Microsoft PowerPoint - CLecture2015_Note08

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尘黎
4 years ago
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1 第二章重要要点迹线方程 : 流线方程 : dx dy dz u v w dx dy dz u v w dt 流体运动 : Translation ( 1) + (rigid body motion) Rotation (2) General motion = + Dilatation (3) (change in volume) + Angular deformation ( 4) (change in sha pe)

2 2.3 流体微团的变形和旋转 Helmholtz 速度分解定理 : 流体微团的运动 ( 速度 ) 可以分解为四部分, 即 (1) 平移运动 ;(2) 旋转运动 ; (3) 线变形运动 ;(4) 角变形运动

3 2.3 流体微团的变形和旋转微团上某点 M(x, y, z), 其邻近一点为度为 V, 则 M '( x dx, y dy, zdz) M ', 设 M 处流体速 V V V V x y z M M M M ' V M x y z ( u u u u dx dy dz) i ( ) j ( ) k x y z [ u u 1 u v 1 u w dx ( ) dy ( ) dz x 2 y x 2 z x (1) (3 ) (2) 1 u v 1 u w ( ) dy ( ) dz] i ( ) j ( ) k 2 y x 2 z x (4) (5)

4 2.3 流体微团的变形和旋转 Helmholtz 速度分解定理可以写成张量形式 : 令 r dx idyjdzk 有 V V0 Erωr 平移速度变形速度旋转角速度

5 变形率 ( 张量 ) 旋转速度 ( 矢量 ) 2.3 流体微团的变形和旋转 1 u u i j shear rate tensor E = eij 2 x j x i 1 rate of rotation ωxi y j zk ζ (vorticity) 2 涡量 2 vorticity ζ = Ω V (curl of velocity) i j k x y z u v w w v u w v u i j k y z z x x y x y z

6 2.4 有旋运动和无旋运动定义 : 如果流场中某一区域内处处有涡量为零,, 则流体在这一区域的运动是无旋的 (irrotational), 否则, 流体的运动就是有旋的 (rotational) Ω,, =0 x y z =0 v u w v u w z 0, x 0, y 0 x y y z z x

7 2.4 有旋运动和无旋运动例子 1 已知二维速度场 u y, v x, 问流场是有旋运动还是无旋运动, 运动流体微团会否发生变形? v x u y 解 : 2, 0, 0 z x y 所以是有旋运动 xx yy zz xy xz yz 0 0 由上分析, 该运动是有旋, 但无变形用来描述龙卷风核心区流动

8 例子 2 已知二维速度场 2.4 有旋运动和无旋运动有旋运动还是无旋运动, 运动流体微团会否发生变形? 解 : u y x, v 2 x y 2 x y 1 v u x y 0, z ( ) 0 2 x y xy xx 0, yy zz 2 ( x y ) 0 xy yx zx,, 问流场是此流动为有变形无旋运动, 可用来描述龙卷风的核心区外运动

9 2.4 有旋运动和无旋运动该运动是有旋, 但无变形用来描述龙卷风核心区流动此流动为有变形无旋运动, 可用来描述龙卷风的核心区外运动

10 2.4 有旋运动和无旋运动例子 3 直线运动 v u y y h v h max 2 (2 / ), 0 0 xx yy zz 1 2 y x max x y 0, z ( ) (1 y/ h) 0 xy v v v x y h v v v y 2 x y h h 1 ( y x ) max (1 ) 0 这是一种有旋有变形的流动

11 2.4 有旋运动和无旋运动例子 4 匀速直线运动 u v0 const, v 0 xx yy zz 0 0 xy yz zx 0 x y z 是一种既无旋又无变形的运动

12 2.4 有旋运动和无旋运动例子平面直角坐标系中的无旋条件为 0 试导出平面极坐标系下无旋条件的表达式解 : 平面极坐标 (, r ) 与直角坐标 ( x, y) 之间的关系为 : 这里 : x rcos, y rsin 2 2 y r x y arctan( ) x 两坐标系中速度间的关系为 : u vr cos v vv sin v r sin cos v x u y

13 2.4 有旋运动和无旋运动微分算子之间的关系为 x y cos sin r x r y r x y x y rsin rcos x y x y 从而可解得 cos sin x r r sin cos y r r

14 2.4 有旋运动和无旋运动 v x u y 平面直角坐标系中的无旋条件为 0, 转化为极坐标系为 v (cossin )( vr sinv cos ) x r r vr 2 vr vr sin cosvr cos0 sin sincos r r r 2 vv v 2 cos v cos0 sincos sin r r r u (sincos )( vr cosv sin ) y r r vr 2 vr vr sin cosvr sin0 cos sincos r r r 2 vv v 2 sin v sin0 sincos cos r r r

15 2.4 有旋运动和无旋运动 v u v v v r x y r r r (cos sin ) (sin cos ) (sin cos ) 0 即 v v v r r r r 0 或 ( rv ) v r r 0

16 2.5 速度势速度势 (velocity potential) 针对无旋运动流体流函数 (stream function) 针对不可压缩流体

17 2.5 速度势根据空间格林定理 : 设 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 及其偏导数 P y, P z Q Q R R,,,, z x x y 等在空间闭区域中及其边界上皆为单值连续函数, 若在区域中下式成立 : Q z R x P y R y P z Q x 则必存在一个由如下线积分所定义的函数, 这个函数是有势的, 称为势函数 : F(x,y,z) F( x, y, z) Pdx Qdy Rdz

18 2.5 速度势这一积分与路径无关, 且有如下关系 : F x F y F z P Q R F F F F ( x, y, z) dx dy dz x y z

19 2.5 速度势对于无旋运动, 有 ω=0, 即 : v w z y w u x z u v y x 对照 Q R z y R P x z P Q y x u v w P Q R

20 从而存在一个函数 : 2.5 速度势 ( x, y, z; t) udx vdy wdz 且有如下关系 : x y z u v w 即 : V 称 φ 为速度势, 存在速度势的流动称为势流 (potential flow) 无旋 v o 势流

21 2.5 速度势速度势的重要意义 : 速度势 φ 是标量, 只有一个分量 ( x, y,. z; t) udxvdy wdz 速度 V 是矢量, 有三个分量 u x v y w z 无旋速度场势流

22 2.5 速度势例子已知一有旋流动的速度分布为 2 2 u 2 xa y, v xa y 其中 a 为常数现有一无旋流动, 其流体线性变形速度和角变形速度处处与上面有旋流动相同, 且原点速度为 0, 即当 x y 0 时, u v 0 解 : 所给有旋流动的变形速度为 :, 求无旋流动的速度分布和速度势线变形速度 : 角变形速度 : xx xy u v 2 y, yy 2y x y 1 v u v u 2x 4x 2 x y x y 由题目条件知道, 无旋流动的流体线性变形速度和角变形速度处处与上面相同此外, 无旋流动必须满足 v x u y 0 (a) (b) (c)

23 v x 由 (c)+(b) 得 : 2 把上式代入 (a) 式, 可得 u y 由 (c)-(b) 得 : 2 x x 即速度势 v x f( y) 2 f ( y) 2 y, 即 f( y) y C1 即 u 2 xy g( x) 把上式代入 (a) 式, 可得 g( x) 0, 即 g( x) C2 上面 C 和 C 是积分常数, 由条件 x y 得到 : C 1 C 2 0 时, u v 0, 从而得到速度分布为 : u 2 xy, v x y 2 2 (x, y) 速度势为 : = 2 2 u dx vd y 2xyd x ( x y )d y ( x,0) ( x, y) ( x, y) 1 0 x y dy x y y 3 (0,0) ( x,0) ( x,0) (0, 0) (x, 0)

24 第二章重要要点描述流体运动的两种方法 : Lagrange 方法,Euler 方法随体导数 : D Dt t V 迹线方程 : 流线方程 : dx dy dz u v w dx dy dz u v w dt

25 第二章重要要点流体微团的运动和变形 ω 1 w vu w v u V xi y j zk i j k 2 y zz x x y Helmholtz 速度分解定理 V V0 Erωr e ij 1 2 u x i j u x i j 有旋运动和无旋运动 Ω,, =0 x y z 速度势 : 针对无旋运动流体 V, (,, ; ) x y z t udx vdy wdz

26 第三章流体动力学

27 3.1 流体动力学的两个研究途径流体动力学的两个研究途径 : 系统途径和控制体途径 (1) 系统途径 (System approach): 或称为物质体 (material volume) 途径对由确定的流体质点所组成的流体团系统的动力特性进行研究 Follow the fluid as it moves and deforms; no mass crosses the boundary 与 Lagrange 法对应 (2) 控制体途径 (Control volume approach): 对一个固定空间控制体的流体动力特性进行研究 Consider the changes in a certain fixed volume; mass can cross the boundary 与 Euler 法对应雷诺输运定理 (Reynolds Transport Theorem (RTT))

28 3.1 流体动力学的两个研究途径系统 (system): 由确定的流体质点组成的流体团物质体积 (Material Volume): 由系统的流体团构成的体积 (a volume that contains the same fluid as it moves and deforms following the motion of the fluid.) 物质表面 (Material Surface): 物质体积的封闭表面 (enclosing surface of a material volume; by definition no fluid particles can cross it.)

3.1 雷诺输运定理控制体 (control volume): 一个空间体积控制体积 (control Volume): 由一个固定空间构成的体积 (a volume of fluid in a flow field, usually fixed in space, to be occupied by different

29 3.1 雷诺输运定理控制体 (control volume): 一个空间体积控制体积 (control Volume): 由一个固定空间构成的体积 (a volume of fluid in a flow field, usually fixed in space, to be occupied by different fluid particles at different times.) 控制表面 ( control Surface): 控制体积的封闭表面 (imaginary or physical enclosing surface of a control volume, fluid particles can cross it)

微积分授课讲义

微积分授课讲义 2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω