第二章流体静力学

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徽尾韶
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1 第三章流体运动学本章在连续介质假设下讨论描述流体运动的方法根据运动要素的特性对流动进行分类本章的讨论是纯运动学意义上的不涉及流动的动力学因素连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束也在本章的讨论范围之中 3 描述流动的方法一. 拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法是质点系法它定义流体质点的位移矢量为 : b c 其中 b c b c 是拉格朗日变数即时刻质点的空间位置用来对连续介质中无穷多个质点进行编号作为质点标签欧拉法是流场法它定义流体质点的速度矢量场为 : 其中是空间点场点流体的其它物理特性和运动要素也都用对应于时间与空间域的场的形式描述二. 流体质点的加速度质点导数在拉格朗日观点下流体质点加速度的求法是比较简单的求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一二阶导数即可求导时 bc 作为参数不变意即跟定流体质点. 欧拉法中流体质点加速度的表达必须特别注意求加速度需要跟定流体质点于是均随变而且所以加速度. 建立时刻和时刻的流场图假设一流体质点在时刻位于场点时刻它到达场点在时刻的流场图上再标上与点处于同一位置的场点此时有另一个流体质点占据该场点根据加速度的定义可知其它定义在流体质点上的物理量对时间的导数也是相同的求法. 其中表示求质点导数全导数 ; 表示求时变导数当地导数或局部导数 ; 表示求位变导数迁移导数时变导数是由流场的不恒定性引起的把不随时间变化即的流场称为恒定流 3-

2 否则为非恒定流位变导数是由流场的不均匀性引起的把位变导数为零的流场称为均匀流否则为非均匀流 3 有关流场的几个基本概念一. 恒定流非恒定流若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化称流动为恒定流否则为非恒定流恒定流中所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间它们只是空间位置坐标的函数时变导数为零流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关二. 迹线和流线迹线是流体质点运动的轨迹是与拉格朗日观点相对应的概念拉格朗日法中位移表达式 b c 即为迹线的参数方程是变数 bc 是参数在欧拉观点下迹线的微分方程为 : 即 [ ] [ ] [ ] 流线是某瞬时对应的流场中的曲线该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切流线是与欧拉观点相对应的概念根据定义流线的微分方程为 l l i j k 即. 实际上这是两个微分方程其中是参数可解得两族曲面它们的交线就是流线族在恒定流情况下流线不随时间变迹线将沿着流线走两者重合即便如此迹线和流线仍是两个完全不同的概念除非流速为零或无穷大处流线不能相交也不能转折三. 流管和流量流管 : 过一封闭曲线上每一点的流线围成的管状曲面是瞬时概念过水断面 : 与流动方向正交的流管的横断面元流 : 过水断面为面积微元的流管中的流动总流 : 过水断面为有限面积的流管中的流动流量 : n 称为穿过曲面的体积流量 ρ n 称为质量流量定义曲面的侧决定法线指向指向不同流量将反号闭曲面的法向一般指所围区域的外法向过水断面流量和平均流速 : 过水断面流速与法向一致所以穿过过水断面流量大小 Q 为 Q 定义 v 为断面平均流速 3-

3 四. 均匀流非均匀流 ; 渐变流急变流把位变导数为零的流场称为均匀流否则为非均匀流由均匀流的位变加速度不难分析得知均匀流的流线必为相互平行的直线而非均匀流的流线要么是曲线要么是不相平行的直线恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零即流体质点的惯性力为零将作匀速直线运动若总流为均匀流其过水断面是平面由于均匀流是一个绝对的概念在工程实际中其判别标准难于完全满足所以将接近于均匀流的流动称为渐变流否则为急变流五. 流动按空间维数的分类任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象以便数学处理二维流动是指流场与某一坐标变量无关沿该坐标方向无速度分量如直角系中的平面流动 : ; 柱坐标系中的平面流动 : ; 柱坐标系中的轴对称流动 :. 3 3 流体微团运动的分析通过对流体微团内一点的流速在邻近点作台劳展开可对流体微团的运动进行分析 ω ω ω ω 是流体旋转角速度矢量 [ ] 是流体的变形速率张量对角线上三个元素是线变形速率其它是角变形速率变形速率张量是二阶对称张量以几个分量为例解释 ω 和 ] [ 的含义 : 表示单位时间单位长度流体线段的伸长表示流体直角减小速度之半 ω 表示流体两直角边旋转的平均速度等于直角平分线旋转速度 3-3

4 流速场的旋度 : 直角坐标系下 i j k. 流速场的旋度场形成了一个新的矢量场流速场的旋度是流体旋转角速度矢量的两倍 3 4 有旋流动和有势流动一. 无旋流动与有势流动的等价性一个矢量场的旋度处处为零称为无旋场若流体流动的速度场无旋就称为无旋流动也称为有势流动三. 有旋流动和有势流动的判别有势流动就是无旋流动所以有旋流动和有势流动的判别就在于流速场的旋度是否为零这样我们又可按照是否有旋来对流动进行分类需要提醒注意不要根据流线是直线或曲线来直观判别事实上流线是圆周的平面流动 : 恰恰是无旋的 ; 而流线是直线的平面流动 : k 恰恰是有旋的上 k / 述两个流动是否有旋也可用流体直角的平分线在流动中是否转动来说明 3 5 连续方程一. 三维流动的连续性微分方程连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束不满足连续方程的流动是不可能实现的连续介质的运动必须维持质点的连续性即质点间不能发生空隙因此根据质量守恒原理单位时间控制体内质量的增加等于穿越控制面流进控制体的质量流量在直角坐标系中取体积微元六面体直接对微元应用质量守恒定律建立微分形式 ρ 的连续方程单位时间微元内流体质量增量为单位时间通过左右一对表面 ρ 流出微元的流体质量为同理可知单位时间通过上下前后两对表面流出微元的流体质量根据微元内流体质量增量应该等于流入微元的流体质量即 3-4

5 得 : ρ ρ ρ ρ. 这就是直角系中的微分形式连续方程 ρ 微分形式连续方程可写成 ρ 其中 ρ ρ 的散度 ρ ρ ρ ρ ρ 是微分形式连续方程的一般表达式如果流动是恒定的那么连续方程成为 ρ. 由于 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 对于不可压缩流体确切定义为 ρ 连续方程成为而不论流动是否恒定若为 ρ cons 的情况显然也对速度场的散度是流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和也是流体微团的体积膨胀率即单位时间的相对膨胀不可压缩流体的体积膨胀率为零二. 恒定总流的连续性方程取出一段上游过水断面和下游过水断面之间的总流管作为控制体因限定总流流动为恒定流动所以控制体内的流体质量不随时间变化控制面包括总流的侧面侧和两个过水断面和侧上无流量根据质量守恒定律即可得出结论 : 在单位时间内通过流入控制体的流体质量等于通过流出控制体的流体质量即 ρ ρ. 这就是恒定条件下总流的连续方程它表明通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等又若流体不可压 ρ cons 则即 Q Q 或 v v. 也就是说通过两个过水断面的体积流量相等是 3-5

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Microsoft PowerPoint - CLecture2015_Note08 第二章重要要点迹线方程 : 流线方程 : dx dy dz u v w dx dy dz u v w dt 流体运动 : Translation ( 1) + (rigid body motion) Rotation (2) General motion = + Dilatation (3) (change in volume) + Angular deformation ( 4) (change

第二章 流体静力学

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