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佻肋国
4 years ago
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1 场论与复变函数主讲 : 徐乐 2014 年 9 月 24 日星期三

2 内容提要课程的教学目标与任务掌握场论的有关内容概念和方法, 使学生理解和掌握在力学电学电磁学等学科中所遇到的场的数学电磁学等学科中所遇到的场的数学背景, 掌握其运算的一般规律, 使学生得到抽象科学思维的训练, 提高学生数学素养和能力, 为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础本课程与其它课程的联系和分工场论是工科类专业学生的必修课程, 它揭示和探索了某种物理量 ( 如 : 温度密度电位力速度等等 ) 空间的分布和变化率, 是现代化科学中不可缺少的数学工具 lexu@mail.xidian.edu.cn 2

3 内容提要场论 (10 学时 ) 数量场和矢量场的概念 ; 数量场的等值面和矢量场的矢量线的概念 ; 数量场的方向导数和梯度的定义及计算 ; 矢量场的通量和散度的定义及计算 ; 矢量场的管量和旋度的定义及计算 ; 有势场管形场调和场的概念和意义重点难点重点 : 数量场矢量场的基本概念, 方向导数和梯度通量和散度环量和旋度的计算难点 : 方向导数和梯度通量和散度环量和旋度的计算哈密顿算子的应用 lexu@mail.xidian.edu.cn 3

4 内容提要基本要求正确理解数量场矢量场的基本概念, 理解数量场的等值面和矢量场的矢量线的意义正确理解数量场的方向导数及梯度的概念, 并会求一般函数沿给定方向的方向导数和梯度正确理解矢量场的通量及散度的意义, 熟练运用法则求一些矢量场的通量和散度正确理解矢量场的环量及旋度的意义, 会用基本公式求一些矢量场的环量和旋度理解有势场管形场调和场的基本概念, 会求有势场的势函数 ; 理解矢性算子 ( 哈密顿算子 ) 的一般概念 lexu@mail.xidian.edu.cn 4

5 场论数量场单值连续且具有一阶连续偏导等值面梯度方向导数矢量场矢量线散度旋度通量环量面密度环量 5

6 特殊矢量场有势场 A grad u A grad x y z v rota 0 uxy (,, z ) P ( x, y, z ) dx Q ( x, y, z ) dy Rxy (,, zdz ) 管形场调和场 x o o y o z o o o z diva 0 z z V z 0 A rotb y U Qxyzdz (,, ) Rxyz (,, ) dy 0 0 y P( x, y, z) dz W C(C 为任何常数 ) x y div A 0 vxy (, ) Pxy (, ) dx Q ( x, y ) dy x o o yo rota 0 x y uxy (, ) Qxy (, ) dx o Pxydy (, ) x o y o 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 6

7 特殊矢量场共轭调和, u v u v x y y x u x u y 2 2 v x 2 2 v y 共轭调和条件共轭调和函数拉普拉斯算子 x y z 调和量 u div(grad u) 拉普拉斯方程 u 0 拉普拉逊满足拉普拉斯方程, 且有二阶连续偏导数的函数, 叫做调和函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 7

8 哈密顿算子微分性算子哈密顿算子直角坐标系定义 : 梯度 : 散度 : 旋度 : A Ax Ay Az x y z 矢量性 xˆ yˆ zˆ x y z u u u gradu u xˆ yˆ zˆ x y z A A x y Az diva A x y z xˆ yˆ zˆ rota A x y z A A A x y z Nabla( 那勃勒 ) Del( 代尔 ) 数乘点积叉积 lexu@mail.xidian.edu.cn 8

9 哈密顿算子两个矢量恒等式 div(rot A) 0 ( A ) 0 旋无散 rot(grad u) 0 ( u) 0 梯无旋两个积分变换 Adl rotads Adl Ads L S L S 线面 S Ads V divadv Ads S V Adv 面体 lexu@mail.xidian.edu.cn 9

10 正交曲线坐标系拉梅系数坐标曲线弧微分 ds dx dy dz i q i 拉梅系数 ds 一般曲线的弧微分 H dq i i i H i x y z ( ) ( ) ( ) q q q i i i ds ds ds ds H dq H dq H dq dx dy dz lexu@mail.xidian.edu.cn 10

11 正交曲线坐标系圆柱坐标系 â 圆柱坐标系与直角坐标系的关系为 : P â 2 x y y arctan x z z 2 除 a z 外,a φ 和 a ρ 都会随点的位置而发生改变, 不是常矢但三者总保持正交且遵循右手螺旋法则 aˆ cos sin 0aˆ x aˆ sin cos 0 ˆ a y aˆ ˆ z a z a ˆ ˆ ˆ a aˆz x z â z ˆ y dl dl dlz h 1, h, hz 1 d d dz 11

12 球坐标系正交曲线坐标系球坐标系与直角坐标系的关系为 : r x y z x y arctan z arctan y x 2 2 z r P â r y â â a r,a φ 和 a θ 都会随点的位置而发生改变, 不是常矢三者总保持正交且遵循右手螺旋法则 aˆ sin cos sin sin cos ˆ r a x aˆ cos cos cos sin sin ˆ ay aˆ sin cos 0 aˆ z a ˆ ˆ ˆ a aˆr dlr dl dl h r 1, h r, h rsin dr d d x 12

13 正交曲线坐标系 1 正交曲面坐标系中的场分析 : ˆ 1 ˆ 1 a ˆ 1 a 2 a 3 梯度 : 散度 : 旋度 : h q h q h q u 1 u 1 u u aˆ ˆ ˆ 1 a2 a3 h1 q1 h2 q2 h3 q3 1 A [ ( hha 2 3 1) ( hha 1 3 2) ( hha 1 2 3)] hhh q q q 拉普拉斯运算 : haˆ 1 1 haˆ ˆ 2 2 ha A hhh q 1 q 2 q 3 ha ha ha hh 2 3 u hh 1 3 u hh 1 2u u [ ] 13 hhh q1 h1 q1 q2 h2 q2 q3 h3 q3

14 14

15 习题课 1.( 习题 1. 2 题 ). 设有定圆 O 与动圆 C, 半径均为 a, 动圆与定圆外相切且滚动 ( 如图 1) 求定圆上一定点 M 所描述曲线的矢量方程 OM OC CM AOC= AOC= MCO=θ θ lexu@mail.xidian.edu.cn 15

16 习题课解 : 延长 OC 至 D, 过 C 做 CB Ox 轴, 则有 DCB =θ; 又因 AN MN, 故有 MCO=θ; 从而 BCM= 2 则矢量与 x 轴正向的交角为 : ( 2 ) CM 即 CM a cos ( 2 ) iˆa sin ( 2 ) ˆj 于是有 OC 2a cos iˆ 2a sin ˆj 从而 r OM OC CM (2acos acos2 ) iˆ (2asin asin 2 ) ˆj lexu@mail.xidian.edu.cn 16

17 习题课 2 2.( 习题 1. 9 题 ). 计算 e ( ) d 解 : 用分部积分法 : 2 e d ( ) e ( ) 2 e ( ) d 2 e1 ( ) 2 e( ) 2 e( ) d 2 e1( ) 2 e( ) 2 e1( ) C 2 2 e ( ) (2 ) e ( ) C 1 lexu@mail.xidian.edu.cn 17

解 : grad u (2 xyz iˆx z ˆj 3 x yz k) M 3 2 3 2 2 ˆ M

18 习题课 ( 习题 3. 3 题 ). 数量场 u x yz 在点 M(2,1, -1) 处沿哪个方向的方向导数最大? 这个最大值又是多少? 解 : grad u (2 xyz iˆx z ˆj 3 x yz k) M ˆ M grad u 4 iˆ 4 ˆj 12 kˆ 故知函数 u 沿 M 方向导数为最大, 这个最大值为方向的 grad u M lexu@mail.xidian.edu.cn 18

19 习题课 4.( 习题 4. 6 题 ). 设 a 常矢, r x i y j z k 求 ⑴ div( ra ) ;⑵ div ( r n a ) (n 为整数 ) ( ) 0 r r a div ra rdiva gradr a a r r 解 :⑴ ( ) 0 div( r a) r diva grad r a 0 nr r a nr r a. n n n n 2 n 2 ⑵ lexu@mail.xidian.edu.cn 19

20 习题课 5.( ( 习题题 ). 设函数 u(x,y,z) ( ) 及矢量 A Pxyz (,, ) iqxyz (,, ) jrxyz (,, ) k 的三个坐标函数都有二阶连续偏导数, 证明 ⑴ rot( grad u) ; 0 ⑵ div( rot A) 0 证 : ⑴ rot ( gradu ) rot ( u i u j u k x y z ) ( u u i ( u u ) j ( u u ) k zy yz) xz zx yx xy 因函数 u(x,y,z) 有二阶连续偏导数, 故有 u yz u zy, u xz u zx, u yx u xy 因此有 rot ( grad u) 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 20

21 习题课 ⑵ div( rot A) div ( Ry Qz) i ( Pz Rx) j ( Qx Py) k ( R Q ) ( P R ) ( Q P ) yx zx zy xy xz yz 因函数 P,Q,R 均有二阶连续偏导数, 故有 P zy, Q Q, Pyz xz zx Ryx Rxy 因此有 div( rot A) 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 21

22 习题课 6.( 习题 6. 1 题 ). 证明矢量场为有势场, 并用公式法和不定积分法求其势函数 A ycos xy i xcos xyjsin zk 解 :⑴ 记 P ycos xy, Q xcos xy, R sin z. 则 i j k rota x y z P Q R 0i 0 j (cos xy xy sin xy) (cos xy xy sin xy) k 0 lexu@mail.xidian.edu.cn 22

23 习题课公式法 : x y z v Px (,0,0) dx Qxy (,,0) dy Rxyz (,,) dzc1 0 0 x y 0 dx xcos xy dy sin z dz C sinxy cosz 1C cos z sin xy C. 1 z o 1 lexu@mail.xidian.edu.cn 23

习题课不定积分法 : 因势函数 v 满足 A grad v, 即有 vx ycos

24 习题课不定积分法 : 因势函数 v 满足 A grad v, 即有 vx ycos xy, vy xcos xy, v 将第一个方程对 x 积分, 得对 y 求导得与第二个方程比较, 知与第三个方程比较, 知 sin z. v sin xy( y, z), v x xy y z y ' cos y(, ) z, 故 ' ( yz, ) 0 ( yz, ) ( z) v sin xy ( z), 故 ' ( z) sinz ( z) cosz C vcos zsin xyc lexu@mail.xidian.edu.cn 24

25 习题课 7.( ( 习题 7. 2 题 ). 证明 ( AB) A( B) ( A) BB( A) ( B) A. [ 提示 : cab ( ) ( acb ) a( cb). ] 证 : ( AB) ( AcB) ( ABc) ( Ac B ) ( Ac ) B Ac ( B ) ( A) B A( B) ( AB ) ( B A) ( B) AB( A) c c ( AB ) A ( B ) ( A ) B B ( A ) ( B ) A lexu@mail.xidian.edu.cn 25

26 习题课 8.( 习题 7. 2 题 ). 计算球面坐标 ( r,, ) 的拉梅系数解 : 利用拉梅系数的定义式 (2.2) H i 的球面坐标系的拉梅系数 x y z i q q q ( ) ( ) ( ),( 1,2,3) i i i H 1, H r, H rsin. r lexu@mail.xidian.edu.cn 26

27 习题课由于球面坐标系是正交的, 故亦可用公式 (2.9) 来计算 dx dy dz H dq H dq H dq lexu@mail.xidian.edu.cn 27

. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.

() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :