8.1 基本方程及其简单应用 基本方程 理想约束的完整有势系统 L=T-V d dt =0, =1, 2,, s q q 存在非有势力的理想约束的完整系统 d dt = Q q q, =1, 2,, s 注 : 通常约束力不出现在动力学方程中 ; 方程组的数目等于 自由度数 ; 每一个方程都是二阶常
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1 第八章 拉格朗日动力学
2 8.1 基本方程及其简单应用 基本方程 理想约束的完整有势系统 L=T-V d dt =0, =1, 2,, s q q 存在非有势力的理想约束的完整系统 d dt = Q q q, =1, 2,, s 注 : 通常约束力不出现在动力学方程中 ; 方程组的数目等于 自由度数 ; 每一个方程都是二阶常微分方程
3 简单应用 处理问题的基本步骤 ( 套路固定 ): (1) 判断是否为理想约束的完整有势系统 (2) 判断系统自由度并选择合适的广义坐标 (3) 将 L=T-V 表示成只含广义坐标 广义速度和时间的函数 * (4) 对于有势系统, 将 L 代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程 (5) 对于非有势系统, 还通过定义要求出非有势力对应的广义力, 连同 L 一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程注 : 从处理问题角度来看, 拉格朗日方法比较规范, 不需要太多的技巧 不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案.
4 例题 1 质量为 m 的质点, 被约束在半顶角为 α 的光滑固定圆锥面上运动, 试通过拉格朗日方程, 写出质点的运动微分方程. 解 : 此为理想约束完整有势系. 建立图示本征系 Oxyz 以及取柱坐标 ρ,θ,z 面内运动自由度为 2, 可选 ρ,θ 为广义坐标. v= e e ż e z =z tan T = m 2 2 csc V =mgz=mg cot L=T V = m 2 2 csc mg cot 代入拉格朗日方程得到 csc 2 2 g cot =0 d 2 dt =0 2 =const.
5 例题 2 求弹簧摆的振动方程. 已知质量为 m 的摆锤挂在轻弹簧上, 弹簧一端固定于点 O 并能在 xy 面内自由旋转. 弹簧的自然长度为 l, 劲度系数为 k. ρ 解 : 理想约束完整有势系. 自由度为 2, 选极坐标 ρ,θ 为广义坐标. T = m , V = mg cos k 2 l 2 将 L=T-V 代人拉格朗日方程可得... mg 2 g cos k m l =0 2 g sin =0 大角度摆 对于在小角度平衡位置附近的微振动, 上述方程可化为... g l 0 =0, k m =0, 其中 l 0 =l mg k, = l 0
6 对称性与守恒量的关系 8.2 守恒定律 定义 对称性: 力学系统在坐标或时间的变换下的不变性 反映为在该变换下系统的拉格朗日函数不变. 例如 : 若,L x, y, z, ẋ, ẏ,ż,t =L x, y, z, ẋ, ẏ, ż,t 我们说系统在 x 方向的平移 ( 变换 ) 下不变, 即具有对称性 容易证明, 这等价于说 / x=0. 定义 连续变换 : 变换过程中系统的坐标或时间 可以表示成随某个参数连续变化的形式. 例如 : q Q, Q 0 =q t, 0 =t, 且, 且 lim 0 lim 0 Q =Q =
7 诺特定理 对于系统相应于连续变换的对称性, 总有一个系统的守恒量与之对应. 证明 : 首先就空间对称性部分证明. 即考虑变换 q Q, Q 0 =q 而不对时间进行变换, 即时间与参数 无关 我们无非是选了另外一套广义坐标而已 记号 : Q dq d t, Q ' lim 0 Q Q 0, Q ' lim 0 Q Q 0 L ϵ =L(Q α ϵ, Q α ϵ, t), L 0 =L(q α, q α,t) 对称性意味着变换前后系统的拉格朗日函数不变, 即 L( )=L(0) 0=lim ϵ 0 ( L ϵ L 0 ) ϵ 拉格朗日方程 = = q Q ' q = d dt Q ' d dt Q ' Q ' =0 =const.
8 下面考虑对时间的变换, 为了用上面证明已有的结果, 我们可以 把时间看成某个假想的变量 χ 的函数 : t=t(χ) 记 t' =dt/dχ, q =q t, 则 S= t 1 t 2 2 L q, q,t dt= 1 d q d = d q dt L q, q,t t ' d 2 1 t '= q t ' q = 1 t ' L q, d q d d q d,t, t ', d 于是我们得到了一个扩展的力学系统, 它以 q 和 t 为广义坐标, 新的拉格朗日函数为 L. 考虑对时间的变换 L t ' ' =const. L=L q, q,t t ' q = 1 t ' t, 0 =t 其中 L t ' = ' lim 0 d q d t ' = 1 d q t ' 2 d = q t ', 上页的证明思路仍然有效, 可得 0 t ' t ' L L q '=const. 证毕.
9 广义动量和广义动量积分 定义 广义动量 p = 注 : 可证明 p = n m n v n r n q 定义 广义坐标平移变换 :q Q =q, q q 推论 若力学系统具有某广义坐标的平移不变性, 则 该广义坐标相应的广义动量守恒. 证明 : 若系统在某广义坐标 q α 的变换下保持不变 根据诺特定理有 因为 Q ' lim 0 Q Q 0 Q ' =const. =1, Q ' =0 q Q =q p = =const. 证毕. 广义动量积分 注 : 也可直接用拉格朗日方程证明...( 可遗坐标 循环坐标 )
10 例题 3 自由质点在重力场中运动, 试分析其广义动量积分 解 : 建立 Oxyz 本征系, z 轴竖直向上 广义坐标可取 x,y,z, 则 L= m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 mgz 由于 L 不含 x 和 y, 所以沿 x 和 y 具有平移不变性, 故 p x = ẋ =m ẋ=const. p 如果选取球坐标 (r, θ, φ), 则 y = =m ẏ=const. ẏ 上两式分别表示质点在 x 和 y 方向的动量守恒. L= m 2 ṙ 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 mgr cos 由于 L 不含 φ, 所以沿 φ 具有平移不变性, 故 p = =mr 2 sin 2 =const. 此式表示对 z 轴角动量守恒
11 可以看到 : (1) 广义动量积分存在与否和数量多少, 与广义坐标的选取有关, 故选取适当的广义坐标可以找到较多的广义动量积分. (2) 广义坐标不同, 对应的广义动量的物理意义也不同 如 x 对应的 广义动量即 x 方向的动量, 而 φ 对应的广义动量为对质点 z 轴的 角动量. 也可能选择某种广义坐标, 其对应的广义动量无简单的 物理意义. 推论 若力学系统具有沿空间固定方向平移不变性, 则 系统沿该固定方向的动量守恒. 证明 : 假定该固定方向单位向量为 l, 系统沿 l 平移无穷小量 之后 q Q 系统平移前位矢 r n q, t 系统平移后位矢 r n Q,t =r n q, t l r n q Q q = l r n q Q ' =l
12 诺特定理 Q ' =const. n ṙ n ṙ n Q ' =const. r 注意到 ṙ n = n 是 q, q, t的函数 q r n q t 只是 q, t 的函数 ṙ n = r n q, n ṙ n r n q Q ' =const. r n q Q ' =l n ṙ n l=const. m L= n n 2 ṙ 2 n V r n, t =m ṙ n ṙ n n p l = n m n ṙ n l= n m n ṙ n l =const. 此即沿 l 方向的动量守恒. ( 证毕 )
13 推论 若力学系统具有绕空间固定轴的转动不变性, 则 系统对该固定轴的角动量守恒. 证明 : 设该固定轴对应单位矢量 l. 在轴上取 l O 为原点, 把转动前第 n 质点位矢记为 r n 用广义坐标表示为 r n q, t 假定转动无限小角度, 广义坐标变化 q Q 位矢变化 r n q,t r n Q,t =r n q, t l r n q,t r(q α,t) r n Q, t r n q Q q = l r n q,t r n q Q ' =l r n q,t 诺特定理 Q ' =const. n ṙ n ṙ n Q ' =const. n ṙ n [l r n q,t ]=const. L l =l n r n m n ṙ n =const.
14 广义能量和广义能量积分 定义 广义能量 H = q L 定义 时间平移变换 :t =t 推论 若力学系统具有时间平移不变性, 则系统 广义能量守恒. 证明 : 在时间平移变换下 诺特定理 L H = ' lim 0 q '=const. 0 =1 q L=const. ( 证毕 ) 广义能量积分 注 : 也可直接用拉格朗日方程证明 dh/dt=- L/ t, 然后得到结论.
15 问 : 广义能量是否就是牛顿力学中质点系的机械能呢? r n q, t v n = d r n dt = r n q T = 1 2 n m nv n v n = 1 2 n m n r n q q r n t q r n t r n q q r n t = 1 2 n m n[ r n q r n q 2 r n t r n q r n t 2] q q q = 1 2 n m n r n r n q q q q 广义速度二次齐次式 T 2 n m n r n t r n q 1 2 n m n r n t 2 q 广义速度一次齐次式 T 1 广义速度零次齐次式 T 0
16 引理 齐次函数欧拉定理 : 若 f(λx,λy,λz)=λ n f(x,y,z), 则 证明 : 令 χ=λx, η=λy, ζ=λz. 把定义式两边同时对 λ 求偏导可得 然后令 λ=1 即可得证. f x x f y y f z z=n f f x f y f z=n n 1 f 定理 系统广义能量满足 : H=T 2 -T 0 +V 证明 : L=T-V=T 2 +T 1 +T 0 -V T 2 q =2T 2 上一引理 => T 1 q =T 1 T 0 q =0 H = q L=T 2 T 0 V ( 证毕 )
17 也就是说, 写出 T 后, 要看 T 是不是广义速度的二次齐次式 如果 T=T 2,( 即 T 1 =0,T 0 =0 ), 此时 H=T 2 +V=T+V, 即广义能量等于系统 的机械能. 一般情况下, 广义能量不是系统的机械能. 例题 4 长 2a 质量为 m 的匀质直杆 AB, A 端与光滑水平面接触, 在重力作用下从竖直位置被自由释放倒下. 求杆落地瞬间的角速度. 解 : 由于重力和水平面支持力在竖直面内, y B C 由对称性可知杆一直在竖直面内运动. N φ mg 自由度为 2, 受理想约束的完整系. O A x 建立图示本征系 Oxyz. 选 A 端在 x 轴上的坐标 x 以及杆与 x 轴夹角 φ 为广义坐标. 下面关键计算杆的拉格朗日函数, 主动力是有势的, 以 O 为势能零点, 势能可写为 V =mg a sin x
18 根据柯尼希定理, 杆的动能可以写为 v C =v A AC T = m 2 v 2 C I C 2 2 而质心速度可以用刚体速度公式求得 v A =ẋ x = z AC=a cos x sin y O y x A φ C v C = ẋ a sin x a cos y v C 2 =ẋ 2 2 a ẋ sin a 2 2 B x T = m 2 ẋ2 2 a ẋ sin a 2 2 ma2 6 2 = m 2 ẋ2 2a ẋ sin 2ma2 3 2 L=T V = m 2 ẋ2 2 a ẋ sin 2 ma2 3 2 mg a sin 首先看看有没有守恒量. L 不含 x, 故有守恒量 p x = ẋ =m ẋ a sin =c 1 ( 水平方向动量守恒 ) 利用初始条件 t=0 时 : ẋ=0, =0 c 1 =0 ẋ=a sin
19 L 不显含 t, 且 T=T 2, 故机械能守恒 T V = m 2 ẋ2 2a ẋ sin 2 ma mga sin =E 利用初始条件 t=0 时 : = /2, ẋ=0, =0 E =mga ẋ=a sin 2 6 g 1 sin = a 4 3sin 2 = [ 6 g 1 sin a 4 3 sin ]1/2 2 y O x A φ C B x ( 想想为什么不取 + 号?) 杆落地瞬间, =0 = 3g /2a. 注 : 利用分析力学解题也会优先考虑守恒定律. 另外, 本题用分析 力学并不比牛顿力学有优势, 实际上牛顿力学可直接写出守恒定律
20 例题 5 质量为 m 的小环 P 被限制在一半径为 R 的光滑大圆环上, 大圆环绕过环心的铅垂轴以角速度 ω 匀速转动. 初始时小环在大环的最高点, 且相对大环静止, 然后无初速地滑下. 试通过存在的第一积分建立小环相对大环的运动微分方程. 解 : 以小环为研究对象, 它是受理想约束的完整系统. 取球坐标, 有 2 个约束方程 r=r, = t 0 因此自由度为 1. 可以取图示角度 θ T = m 2 ṙ2 r 2 2 r 2 sin 2 2 = m 2 R2 2 R 2 2 sin 2 =T 2 T 0 以 O 为势能零点, 势能可表示为 V =mg R cos 由于 L=T-V 不显含时间, 所以广义能量守恒 : H =T 2 T 0 V = m 2 R2 2 m 2 R2 2 sin 2 mgrcos =const.
21 利用初始条件 t=0 时 : =0, =0 H =mgr H =T 2 T 0 V = m 2 R2 2 m 2 R2 2 sin 2 mgrcos =mgr 2 2 sin 2 2 g / R cos 1 =0 此即小环的运动微分方程. 注 : (1) 本题中小环受到的约束 = t 0 是非定常约束 (2) 本题中广义能量不是相对地面惯性系的机械能 (T T 2 ), 而是相对于固连于大环的非惯性系中小环的总能量. H =T 2 T 0 V = m 2 R2 2 m 2 R2 2 sin 2 mgrcos 相对动能 惯性离心能 ( 想想为什么?) 重力势能
22 思考题质量为 m 1 三角形楔置于光滑水平面上, 质量为 m 2 半径 为 r 匀质圆柱可沿斜面无滑滚动 (1) 试用牛顿力学的质点系动力学方法寻找系统的守恒量 (2) 试用分析力学的拉格朗日方法寻找系统的守恒量 特别注意 : 柱体质心相对于楔的速度沿斜面方向! 无滑条件 ( 接触点相对速度为零 )
23 8.3 多自由度系统的微振动 问题的背景 世界是由原子和分子组成的 H H 在真实世界中原子总是在平衡位置附近作小幅振动 V(r) 微振动 微振动 r0? r 弹簧质点系统 ( 多自由度 )
24 简化模型 ( 透视多自由度振动特征 ) 考虑两质量为 m 的质点, 被限制在光滑水平线上运动, 3 个轻弹簧沿该水平线连接两质点, 中间弹簧的劲度系数为 k 1, 两侧弹簧的劲度系数为 k 2, 它的外端被固定, 两质点静止时各弹簧无伸长. 回顾 : k m x 运动微分方程 m ẍ k x=0 固有频率方程 2 m 1 k=0 自然的问题 : 在多自由度振动中, 上述方程是否有对应的形式?
25 简正频率 ( 固有频率 ) 和简正模式 如图所示, 选取 x 1 和 x 2 作为广义坐标, 分别表示两质点相对自身平衡位置的位移. ( 推导运动微分方程...) 引入记号 [ M ]=[ m 0 0 m], [ K ]= [ k 1 k 2 k 1 k 1 k 1 k 2], = [ x 1 x 2] 系统质量矩阵 ( 对称正定 ) 系统刚度矩阵 ( 对称正定 ) 定理 系统的运动微分方程为 [M ] [K ] =0 与单自由度比较 : m ẍ k x=0
26 证明思路 : 系统拉格朗日函数为 L=T V = m 2 ẋ1 2 m 2 ẋ2 2 k 2 2 x 2 1 k 2 2 x 2 2 k 1 2 x x 特点 : 这里动能是广义速度的二次型, 势能是广义坐标的二次型. 代入拉格朗日方程可得 写成矩阵形式即可. ( 证毕 ) m ẍ 1 k 1 k 2 x 1 k 1 x 2 =0 m ẍ 2 k 1 x 1 k 1 k 2 x 2 =0
27 ( 推导频率满足的方程...) 推论 系统的运动微分方程有 ψ=acos(ωt+α) 形式的解, 其中 ω 满足特征方程 证明思路 : det 2 I [ M ] 1 [ K ] =0 2 m 1 k=0 或 det [ K ] 2 [ M ] =0 ( 单自由度对应 ) [M ] [K ] =0 [ M ] 1 [K ] =0 这个方程类似于谐振子方程, 故可猜测有 ψ=acos(ωt+α) 形式的解. 将 ψ=acos(ωt+α) 代入 [ M ] 1 [ K ] =0 可得 [M ] 1 [K ] A= 2 A 可见 A 是矩阵 [M ] 1 [K ] 对应于特征值 2 的特征向量. 故有 det [ M ] 1 [K ] 2 I =0 det [ K ] 2 [ M ] =0( 证毕 )
28 注 : 将矩阵 [ M ]=[ m 0 0 m], [ K ]= [ k 1 k 2 k 1 k 1 k 1 k 2] 代入特征方程 det [ K ] 2 [ M ] =0 det[ k 1 k 2 2 m k 1 k 1 k 1 k 2 2 m] =0 k 1 k 2 m 2 2 k 1 2 =0 = k 2 /m 或 2 k 1 k 2 /m 定义 简正频率 : 从特征方程解出来的频率 注 : 它只依赖于系统的质量矩阵和刚度矩阵, 是系统固有的. 定义 简正模式: 简正频率对应的振动模式, 即矩阵 [M ] 1 [K ] 对应于简正频率平方的特征向量决定的振动模式.
29 例题 6 分析系统的简正模式. 解 : 将 代入 [M ] 1 [K ] A= 2 1 = k 2 /m 1 A 或 [ K ] 1 2 [M ] A=0 可以得到 A [ 1 1] 1= [ x 1 2] x = A cos 1t 1 [ 1 1] cos 1t 1 此时二质点的步调完全一致, 称为对称模式. [ K ] 2 2 [M ] A=0 将 2 = 2 k 1 k 2 /m 代入可得 A [ 1 1] 2= [ x 1 x 2] = A cos 2 t 2 [ 1 1] cos 2 t 2 此时二质点的步调完全相反, 称为反对称模式. 注 : 系统微分方程的通解是上面两种模式的线性叠加, 可写为 =c 1 1 c 2 2 =c 1[ 1 1] cos 1 t 1 c 2[ 1 1] cos 2 t 2 这里 4 个待定实常数 c 1,c 2,α 1,α 2 由初始条件来确定.
30 简正坐标 定义 简正坐标 : 一组特殊的广义坐标 {ξ α }, 使得系统的 运动微分方程表现为一系列简单的振动 ( 2 =0). 这意味着系统的拉格朗日函数可表示为如下形式 L= m why? 例题 7 寻找图示系统简正坐标. 解 : 我们已经知道得到 [M ] [K ] 对应特征值 1 和 的特征向量分别为 [ 1 1] 2 和 [ 1. 1 经过归一化后得到和 1] 2[ 1 1] 2[ 1 1] 1. 根据线性代数知, 存在矩阵 2[ [U ]= ] 使得
31 [U ] 1 [ M ] 1 [ K ][U ]=[ 2] [U ] 1 [ M ] 1 [ K ]=[ ] [U ] 1 系统运动微分方程 =[ [U ] 1 [ M ] 1 [ K ] 2] [U ] 1 [ M ] 1 [ K ] =0 [U ] [ ] 0 [U ] 1 =0 只需令 = [ 1 2] =[U ] 1 即可得到 2 =0, =1,2. 1 = x 1 x 2 / 2, 2 = x 1 x 2 / 2 此即简正坐标 x 1 = 1 2 / 2, x 2 = 1 2 / 2 L= m 2 ẋ1 2 m 2 ẋ2 2 k 2 2 x 2 1 k 2 2 x 2 2 k 1 2 x 2 x 1 2 = = m m
32 例题 8 分析双摆简正频率和简正坐标. 设线长均为 l 且不可伸长, 小球半径可以忽略, 质量均为 m. 假定摆角很小. 解 : 理想约束的完整系统, 自由度为 2, 可选摆角 θ 1 和 θ 2 为 θ 1 广义坐标 当摆角很小时, 两个球的速度分别可以写为 v 1 =l 1, v 2 v 1 l 2 =l 1 2 θ 2 动能 T = 1 2 ml ml 以最高悬挂点为势能零点, 则势能 V = mgl cos 1 mgl cos 1 cos 2 mgl /2 3 将 L=T-V 代入拉格朗日方程有 g/l 1 =0 1 2 g /l 2 =0 [M ]=[ ], [K ]= g l [ ], 代入特征方程 det [K ] 2 [M ] =0求得... = 2± 2 g /l
33 将 [ K ] 2 1 = 2 2 g /l 代入 1 [M ] A=0 可得 A [ 1 2] 1 = [ 1 2] = Acos 1 t 1 [ 1 2] cos 1 t 1 对称模式 将 [ K ] 2 2 = 2 2 g/l 代入 2 [ M ] A=0 可得 A [ 1 2] 2 = [ 1 2] = A cos 2 t 2 [ 1 2] cos 2 t 2 反对称模式 3[ [U ]= 1 1 2] 1 2 = [ 1 2] =[U 2 =[ 3 ] ] [ 1 2] 简正坐标
34 总结 ( 多自由度振动 ) 系统的运动微分方程 : [M ] [K ] =0 简正频率 ω 满足特征方程 : det 2 I [ M ] 1 [ K ] =0 或 det [ K ] 2 [ M ] =0 简正模式 : 简正频率对应的振动模式 [ M ] 1 [ K ] A= 2 A 简正坐标 : =[U ] 1 2 =0
35 8.4 非惯性系中的运动 哈密顿原理以及拉格朗日方程本身不受参考系的限制. 选择不同的参考系在某种意义上来看相当于选取了不同的广义坐标来描述一个力学系统而以. 因此, 力学系统的拉格朗日函数在不同参考系中都是同一个. 最多相差一个坐标和时间函数的全导数. 由于采用了不同的广义坐标, 所以表现形式可能很不同. 平动参考系 S' S 0 : 惯性系 S': 平动系 S' 系以已知速度 u(t) 相对 S 0 系做平动. 记 :w= d u dt 考虑质点的运动, 在惯性系 S 0 中的拉格朗日函数可写为 L 0 = mv V r 0,t m d v 0 dt = V r 0
36 质点在惯性系 S 0 和平动参考系 S' ( 相对 S 0 以 u 运动 ) 之间满足关系 r 0 =r' u t, v 0 =v' u u 事先给定, 非匀速 L 0 = mv V r 0, t = m v' mu m v' u V r ' u t, t 2 m v' u=m d r' dt u = d dt mu r ' m d u dt r ' 含时间和坐标的函数 的全导数, 可略. 拉格朗日方程 d dt ' v' ' r ' w =0 m d v' dt 仅含时间, 可写成含时间 函数的全导数, 故可略. 故可以将拉格朗日函数用广义 坐标 r' 和广义速度 v' 表示为 L '= m v ' 2 m w r ' V r ' u t, t 2 相当于惯性力势能 = V r ' m w
37 任意非惯性系 S' 系以已知速度 u(t) 相对惯性系 S 0 平动. 而 S 与 S' 原点重合, 且以角速度 ω 相对 S' 系转动. 记 w=du/dt. r 0 r' ut S 0 : 惯性系 S: 转动系 S': 平动系 质点在 S 和 S' 中的位矢是重合的, 故 r=r' 质点相对 S 的速度 v= d' r => 质点相对 S' 的速度 v '= r v dt L '= mv' 2 mw r ' V r ' u t, t 2 = m v2 2 m r v m 2 r 2 m w r V r u t, t L r,v, t 代入拉格朗日方程 d ' dt v r =0 可得 m d ' v dt = V r m w m( ω r) m ω (ω r) 2 m(ω v) 牵连惯性力科氏力
38 例题 5' 质量为 m 的小环 P 被限制在一半径为 R 的光滑大圆环上, 大圆环绕过环心的铅垂轴以角速度 ω 匀速转动. 初始时小环在大环的最高点, 且相对大环静止, 然后无初速地滑下. 试通过存在的第一积分建立小环相对大环的运动微分方程. 解 : 以大环作为参考系, 并建立固连坐标系 Oxyz. 理想约束的完整系统, 自由度为 1, 选 θ 作为 广义坐标. v=r cos y sin x v = z, r=r sin y cos z L= mv2 2 m r v m 2 r 2 mw r V r u t,t = m R sin 2 2 sin 2 mgrcos L 不含时间, 广义能量守恒 H = m R sin 2 mgrcos =const. 考虑初始条件 2 2 sin 2 2 g/ R cos 1 =0
39 拉格朗日方法的特点和意义 拉格朗日方程是完整系最普遍的动力学方程. ( 1 ) 不过问约束力, 方程个数减到最低限度. ( 2 ) 高度的概括性和统一性 : 惯性系和非惯性系 ; 任何广义坐标 ; 质点 质点系 刚体, 无限自由度的连续介质系统 其他物理领域 ( 如电磁场 ). ( 3 ) 程序统一. ( 4 ) 较少采用几何 矢量的方法, 较多采用能量和数学分析的方法 利于推广到物理学的其他领域 只要找到拉格朗日函数, 可用同一形式的拉格朗日方程求出系统的运动方程 因此, 理论和实用性上, 都显示出很大的优越性.
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
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m0 m = v2 1 c 2 F G m m 1 2 = 2 r m L T = 2 π ( m g 4 ) m m = 1 F AC F BC r F r F l r = sin sinl l F = h d G + S 2 = t v h = t 2 l = v 2 t t h = v = at v = gt t 1 l 1 a t g = t sin α 1 1 a = gsinα
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998 + + lim =.. ( + + ) ( + + + ) = lim ( ) = lim = lim =. lim + + = lim + = lim lim + =. ( ) ~ 3 ( + u) λ.u + = + + 8 + o = + 8 + o ( ) λ λ λ + u = + λu+ u + o u,,,! + + + o( ) lim 8 8 o( ) = lim + =
第七章 分析力学基础
第三部分 分析力学 ( 拉格朗日 - 哈密顿动力学 ) 第七章 分析力学基础 7.1 虚位移 约束及其分类 定义 约束 : 约束物体预先给定的对力学系统运动的限制 注 : 约束通常表现为质点的位置和速度满足一定的关系 可以用函数 f r, ṙ, t 满足的方程或不等式来表示. 光滑铰长 l 的刚杆小球 x 2 y 2 z 2 l 2 =0 悬挂点长为 l 的不可伸长细线小球 x 2 y 2 z 2
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
初 啼 八 集 2006 至 2007 年 度 出 地 版 : 伯 特 利 中 學 址 : 元 朗 錦 繡 花 園 F 段 第 四 街 11 號 電 話 :2471 2622 傳 真 :2471 5171 製 作 : 同 理 心 創 念 有 限 公 司 出 版 日 期 :2007 年 7 月 序 初 啼, 是 由 本 校 中 文 科 和 活 力 組 合 辦 的 文 集, 提 供 給 學 生 發 表
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第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
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7-3 虚功原理 虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理 它阐明了力学系统保持静平衡的必要充分条件 并提供了解决各类力学系统静力学问题的统一观点和方法. 一 虚功原理受有理想约束 [ 定常约束] 的力学系统 保持 [ 静 ] 平衡的必要 [ 充分 ] 条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零. 在直角坐标系中 上式写成 ( 必要条件的证明 : 当力学系统相对惯性系处于 [ 静 ] 平衡时
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p 2 E = 2m + k x ν (1) 考虑 x ν x 2 ν/2 V (x) = k x ν 是偶函数
Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
ϕ ϕ R V = 2 2 314 6378 1668 0 T =. 24 = 2 R cos32 33931 V = = = 1413. 68 32 T 24 2 R cos90 V = = 0 90 T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1
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1 02 04 08 14 20 27 31 35 40 43 51 57 60 07 26 30 39 50 56 65 65 67 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ω ρ ε 23 λ ω < 1 ω < 1 ω > 0 24 25 26 27 28 29 30 31 ρ 1 ρ σ b a x x i +3 x i
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
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00, + lim l[ ] =. ( + lim[ ] = lim[ ] ( + i e ( = ( + lim l[ ] = l e = ( 4 (, (, (, 0 d f d D= D + D, d f d + d f d =. 0 D = (, 0,, 4 D = (,, 4 D ( D =, 0,. 4 0 0 4 ( + ( = ( d f, d d f, d d f, d. - =
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(r s) {φ r1, φ r2,, φ rn } {φ s1, φ s2,, φ sn } u r (t) u s (t). F st ι u st u st k 1 ι φ i q st i (6) r β u r β u r u r(t) max u st r φ
3 351 1) 2) ( 100083)... TU311.3 doi 10.6052/1000-0879-13-151 A. [1-3]. 180.. [4]..... 2013 04 18 1 2013 05 23. 1 N mü(t) + c u(t) + ku(t) ι sin θt (1) m, c k N N m u(t) u(t) ü(t) N ι N θ. (ω i, φ i ).
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动 Prepared by Jiang Xiao
动 处 运动 动 (-khz) 说 颜 乐 风 帜 简谐 动! (t) =!t + x(t) =x cos(!t + ) x(t) x 频! = 频 T = f F = kx ) mẍ = kx ) ẍ + k m x = 悬 弹 频 x(t) =x cos(! t + ) with! = r k m 弹 谐 动 E k = 1 mv = 1 mẋ = 1 mx! sin (! t + ) 势 E
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2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
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1 2 3 4 5 6 7 08 11 19 26 31 35 38 47 52 59 64 67 73 10 18 29 76 77 78 79 81 84 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
F N = tgα F f µ N tgα = = = = µ N N N P T P T tgα P tgα R = C v S D 5 4 mx = ml 5 5 x = l 4 O 4 l mv N x = N sinθ = R N y = N cosθ = mg v = R g tg A R = 5 v = 5 9.8tg75 = 3.5 70 0 8 0 B A 0 A C C 0 9 C
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
第9章 排队论
9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,
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6.6 积分在物理上的应用 一 质心二 转动惯量三 引力 一 质心 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在 上连续, 平面薄片的质心 当薄片是均匀的,
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+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π
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! # % & ( ) + (,. /0 +1, 234) % 5 / 0 6/ 7 7 & % 8 9 : / ; 34 : + 3. & < / = : / 0 5 /: = + % >+ ( 4 : 0, 7 : 0,? & % 5. / 0:? : / : 43 : 2 : Α : / 6 3 : ; Β?? : Α 0+ 1,4. Α? + & % ; 4 ( :. Α 6 4 : & %
Homework7 答案 1. 均匀磁场中的中性自旋 1/2 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向 (θ, φ) 的单位矢量,σ n = n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n = 1 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与
Homework7 答案. 均匀磁场中的中性自旋 / 粒子, 磁场方向 x, 强度 B, n 为任意方向, 的单位矢量,σ n n σ 为泡利算符在该方向的投影, 如果初态是 σ n 的本征态, 请解出态的时间演化, 并分别计算 S x, S y, S z 的测量值与相应几率 请问要经过多长时间才能回到初态? 解 : 设哈密顿量为 H µ s B e h m σ B ec e hb ψ m σ ec
P r = 1 + ecosθ 2 V = V + V 1 2 2V1V2 cosθ 2 2 = ( V V ) + 2V V ( 1 cos θ) 1 2 1 2 40000 V = 0. 5( / ) 24 60 60 λ m = 5100A = 0.51 Å 2 u e d s 3 1 e uud udd 3 2 3 e 1 3 e V = 2 9. 8 2000 = 198 V
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
!! )!!! +,./ 0 1 +, 2 3 4, # 8,2 6, 2 6,,2 6, 2 6 3,2 6 5, 2 6 3, 2 6 9!, , 2 6 9, 2 3 9, 2 6 9,
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma .5 力学量的平均值 算符表示
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6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y
. 微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjr.bitbucket.io)
微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjrbitbucketio) 第五章不定积分 第六章定积分 第七章无穷级数 第八章多元函数 第九章微分方程 5 6 7 8 9 积分公式大全 (1) 1 d = + C (2) d = 1 + 1 +1 + C 1 (3) d = ln + C (4) d = ln + C (5) e d = e + C 5
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
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-- 第 讲 一 特征值与特征向量的概念定义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x 使关系式 x x 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 x称为 的对应于特征值 的特征向量 说明 特征向量 x 特征值问题是对方阵而言的 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 ( E x 有非零解的 值 即满足方程 E 的 都是矩阵 的特征值 // // E a a a a a a a a a
4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ;
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Stress and Equilibrium mi@seu.edu.cn Outline Bod and Surface Forces( 体力与面力 ) raction/stress Vector( 应力矢量 ) Stress ensor ( 应力张量 ) raction on Oblique Planes( 斜面上的应力 ) Principal Stresses and Directions( 主应力与主方向
第四章 数值积分与数值微分
Newto Cotes Romerg Guss 5 -- . Newto-Leieize d F F, -- I I. d d A A R[ ] I I R[ R[],,, L,,, L A A ] -- . d A m m m m -- -- 5 m m,,,, L m m m m A d L L m m d d d L m m A A A L d d M m d A A A -- 6 m m A
(CIP) ().: ISBN O4-44 CIP (2004)
( ) (CIP) ().:. 2004.11 ISBN 7-04 - 015565-6... - -.O4-44 CIP (2004)092157 010-64054588 4 800-810 - 0598 100011 http:www.hep.edu.cn 010-58581000 http:www.hep.com.cn 8501168 1 32 1 8.625 220 000 12.00,.
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7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
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年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 >
(8) 设 A = ( α α α α) 是 阶矩阵 A 为 A 的伴随矩阵 若 ( ) T 是方程组 A = 的一个基础解系 则 A= 的基础解系可为 ( ) (A) α α (B) α α (C) α α α (D) α α α 二 填空题 (9~ 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 (~8 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一 个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 ) () 已知当 k f = 与 c 是等价无穷小 则 ( ) 时 ( ) si si (A) k = c= (B) k = c= (C) k = c= (D) k = c= () 已知 f ( ) 在 = 处可导 且
WL100014ZW.PDF
A Z 1 238 H U 1 92 1 2 3 1 1 1 H H H 235 238 92 U 92 U 1.1 2 1 H 3 1 H 3 2 He 4 2 He 6 3 Hi 7 3 Hi 9 4 Be 10 5 B 2 1.113MeV H 1 4 2 He B/ A =7.075MeV 4 He 238 94 Pu U + +5.6MeV 234 92 2 235 U + 200MeV
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
Π Ρ! #! % & #! (! )! + %!!. / 0% # 0 2 3 3 4 7 8 9 Δ5?? 5 9? Κ :5 5 7 < 7 Δ 7 9 :5? / + 0 5 6 6 7 : ; 7 < = >? : Α8 5 > :9 Β 5 Χ : = 8 + ΑΔ? 9 Β Ε 9 = 9? : ; : Α 5 9 7 3 5 > 5 Δ > Β Χ < :? 3 9? 5 Χ 9 Β
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相對內容大綱 : 高考課程大網第一章第 3 節 參考 : 高級程度物理第一冊第七章 6.0 6. 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.0 6. 6.0 CD 6. P ( x, y (pola coodinate P (,θ ( 6.. P θ OP x B s θ P θ (angula position θ θ [ θ ](angula displacement θ
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
8 9 8 Δ 9 = 1 Η Ι4 ϑ< Κ Λ 3ϑ 3 >1Ε Μ Ε 8 > = 8 9 =
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Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
Β 8 Α ) ; %! #?! > 8 8 Χ Δ Ε ΦΦ Ε Γ Δ Ε Η Η Ι Ε ϑ 8 9 :! 9 9 & ϑ Κ & ϑ Λ &! &!! 4!! Μ Α!! ϑ Β & Ν Λ Κ Λ Ο Λ 8! % & Π Θ Φ & Ρ Θ & Θ & Σ ΠΕ # & Θ Θ Σ Ε
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2019 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要 求的. k 1. 当 x 0 时, 若 x - tan x 与 x 是同阶无穷小, 则 k = A. 1. B. 2. C
9 考研数学三考试真题及答案详解 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要 求的. k. 当 时 若 - ta 与 是同阶无穷小 则 k = A.. B.. C.. D. 4. k - ta - 若要 - ta 与 是同阶无穷小 \ k = \ 选 C 5. 已知方程 - 5 + k = 有 个不同的实根 则 k 的取值范围为
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4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
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数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通
() (n = 4 3 )?( ) ( H) ( n) 0 H H,. , L. f(f < L 4 ),.? L L L L. + fl;. fl; 4 4 M f, = fm r (4) = E 3 - E h L L, 3 ; L L = P E S, ;, ;, ;,. 5 f. 4 u + v = f, u = 4v; 4v + v = f, v = 5 4 f..()80
第十一章 颈部疾病病人的护理
第 十 一 章 颈 部 疾 病 病 人 的 护 理 学 习 目 标 1. 了 解 颈 部 常 见 肿 块 病 人 的 身 体 状 况 及 处 理 原 则 ; 能 提 出 甲 状 腺 肿 瘤 甲 状 腺 功 能 亢 进 病 人 的 护 理 诊 断 并 制 定 出 护 理 措 施 2. 熟 悉 甲 状 腺 肿 瘤 甲 状 腺 功 能 亢 进 病 人 的 身 体 状 况 手 术 适 应 证 3. 掌 握
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Taylor f( ), ; f ( ) cos( + α ), ; f( ) + si, ; f( ) e si, ; f ( ) ta, ; f( ) l(cos ), 6 ;, ( ) e, f, si l, f ( ),, f( ) + +,. f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 8 8 + + + + + ( 9 6 7 8 + + + + +( ) 9 8
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.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
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吉林大学学报 工学版 ２４４ 第 ４ 卷 复杂 鉴于本文篇幅所限 具体公式可详见参考文 献 ７ 每帧的动力学方程建立及其解算方法如图 ３ 所示 图４ 滚转角速度与输入量 η 随时间的变化波形 Ｆｉｇ ４ Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ η ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｉｎｇ 图５ Ｆｉｇ ５ 滚转角随时间的变化波形 Ｗａｖｅｆｏｒｍ ｏｆ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ
Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ
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> # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ # Κ Μ 0 Ν Ο Κ Ι Π, Ι Π Θ Κ Ι Π ; 4 # Ι Π Η Κ Ι Π. Ο Κ Ι ;. Ο Κ Ι Π 2 Η
1 )/ 2 & +! # % & ( ) +, + # # %. /& 0 4 # 5 6 7 8 9 6 : : : ; ; < = > < # ) Β Χ Χ 7 Δ Ε Φ Γ 5 Η Γ + Ι + ϑ Κ 7 # + 7 Φ 0 Ε Φ # Ε + Φ, Κ + ( Λ # Γ Κ Γ #
314 动力学与控制学报 2016 年第 14 卷 x 2 =-x 2 +A(x 1 -x 2 )+B( x 1 - x 2 )+ε(1-x 2 2) x 2 =g 2 (ε 0 )+εg 2 (ε 1 ) (2b) 与系统 (2) 相应的未受微扰作用系统的运动微分方程可表示成 x 1 =-x 1
第 14 卷第 4 期 2016 年 8 月 1672 6553/2016/14⑷ /313 5 动力学与控制学报 JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL Vol.14No.4 Aug.2016 两个耦合 VanderPol 振子系统的一阶近似守恒量 楼智美 ( 绍兴文理学院物理系, 绍兴 312000) 摘要用直接积分法计算两个耦合 VanderPol 振子系统的一阶近似守恒量,
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
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ε I x = r + R + R + R g o x = R ε + v v 2 v1 a = = t t t 2 1 R x { ( 1) ( 2)" " ( 3) ( 4), ( 5)" " ( 6) ( 7) ( 8)" " ( 9) ( 10) ( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15) ( 17) {
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避孕篇
避 孕 篇 生 育 后 时 期 的 避 孕 方 法 : 适 用 的 方 法 : 1) 宫 内 节 育 器 类 : 金 属 环 可 放 置 15 年 左 右 ;V 型 环 可 放 置 5-7 年 ;T 型 环 可 放 置 10-15 年 2) 避 孕 药 ( 针 ) 类 : 各 种 短 效 口 服 避 孕 药, 如 妈 富 隆 敏 定 偶 三 相 片 及 达 英 -35 等, 按 规 定 方 法 服
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
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8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 =
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9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
, & % # & # # & % & + # & # # # & # % #,
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2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
从分析力学到量子力学
从分析力学到量子力学 Jake 量子力学补习班 集智俱乐部 整体规划 从分析力学到量子力学 牛顿力学 拉格朗日力学与哈密顿力学 简谐振子 : 从经典到量子产生湮灭算符与二次量子化 产生湮灭算符的引入 多粒子系统与二次量子化量子场论初步 Klen Gordon 场 正则量子化 路径积分量子化 费曼图量子场论初步 Drac 场 李群初步 相对论初步 狄拉克场 其它量子场重正化群 重正化简介 : 渗流模型
幻灯片 1
第二章原子的激发态结构. 单电子 (H) 原子 ( 类 ) 氢原子的薛定谔方程 -e 3D 不含时的定态薛定谔方程 其中库仑势 m + ( ) V ( ) V ψ Ze 4πε Eψ + +Ze 电子束缚在原子核的中心力场中 只与电子和原子核之间的径向距离有关 Fom www.hpephsics.ph-ast.gsu.edu . 单电子 (H) 原子氢原子的薛定谔方程 Catesian coodinates
= Υ Ξ & 9 = ) %. Ο) Δ Υ Ψ &Ο. 05 3; Ι Ι + 4) &Υ ϑ% Ο ) Χ Υ &! 7) &Ξ) Ζ) 9 [ )!! Τ 9 = Δ Υ Δ Υ Ψ (
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