求梯度对应将瘰次外微分形式变为瘱次外微分形式 : dω 瘰 ω 瘰 dx ω 瘰 dy ω 瘰 dz 求旋度对应将瘱次外微分形式变为瘲次外微分形式 : ω 瘱 P dx Qdy Rdz R dω 瘱瘨 Q P 瘩 dy dz 瘨 R Q 瘩 dz dx 瘨 P 瘩 dx dy 瘨瘲瘩瘨瘳瘩求散度

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铅核蒲
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1 速度势流函数细谈陈俊 2015 年 1 月 25 日下面这些东西是对习题课讲过的内容整理加工得到, 考试后再发给大家显得有些迟了但学习本身的目的是提高自己, 不应当因为一门课的结束就完全终止这方面知识的学习也是借速度势流函数将场的一些性质讲清楚对于场的理解, 本应在电动力学就完成对其清晰地把握如果这样的企图在电动力学没有成功, 流体力学必须完成, 之后的课程也许再没有这样好的机会了, 之前的张量也是如此下面的叙述牺牲了部分数学的严格性, 以换取叙述的简洁性, 很多地方还对一些记号清除原定义后重新定义, 不严格之处如感觉不自在可自行推导或参看相应书籍实际上速度势流函数都是确定速度的辅助量, 不是物理量, 一些时候数学处理更方便罢了, 不必过分看重其价值像极坐标柱坐标球坐标下的流函数几乎没什么用, 纯粹数学推演而已不过二维直角坐标下导出的复势, 却让我们能顺手地使用复变函数这一强大武器, 甚至调用如保角变换等利器, 钱学森曾表示他在加州理工选修过复变函数, 后来的数学就都跟得上了 1 外微分这里不展开介绍, 只提取对课程有用的东西在 dx, dy, dz 之间定义一种乘法, 称为外积, 有 ( 两两交换顺序反号 ) 瘺 dx dx dy dy dz dz 瘰 dy dz dz dy, dx dy dy dx, dz dx dx dz dx dy dz dy dz dx dz dx dy dx dz dy dz dy dx dy dx dz 后面两式出现的元素可以认为是有向面元有向体元 1.1 Poincaré 引理详见数学分析讲义 ( 二 ) 癐癡癧癥瘷瘱设 ω 是一个微分形式, 其系数具有二阶连续的偏微商, 则 d 2 ω d 瘨 dω 瘩瘰瘨瘱瘩这里的 d 是求外微分运算对三维空间, 外微分形式最高只有瘳次 el2718@mail.ustc.edu.cn 瘱

2 求梯度对应将瘰次外微分形式变为瘱次外微分形式 : dω 瘰 ω 瘰 dx ω 瘰 dy ω 瘰 dz 求旋度对应将瘱次外微分形式变为瘲次外微分形式 : ω 瘱 P dx Qdy Rdz R dω 瘱瘨 Q P 瘩 dy dz 瘨 R Q 瘩 dz dx 瘨 P 瘩 dx dy 瘨瘲瘩瘨瘳瘩求散度对应将瘲次外微分形式变为瘳次外微分形式 : ω 瘲 P dy dz Qdz dx Rdx dy P Q R dω 瘲瘨瘩 dx dy dz 由癐癯癩癮癣癡癲瘓癥引理, 任意一个标量场的梯度的旋度为瘰, 任意一个矢量场的旋度的散度为瘰瘮即 g, f 瘬有 g 瘰 f 瘰瘨瘴瘩瘨瘵瘩 1.2 Poincaré 引理之逆详见数学分析讲义 ( 二 ) 癐癡癧癥瘷瘱对于外微分形式 ω, 如果 dω 瘰, 则存在一个比 ω 低一次的外微分形式瘂, 满足 ω d 瘂通过式瘨瘴瘩瘨瘵瘩, 并由癐癯癩癮癣癡癲瘓癥引理之逆可以得到瘺 f 瘰 g, st. g f 瘨瘶瘩 h 瘰 f, st. f h 瘨瘷瘩 1.3 Gauss-tokes 公式详见数学分析讲义 ( 二 ) 癐癡癧癥瘱瘷瘶记瘊为某空间区域, 瘊为其边界, 对某微分形式 ω 与其外微分形式 dω 瘬有癇癡癵癳癳瘭癓癴癯癫癥癳公式 : ω dω 这里空间区域瘊的维次与微分形式 dω 的次数一致具体到体积分面积分线积分与对应边界的关系就得到我们常用的癇癡癵癳癳定理 : V Ω Ω f d fdv V 二维癇癡癵癳癳定理 ( 癇癡癵癳癳定理的退化, 空间二维, 瘰, f 为二维矢量, 第三分量 f z 瘰 ; n 为单位外法向, 右手系下 ndl 为 dl 顺时针旋转 π/ 瘲 ): f ndl fd 瘨瘸瘩瘨瘹瘩瘨瘱瘰瘩瘲

3 癇癲癥癥癮第一公式 ( 癇癡癵癳癳定理推得 ): u v d 癇癲癥癥癮第二公式 ( 癇癲癥癥癮第一公式推得 ): 瘨 u v v u 瘩 d V 癇癲癥癥癮第一公式二维退化 : V V 瘨 u 2 v u v 瘩 dv V 瘨 u 2 v v 2 u 瘩 dv u v dl 瘨 u 2 v u v 瘩 d 癇癲癥癥癮第二公式二维退化 : 瘨 u v v u 瘩 dl 瘨 u 2 v v 2 u 瘩 d 记癈癥癬癭癨癯癬癴発算子 L 2 ± k 2 癈癥癬癭癨癯癬癴発算子下癇癲癥癥癮第二公式 : 瘨 u v v u 瘩 d V V 瘨 ulv vlu 瘩 dv 癈癥癬癭癨癯癬癴発算子下癇癲癥癥癮第二公式二维退化 : 瘨 u v v u 瘩 dl 瘨 ulv vlu 瘩 d 瘨瘱瘱瘩瘨瘱瘲瘩瘨瘱瘳瘩瘨瘱瘴瘩瘨瘱瘵瘩瘨瘱瘶瘩癓癴癯癣癫癳定理 : f dl f d 瘨瘱瘷瘩癇癲癥癥癮定理 ( 癓癴癯癣癫癳定理二维退化 ): P dx Qdy Q 瘨 P 瘩 dxdy 瘨瘱瘸瘩癎癥癷癴癯癮瘭癌癥癩癢癮癩発公式 ( 微积分基本定理 ): F 瘨 b 瘩 F 瘨 a 瘩癎癥癷癴癯癮瘭癌癥癩癢癮癩発公式更一般的形式 : b a F 瘨 x 瘩 dx 瘨瘱瘹瘩 φ B φ B φ dl 瘨瘲瘰瘩 1.4 全微分形式详见数学分析讲义 ( 二 ) 癐癡癧癥瘱瘷瘷考虑二维情形,P 瘨 x, y 瘩 dx Q 瘨 x, y 瘩 dy 一般不能写成一个场的全微分形式, 即不能满足瘂瘨 x, y 瘩, st.d 瘂瘨 x, y 瘩 P 瘨 x, y 瘩 dx Q 瘨 x, y 瘩 dy 瘨瘲瘱瘩瘳

4 但当 P 瘨 x, y 瘩 Q 瘨 x, y 瘩瘨瘲瘲瘩时, 有 Q 瘨 x, y 瘩 d 瘨 P 瘨 x, y 瘩 dx Q 瘨 x, y 瘩 dy 瘩瘨 P 瘨 x, y 瘩瘩 dx dy 瘰由癐癯癩癮癣癡癲瘓癥引理之逆, 此时满足瘨瘲瘱瘩瘬即有瘂瘨 x, y 瘩 P 瘨 x, y 瘩 dx Q 瘨 x, y 瘩 dy 式瘨瘲瘲瘩也是二维下一个线积分取任意路径的可积性条件三维情形, 当 R Q, P R, Q P 瘨瘲瘳瘩时 Q P 瘩 dy dz 瘨 R 瘂瘨 x, y, z 瘩, st.d 瘂瘨 x, y, z 瘩 P 瘨 x, y, z 瘩 dx Q 瘨 x, y, z 瘩 dy R 瘨 x, y, z 瘩 dz 瘂瘨 x, y, z 瘩 P 瘨 x, y, z 瘩 dx Q 瘨 x, y, z 瘩 dy R 瘨 x, y, z 瘩 dz R d 瘨 P dx Qdy Rdz 瘩瘨 Q 瘩 dz dx 瘨 P 瘩 dx dy 瘰更高维通过相同推演可得到类似的条件 2 流函数图瘱瘺积分路径图如图瘱, 可以计算癁到療的速度通量, 如果计算癁到療的通量不依赖于路径, 即对于任意 l 瘱, l 瘲瘬有 B l1 u ndl B l2 u ndl 即瘨习惯上, 右手系为逆时针路径瘩 u ndl 瘰 l1+l2 由二维癇癡癵癳癳定理瘨瘱瘰瘩瘬有 ud 瘰瘴

5 其中为 l 瘱 l 瘲包围区域, 由 l 瘱, l 瘲的任意性, u 瘰计算通量时不依赖于路径, 此时可以定义流函数 ψ r u ndl 瘨瘲瘴瘩癁为参考点, 可任取故流函数 ψ 存在条件为无散可以想像, 若中有源, 通过 l 瘱, l 瘲通量必不相等, 也就无法定义流函数 2.1 直角坐标系下流函数直角坐标系下 dl e x dx e y dy ndl 为 dl 顺时针旋转 π/ 瘲瘬二维平面上顺时针旋转 π/ 瘲可通过矢量叉乘 e z 得到, ndl dl ez e x dy e y dx u u e x v e y 即有 ψ 瘨 x, y 瘩 (x,y) 上式分别对 x, y 求偏导, 则得到流体力学课上结果 { (x,y ) u udy vdx v 瘨瘲瘵瘩瘨瘲瘶瘩 2.2 极坐标系下流函数极坐标系下有 dl e r dr e θ rdθ ndl dl ez e r rdθ e θ dr u u r e r u θ e θ 代人式瘨瘲瘴瘩, 有 ψ 瘨 r, θ 瘩 r u r rdθ u θ dr 瘨瘲瘷瘩上式分别对 r, θ 求偏导瘬可得到第五次作业第瘲题结果 { 1 u r r θ u θ 瘵

6 2.3 流线与流函数流线方程 dx u dr u r dr u r dy v rdθ u θ rdθ u θ dz w dz u z r sin θdϕ u ϕ 直角坐标柱坐标球坐标瘨瘲瘸瘩考虑二维情形, 忽略第三分量直角坐标下, 对 ψ const 求全微分, 有 dx dy 瘰 dx dy dx u dy v 正好满足流线方程极坐标下, 对 ψ const 求全微分, 有 dr θ dθ 瘰 dr 1 r θ rdθ dr u r 也正好满足流线方程实际物理上成立的事情是不依赖于坐标系的, 不同的坐标系下表述不同而已读者可以按同样的方法做一遍, 后面的轴对称下柱坐标球坐标流函数 ψ const 同样是流线 rdθ u θ 所以说 ψ const 为流线, 但流线不一定是 ψ const, 二维情形下从式瘨瘲瘸瘩解出 f 瘨 x, y 瘩 const, f 不一定要与 ψ 形式相同, 因为将 f 再做个映射 p 瘨 f 瘨 x, y 瘩瘩 const 也是流线流函数与流线另一个区别是, 流函数存在要速度场无散, 而流线方程式瘨瘲瘸瘩不要求, 不过如果速度场有散会出现流线交叉的情况关于流线再提一下 : 回到三维情形瘬对瘨 x, y, z 瘩如果不加约束, 将遍历空间中所有点, 流线方程瘨瘲瘸瘩解出 f 瘨 x, y, z 瘩 const 瘱, g 瘨 x, y, z 瘩 const 瘲 f 瘨 x, y, z 瘩 const 瘱对空间中的点加了个约束, 变成曲面, 两个曲面相交变成曲线, 也就是流线即便出现某一速度分量为瘰, 如 w 瘰瘬但极限 lim dz 0 lim 0 0 仍可有意义, 此时 dz 瘰 z const 也为一约束关系 const 瘱, const 瘲取不同的值将遍历空间中所有流线 2.4 无散条件与全微分形式关系二维下, 由 u 瘰瘬得到 u v 瘰, u r 直角坐标 u θ θ 瘰极坐标这就保证了积分瘨瘲瘵瘩瘨瘲瘷瘩是满足可积性条件式瘨瘲瘲瘩的, 故是可积的 2.5 轴对称下柱坐标球坐标流函数为表述方便, 原柱坐标的子午角 θ 记为 ϕ, 和球坐标的 ϕ 本是一个东西, 只是习惯的力量太强大了上面已经知道流函数存在要求速度场无散, u 瘰在柱坐标球坐标下分别写为 1 (ru r) 1 r r u ϕ u z 瘰柱坐标瘨瘲瘹瘩 1 (r 2 u r) 1 (sin θu θ ) 1 u ϕ 瘰球坐标瘨瘳瘰瘩 r 2 r sin θ θ r sin θ 瘶

轴对称时 ~ u ~瘰, uϕ 瘰柱坐标 ~ u ~瘰, uϕ 瘰球坐标刚刚说过无散与某个坐标无关就可以由一个流函数确定速度场式瘨瘲瘹瘩瘨瘳瘰瘩化为 (rur ) (r 2 sin θur ) (ruz ) (r sin θuθ ) θ 柱坐标瘰瘰球坐标由可积性条件式瘨瘲瘲瘩瘬可以构造流函数 R ψ R ruz dr rur dz 柱坐标瘨瘳瘱瘩 r 癳癩癮 θuθ dr

7 轴对称时 ~ u ~瘰, uϕ 瘰柱坐标 ~ u ~瘰, uϕ 瘰球坐标刚刚说过无散与某个坐标无关就可以由一个流函数确定速度场式瘨瘲瘹瘩瘨瘳瘰瘩化为 (rur ) (r 2 sin θur ) (ruz ) (r sin θuθ ) θ 柱坐标瘰瘰球坐标由可积性条件式瘨瘲瘲瘩瘬可以构造流函数 R ψ R ruz dr rur dz 柱坐标瘨瘳瘱瘩 r 癳癩癮 θuθ dr r2 癳癩癮 θur dθ 球坐标瘨瘳瘲瘩 ψ 即可得到 ruz, rur r 癳癩癮 θuθ, θ r2 癳癩癮 θur 柱坐标瘨瘳瘳瘩球坐标瘨瘳瘴瘩此时流函数其物理意义如图瘲图瘲瘺轴对称下流函数记癑为曲线弧癁療绕轴旋转得到的旋转面B0 B 0 速度通量积分则通量与流函数关系 Z ~ 瘲π瘨ψ B ψ 瘩 Q ~u d B0 B 0 物理意义具体推导参看流体力学下册吴望一瘮北京大学出版社癐癡癧癥瘱瘲瘰瘷

8 2.6 三维流函数一个矢量场 u 瘨 u, v, w 瘩须由三个标量场函数确定, 如果存在约束, 如无散 u u v w 瘰也就对三个标量场函数有个约束, 三个标量场函数不独立, 则 u 可以只要两个标量场函数确定暂时忘掉上面几句话, 定义 u ψ χ 瘨瘳瘵瘩再由式瘨瘴瘩 u 瘨 ψ χ 瘩瘨 χ ψ 瘩瘨瘳瘶瘩由式瘨瘵瘩上式右边求散度为瘰, 这里也正好符合瘨瘷瘩 u 因无散约束可由两个标量场函数 ψ, χ 确定 ( 类比电动力学里磁场的欧拉势 ) ψ ψ 为过点 ψ 的等值面, dr 瘨 dx, dy, dz 瘩为曲面上一线元, 对其两边求全微分, 有瘰 dψ 瘨 x, y, z 瘩 dx dy dz ψ dr 瘰故 ψ 为曲面 ψ ψ 过点法向矢量, 同理 χ 为曲面 χ χ 过点法向矢量叉乘后与原两矢量垂直, 那么式瘨瘳瘵瘩就说明 u 与 ψ ψ χ χ 相切那就说明 ψ ψ 表示过点的一个流面 ( 流线处处与之切, 或者说如果一根流线与这个面有交点, 这根流线所有点都在这个面上 ), 对 χ 亦是如此所以 ψ ψ 与 χ χ 的交线为过点的一条流线 ψ, χ 物理意义仍是速度通量积分, 所以仍可称为流函数, 证明如下 : 记为空间中以某闭合曲线为边界的任意曲面 ( 任意性恰由无散保证 ) u d 瘨 ψ χ 瘩 d ψ χ dl ψdχ 最后一个等号可以由式瘨瘳瘶瘩或者瘰 d 瘨 ψχ 瘩 χdψ ψdχ 得到用一曲面去截 ψ ψ ψ ψ B 两个曲面, 得到两条曲线 l l B 任意以 l l B 为边界的区域瘨还有两边是开放的瘩, 对式瘨瘳瘷瘩有 ( 下面的正负号与癁療相对位置有关 ): u d ψdχ ± 瘨 ψ dχ ψ B dχ 瘩 ± 瘨 ψ ψ B 瘩瘨 χ χ 瘩 l +l B χdψ 瘨瘳瘷瘩瘨瘳瘸瘩就得到 ψ B ψ u d χ χ 瘨瘳瘹瘩尤其提一句 : 之前附件癃癬癡癳癳瘭癮癯癴癥癳瘭瘲瘰瘱瘴提到的流函数不正确, 那里是在定常情况下得到的结果, 而流函数存在前提是速度场无散流函数本身也是确定速度场的辅助量, 不应再引入密度场不过这里从中借鉴了数学技巧瘸

9 平面二维时, 速度场变化与 z 无关瘨 u 瘰瘩, 如取 χ z 瘬则 χ e z 瘬有 u ψ e z 瘨 ψ e z 瘩 u, v 1 u r, u r θ θ 直角坐标极坐标故这里的 ψ 等价于二维流函数由上式还可以看到, 二维流函数 ψ 实际是另一个只有 z 分量矢量场 ψ e z 的 z 分量 ( 类比电动力学里的磁通函数 ) 轴对称时, 取 χ ϕ, 则柱坐标 : 球坐标 : e ϕ χ r u u r e r u z e z ψ χ 瘨 e r e z 瘩 e ϕ r ru z, ru r χ e ϕ r 癳癩癮 θ 为式瘨瘳瘳瘩结果 u u r e r u θ e θ ψ χ 瘨 e e θ r 瘩 e ϕ e r θ r r 癳癩癮 θ θ r 2 癳癩癮 θ e θ r 癳癩癮 θ r 癳癩癮 θu θ, r 2 癳癩癮 θu r 为式瘨瘳瘴瘩结果 θ 平面二维是 z 方向上有平移不变性, 轴对称 ( 也可以认为是一种二维 ) 就是 ϕ 方向上有旋转不变性 e r r e z r 现在可以参悟到流函数的奥秘了 : 速度场无散是对三维矢量场的一个约束, 速度场变化与某个空间坐标无关 ( u µ 瘰, µ 为某坐标系下的一个坐标 ) 又是一约束, 本需三个标量场描述的矢量场现只需一个标量场 ( 流函数 ) 就能描述, 或者说三个标量场相互不独立 3 速度势如果说一个矢量场有势, 那么其线积分不依赖于路径, 即 B u dl u dl u dl tocks 定理 (17) 瘰 u d 瘰 B l1 l2 l1+l2 l1, l2 任意故对一个矢量场, 如果有势, 要求无旋另外, 无旋即满足可积性条件瘨瘲瘳瘩, 故是可积的 u 瘰无旋看上去是三个标量方程, 就对矢量场有三个约束, 如果真如此, 速度场就成常场了遗憾的是这三个标量方程不是完全独立的 ( 仅两个独立 ), 仍需要一个标量场 ( 也就是势 ) 去描述这个矢量场计算线积分时不依赖于路径, 此时可以定义速度势 ϕ r u dl ϕ u 一般代表能量的势会加个负号, 不过速度势为计算方便没有这么做对比瘨瘶瘩, 发现又是一致的上式即 u, v 为课上结果, 将用极坐标下表示可得到极坐标下结果三维情况将用直角坐标柱坐标球坐标下表示代入即可得到相应表达瘹

10 4 复势二维直角坐标系下速度场无旋无散, u 瘰, u 瘰瘬可以得到 { u v 瘨瘴瘰瘩满足复变函数里的癃癡癵癣癨癹瘭癒癩癥癭癡癮癮方程, 可以构造解析函数, 即复势, 复速度特别提一下点源 w 瘨 z 瘩 w 瘨 z 瘩 ϕ iψ dw 瘨 z 瘩 dz Q 癬癮瘨 z z 0 瘩瘲 π u iv 癑为源单位时间向外速度通量这里 u z=z0 瘬不满足无散条件瘬会导致多值本应取条从 z 0 到无穷的割线将空间变成单连通区域以避免多值 ( 复变函数里癬癮瘨 z 瘩也是多值函数, 同样这么做 ), 但复势不是物理量, 是辅助确定速度定义出的函数, 其导数复速度单值即可, 不必为此懊恼由式瘨瘴瘰瘩还可以得到 ψ ϕ 满足癌癡癰癬癡癣癥方程 2 ψ 2 ψ 瘰 ϕ 2 ϕ 瘰 2 2 而癌癡癰癬癡癣癥方程有个非常好的性质 : 边界条件给定的情况下其解唯一 ( 同电动力学里的唯一性定理 ) 故可以用镜像法 ( 方法正确性可以从癇癲癥癥癮第二公式得到 ) 凑边界条件 ( 一般是法向速度为瘰 ) 就很容易得到 ψ, ϕ 注意 : 在一些奇异的点 ( 点源点涡偶极子等 ) 不算满足癌癡癰癬癡癣癥方程, 也认为是边界 ( 或者用 δ 函数表示 ) { 顺带提一句,ψ const 瘱瘬 ϕ const 瘲两条曲线交点处垂直, 因为求全微分有瘰 dψ dx 瘱 dy 瘱 vdx 瘱 udy 瘱瘰 dϕ dx 瘲 dy 瘲 udx 瘲 vdy 瘲 dx 瘱 dx 瘲 dy 瘱 dy 瘲瘰瘨 dx 瘱, dy 瘱瘩瘨 dx 瘲, dy 瘲瘩瘰瘱瘰

Microsoft PowerPoint - CLecture2015_Note08

Microsoft PowerPoint - CLecture2015_Note08 第二章重要要点迹线方程 : 流线方程 : dx dy dz u v w dx dy dz u v w dt 流体运动 : Translation ( 1) + (rigid body motion) Rotation (2) General motion = + Dilatation (3) (change in volume) + Angular deformation ( 4) (change

求梯度对应将瘰次外微分形式变为瘱次外微分形式 : dω 瘰 ω 瘰 dx ω 瘰 dy ω 瘰 dz 求旋度对应将瘱次外微分形式变为瘲次外微分形式 : ω 瘱 P dx Qdy Rdz R dω 瘱瘨 Q P 瘩 dy dz 瘨 R Q 瘩 dz dx 瘨 P 瘩 dx dy 瘨瘲瘩 瘨瘳瘩 求散度

求梯度对应将瘰次外微分形式变为瘱次外微分形式 : dω 瘰 ω 瘰 dx ω 瘰 dy ω 瘰 dz 求旋度对应将瘱次外微分形式变为瘲次外微分形式 : ω 瘱 P dx Qdy Rdz R dω 瘱瘨 Q P 瘩 dy dz 瘨 R Q 瘩 dz dx 瘨 P 瘩 dx dy 瘨瘲瘩瘨瘳瘩求散度