<4D F736F F F696E74202D D3020B5E7B6AFC1A6D1A7D4A4B1B8D6AACAB62D322E BBCE6C8DDC4A3CABD5D>

Size: px

Start display at page:

Download "<4D F736F F F696E74202D D3020B5E7B6AFC1A6D1A7D4A4B1B8D6AACAB62D322E BBCE6C8DDC4A3CABD5D>"

镜瑞班
5 years ago
Views:

1 电动力学李涛 ttp://dsl.nj.d.cn/litao

2 引言 Intodction 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质运动规律以及它和带电物质之间的相互作用电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论, 主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律, 建立 Mawll s qations 讨论稳恒电磁场讨论稳恒电磁场电磁波传电磁波传播电磁波辐射及电动力学的参考系问题电磁波辐射及电动力学的参考系问题

3 课程的主要目的 : 掌握电磁场的基本规律, 加深对电磁场性质和时空概念的理解 ; 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力, 为以后解决实际问题打下基础 ; 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习, 更深刻领会电磁场的物质性, 帮助我们加深辩证唯物主义的世界观

4 学习电动力学课程的主要意义是 : 在生产实践和科学技术领域内, 存在着大量和电磁场有关的问题例如电力系统凝聚态物理天体物理粒子加速器等, 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题在迅变情况下, 电磁场以电磁波的形式存在, 其应用更为广泛无线电波热辐射光波 X 射线和 γ 射线等都是在不同波长范围内的电磁波, 它们都有共同的规律因此, 掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义

5 电动力学课程特点 : 比电磁学难, 主要体现在思维抽象习题难解等为此, 在学习时要注意掌握好概念原理结构和方法, 这些在听课阅读复习小结和总复习时都要注意做到, 既见树木, 更见森林要在数学与物理结合上下硬功夫, 培养物理与数学间相互翻译的能力, 能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导, 并明确它们的物理意义和图象

6 参考书 : 电动力学电动力学郭硕宏编高等教育出版社尹真编南京大学出版社 Classical Elctodnamics J.D.Jackson J 4 电动力学 Pali 5 Classical Elctodnamics and To o Rlativit Saipov R..

7 学习成绩评定方法 : 总成绩 = 平时成绩 0% + 期中考试 % + 期终考试成绩 50-60%

8 内容大纲第一章电磁现象的普遍规律. 电荷与电场. 电流与磁场. 麦克斯韦方程组.4 介质的电磁性质.5 电磁场边值关系.6 电磁场的能量与能流

9 内容大纲第二章静电场. 标势及其微分方程. 唯一性定理. 拉普拉斯方程及分离变量法 4.4 镜像法.5 格林函数法 6.6 电多极矩第三章静磁场. 矢势及其微分方程. 磁标势. 磁多极矩.4 -B 效应.5 超导体的电磁性质

10 内容大纲第四章电磁波的传播 4. 平面电磁波第五章电磁波的辐射 5 5. 电磁场的矢势和标势 4. 电磁波在介质界面的反射与折射 5. 推迟势 4. 导体存在时的电磁波传播波导和谐振腔 5. 电偶极辐射 5.4 磁偶极辐射与电四极辐射 4.5 高斯光束 5.5 电磁波的干涉和衍射等离子体 5.6 电磁场的动量

11 内容大纲第六章狭义相对论 6 6. 相对论的实验基础 6. 相对论基本原理与洛伦兹变换狭义相对论时空 6. 相对论的时空理论 6.4 相对论理论的四维形式 6.5 电动力学理论的协变性相对论力学与电动力学相对论动力学

12 第 0 章预备知识矢量场论复习 Plimina Knowld Rvis in t Vcto Fild To

13 本章重点阐述梯度散度旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式, 它们三者之间的关系其中包括两个重要定理 : 即 Gass tom 和 Stoks tom, 以及二阶微分运算和算符运算的重要公式

14 主要内容标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度算符高斯定理斯托克斯定理在正交曲线坐标系中运算的表达式二阶微分算符格林定理张量及其运算

15 0- 标量场的梯度, 算符 Gadint o Scala Fild, Opato

16 场的概念TConcptoFild o 场是用空间位置函数来表征的在物理学中, 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律如果物理量是标量, 那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值, 则称此空间为标量场如电势场温度场等温度场等如果物理量是如果物理量是矢量, 那么空间每一点都存在着它的大小和方向, 则称此空间为矢量场矢量场如电场速度场等速度场等若场中各点处的物理量不随时间变化, 就称为稳定场, 否则, 称为不稳定场

17 方向导数 Dictional Gadint 方向导数是标量函数在一点处沿任意方向 l l 的方向有关, 对距离的变化率, 它的数值与所取的方向有关, 一般来说, 在不同的方向上的值是不同的, 但 l P l 它并不是矢量如图所示, l 为场中的任意方向, P 是这个方向线上给定的一点,P 为同一线上邻近的一点 P l P

18 ll 为 p 和 p 之间的距离, 从 p 沿 l 到 p 的增量为若下列极限存在, 则该极限值记作 p 处沿 l 的方向导数梯度 Gadint p p p p lim lim l0 l l0 l l P l, 称之为标量场在由于从一点出发, 有无穷多个方向, 即标量场在一点处的方向导数有无穷多个, 其中, 若过

19 该点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数, 则可引进梯度概念记作 ad nˆ nn 称之为在该点的梯度 ad 是 adint 缩写, 它是一个矢量, 其大小 ad ma, 其方 n l 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向, 即表示方向导数与梯度的关系 : nˆ

20 p 0 θ p p nˆ l nˆ 是等值面 c 等值面 c 向增长的方向表示过显见, 当 p p p 等值面 c 上 p 点法线方向单位矢量它指 l 表示过 p 点的任一方向方向 p p p p0. cos 0, p 0 0时,

21 所以所以所以所以 0 lim 0 p p p p p p l 0 lim cos 0 0 p p P p p p p l 0 lim cos 0 p p p p cos p n 即 cos n l cos

22 该式表明 : cos nˆ l ad l l n n 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影梯度的概念重要性在于, 它用来表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度 4 算符哈密顿算符 Hamilton Fncto 算符既具有微分性质又具有方向性质在任意方向 l 上移动线元距离 dl, 的增量 d 称为方向微

23 分, 即 d dl ll dl 显然, 任意两点值差为 B dl B

24 0- 矢量场的散度高斯定理 Divnc o Vcto Fild, Gass s Tom

25 通量 Flid 一个矢量场空间中, 在单位时间内, 沿着矢量场 v 方向通过 ds 的流量是 dn,, 而 dn 是以 ds 为底, 以 v cosθ 为高的斜柱体的体积, 即 dn v cos ds v 称为矢量通过面元 v ds ds 的通量对于有向曲面 s,, 总可以将 s 分成许多足够小的面元 ds, θ 于是通过 nˆ v ds

26 曲面 s 的通量 N 即为每一面元通量之积 N 对于闭合曲面 s,, 通量 N 为散度 Divnc N v s v s ds ds 设封闭曲面 s 所包围的体积为 V s ds / V, 则

27 就是矢量场在 V 中单位体积的平均通量, 或者平均发散量当闭合曲面 s 及其所包围的体积向其内 V 某点 M 收缩时, 若平均发散量的极限值存在, 便记作称为矢量场写 div lim V 0 在该点的散度 div s ds V div 是 divnc 的缩散度的重要性在于, 可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度, 当 div 0,, 表示该点有散发通量

28 的正源 ; 当 div 0, 表示该点有吸收通量的负源 ; 当 div 0, 表示该点为无源场高斯定理 Gass s Tom s ds V dv 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分, 反之亦然

29 0- 矢量场的旋度斯托克斯定理 Rotation o Vcto Fild, Stok s Tom

30 矢量场的环流 T Cicmlnc o Vcto s Fild 在数学上, 将矢量场沿一条有向闭合曲线 L 即取定了正线方向的闭合曲线的线积分 c L d l 称为沿该曲线 L 的循环量或流量旋度 Rotation 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近, 那么

31 以闭合曲线 L 为界的面积 S 逐渐缩小, dl 也将逐 L 渐减小, 一般说来, 这两者的比值有一极限值, 记作 lim s0 L dl s 即单位面积平均环流的极限它与闭合曲线的形状无关, 但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 nˆ, 且通常 L 的正方向与规定要构成右手螺旋法则, 为此定义 nˆ dl L ot lim nˆ s0 s

32 称为矢量场的旋度 ot 是 otation 缩写旋度的重要性在于, 可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度, 如果场中处处 ot 0 称为无旋场斯托克斯定理 Stok s Tom L dl ds s 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分, 反之亦然

33 0-4 正交曲线坐标系中运算的表达式 Epssion o Opation on Otoonal Cvilina Coodinats Fam

34 度量系数 Masmnt Coicnts 设,, 是某点的笛卡儿坐标,,, 是这点的正交曲线坐标, 长度元的平方表示为 dl d d d 其中 d d d i i i i i,,

35 称度量系数度量系数或或拉梅系数拉梅系数, 正交坐标系完全由三, 正交坐标系完全由三称度量系数度量系数或或拉梅系数拉梅系数, 正交坐标系完全由三, 正交坐标系完全由三个拉梅系数个拉梅系数,, 来描述来描述哈密顿算符哈密顿算符梯度散度旋度拉普拉斯算梯度散度旋度拉普拉斯算哈密顿算符哈密顿算符梯度散度旋度及拉普拉斯算梯度散度旋度及拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式在正交曲线坐标系下的一般表达式 T Gnal Epssion o Hamilton Opato, Gadint, Divnc, Rotation and Laplac Opato in Otoonal Cvilina Coodinats

37 其中其中为正交曲线坐标系的基矢 ; 为正交曲线坐标系的基矢 ;,, 是一个标量函数 ; 是一个标量函数 ; 是个矢是个矢,, 是一个矢是一个矢量函数, 只有在笛卡儿坐标系中, 量函数, 只有在笛卡儿坐标系中,,,, 在其它正交坐标系中, 在其它正交坐标系中 i i

38 不同坐标系中的微分表达式 Dinc Epssion in Dint Coodinats a 笛卡儿坐标 p 为常数平面,, 为常数平面 =, =, = =, =, =

40 b 圆柱坐标系坐标变量 : = =φ = 与笛卡儿坐标的关系 : =cosφ =sinφ φ 为常数平面为常数平面 = 拉梅系数 : = = φ 为常数平面 =

42 将应用于圆柱坐标可得应用于圆柱坐标可得 :

43 c 球坐标系 θ 为常数平面为常数平面 φ,θ,φ θ φ 为常数平面

44 坐标变量 : 坐标变量 :,, 与笛卡儿坐标的关系 : 与笛卡儿坐标的关系 :,, cos sin sin cos sin 拉梅系数 : 拉梅系数 : cos, sin sin, cos sin sin,, sin sin sin i sin sin sin

45 sin sin sin sin sin sin

46 i sin sin sin 其中其中 sin sin sin sin

47 sin sin cos ct sin sin sin

48 0-5 二阶微分算符格林定理 Scond-od od Dinc Opato, Gn s Tom

49 一阶微分运算 Fist-od Dinc Calclation 将算符直接作用于标量场和矢量场, 即分别得到梯度散度和旋度, 即叫一阶微分运算举例 :,, 这些都 a 设为源点与场之间的距离, 的方向规定为源点指向场点, 试分别对场点和源点求的梯度

50 第一步 : 源点固定, 第一步 : 源点固定, 是场点的函数, 对场点是场点的函数, 对场点第步 : 源点固定, 第步 : 源点固定, 是场点的函数, 对场点是场点的函数, 对场点求梯度用求梯度用表示, 则有表示, 则有场点观察点场点观察点场源点坐标原点 o 坐标原点而而

51 同理可得 : 同理可得 : 同理可得 : 同理可得 : 故得到 : 故得到 :, 故得到 : 故得到 : ˆ

52 第二步 : 场点固定, 第二步 : 场点固定, 是源点的函数, 对源点求梯度第二步 : 场点固定, 是源点的函数, 对源点求梯度第二步 : 场点固定, 是源点的函数, 对源点求梯度是源点的函数, 对源点求梯度用表示表示而同理可得 : 同理可得 :,

53 所以得到 : 所以得到 : 所以得到 : 所以得到 : ˆ 作业作业作业作业 :? 求和 b b 设是空间坐标是空间坐标,,,, 的函数, 证明的函数, 证明 d d d

54 证 : 这是求复合函数的导数梯度, 按复合函数微分法则, 有 d d d d d d d d d 证毕 d

55 c c 设 c c 设求和解 : 解 : 而而同理可得同理可得故有.

56 . 那么那么这里这里这里这里同理可得同理可得. 故有故有.

57 由此可见 : d 设是空间坐标,, 的函数, 证明 d d 证 : d d d d d d d d d d 证毕.

58 设是空间坐标是空间坐标,,,, 的函数, 证明的函数, 证明设是空间坐标是空间坐标,,,, 的函数, 证明的函数, 证明 d 证 : 证 : d d d d d d d d d d d d d

59 d d d d d d d d 证毕. 二阶微分运算二阶微分运算 Calclation o Two-od od Dinc 将算符作用于梯度散度和旋度, 则称为二阶微分运算, 设为标量场,, 为矢量场

60 并假设和,, 则不难得到 : 的分量具有所需要的阶的连续微商标量场的梯度必为无旋场矢量场的旋度必为无散场 0 无旋场可表示一个标量场的梯度若 0, 则 4 无散场可表示一个矢量场的旋度若 0, 则 0

61 5 标量场的梯度的散度为标量场的梯度的散度为 5 标量场的梯度的散度为标量场的梯度的散度为 6 矢量场的旋度的旋度为矢量场的旋度的旋度为 6 矢量场的旋度的旋度为矢量场的旋度的旋度为运算于乘积运算于乘积 Calclation o Mltiplication wit Calclation o Mltiplication wit 0

62 0

63 0 0 0

65 4 4 5

66 6 6 根据常矢运算法则根据常矢运算法则根据常矢运算法则根据常矢运算法则 b a c a c b c b a 则有则有 : 故有故有故有 : 故有 :

67 根据常矢运算法则根据常矢运算法则根据常矢运算法则 : 根据常矢运算法则 : c b a b c a c b a 则有则有 c b a b c a c b a

68 8 8 因为因为故有故有从而得到 : 从而得到 : 从而得到 : 从而得到 :

69 哈密顿算符的乘积运算哈密顿算符的乘积运算 0 哈密顿算符的乘积运算哈密顿算符的乘积运算 0

70 4 格林定理Gn s tom s 将上式由 Gass s tom 得到 : ds 与 v dv 交换位置, 得到 s s 以上两式相减, 得到 v v dv d dv 定理 I d s s v dv 定理 II

71 5 常用几个常用几个公式作业设试求 : a a a 为常矢. b a a 为常矢. c d E0sin k E0, k为常矢 E 0 i k

72 0-6 张量并矢张量运算 Tnso dad

73 并矢和张量两个矢量和 B 并列写为 B, 之间不作任何运算, 称作并矢或张量张量的基 : B i j B B B B B B j i B i j B B B i j B B B

74 或者写为 : j i j i ij B 用矩阵形式表示为 : j i B B B B B B B B B B B B B B

75 并矢有 9 个分量, 若 ij ji, 称为对称张量, 它有六个独立分量 ; 若 ij ji, 称为反对称张量, 它只有三个独立分量二阶张量 :B, 三阶张量 :BC 张量的代数运算

76 张量的加法 D ij D ij ij i j 张量与标量相乘张量与矢量点积 ij ij i j 张量与矢量矢积 C C B C C B C B B C C C B C B C BC BC C C

77 张量与张量的一次点积 D B CD B C D 张量与张量的二次点积张量收缩或缩并 : D B : CD B C D ij ij D ij 单位张量 I i j i j i j

78 标量与单位张量乘积 I 矢量与单位张量点积 I I 张量与单位张量点积张量与单位张量缩并 I I : I I : t I :

79 4 张量分析哈密顿算符既有矢量特性又有微分运算作用, 张量乘法运算仅对并矢的近邻矢量有作用常用微分公式 I B B I B

80 常用积分公式 V d V ds d ds S S

电动力学习题课 - 第一章

电动力学习题课 - 第一章电动力学习题课第一章 Cheng-Zong Ruan Department of Astronomy, BNU September 26, 2018 ElectroDynamics, exercise class chzruan 1/25 第一章作业从静电场麦克斯韦方程的积分形式 E = 0( 静电场无旋 ). L E dl = 0 推导微分形式从毕奥 - 萨法尔定律 (2.8) 式推导磁场旋度和散度公式