电动力学第六章：狭义相对论，相对论理论的四维表述

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山杨茹
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1 1 / 41 电动力学第六章 : 狭义相对论, 相对论理论的四维表述杨焕雄中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn June 13, 2019

2 相对论的加速度合成法则, 1 2 / 41 在相对论力学中, 质点的加速度仍然定义为其速度的时间导数, 所以, 惯性系 Σ 和 Σ 0 中质点的加速度分别是 : 通过计算速度合成法则 ~u = d~u dt ; ~u 0 = d~u0 dt 0 : ~u 0 = ~u (~u ) ~ ~ c ~ (1 ~ ~u=c) 对 Σ 系中时间参数 t 的导数, 可得 : d~u 0 ~u = ( ~u 2 ) ~ ~ 4 ~u (~u 3 ) ~ ~ c ~ 5 ~ ~u=c dt (1 ~ ~u=c) (1 ~ ~u=c) 2 " 1 = ~u 2 # 2 (1 ~ ~u=c) ~ ( ~ ~u) + c ~ (~u ~u)

3 相对论的加速度合成法则, 2 注意到 ~u 0 = d~u 0 =dt 0 = d~u0 dt = dt0 dt, 且我们有 : ~u 0 1 = 3 (1 ~ ~u=c) 3 1 ~u = 3 (1 + ~ ~u 0 =c) 3 dt 0 dt = (1 " ~u 2 ~ ~u=c) + 1 ~ ( ~ ~u) + c ~ (~u ~u) 这就是相对论的加速度合成法则. 它的反变换式如下 : " ~u ~ ( ~ ~u 0 ) # c ~ (~u 0 ~u 0 ) 非相对论极限下, 1, u c, 1, 质点的加速度将不依赖于惯性系的选择 : ~u 0 ~u # 3 / 41

4 相对论的加速度合成法则, 3 4 / 41 倘若取 Σ 0 为粒子的瞬时自身参考系, 则有 :~u 0 = 0. 而设粒子以速度 ~u 相对于实验室参考系 Σ 运动. 显然, ~ = ~u=c. 如此, 实验室系中测得的粒子加速度 ~u 与粒子瞬时自身系中的加速度 ~u 0 之间的关系为 : ~u = 1 " ~u 0 2 # ~ ( ~ ~u 0 ) 若 ~u 0 k ~, 则有 : ~u = ~u 0 3 = 1 (u=c) ~u ~u k ~u 即粒子相对于 Σ 系做加速直线运动.

5 相对论的加速度合成法则, 4 若 ~u 0?, ~ 则有 : ~u = 1 " ~u 0 2 # 3 ( + 1 ~ ~ ~u 0 ) ~u 0 = ~u 0 2 即, ~u = 1 (u=c) 2 ~u 0 ~u? ~u 粒子相对于 Σ 系做加速圆周运动. 5 / 41

6 两类参考系 : 研究加速粒子的运动时, 须严格区别两类不同性质的参考系 : m u C 1 粒子自身系. 粒子自身系是唯一的, 粒子在其自身系里严格静止. 因此, 对于做加速运动的粒子而言, 其自身系是非惯性参考系. 2 瞬时自身系. 瞬时自身系不唯一, 其数目原则上是无穷多. 瞬时自身系按定义是惯性参考系. 做加速运动的粒子在瞬时自身系里速度为零但加速度不为零. 思考 : 设某粒子的加速度的量值在其瞬时自身系是一个非零的常数 a (a > 0). 试问 : 对于时空中某个事件的时空坐标而言, 粒子自身系与瞬时自身系之间的联系是怎样的? 6 / 41

7 相对论理论的四维形式 : 按照 Lorentz 变换, ~r 0 = ~r (~r ~ ) ~ t 0 = (t ~ ~r=c) ~ ct 当惯性参考系改变时, 同一事件的时空坐标相互变换. 不变的只是两个事件之间的间隔. 上述特点暗示, 在狭义相对论理论中时间与空间不可分割 : 1 三维空间与一维时间组合起来构成了一个同一体, 称之为四维时空. 2 惯性系之间的 Lorentz 变换表现为四维时空中的一类转动变换. 3 物理量可以按照其在 Lorentz 变换下的变换性质进行分类. 7 / 41

8 二维 Euclidean 空间的转动 : 8 / 41 为了帮助大家从四维时空之转动变换的角度理解 Lorentz 变换, 我们先回顾一下二维三维 Euclidean 空间中的转动. 先看二维平面上的转动. 设坐标系 S 0 相对于 S 转了一个角, 平面上的点 P 在新旧坐标系中的坐标分别为 (x 0 ; y 0 ) 与 (x; y). 转动前后 P 点坐标之间的关系是 : x 0 = x cos + y sin Y Y O θ P X X y 0 = x cos + y cos 显见, 转动变换的特点是保持 OP 矢量的长度不变 : OP 2 = x 2 + y 2 = x 02 + y 02

9 三维 Euclidean 空间的转动, 1 现在讨论三维 Euclidean 空间的转动. 设 P 为三维 Euclidean 空间中的一点, 在直角坐标系 S 中的坐标为 (x 1 ; x 2 ; x 3 ), 其相对于坐标原点 O(0; 0; 0) 的位置矢量为 : ~r = x i ~e i 建立另一直角坐标系 S 0, 使得 P 点在其中的坐标为 (x 0 1 ; x0 2 ; x0 3) 且 ~r = x 0 i ~e0 i, 则这两组坐标之间的一般线性变换如下 : x 0 i = a ij x j + b i 倘若此线性变换保持新旧坐标系具有同一坐标原点 ( b i = 0) 且保持 P 点相对于坐标原点的位置矢量的长度不变 : 则此线性变换称为转动. x 0 ix 0 i = x i x i 9 / 41

10 三维 Euclidean 空间中的转动, 2 10 / 41 按照保持位置矢量长度不变的要求, 转动变换 x 0 i = a ij x j 的系数 a ij 须满足如下条件 : x i x i = x 0 ix 0 i = a ij a ik x j x k a ij a ik = jk 若将线性变换 x 0 i = a ij x j 写成矩阵方程 x 0 = ax, 这里, 2 x x 0 1 a 11 a 12 a 13 6 = 4 x ; a = 4 a 21 a 22 a 23 5 ; x = 4 x 0 3 a 31 a 32 a 33 则转动变换条件 a ij a ik = jk 可写为 : x 1 x 2 x aa T = I; a 1 = a T 1 满足这个条件的矩阵 a 称为正交矩阵, 相应的变换称为正交变换. 显见,det a = 1. 2 对于真实的空间转动而言,det a = 1.

11 物理量按空间转动性质的分类, 1 11 / 41 物理量常常分类为标量矢量和张量等. 物理量在空间转动这种分类本质上是根据 x i x 0 i = a ij x j ; a ij a ik = jk ; det a = 1 下的变换性质规定的 : 若某物理量, 例如 u, 在坐标系转动时保持不变, 则称其为标量. u 0 = u 若某物理量, 例如 ~v, 它具有 3 个独立分量, 在坐标系转动时其分量 v i 与位置矢径的分量 x i 具有相同的变换法则 : v i v 0 i = a ij v j 则称其为矢量.

12 物理量按空间转动性质的分类, 2 12 / 41 若某物理量, 例如 T, 它具有 9 个独立分量, 在坐标系转动时其分量 T ij 中的每一个指标都与位置矢径的分量 x i 具有相同的变换法则 : T ij T 0 ij = a ik a jl T kl 则称其为二阶张量. 任一二阶张量 T ij 可以进一步分解为 : 其中, T ij = S ij + A ij T kk ij 1 S ij = 1 2 (T ij + T ji ) 1 3 T kk ij 是对称无迹的二阶张量,S ij = S ji, S ii = 0. 2 A ij = 1 2 (T ij T ji ) 是反对称二阶张量,A ij = A ji. 反对称张量天然无迹,A ii = 0. 3 T kk 称为张量 T ij 的迹, 它本身是一个标量. 4 ij 在空间转动变换下保持不变, 称为不变张量.

13 物理量按空间转动性质的分类, 3 Key Points: 1 张量的对称性不因空间转动而改变. 例如设 S ij 在转动前的坐标系中是对称张量,S ij = S ji, 坐标转动后, S 0 ij = a ik a jl S kl = a jl a ik S lk = S 0 ji 2 张量之迹确为标量 : T 0 kk = a kia kj T ij = ij T ij = T ii 3 ij 是三维 Euclidean 空间中的不变张量 : ij 0 ij = a ik a jl kl = a ik a jk = ij 13 / 41

14 14 / 41 不变张量 : 三维 Euclidean 空间中共有两个不变张量. 除二阶对称张量 ij 之外, 另一个不变张量是三阶 Levi-Civita 全反对称张量 ijk. Why? 假设 ijk 是三维 Euclidean 空间中的三阶张量, 则在进行了空间转动变换 x i x 0 i = a ij x j 之后, ijk 变为 : ijk 0 ijk = a ima jn a kl mnl = ijk 上式最后一步基于对称性的分析. 为了确定比例系数, 注意到真实空间转动矩阵的行列式是 +1, 所以 : 1 = det a = mnl a 1m a 2n a 3l = 123 = = a 1m a 2n a 3l mnl = 1 0 ijk = ijk:

15 电动力学中的物理量举例 : 1 标量 : 质量 m, 电荷 Q, 静电标势 ' 等. 2 矢量 : 速度 ~u, 静电力 ~F, 电场强度 ~E, 磁感应强度 ~B 等. 特别地, 梯度算符 r 也具有矢量性质. 在直角坐标系中,r = ~e i, 其分量算符在空间转动下的变换法则是 i 0 j i 因为 x j = a ij x 0 i, j =@x 0 i = a ij. 0 i = a j 3 二阶张量 : 电四极矩. 15 / 41

16 四维 Minkowski 空间 : 16 / 41 Minkowski 所联想到两件事 : 1 三维 Euclidean 空间中的转动是保持两点空间距离不变, 即 x 0 ix 0 i = x i x i 的空间坐标之间的线性变换 :x i x 0 i = a ij x j. 2 惯性参考系之间的 Lorentz 变换是保持事件间隔不变, c 2 t 02 + x 0 ix 0 i = c 2 t 2 + x i x i 的时空坐标线性变换 : 2 x 0 i = x i i j x j ct 0 = (ct i x i ) i ct

17 四维 Minkowski 空间, 2 Minkowski 的顿悟 : 倘若将三维空间与一维时间看成一个具有四个维度的统一体, 称为四维 Minkowski 空间. 1 物理事件可以看做此 Minkowski 空间中的一个几何点, 其坐标为 x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ), 第四个坐标本质上是时间 : x 4 = ict 2 鉴于第四坐标纯虚,Minkowski 空间不是 Euclidean 空间, 常称其为赝 Euclidean 空间. 3 事件的间隔不变性可以重新解释为 :x 0 ix 0 i + x 02 4 = x ix i + x 2 4, 或者更简洁地, x 0 x 0 = x x 4 Lorentz 变换可以重新解释为此 Minkowski 空间中的转动, x x 0 = a x. 转动变换的非零矩阵元是? 17 / 41

18 Lorentz 变换矩阵的矩阵元 : 现在求四维 Minkowski 空间中转动变换的矩阵元 a. 若取 Cartesian 坐标系, 则普遍情形下 Lorentz 变换表达为 : 2 x 0 i = x i i j x j i ct; ct 0 = (ct i x i ) 注意到 x 4 = ict 及 x 0 4 = ict0, 以上二式又可改写为 : 2 x 0 i = ij x j i j x j + i i x 4 ; x 0 4 = (x 4 i i x i ) 显然, 这两个方程已经具备四维转动所采取的形式 x 0 = a x, 转动变换矩阵的所有非零矩阵元可由上式读出 : 2 a ij = ij i j ; a i4 = i i ; a 4i = i i ; a 44 = : 正交条件 a a = 成立吗? 18 / 41

19 检验正交条件 a a = 验证正交条件 a a = 需要区分四种情形. 首先考虑 = i, = j 的情形. 注意到 = 1=p 1 2 意味着 : 我们有 : 2 = a ia j = ki k i kj k j + ( = a ki a kj + a 4i a 4j 2 i i )( i j ) = ij i j i j ( + 1) 2 2 i j = ij i j + ( 1) i j 2 i j + 1 = ij 19 / 41

20 20 / 41 第二种情形是 = i, = 4. 此情形下, a ia 4 = a ki a k4 + a 4i a 44 = ki k i (i k ) + ( i i ) = i i (i i) i 2 i = i( 1) i (i i ) = 0 第三种情形是 = 4, = j. 这实际上与第二种情形等价, 即 : a 4a j = 0. 第四种情形是 = = 4. 此情形下, a 4a 4 = a k4 a k4 + a 2 44 = (i k)(i k ) + 2 = 2 (1 2 ) = 1 综合以上四种情形的结论, 即得所期望的正交条件 : a a =

21 四维协变量,1 物理量可以按照其在空间转动变换下的变换性质分类为标量矢量和张量. 为了表达狭义相对论的相对性原理, 我们也可以将物理量按照其在 Lorentz 变换下的变换性质进行分类. 如前述,Lorentz 变换可以重新诠释为四维 Minkowski 空间中的转动, x x 0 = a x 所以, 这种分类的结果常常称之为四维协变量 : 四维标量 : 在 Lorentz 变换下不变的物理量称为四维标量或者 Lorentz 标量. 四维矢量 : 具有四个分量的物理量 V, 倘若它在 Lorentz 变换下与 Minkowski 空间中的位置坐标 x 有相同的变换法则, 即 : V V 0 = a V 则称其为四维矢量. 21 / 41

22 四维协变量, 2 四维二阶张量 : 具有十六个分量的物理量 T, 倘若在洛伦茨变换下它的每一个指标都与 Minkowski 空间中的位置坐标 x 有相同的变换法则, 即 : T 则称其为四维二阶张量. T 0 = a a T 四维标量举例 : 事件的间隔 ds 2 = dx dx 不受 Lorentz 变换的影响, 因此是一个四维标量, 固有时 d = ids=c. 电磁波的相位因子. 相位只是计数问题, 不应随参考系的改变而发生变化, 带电粒子的电荷 Q. 粒子的静止质量 m. 22 / 41

23 四维协变量, 3 四维矢量举例 : 粒子的时空坐标本身形成了一个四维矢量, x = (~r; ict) 常称之为 4- 位置矢量. 对 x = = (r; i t) 常称之为 4- 梯度算符. 注意到 Lorentz 变换 x 0 = a x 的反变换式可写为 :x = a x 0 @x / 41

24 四维协变量, 4 24 / 41 对 x 的微分形成了一个四维矢量 : 常称之为 4- 位移矢量. dx = (d~r; icdt) 将 4- 位移 dx 与固有时 d 相除, 可以构造出一个四维矢量 : U = dx d 常称之为粒子的 4- 速度矢量. 按此构造,U 与 x 显然具有完全相同的在 Lorentz 变换规律 : U U 0 = a U : 注意到粒子的物理速度为 ~u = d~r=dt, 而时间延缓效应又暗示着 : dt = p 1 d (u=c) 2 = ud 因此, 粒子的 4- 速度 U 与其物理速度之间的联系是 : U = u (~u; ic)

25 粒子的 4- 速度 U : 将粒子 4- 速度 U 与其自身求缩并, 可以构造出一个四维标量 : 此式是 U 最重要的性质. U U = c 2 例 : 试利用 4- 速度推导出相对论的速度合成法则. 解 : 粒子 4- 速度的 Lorentz 变换法则是 U 0 = a U. Lorentz 变换矩阵的显示表达式是 : 2 a ij = ij i j ; a i4 = i i ; a 4i = i i ; a 44 = 式中 = 1=p 1 2, 而 ~ = ~v=c 是无量纲化的牵连速度, 注意到惯性系 Σ 和 Σ 0 中 4- 速度的分量形式分别为 : U = u (~u; ic); U 0 = u 0(~u 0 ; ic) 25 / 41

26 26 / 41 我们有 : u 0u 0 i = U 0 i = a i U = a ij U j + a i4 U 4 = a ij u u j + a i4 u ic " # = u ij i j u j + u (i i )(ic) " # = u u i (~u ) ~ i i c ; u 0ic = U 0 4 = a 4 U = a 4j U j + a 44 U 4 = u ( ij )u j + ic = u ic 1 ~ ~u=c :

27 以上两式的结果整理如下 : " u 0 i = u u i + 2 u (~u ) ~ i i c # ; u 0 u = 1 ~ ~u=c : 将第二式代入到第一式, 即得 : 或等价地, u 0 i = u i (~u ) ~ i i c ~ ~u=c 1 ~u 0 = ~u (~u ) ~ ~ c ~ (1 ~ ~u=c) 这正是相对论的速度合成法则. 证毕. 27 / 41

28 四维协变量, 5 28 / 41 通过求粒子 4- 速度对固有时的时间导数, 可以构造出一个新的四维矢量 : a := du d 常称之为粒子的 4- 加速度矢量. 现在研究粒子 4- 加速度与其物理加速度之间的联系. 注意到 : U = u (~u; ic), u = 1=p 1 (u=c) 2 以及 dt = u d, 我们有 : a i = du i = 4 u d " = dt d( u u i ) d dt (1 u 2 =c 2 ) u i + = 4 u u i + 4 u c 2 ~u (~u ~u) i = u ( u u i + u u i ) # ~u ~u c 2 u i

29 四维协变量, 6 所以, 粒子 4- 加速度的空间分量 ~a 与其物理加速度 ~u 之间的联系是 : ~a = u h ~u 4 + ~u (~u 2 ~u)=c i 上述推导用了辅助公式 : u := d dt 同理 : a 4 = du 4 d 1 ~u k ~u ~a = 4 u ~u 2 ~u? ~u ~a = 2 u ~u h i 1=p 1 (u=c) 2 = ic u u = iu 4 ~u ~u=c = 3 u ~u ~u=c 2. 粒子 4- 加速度矢量的分量形式是 : a = u h ~u 4 + ~u (~u 2 ~u)=c ; i~u ~u=c i 29 / 41

30 四维协变量, 7 粒子的 4- 加速度 a 可以用来构造出两个 Lorentz 标量 : a U, a a. 由于 U U = c 2, 通过求此式对于固有时的导数, 我们有 : 0 = 2U du d ; a U = 0 所以,a 是类空四维矢量, 即总可以找到一个惯性系, 使得在其中 a 4 = 0. 注意到 a 4 = iu 4 ~u ~u=c, 这样一个惯性系实际上是粒子的瞬时自身系 (~u = 0). 另一个 Lorentz 标量常常记为 : a a = a 2 在相对论力学中, 粒子加速度的量值定义为 :a = p a a. 鉴于 a 的类空性,a a > 0, 所以 a 是正实数 ( 有意义 ). a 是 Lorentz 标量, 它的大小不依赖于惯性系的选择. 30 / 41

31 四维协变量, 8 不难证明 : a = 3 u q [1 (u=c) 2 ] ~u ~u + (~u ~u) 2 =c 2 a ~u!0 = j ~uj 所以,a 就是瞬时自身系中 (~u = 0) 该粒子的物理加速度的大小. 1 若 ~u k ~u, 则有 : a = 3 uj ~uj 2 若 ~u? ~u, 则有 : a = 2 uj ~uj 这些结论与之前的讨论一致. 31 / 41

32 电磁波的相位因子 e i 是一个 Lorentz 标量, = ~ k ~r!t 这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件, 而相位只是计数问题, 不应随参考系而变. 引入数组 k = ( ~ k; i!=c) 和 x = (~r; ict), 可以把 Lorentz 标量重新写为 : = k x 然而 x 是一个 4- 矢量, 即粒子在四维 Minkowski 空间中的位置矢量. 32 / 41

33 四维协变量, 9 所以, k = ( ~ k; i!=c) 必须也是一个四维矢量, 常称之为 4- 波矢. 在 Lorentz 变换下, x 0 = a x. 4- 波矢的变换法则是 : 写成显式即为 : k 0 = a k ~ k 0 = ~ k (~ k ) ~ ~! 0 = (! c ~ ~ k) ~!=c 作为这个变换式的一个应用, 现在讨论一下相对论的 Doppler 效应. 考虑在真空中传播的平面电磁波. 假设 Σ 系中的物理波矢 ~ k 与牵连速度 ~ c 之间的夹角为, ~ ~ k = k cos =! c cos 33 / 41

34 四维协变量, 10 所以,! 0 = (! c ~ ~ k) =!(1 cos ) 若 Σ 0 系为光源静止参考系, 则! 0 =! 0. 这里用! 0 标记静止光源的辐射角频率. 于是, 相对论的 Doppler 效应由下式描写 :! =! 0 (1 cos ) 1 在垂直于光源运动方向观测辐射时, 经典 Doppler 效应的结论是! =! 0. 2 与经典结论不同, 相对论的横向 Doppler 效应 ( = =2) 是 :! =! 0 q1 2 <! 0 横向 Doppler 效应为 Ives-Stilwell 实验 (1938) 所证实. 34 / 41

35 作业 : 本章第二次作业 : 郭硕鸿著电动力学 ( 第三版 ), 第 236 页, 第 9,10,11 题. 35 / 41

36 Minkowski 空间中的不变张量, 1 与三维 Euclidean 空间类似, 四维 Minkowski 空间中也存在着两个不变张量 : 和. 先验证 : 是不变张量. 假设在 Lorentz 变换下 (x 张量, 则有 : x 0 = a x ) 形成一个二阶 0 = a a = a a Lorentz 变换是闵氏空间中的转动, a a =, 所以在 Lorentz 变换下实际上保持不变 : 0 = 36 / 41

37 Minkowski 空间中的不变张量, 2 现在考虑. 称为四阶 Levi-Civita 全反对称张量, 其定义式是 : 8 >< 1; 若 () 是 (1234) 的偶置换 = 1; 若 () 是 (1234) 的奇置换 >: 0; 其他情况若将上述定义写成显式, 即为 : = / 41

38 Minkowski 空间中的不变张量, 3 服从的基本运算法则是 : = 此式可以通过的行列式表达式验证. 由此可证所具有的几个重要性质 : 1 = 2 = 2( ) 3 = 6 4 = / 41

39 Minkowski 空间中的不变张量, 4 Theorem: 是 Lorentz 变换下的不变张量. 证明思路如下. 假设是 Lorentz 变换下 (x 有 : x 0 = a x ) 的四阶张量, 则 0 = a a a a / 最后一步的成立源自于对称性. 到 : 暂设 : 0 = Ω, 我们看 Ω = Ω 1234 = = a 1 a 2 a 3 a 4 = det(a) Lorentz 变换是闵氏空间中的真转动, 其行列式为 +1, 故 Ω = 1. 所以, 在 Lorentz 变换下保持不变. 39 / 41

40 物理规律的 Lorentz 协变性 : 40 / 41 Q: 四维协变量为什么是重要的? 狭义相对论的相对性原理声称 : 所有惯性参考系都是等价的物理规律对于所有惯性系都可以表达为相同形式. 倘若一个物理学方程中的每一项都属于同类的四维协变量, 例如 : F + H = 0 式中 F 与 H 都是四维矢量, 或者, T + U + W = 0 式中 T, U 及 W 都是四维二阶张量, 则在 Lorentz 变换下, 方程的每一项都按相同的方式变换, 保证方程的形式与惯性参考系的选择无关, 从而使得该物理学方程获得作为相对论所接受的物理规律的资格.

41 41 / 41 现以 F + H = 0 举例. 假设这是惯性系 Σ 中的观测者所发现的一个物理学方程, 其中的 F 与 H 业已被确认为是两个四维矢量. 这样, 若在惯性系 Σ 和 Σ 0 之间进行 Lorentz 变换 x x 0 = a x 则在惯性系 Σ 0 中我们有 : F 0 = a F = a H = H 0 F 0 + H 0 = 0 即这个方程在两个惯性系中采取了相同的数学形式, 因此有资格作为一条被狭义相对论所承认的物理学规律.

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Microsoft Word - 第二十六讲.doc 第二十六讲上次课 : 绝对时空观的困难 ( 麦 - 莫实验 ) 相对时空观,Loentz 变换, 四维空间, x ' 标量矢量张量 = α x ν ν 4. 速度及四维速度矢量 d 假定在 S 系中考察一个物体的运动, 其速度的定义是 = 现在假定 S 系 dt d ' 相对 S 系以速度 v 沿着 x 轴运动, 则在 S 系中同一粒子的速度定义为 = 因 dt ' 为在相对论时空观中, 时间和空间是一起变换的,

电动力学 第六章：狭义相对论，相对论理论的四维表述

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