點平分, 那麼這兩個圖形關於這一點對稱 也成立 我們有時用它來判定兩個圖形是否關於一點對稱 例 作四邊形 關於點 O 的對稱圖形 已知 : 四邊形 與一點 O ( 圖 4-3) 求作 : 四邊形 關於中心 O 的對稱圖形 分析 : 要作四邊形 關於點 O 的對稱圖形, 只要作 四點關於點 O 的對稱點, 再順次連結各點即可 作法 :. 連結 O 並延長到, 使 O = O, 得到點 的對稱點. 同樣作 的對稱點 3. 順次連結 各點 四邊形 就是所求的四邊形 () O () O 圖 4-3 () 圖 4-3 ()
22 如果一個圖形繞一個點旋轉 80 後, 能夠與原圖形互相重合, 也就是圖形與它本身重合 那麼這個圖形叫做中心對稱圖形, 這個點就是它的對稱中心 如圖 4-3 中的,O 是 與 的交點, 因為平行四邊形的對角線互相平分, 因此, 如果把它繞點 O 旋轉 80, 那麼點 轉到點 的位置, 點 轉到點 位置, 同樣, 點 與點 也互換位置, 整個圖形仍與原來的圖形重合, 所以平行四邊形是中心對稱圖形, 兩條對角線的交點是它的對稱中心 同樣, 矩形 菱形 正方形也是中心對稱圖形 這些圖形不僅是中心對稱圖形, 同時還是軸對稱圖形, 它們的對稱軸如圖 4-33, 對稱軸的交點是對稱中心 O O O 圖 4-33 在我們的周圍, 中心對稱圖形是很多的 例如, 具有中心對稱圖形形狀的物體能夠在所在平面繞對稱中心平穩地旋轉, 所以在生產中旋轉的零件之形狀常設計成中心對稱圖形 如電風扇葉片 ( 圖 4-34) 因為中心對稱圖形形狀勻稱美觀, 所以建築物上常用這種圖形作裝飾圖案 ( 圖 4-35) 圖 4-34 圖
23 練習. 舉出幾個中心對稱圖形的實例. 線段 射線 兩條相交直線, 是不是中心對稱圖形? 如果是, 指出對稱中心位置 3. 正三角形 五角星是不是中心對稱圖形, 為什麼? 習題十四. 已知 : 矩形,M 是 的中點, = 求證 : M M. 矩形對角線組成的對頂角中, 有一組是 60, 對角線與各邊組成的角是多少度? 3. 已知 : O 是矩形 對角線的交點, F G H 分別是 O O O O 上的一點, 並且 = F = G = H 求證 : 四邊形 FGH 是矩形 4. 求證 : 兩條平行線與第三條直線相交, 兩組內錯角的平分線相交所成的四邊形是矩形 5. 求作矩形, 使 = a = b a H F b G ( 第 5 題 ) 6. 求證 : 如果菱形的一個角是 0, 那麼從這個角的頂點向對角的兩邊所引兩條垂線分別平分這兩邊 M ( 第 7 題 )
24 7. 已知 : 中, =,M 為 的中點,MG M GF, 垂足分別為 G F,GF 相交於 H 求證 : 四邊形 HGM 是菱形 8. O 是矩形 對角線的交點, 作 // //, 交於 求證: 四邊形 O 是菱形 9. 畫菱形, 使 = 50 mm = 已知 : 中, = 90, 角 的平分線交 於點, 作 F, 垂足分別是 F 求證 : 四邊形 F 是正方形. 已知正方形, = 4 mm, 對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形, 再同樣分下去, 分三次所得的正方形的周長是多少?. 求證 : 正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形 3. 求證 : 矩形的各內角平分線組成的四邊形是正方形 4. 求證 : 依次連結正方形各邊的中點所成四邊形為正方形 5. 以一條已知線段為對角線, 求作正方形 6. 填充下列定理中所缺的詞 : () 兩條對角線 的平行四邊形是矩形 ; () 兩條對角線 的四邊形是矩形 ; (3) 兩條對角線 的平行四邊形是菱形 ; (4) 兩條對角線 的四邊形是菱形 ; (5) 兩條對角線 的矩形是正方形 ; (6) 兩條對角線 的菱形是正方形 ; (7) 兩條對角線 的平行四邊形是正方形 ; (8) 兩條對角線 的四邊形是正方形 ( 第 題 )
25 7. 求作 : () 已知點 關於點 O 的對稱點 ; () 已知線段 關於點 O 的對稱線段 ; (3) 已知 關於點 O 的對稱三角形 8. 作一個與已知四邊形 中心對稱的四邊形 () 以頂點 為對稱中心 ; () 以 邊的中點 O 為對稱中心 9. 作已知線段 關於點 O( 不在 上 ) 的對稱線段 再作 關於點 O ( 不在 上 ) 的對稱線段 並證明: // 0. 求證 : 任何一個具有對稱中心的四邊形是平行四邊形 ( 用中心對稱證明 ). 已知 : 直線 x y 互相垂直, 垂足為 O 作線段 關於軸 x 的對稱線段 再作關於 關於 y 軸的對稱線段 線段 與 是否關於點 O 對稱? 4.9 梯形 三 梯形 前面, 我們研究的平行四邊形是兩組對邊分別平行的特殊四 邊形 現在, 我們研究只有一組對邊平行的另一種特殊四邊形 一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形 ( 圖 4-36) 平行的兩邊叫做梯形的底 ( 通常把較短的底叫做上底, 較長的底叫做下底 ), 不平行 的兩邊叫做梯形的腰, 兩底的距離叫做梯形的高 F 圖
26 一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形 ( 圖 4-37), 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形 ( 圖 4-38) 直角梯形與等腰梯形都是特殊的梯形 圖 4-37 下面研究等腰梯形的性質 : 等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 已知 : 如圖 4-39, 在梯形 中, // = 求證 : = 分析 : 我們學過 等腰三角形兩底角相等 如果能將等腰梯形在同一底上的兩個角, 轉化成等腰三角形的兩個底角, 定理就容易證明了 證明 : 過 點作 //, 交 於點, 得到 // // = ( 夾在兩平行線間的平行線段相等 ) = = = = = 反過來, 如果梯形在同一底上的兩個角相等, 兩腰是否相等呢? 如圖 4-40, 在梯形 中, =, 如果延長 交於點, 那麼由 = // 可以推出 與 都是等腰三角形, 得 的平分線 F 垂直平分 與, 所以梯形 是以 F 為軸的對稱圖形, 因此 =, 由此 圖 4-38 圖 4-39 F 圖 4-40
27 得到 : 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 由定理的推導過程可知, 等腰梯形是軸對稱圖形, 經過兩底中點的直線是它的對稱軸 例 已知梯形的兩底與兩腰, 作梯形 已知 : 線段 a b c d, 其中 a > b ( 圖 4-4) 求作 : 梯形, 使 //, = a = b = c = d b d c a 圖 4-4 分析 : 假定梯形 已經作出 作 // 交 於點, 可得平行四邊形, 於是 = = d = = b = a b 又 = c, 已知三邊可以作出, 再作平行四邊形, 就可以得到所求的梯形, 問題就解決了 作法 :. 作, 使 = a b = c = d. 延長 到點, 使 = b 3. 分別過點 作 // //, 相交於點 四邊形 就是所求的梯形 證明 : 根據作法, = ( a b) + b = a = c 又因四邊形 是平行四邊形 ( 對邊平行 ), 所以 = = b = = d 所以, 四邊形 是所求的梯形 討論 : 三條線段 ( a b) c d 符合三角形三邊的關係定理時, 作圖題才有解 c a b d
28 練習. ( 口答 ) 一個四邊形有一組對邊平行但不相等, 它是梯形嗎? 為什麼?. 求證 : () 等腰梯形的對角線相等 ; () 對角線相等的梯形是等腰梯形 3. 求證 : 等腰梯形上底的中點與下底兩端點距離相等 習題十五. 在梯形 中, 已知 // = = = 0, 求其它三個角的度數. 已知直角梯形的一腰長 0 cm, 這條腰與一個底所成的角是 30, 求另一腰的長 3. 梯形的上底長為 4 cm, 過它的一個端點引一腰的平行線與下底相交, 所得三角形的周長是 cm 求這個梯形的周長 4. () 已知 : 梯形 中, //, > > 求證 : > () 已知 : 梯形 中, //, > > 求證 : > 5. 畫梯形, 使底 = 3cm = 6 cm, 腰 = 4 cm = 依照下圖, 用兩種不同的方法證明等腰梯形的判定定理 ( 第 6 題 ) F
29 7. 已知等腰梯形的銳角等於 60, 它的上下兩底分別為 5 cm 49 cm 求它的腰長 8. 作等腰梯形, 使高為 a 上底為 b 下底為 c b a c ( 第 8 題 ) 4.0 平行線等分線段 為了進一步研究梯形的性質, 我們來證明下面的定理 : 平行線等分線段定理如果一組平行現在一條直線上截得的線段相等, 那麼在其它直線上截得的線段也相等 我們僅對三條平行線的情形進行證明 已知 : 如圖 4-4, // // F = 求證 : = F 證明 : 過點 分別作 GH 的平行線 M N, 分別交 F 於點 M N, 便可得 M N M = N = M // N = M = N 又 M // N M // NF = 3 = 4 M NF = F G H K 3 M 圖 4-4 N 4 F L
30 從這個定理, 可以推出下面結推 : 推論 經過梯形一個腰的中點與底平行的直線, 必平分另一腰 如圖 4-43, 在梯形 中, 如果 是腰 的中點, F //, 交 於點 F, 那麼 F = F M N F F 圖 4-43 圖 4-44 如圖 4-44, 是 的 邊之中點, F //, 交 於點 F, 過頂點引直線 MN // 由上面的定理可知 :F = F, 由此得到下面的推論 : 推論 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊 應用平行線等分線段定理, 我們可以任意等分一條線段 例 已知 : 線段 ( 圖 4-45) H 求作 : 線段 的五等分點 G 作法 :. 作射線 F M. 在射線 上以 任意長順次截 I J K L 取 = = N F = FG = GH 圖 連結 H 4. 過點 G F 分別作 H 的平行線 GL FK J I, 分別交 於點 L K J I L K J I 就是所求的五等分點
31 證明 : 過點 作 MN // H MN // I // J // FK // GL // H = = F = FG = GH I = IJ = JK = KL = L ( 平行線等分線段定理 ) 練習. 練習本上的橫格是平行且等距的, 用橫格將 0 cm 長的線繩五等份 七等份 九等份, 分別用不同色筆在繩上劃上等分 點. 畫一條線段, 用直尺 圓規將它分成三等份 3. 如圖, 已知 : l // l = 求證 : = ( 第 3 題 ) l l 4. 三角形 梯形的中位線 連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 注意 : 三角形的中位線與三角形的中線不同 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊, 並且等於它的一半 已知 : 中, = = ( 圖 4-46) 求證 : // = 證明 : 延長 至點 F, 使 F =, 連結 F = 圖 4-46 = F 點 與 與 F 關於點 對稱 F
32 F ( 中心對稱的性質 ) 又 = F 四邊形 F 是平行四邊形 F = // ( 平行四邊形的對邊平行且相等 ) = F = 連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線 梯形中位線定理梯形的中位線平行於兩底, 並且等於兩底和的一半 已知 : 梯形 中, // M = M N = N ( 圖 4-47) 求證 : MN // M N MN = ( + ) 圖 4-47 分析 : 我們設法利用三角形中 位線定理 連結 N 並延長, 可得, 如果能 證明 N 是 的中點, 那麼就容易證明這個定理 證明 : 連結 N 並延長, 交 的延長線於點 N = N // N = N ( 平行線等分線段定理 ) 在 中 M = M N = N MN // MN = ( + ) ( 三角形中位線定理 ) - 6 -
33 又 點 與點, 點 與點 關於點 N 對稱 = MN = ( + ) 例 求證順次連結四邊形四條邊的中點, 所得的四邊形是平行四邊形 已知 : 如圖 4-48, 在四邊形 中, F G H 分別是 的中點 求證 : 四邊形 FGH 是平行四邊形 證明 : 連結 又因四邊形 是平 H = H G = G HG // HG = ( 三角形中位線定理 ) 同理 F // F = HG F 所以四邊形 FGH 是平行四邊形 練習. ( 口答 ) 兩點被池塘隔開, 在 外選一點, 連結 與, 並分 別找出 與 的中點 M N 如果測得 MN = 0 m, 那麼 兩點間的距離是多少? 為什麼?. 已知 : 三角形的各邊分別為 6 cm 8 cm 與 0 cm, 求連結各邊中點所成三角形各邊的長 M H F 圖 4-48 N ( 第 題 ) G
34 練習 3. 已知 : 梯形, //, 對角線 相交於點 O, 分別是 O O O O 的中點 求證 : () 四邊形 是梯形 ; () 梯形 的周長等於梯形 周長的 倍 4. () 梯形的上底長 8 cm, 下底長 9 cm, 求中位線長 ; () 梯形的上底長 8 cm, 中位線長 9 cm, 求下底長 習題十六. 作一條線段, 再把它 7 等份. 求證 : 直角梯形的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等 3. 已知 : M N 分別是 的邊 的中點,M 交 於點 N 交 於點 F 求證 : = F = F 4. 已知 : 在 中, F 分別是 邊的中點 求證 : () F = ; () 四邊形 F 的周長等於 + 5. 求證 : 三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分 6. 已知 : 四邊形 中, 是 的中點 F 是 的中點 G 是 的中點 H 是 的中點, 並且 F G H 不在同一條直線上 求證 : F 與 GH 互相平分 7. 求證 : 順次連結矩形四邊中點所得的四邊形是菱形 8. 求證 : 順次連結菱形四邊中點所得的四邊形是矩形
35 9. 如圖, 已知 : // = = = = = = = 8 mm = 36 mm, 求 的長 ( 第 9 題 ) 0. 已知 : 梯形 中, // = +,M 為 中點 求證 : M M 分別平分 與. 在等腰梯形中, 已知一角是 45 高是 h m 中位線長 m m, 求兩底的長. 已知 : 如圖, 在梯形 中, //, F 分別是 的中點 求證 : GH = ( ) G H F ( 第 題 ) ( 第 3 題 ) 3. 已知 的三邊長為 a b c, 三條中位線組成一個新三角形, 新三角形的三條中位線又組成一個三角形, 以此類推, 求第四次組成的三角形之邊長
36 小結 一 本章主要內容是多邊形 平行四邊形 ( 包括矩形 菱形 正方形 ) 與梯形的有關知識 二 多邊形的一些有關概念, 多邊形的內角和等於 ( n ) i 80 外角和等於 360, 這些知識是研究多邊形的邊 角關係之基礎 三 幾種特殊的四邊形 : 平行四邊形 ( 包括矩形 菱形 正方形 ) 與梯形, 是常見的四邊形. 幾種特殊四邊形的關係如圖 4-49: 兩組對邊分別平行 四邊形. 幾種特殊四邊形的性質 : 邊角對角線平行對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分四邊形四個角都兩條對角線互相平分且相矩形對邊平行且相等是直角等 菱形 平行四邊形 有且僅有一組對邊平行 對邊平行 四條邊都相等 有一個角是直角 有一組鄰邊相等 梯形 圖 4-49 對角相等 矩形 菱形 兩腰相等 有一個角是直角 有一組鄰邊相等 有一個角是直角 正方形 等腰梯形 直角梯形 兩條對角線互相垂直且平分, 每條對角線平分一組對角
37 正方形 等腰梯形 對邊平行 四條邊都相等 兩底平行 兩腰相等 四個角都是直角 同一底上的兩個角相等 兩條對角線互相垂直平分且相等, 每條對角線平分一組對角 兩條對角線相等 3. 幾種特殊四邊形的常用判定方法 : 平行 () 兩組對邊分別平行 ; () 兩組對邊分別相等 ; 四邊形 (3) 一組對邊平行且相等 ; (4) 兩組對角線互相平分 () 有三個角是直角 ; 矩形 () 是平行四邊形, 並且有一個角是直角 ; (3) 是平行四邊形, 並且兩條對角線相等 () 四條邊都相等 ; 菱形 () 是平行四邊形, 並且有一組鄰邊相等 ; (3) 是平行四邊形, 並且兩條對角線互相垂直 正方形 () 是矩形, 並且有一組鄰邊相等 ; () 是菱形, 並且有一個角是直角 等腰是梯形, 並且同一底上的兩個角相等 梯形 四 中心對稱與軸對稱是兩種對稱, 它們有一個共同的性質 : 即對稱的兩個圖形全等 有一個明顯區別是 : 關於中心對稱的兩個圖形中, 對應線段平行 ; 而關於軸對稱的兩個圖形中, 對應線段不一定平行 如果一個軸對稱圖形有兩條互相垂直的對稱軸 ( 例如, 矩形 菱形 正方形 ), 那麼它必是中心對稱圖形, 這兩條對稱軸的交點就是它的對稱中心 五 以平行四邊形為基礎, 推出平行線等分線段定理 這個定理的兩個推論分別是梯形 三角形的中位線之判定定理 三角形中位線定理 : 三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半, 是梯形中位線定理的基礎, 由它很容易推出梯形中位線定理 : 梯形的中位線平行於兩底並且等於兩底和的一半
38 複習參考題四. 求證 : 四邊形的兩條對角線之和大於周長的一半而小於周長. 一個四邊形的內角都是銳角嗎? 能都是直角嗎? 能都是鈍角嗎? 為什麼? 3. 四邊形四個內角的比是 ::3:4, 求各角的度數 4. 已知 : 中, > 求證 : > 5. 已知 : 中, F 分別是 與 的中點,F 與 交於點 G 與 F 交於點 H 求證 : F 與 GH 互相平分 6. 已知 : 的對角線相交於點 O,F 經過點 O, 與 交於點 與 交於點 F,G H 分別是 O 與 O 的中點 求證 : 四邊形 HFG 是平行四邊形 7. 求證 : () 等腰三角形底邊上任一點與兩腰的距離之和等於腰上的高 ; () 等腰三角形底邊延長線上任一點與兩腰的距離之差等於腰上的高 8. 求證 : 如果平行四邊形四個內角的平分線能夠圍成一個四邊形, 那麼這個四邊形是矩形 9. 已知 : 矩形的對角線長 d 一邊長 s ( d > s ) 求作 : 矩形 0. 已知 : 菱形的周長為 p 一條對角線長 d ( d 求作 : 菱形. 已知 : 菱形之周長它的高之 8 倍 求它的各角 < p ). 從菱形的兩條對角線之交點分別向各邊引垂線 求證 : 連結各垂足的四邊形是矩形
39 3. 菱形周長為 0 cm, 兩鄰角的比為 :, 求較短的對角線長 4. 菱形周長為 0 cm, 一條對角線長為.5 cm, 求菱形各角的度數 5. 在已知銳角三角形 的外面作正方形 與正方形 FG 求證:() G = ; () G 6. 在正方形 的邊 之延長線上取一點, 使 =, 連結, 交 於 F 求 F 的度數 7. 已知 : 是正方形 內一點, = = 求證 : = = 5 8. 已知 : 中, = Rt, 四邊形 與 FG 是在 外的正方形, 的高 H 之反向延長線交 G 於點 M 求證 : () G = ; () M = G 9. 已知 : O 是 的對稱中心,F 與 GH 經過點 O, F 分別交 於點 F,GH 分別交 於點 G H 求證 : 四邊形 HFG 是平行四邊形 0. 已知 : 與 F 是 外的等邊三角形 求證 : 與 F 是中心對稱圖形 F ( 第 0 題 ). () 已知 : 四邊形 中, = = 求證 : 四邊形 是等腰梯形
40 () 如果 () 的題設中沒有, 那麼四邊形一定是等腰梯形嗎? 為什麼?. 畫梯形, 使底 = cm 底 = 4 cm = 45 = 如圖, 在 的兩側作 =, 以 與 為起點, 分別在 與 上截取 4 條線段, 所有線段的長相等, 那麼相應分點的連線把 五等份 為什麼? ( 第 3 題 ) 4. 已知 : 中, = 90, F 分別是 邊的中點 求證 : = F 5. 已知 : 與 F 分別是 的邊 與 上的點, 並且 = F,G 是 F 與 的交點,H 是 與 F 的交點 求證 : GH // GH = 6. 已知 : 是 的中線 是 的中點,F 是 的延長線與 的交點 求證 : F = F 7. 已知等腰梯形的中位線長 6 cm 腰長 5 cm, 求它的周長 8. 從 的頂點 向形外的任意直線 MN 引垂線, 垂足是 求證: + =
41 9. 求證 : 梯形對角線中點的連線平行於底, 並且等於兩底差的一半 30. 在 中, 如果 = 30 cm = 4 cm = 7 cm = F = F G // F // FM // N // 求陰影部分三個三角形周長的和 N G M F ( 第 30 題 ) 7 世紀初, 幾何原本傳入中國 義大利傳教士利瑪竇 (Matteo Ricci; 55 60) 來到中國後, 與徐光啟 (56 633) 於 606 年將幾何原本前 6 卷的內容譯成中文,607 年在北平出版 lements 原意是指學科中具有廣泛應用基礎而又重要的定理, 譯成原本甚為恰當 至於幾何二字, 有人認為是拉丁文 geometria( 即英文中 geometry ) 的音譯 由於前 6 卷的內容主要都涉及現今所謂幾何學的內容, 而幾何學在此之前, 並沒有在中國出現過, 所以利瑪竇與徐光啟就在原本的書名前面加上幾何二字, 以顯示該書的主題 又有人認為, 幾何在漢語中有多少或若干的意思 ( 中國的古算經中, 就常出現問物幾何之類的字眼, 即問一共有多少件物品的意思 ), 所以在這裏, 幾何二字是用來表示這書與數學有關 無論如何, 幾何原本四字, 就由當時一直流傳, 沿用至今
週次 期間或備註四3/3 3/7 3/10 3/1 8-s-01 8-s-02 8-s-20 8-s-21 8-s-01 8-s-02 8-s-06 8-s-1 8-s-20 8-s 生活中的平面圖形 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直 平分與線對稱圖形 1. 能了解生活中的平面圖
台南市私立瀛海中學 102 學年度第二學期二年級 數學 學習領域課程計畫 一 二年級下學期之學習目標 1. 認識等差數列與等差級數, 並能求出相關的值 2. 認識基本幾何圖形, 並熟練基本尺規作圖 3. 認識線對稱圖形 對稱點 對稱線 對稱角及對稱軸的意義. 認識生活中的立體圖形, 並計算簡單立體圖形體積與表面積 5. 了解三角形的基本性質 : 內角與外角 內角和與外角和 ( 推導至多邊形 ) 全等性質
第五週 第六週 第七週 第八週 第九週 3/8-3/ 14 3/17-3 /21 3/24-3 /28 3/31-4 /4 4/7-4/ 11 第二章平面幾何圖形 2-1 平面圖形 (1) 第二章平面幾何圖形 2-2 垂直 平分與線對稱 (1) 第一次段考第二章平面幾何圖形 2-3 尺規作圖 (1)
高雄市立蚵寮國中 102 學年度第二學期八年級數學學習領域彈性課程教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 南一版第四冊 ) 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 (20) 節 三 各單元內涵分析 : 週次第一週 第二週 第三週 第四週 2/11-2 /14 2/17-2 /21 2/24-2 /28 3/3-3/ 7 教材準備週 第一章數列與等差級數 1-1 數列 (1) 第一章數列與等差級數
C3特教班學習領域課程計畫
臺南市 ( 安平 ) 國民中學 (103) 學年度第 ( 二 ) 學期學習中心學習課程計畫表 組別 : 二 A 教學者 : 王聰榮 每周教學節數 :3 數學 8-n-05-1 能辨識出等差數列的公差 8-n-05-2 能熟練計算出簡單數列的等差中項 8-n-05-3 能熟練使用等差數列的標準公式, 計算出等差數列的一般項 8-n-06-1 能解釋出等差級數為等差數列的總和 8-n-06-2 能熟練等差級數的標準公式
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ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
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遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
林園高中107學年度第二學期領域一年級課程計畫
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_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
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和的公式 3. 能理解等差級數求和的公式. 能利用等差級數公式解決日常生活中的問題 能解決生活中相關的問題 性平教育 討論. 作業 二親師座談會 3/5-3/9 2-1 生活中的平面圖形 1. 能了解生活中的平面圖形 : 三角形 多邊形 正多邊形及圓形 2. 能認識點 線 線段 射線 角 三角形及其
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新北市立江翠國中 103 學年度第二學期第二次定期考查八年級數學科試卷 P.1 測驗說明 : ( 一 ) 範圍 : 康軒版第四冊 2-3~3-3 ( 二 ) 本試卷含題目卷共 4 頁 ( 雙面列印 ) 及答案卷 1 張 ( 三 ) 題目卷包含 12 題單選題 6 題填充題 4 題綜合題, 請將正確答案寫在答案卷上 一 選擇題 ( 每題 5 分, 共 60 分 ) 1.( ) 以下何者不是兩個三角形的全等性質?()
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
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建國高中 95 課綱選修課程幾何學講義 臺北市立建國高中范文榮老師 ( 本講義內容若有疏漏不妥之處, 敬請各位先進惠賜寶貴意見 ) 全等形及其應用. 定義 : 給定兩個圖形, 把其中一個圖形經過運動 ( 旋轉 平移 對稱 ) 疊放到另一個圖形上面, 若能夠使他們完全重合, 就稱這兩個圖形為全等形 例如 : 兩個半徑相等的圓為全等形 ; 兩個邊長相等的正方形為全等形. 全等形具有下列性質 : () 反身性
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198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
2009 科學班 甄選 數學科試題
國立成功大學 / 台南第一高級中學高中科學班 98 學年度第一階段測驗數學科試題卷 說明 : 本試題共分為填充題和計算與證明題二部分 第一部分為填充題, 每題答對得 6 分, 共 36 分 各題只需寫出答案即可, 不必寫出過程 全對才給分 第二部分為計算與證明題, 共有六大題, 每題配分皆標示於題後, 共 64 分 各題皆須寫出計算過程, 才予以計分 採部分給分方式, 請儘量作答 第一部分 填充題
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
平面圖形.docx
平面圖形.docx1 平面圖形翰林版 ( 四 )2-1 1 平面幾何 幾何 : 源於 Geometry 一詞, 原為測量之意, 明朝時利瑪竇與徐光啟翻譯歐基里德的著作 幾何原本 後, 正式成為數學學科的名稱之一 ; 幾何學 主要在研究 空間 的各種性質, 如圖形的形狀 大小... 等等的學科 平面幾何 : 專門討論在平面上的圖形所相關的 性質理論等知識的數學稱為平面幾何 2 幾何基本元素 點 : 表示位置,
課程計畫一覽表
高雄市 105 學年度第二學期岡山區岡山國民中學二年級數學領域教學計畫表設計者 : 謝金財 學習總目標 : 1. 能辨識數列的規則性 2. 能熟練等差數列與等差級數的樣式 記法與公式, 並解決相關 3. 能理解常用幾何形體之定義與. 能指出滿足給定性質的形體 5. 能透過形體之刻畫性質, 判斷不同形體之包含關係 6. 能利用形體的性質解決幾何 7. 能理解外角和定理與角形 多邊形內角和定理的關係 8.
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - 10. 能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係 11. 能計算複合平面圖形的周長及面積問題 12. 能理解平面圖形線對稱的意義 13. 能理解單一圖形透過格子點做出線對稱的鏡射圖形 14. 能認識對稱點 對稱線 對稱角 對稱軸 15. 能畫出線對稱圖形 16. 能利用線對稱性質說明等腰三角形兩底角相
臺北市私立靜心國民中小學 ( 國中部 )105 學年度第二學期 八 年級 數學 科教學計畫表 日程及項目 週次一二三四五六七八九十十期2/13 2/17 2/20 2/24 2/27 3/3 3/6 3/10 3/13 3/17 3/20 3/24 3/27 3/31 4/3 4/7 4/10 4/14 4/17 4/21 一十4/24 4/28 二十5/1 5/5 5/8 5/12 三十5/15
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
三角形的基本性質 3- 內角與外角 三角形的全等.. SSS 3. SS 4. S 5. S 6. RHS 三角形的邊角關係 s-07 8-s-08 y t h a g o r e a n T h e o r e m
能力指標分年細目 3- 內角與外角 8-s-03 能理解凸多邊形內 角和以及外角和公 式 8-s-0 能理解三角形的基 本性質 將章首頁圖片內容 以動畫演出 引導 學生從生活動情境 中學習數學概念的 運用 已知台東市與綠島的距離為 33 公里 從上述的動畫中以 互動的方式進行生 活化與數學核心概 念的測驗 台東市與蘭嶼的距離為 90 公里 振華 綠島與蘭嶼相距 50 公里 溫蒂 綠島與蘭嶼相距 73
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 空間概念 ( 四面體篇 ) 班級 : 座號 : 姓名 :. 設正四面體 ABCD 其每一稜長均為 已知 AB 之中點為 M CD 之中點為 N 求()AB AN ;()MN 之長為. 6. 有一側稜長均為 8 的金字塔形其側面為四個等腰三角形底面是邊長為 6 的正方形若底面與側面之夾角為 α 則 cosα.. 三角錐 ( 四面體 )ABCD 頂點 A
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
_題目卷
國二數學 B4:4- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 平行四邊形 ABCD 中, AB 長為 b, AD 長 為 a, BH 垂直於 CD 的延長線上且長為 h, 則平行 四邊形 ABCD 的面積為何? (A)ah (B)bh ( C) ah (D) bh 分法何者錯誤? (A) (C) (B) (D). ( ) 附圖為一個平行四邊形 ABCD, 其中 H G 兩點分別在
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲
第二十八單元相似形 ( ) 1. 下圖是 E F G H I J 六點在菱形 ABCD 四邊上的位置圖, 其中 EF GI HJ 將菱形分成甲 乙 丙 丁 戊 己六個平行四邊形 若 AG : GH : HD 5:10:9, AE : EB 3:5, 則下列哪一圖形與菱形 ABCD 相似? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 99 基測二 18 ( ) 2. 下圖表 x` 示 D E F
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
Paperless Printer, Job 4
三角函數 (Trigonomtric function 包含以下六個 : 正弦函數 :sin 餘弦函數 :cosin 符號 :sin 符號 :cos 正切函數 :tangnt 餘切函數 :cotangnt 符號 :tan 符號 :cot 正割函數 :scant 餘割函數 :coscant 符號 :sc 符號 :csc 銳角三角函數 : 一直角三角形, 鄰邊為 X, 對邊為, 斜邊為 Z, 斜邊和鄰邊夾角為
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
從地面上P和Q兩個觀察站同時測量一架飛機R的仰角，結果分別是48及45
期終考試 中三數學科 甲部 : 選擇題 (0 分 ). 求圖中正方形 PQRS 中的 a 和 b A. a 5,b 75 B. a 5,b 90 C. a 8,b 75 D. a 8,b 90 答案是 A 6a 90 ( 正方形性質 ) a 5 a + b 90 ( 正方形性質 ) 5 + b 90 b 75. 圖中的立體由一個長方體和一個棱錐組成, 它們有一個共同的底 如果棱錐的體積是整個立體的一半,
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
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注意 : 允許學生個人 非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答 可直接下載而不須申請 重版 系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可 申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are
如图, 的顶点 在矩形 的边 上, 点 与点, 不重合, 若 的面积为 3, 则图中阴影部分两个三角形的面积和为. 7. 下列说法中, 正确的个数是 ( ) ⑴ 只用一种图形能够密铺的有三角形 四边形 正六边形 ⑵ 菱形的对角线互相垂直平分 ⑶ 矩形有而平行
各章节核心题系列 四边形综合 3 题 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 5 大题型 ) 一 性质综合二 判定及综合三 中位线四 中点四边形五 剪拼 第二部分 : 经典例题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (9)) 一 性质综合. 正方形 矩形 菱形都具有的特征是 ( ). 对角线互相平分. 对角线相等. 对角线互相垂直. 对角线平分一组对角. 给出下面四个命题 : 对角线相等的四边形是矩形 ; 对角线互相垂直的四边形是菱形
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數學傳播 39 卷 4 期, pp. 87-92 善待學生的提問 趙國瑞 數學課堂上, 孩子提問是再正常不過的現象 然而課堂上也會出現個別學生提出一些在常人看來比較怪異甚至超常的問題 作為教師不能忽視這些學生的提問, 更不能譏諷甚至鄙視學生, 因為這樣做會傷害孩子的自尊心, 更為重要的是容易扼殺學生的好奇心, 挫傷學生的求知慾 只要是學生真實的想法, 教師都應該給予學生肯定和鼓勵 作為教師要善待學生的提問
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
國語 領域計畫表
高雄市立德國民中學 05 學年度第二學期二年級數學領域彈性課程計畫 課程名稱 : 趣味數學 教學節數 : 每週 節, 共 20 節 教學者 : 數學科教師 教學期程能力指標 ( 含重大議題 ) 主題或單元活動內容節數使用教材評量方式備註 第一週 2/3-2/7 第二週 2/20-2/24 第三週 2/27-3/3 第四週 3/6-3/0 N-4-3 能辨識數列的規則性 N-4-4 能熟練等差數列與等差級數的樣式
2007 TRML思考賽
TRML 思考賽 -2007 思考賽共 10 題, 每題 4 分 答題時必須寫明計算或證明過程, 為得到滿分, 答題方式必須合理, 層次清楚簡明 前面小題縱使未被證出, 也可被引用來解後面小題 ; 但反之後面小題的結果, 未正確證明之前, 不可用來解前面小題 繳交的答案紙每張至多一小題, 且必須在每張答案紙上方標明題號且依序排列 每張紙上只寫一面, 不要寫兩面 准考編號大會已直接印於答案紙上, 在繳交的答案時,
( 編號 :5-3-2) 教材重點 : 三角形內角和為 180 度的應用班學生姓名 : 下圖三角形的形的角 為 60 度, 角 為 60 度, 角 是幾度? 三角形的三個內角和是 180 度, 角 是 60 度, 角 也是 60 度, 所以 180 度減去角 和角, 剩下的就是角 的角度 180-6
編號 編號 5-3-1 教材重點 認識三角形的三個內角和為 180 度 下圖哪一個三角 哪一個三角形的內角 形的內角和最大 內角和最大 和最大 丙 乙 甲 你是怎麼知道的 把三角形的每個剪下來 拼湊在一起 發現一樣 大 每個三角形的內角 和都是 180 度 用量角器量三角形每 一個角 再把三個角度 加起來 甲三角形的內 角和是 180 度 乙 丙 三角形的內角和都是 180 度 一 先用量角器量 先用量角器量量
章節
試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
3. 仔細觀察下列各幅圖案變化的規律, 再畫出第五 六幅圖案 第一幅 第二幅 第三幅 第四幅 第五幅 第六幅 4. 候鳥總是隨著季節的變換而大舉遷移, 右圖是候鳥遷移時飛翔常用的隊形 ( 人字形 ), 由最強壯的候鳥領軍破風飛行, 減輕後方夥伴所受到的風阻, 轉換成下面的圖形, 根據圖 ( 一 )
數 列 班級 : 座號 : 姓名 : 規律常常出現在我們的生活週遭, 利用規律所設計出的圖案也比較受到大家的歡迎與喜愛, 底下以地磚作為例子來說明 1. 如右圖, 是一個每邊 15 格的正方形, 請依據它的鋪設方式觀察其規律 並依照第一行 第二行... 的順序, 寫出每行中各色格子的數目 : 灰色 :1,3 白色 :14,12 2. 如右圖, 是一個長 20 格, 寬 16 格的長方形, 請依據它的鋪設方式觀察其規律
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
商高定理 陳國裕 商高定理 : 一個無言的證明. E 如此, 不過, 歷史上即使沒有商高與畢達哥拉斯, 這定理還是會被發現, 只不過是他們比其他人更早發現罷了 從古到今有很多人對這定理有興趣, 到目前累積有數百種的證明方法, 在這些方法之中, 大多是利用拼圖或是一般平面幾何的方法, 簡捷易懂 2.
商高定理 陳國裕 商高定理 : 一個無言的證明 如此, 不過, 歷史上即使沒有商高與畢達哥拉斯, 這定理還是會被發現, 只不過是他們比其他人更早發現罷了 從古到今有很多人對這定理有興趣, 到目前累積有數百種的證明方法, 在這些方法之中, 大多是利用拼圖或是一般平面幾何的方法, 簡捷易懂 2 思考過程與證明 = 則 2 + 2 = 2 1 引言 商高定理在東方較早被發現, 後來西方 人才發現了這個定理
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李政豐 * 傅淑婷 陳昭地 國立竹南高級中學 臺北市立敦化國民中學 3 國立臺灣師範大學數學系 3 壹 前言 在編寫國家教育研究院國民中學數學教材原型的過程中, 感覺到目前中學幾何課程 的份量, 在國高中均有減輕的趨勢, 然而要訓練學生證明與推理的能力, 幾何是數學家 公認不可或缺的學程 在台灣師大數學系陳昭地教授的指導下, 我們藉由三個初等數學 的問題 : () 平面上一點到三角形三邊所在直線距離和之最小值
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c
Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ
課程計畫一覽表
高雄市立明義國民中學 106 學年度第一學期九年級數學領域課程計畫 學習總目標 : 1. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係 4. 能了解圓心角 圓周角 弦切角 圓內角 圓外角與弧的關係 5. 能知道圓的線段乘冪性質 6. 能利用已知的幾何性質寫出幾何證明的過程
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國民小學數學教材原型 C 冊 國家教育研究院編印 國民小學數學教材原型 C 冊目次 序...vii 編輯大意 編輯大意...ix 第一章 : 幾何概論主題 1-1: 緒論...1 主題 1-2: 兒童幾何概念的發展 1-2-1: 視覺期...3 1-2-2: 分析期...4 1-2-3: 關係期...6 主題 1-3: 幾何概念 1-3-1: 特例與集合...8 1-3-2: 定義與定理...10
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高雄市立七賢國民中學 107 學年度第 2 學期特殊教育課程計畫 ( 分散式資源班 ) 領域國文班級 / 組別 教材來源翰林版第 4 冊教學節數每週 4 節 設計者陳甲旻教學者陳甲旻 學期學習目標 1. 認識席慕蓉 劉禹錫 徐志摩 徐仁修等作者及其文學成就 2. 能以識字策略
高雄市立七賢國民中學 107 學年度第 2 學期特殊教育課程計畫 ( 分散式資源班 ) 領域國文班級 / 組別 206 208 215 教材來源翰林版第 4 冊教學節數每週 設計者陳甲旻教學者陳甲旻 學期學習目標 1. 認識席慕蓉 劉禹錫 徐志摩 徐仁修等作者及其文學成就 2. 能以識字策略理解並寫出選文重要字詞 3. 認識樂府詩欣賞古典文學之美 4. 認識志怪 章回小說特色及小說演變過程 5. 能以語體文翻譯文言文說出課文意涵
第三單元 平面座標與直線的斜率
第十七單元正弦與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形的面積三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用三角函數邊角的關係 式間接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c H c H c H c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然是 sin 面積 = 1
3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形面積 (1) 邊角關係 在 中, 通常以,,c 分別表,, 的對邊長 邊的關係 :>0,>0,c>0, 且 c 2011城市杯初試ans
注意 : 允許學生個人 非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答 可直接下載而不須申請 重版 系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可 申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are
章節
試題 空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線 空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點
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數學傳播 35 卷 3 期, pp. 31-38 平行四邊形的大家族 李碩彥 摘要 : 平行四邊形算不算是特殊的梯形? 長方形算不算是平行四邊形? 這都是常聽到的辯論 本文從平行四邊形的特性加以探討, 結果支持肯定的一方 同時還介紹許多美妙的四邊形, 都和平行四邊形有密切的關係 它們構成一個五代同堂的大家族 平行四邊形有六個特性 : 兩組對邊平行 兩組對邊相等 兩組對角相等 通常, 一個四邊形只要滿足六者之二就足以確定是平行四邊形
互補 : 若兩個角的和是一個平角 ( ), 我們稱這兩個角互補, 如圖, + = 80, 故我們稱 與 互補 互餘 : 若兩個角的和是一個直角, 我們稱這兩個角互餘, 如圖, + =90 0, 故我們稱 與 互餘 對頂角 : 兩直線相交會形成兩組對頂角 如右圖, 與 為對頂角, 3 與
點 線 角 : 在探討幾何學之前, 我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素 - 點 線 角 點 : 點是幾何學中所討論的最基本圖形 點僅用來表示事物所在的位置, 而不考慮它的形狀與大小 圖示記法讀法 點 或 點點 或 點 線 : 線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線, 因此線是沒有寬窄的 線可以分為曲線與直線, 如下圖 曲線 直線 直線 : 通過兩點用直尺所畫出來的線, 也就是說 : 兩點決定一直線
微積分作業解答 Chap 7 pplicaions of Ingaion 7.-7. 7. -. Find h aa of h shadd gion.. d. d -. Skch h gion nclosd h givn cuvs. Dcid whh o inga wih spc o o. Daw a pical appoimaing cangl and lal is high and widh.
(Microsoft Word \252\275\250\244\247\244\274\320.doc)
觀念篇 平面上一個點的位置 直線上一個點的位置 -3-2 -1 1 2 3 4 0 ( 列 ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 平面上一個點的位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( 行 ) 平面上任何一個點的位置, 可藉由兩條數線 來協助標出 例題 棋盤上第 3 行第 5 列的位置在哪裡? 直角坐標平面 往右走 3 個巷口往上走 2 個巷口 直角坐標平面是由兩個互相垂直的
由於拋物線 ( 一焦點在無限遠處的橢圓 ), 雙曲線 ( 一焦點到無窮遠, 最後從另一邊繞回來的橢圓 ) 的情形皆和橢圓類似, 這裡的圓錐曲線以橢圓作代表來說明研究過程. 首先討論光學性質 : 為何會有光學性質? 如圖 1, F 1, F 2 為兩交點. 過橢圓上一點 A 作切線. 由於切線上任一點
以國中幾何角度看圓錐曲線 廖偉恩 國立台中第一高級中學 Abstract In this project, we study the conic section by the method of elementary geometry. Surprisingly we finally achieve alternative proofs of the famous Brianchon s theorem
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1 3 正弦定理與餘弦定理 ( 甲 ) 三角形的面積三角形的面積公式 : 國中 面積 = 1 底 高, 以底與高的長度表示面積但是當 邊上的 高 不容易求出來的時候 ( 如有障礙物 ), 我們可以利用正弦或餘弦關係式間 接求出高, 於是 的面積 = 1 sin c H c H c H c 是銳角 是直角 是鈍角 事實上圖中, 是銳角, 當 是直角或是鈍角時, 邊上的高仍然 是 sin 面積 = 1
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注意 : 允許學生個人 非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答 可直接下載而不須申請 重版 系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可 申請此項授權請電郵 ccmp@seed.et.tw Notice: Idividual studets, oprofit libraries, or schools are permitted
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
平面幾何作圖中, 有很大一部份是尺規作圖 所謂的 尺規作圖, 即是限制只能使用沒有記號的直尺和圓規, 在紙上有限次作出曲線 為什麼作圖要有這樣的限制? 首先, 從希臘的學術風潮來看, 古希臘人認為, 歐幾裡得幾何的理論是最完美的, 按照它的公理系統推證出來的結論才是最準確可靠的, 直尺上的刻度是不可
平面幾何作圖中, 有很大一部份是尺規作圖 所謂的 尺規作圖, 即是限制只能使用沒有記號的直尺和圓規, 在紙上有限次作出曲線 為什麼作圖要有這樣的限制? 首先, 從希臘的學術風潮來看, 古希臘人認為, 歐幾裡得幾何的理論是最完美的, 按照它的公理系統推證出來的結論才是最準確可靠的, 直尺上的刻度是不可靠的 但是幾何離不開作圖, 為了把不準確不可靠的程度降到最低, 仿照它的公理, 規定了作圖公法, 選取了最少的工具和最簡單的功能,
(3) ˉ( 甲 )ˉ (4) 故 AD BC 請問甲應填入下列何者, 可得完整的證明? (A) 1= 2 (B) AD BC, 1= 2=90 (C) B= C, 1= 2 (D) 1= 2, 又 1+ 2=180, 1= 2=90 6. ( ) ABC 中, AD 垂直平分 BC, 且交 BC
第三章 : 幾何與證明第一節 : 證明與推理一 選擇 1. ( ) 如圖, 已知 AD = BC, 1= 2, 則下列推論何者錯誤? (A) AB =CD (B) AO =OC (C) B= D=45 (D) BAC DCA 2. ( ) 老師問 : 在 ABC 和 DEF 中, 若 AC = DF,BC = EF, 如果要證明 ABC DEF 應該要加上哪一個條件? 甲生說 : AB = DE 乙生說
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數學領域課程計畫 新竹市三民國民中學 106 學年度七年級第 2 學期數學領域課程計畫 設計者 : 數學科教師 一 本領域每週學習節數 ( ) 節, 銜接或補強節數()節, 本學期共()節 二 本學期學習目標 : ( 一 ) 利用兩個符號表徵列式, 並依照符號所代表的數求出算式值 ( 二 ) 能處理含兩個未知數的式子化簡, 並運用運算規律做式子的加減運算 ( 三 ) 能將生活情境的問題記錄成二元一次方程式
2-1-3 知道切線 切點 割線 切線段長的意義 2-1- 設圓 O 半徑為 r,o 到直線 L 的垂足 P, 知道 : 當圓 O 到 L 不相交時, OP >r 當 L 為圓 O 的割線時, OP <r 當 L 為圓 O 的切線時, OP =r 11/
C13 各年級領域課程計畫臺南市立玉井國民中學 107 學年度第 1 學期九年級南一版數學領域學校課程計畫 ( 一 ) 九年級上學期之學習目標 1. 能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質 (S--07) 2. 能理解線對稱圖形的幾何性質, 並應用於解題和推理 (S--08) 3. 能理解特殊四邊形 ( 如正方形 矩形 平行四邊形 菱形 梯形 ) 與正多邊形的幾何性質 (S--13). 能理解圖形縮放前後不變的幾何性質
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
類題四 平面上三點 A(, 4), B(, 0), C( x, y) 在第一象限, 若 ABC 答 C ( +, + ) 為正三角形, 求 C 之坐標 第 部分分點公式 點光源由 A 點射出, 經 x 軸上 P (5, 0) 反射後通過 B(,7), 若 BP : AP = :, 求 A 點坐標 答
94 學年高一上數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 94 學年高中一年級上學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義 第二章數與坐標系第 節平面坐標系 第 部分坐標 () 正方形 ABCD 中, 已知 A(, 4), B(, 0), 求 C 與 D的坐標 () 已知正方形之對角線的二頂點坐標為 (, 4),(, 0), 求另二頂點之坐標 答 () C(7,), D(5,6) 或 C(, ), D(,) () (4,
2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \s
2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \sqrt{5a{{b}^{2}}} {{y}^{2}}} 2 如图, 在平行四边形 ABCD 中,CE
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面
高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式.
國中小數學專有名詞中英文對照表 塗有顏色的單字皆為國中數學常用的名詞, 其餘的單字是國小數學常用名詞, 請依學習過的單元來挑選適用單字即可 銳角三絕對值 absolute value 銳角 acute angle acute triangle 角形 代數 algebra 加 add 加數 adden
國中小數學專有名詞中英文對照表 塗有顏色的單字皆為國中數學常用的名詞, 其餘的單字是國小數學常用名詞, 請依學習過的單元來挑選適用單字即可 銳角三絕對值 absolute value 銳角 acute angle acute triangle 角形 代數 algebra 加 add 加數 addend 旋轉角 angle of rotation 鄰角 adjacent angle 加法 addition
三 本學期課程內涵 : 一 二 三 8/30 9/01 9/0 9/08 9/11 9/15 單 1 1 比例線段 1 1 比例線段 1 縮放與相似 9s0 CR01 CT0 CC01 CC05 CE0 9s0 CR01 CT0 CC01 CC05 CE0 9s01 9s0 CT0 CS0 CS05
106 學年度第一學期田尾國中學領九年級第五冊學計畫表 一 本領每學習節 : 節二 本學期學習總目標 : 1. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係. 能了解圓心角 圓周角 弦切角 圓內角 圓外角與弧的關係 5. 能知道圓的線段乘冪性質 6. 能利用已知的幾何性質寫出幾何證明的過程
章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
Microsoft Word - 12平面幾何-吳金聰.doc
平面幾何 吳金聰屏東縣大新國小教師 幾何 一般人認為是 geometry 的英譯, 源自於拉丁文的 geometria, 但原意取自於希臘文的 測量土地, 是一門研究形狀 立體和量度的學問 ( 趙文敏,1992) 在九年一貫數學課程中, 幾何是五大數學內容主題之一 ( 教育部, 2003,2008), 可見其在國小數學課程中的重要性 國小幾何課程可分二度 ( 維 ) 空間的 平面幾何 與三度 ( 維
數學
一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7
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T- T- 三角函數的定義 主題一銳角三角函數的定義. 若直角三角形的一個銳角為, 則對邊, 鄰邊, 斜邊兩兩的比值都可由 決定 因為三角形 共有三個邊長, 所以兩兩的比值共有六個 : () 對邊, 稱為 的正弦, 以 in 表示, 即 in = y 斜邊 () 鄰邊, 稱為 的餘弦, 以 co 表示, 即 co = x 斜邊 y () (4) 對邊, 稱為 的正切, 以 tan 表示, 即 tan
FZ1.s92
第 一 章 服 装 制 作 工 艺 基 础 知 识 第 一 节 服 装 术 语 服 装 术 语 是 服 装 技 术 专 用 语, 如 服 装 的 每 一 个 品 种 服 装 上 的 每 一 块 裁 片 服 装 制 作 过 程 中 每 一 种 操 作, 以 及 所 使 用 的 工 具 服 装 制 作 过 程 中 出 现 的 各 种 弊 病 和 要 达 到 的 某 些 质 量 要 求 等, 都 有 其
推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1
![推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1](/thumbs/65/52868443.jpg "推論. ( 定理 3 之延伸定理 ) 設正六邊形 ABCDEF, 有一點 P 滿足 [(1 t 1 t t 3 t 4 )a+(d+e+f)t 1 +(c e 3f)t +(c+d f)t 3 +(c+3d+e)t 4 ] P A +[(1 t 1 t t 3 t 4 )b+(d+3e+f)t 1")
1 讓我們來看 面 向 - 向量與多邊形的面積關係 臺北市立第一女子高級中學陳育婷指導老師楊健民 1 簡介 1.1 研究動機 上高中以後才學習到 向量 這個新名詞, 它讓我用不同的角度思考數學 ; 對於其應用之廣泛以及能證明多個定理感到驚奇 ; 此外它與幾何學也有極大的關係, 例如在高二時學到用向量分割出三角形的面積比, 恰好是點 P 到對頂點向量的係數比 : 設點 P 在 ABC 的內部且 m,,
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奧林匹亞國小數學單元本與各版本對照表單元本 : 每本 35 元班名 : 電話 : 總金額 : 南一版 南一 99.1 下奧林匹亞學用數量教用數量南一 99.4 下奧林匹亞學用數量教用數量 1 數到 50 118 1 乘法和除法 401 2 長度 114 2 概數 518 3 幾月幾日 115 3 小數的加減 421 4 18 以內的加法 112 4 統計圖表 511 5 18 以內的減法 112 5
第 2 單元三角函數編著 By 吳春鋒 一 有向角及其度量 1. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 角度與弧度 : 1() 1() 弧度 弧度 = 180 只有代表弧度時為 180, 其餘皆為 3.14 ( D )1. 角為 (A) 直角 (B) 鈍角
一 有向角及其度量. 有向角 : 角度往上為正, 往下為負 8. 角度與弧度 : () () 弧度 57.957 弧度 = 8 只有代表弧度時為 8, 其餘皆為.4 ( D ). 角為 (A) 直角 (B) 鈍角 (C) 平角 (D) 銳角. 5 等於 5 8 弧度 角度 弧度 6 45 4 6 9 5 5 6 8 7 6 看到角度 弧度, 8 擺分母 ; 看到弧度 角度, 擺分母. 扇形的弧長與面積
章節
試題 下列敘述何者正確? (1) 線段的射影一定是線段 () 線段的射影長不可能比原線段長 () 兩歪斜線在一平面 上的投影不會相交 (4) 兩平行線在同一平面的投影,必為兩平行線. 編碼 140016 難易 易 出處 康熹自命題 解答 (1) ; 可能是一點. () ; 最多與原線段等長. () ; 如圖, L 1 投影成 L, L 投影成 L 4, L 1, L 歪斜,但 L, L 4 有交點.
三角形內的比例線段 ( 二 ) 6 圖 (i) 由 Menelaus 定理, 得知 FA DB GC CF AD BG = GC BG = 4 再應用 Menelaus 定理 FG CB AD DF GC BA = FG DF = FI (ii) 將 =, FG =, 代入公式 I- ID 2 DF
三角形內的比例線段 ( 二 ) 劉俊傑 一. 前言 從本文開始, 我將嘗試以在第一篇文章中所得到的比例公式, 來進行嚴謹的邏輯推理, 導引出一系列關於平面幾何學的性質 我所要研究的主要圖形, 是在三角形各邊取等比例點, 連接它們形成新的小三角形, 然後重覆這個作圖方法, 如圖 A 所示, 為便於討論將稱之為比例三角形 線及共線點在這單純的圖形中, 等這些性質被推理證明後, 又由它們製造出新的平行線及點共線等題材,
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第一章三角 直角三角形的邊角關係 ( 甲 ) 正弦 餘弦與正切的定義 相似三角形其三邊長的比都是定值, 若是將相似的直角三角形擺放如右圖, 並且讓相同的內角 重疊, 只要 固定, 則這些直角三角形三邊長的比例是固定的 即 給定一銳角, 因為直角 ~ ~ ~, 所以 = =... 故上述的比值只受 的大小影響 θ 換句話說當銳角 的度數固定時, 作直角 ( 為直角 ), 那麼所作的三 角形, 其邊長大小不論如何改變,
學習流程最順暢 掌握概念 好精準 9 尺規作圖 上. 底數相同的乘方相乘 個 相乘 個 相乘 完整介紹指 數律後 再 探討指數的 特殊情形 的算法 我們可以發現 作圖概念說明 根據 的作法 在下列各式的 中填入適當的數 使等號成立 個 個 個 若 為整數 則. 當 時H 特殊情形 版 特殊情形 指數
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101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
相似三角形的判定 5 易 ( 海普陀区初三下质量调研 ) 下列条件中 能判定两个等腰三角形相似的是 ( ) 都含有一个 30 的内角 都含有一个 45 的内角 ; 都含有一个 60 的内角 都含有一个 80 的内角 答案 6 易 ( 第一学期期末考试九年级数学试卷 ) 根据你对相似的理解 下列命题中
知识构架一 相似的性质 1 相似形的性质 相似三角形的性质 3 相似三角形的判定 4 相似三角形的判定与性质二 基本模型 相似三角形判定和性质 典题精炼相似形的性质 1 易 ( 初一第二学期期中 ) 如图 从图甲到图乙的变换是 ( ) 轴对称变换 平移变换 旋转变换 相似变换 答案 易 ( 杭州萧山初一第二学期期中 ) 如图 将平行四边形 变换到平行四边形 其中 分别是 的中点 下列叙述正确的有 1
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
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以下將依據九年一貫數學部編教科書九年一貫數學部編教科書的章節內容, 以 MAXIMA 軟體解答國中三年級上學期例題 隨堂練習及自我評量以供國中生參考 目錄 國中三年級上學期 ( 第 5 冊 ) 第 1 章相似三角形 1-1 縮放 1- 相似三角形 1-3 相似形的應用第 章圓 -1 圓 - 圓與角 -3 圓與多邊形 -4 數學證明第 3 章二次函數 3-1 二次函數與圖形 3- 配方法與拋物線 國中三年級下學期
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以下將依據九年一貫數學部編教科書九年一貫數學部編教科書的章節內容, 以 MAXIMA 軟體解答國中三年級上學期習作以供國中生參考 目錄 國中三年級上學期 ( 第 5 冊 ) 第 1 章相似三角形 1-1 縮放 1-2 相似三角形 1-3 相似形的應用第 1 章綜合習題第 2 章圓 2-1 圓 2-2 圓與角 2-3 圓與多邊形 2-4 數學證明第 2 章綜合習題第 3 章二次函數 3-1 二次函數與圖形