Microsoft Word - chapter1-2 电流和磁场-1

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1 上次课 静电场可以用一个标量场的梯度 负值 表示 : E 1 E 从静电场的库仑定律出发, 向瞬变场推广得到的电动力 学的基本方程之一 : E,t 1,t 纯电偶极子的电势表达式 : 1 p, 1 2 重要的数学公式之一 : 回忆 tokes 定理 : 2 1. A l A L

2 2 电流和磁场 关于对磁现象的研究, 我们宋代的科学家沈括 是第一个观测到悬挂的磁针指向南北向, 并将它应用到航海的导航上 而揭示出电与磁之间的关系的第一人则是丹麦哥本哈根大学的 Oeste 教授, 他在 1819 年一次偶然的实验中发现通电的导线能够影响到附近磁针的指向, 这就是有名的 Oeste 实验 在麦克斯韦建立完整的电磁场理论之前, 对磁的研究有重要贡献的还有 Ané-Maie Ampèe,Cal Fieich Gauss; ean-baptiste Biot an Féli avatbiot-avat 定律,192, 和 Michael Faaay 本节关于静磁场的讨论, 我们将和静电场做比较, 简要的给出静磁场的基本特征 1. 电流 电荷守恒定律 1 电流密度矢量 的定义 : a 空间某处电流密度矢量的方向就是该处电场强度的方向 ; b 大小等于单位时间垂直通过单位面积的电量 ; c 设空间某位置处的电荷密度为, 电荷运动的平均速度为 v, 则有

3 v 2 电流强度 : 单位时间内垂直穿过某一横截面的电量称为电流强度, 用 I 表示 ; 电流强度与电流密度矢量之间的关系 : I I cos 电荷守恒定律实验表明电荷的总量是守恒的 ; 如果在空间内任意取一封闭曲面, 则单位时间内穿过曲面 而流出去的电量为 I 根据电荷的总量守恒, 流出去的电量应等于封闭曲面 内的总电荷在单位时间内的减少量 t 如果所选取的曲面不随时间而变化, 则上式可写成 : t t 由高斯定理得 : t

4 或者 t t 此为电荷守恒定律的数学表达式, 也称为电流的连续性方程 再注意几点 : a 这里的,t 为电荷密度, 而,t 为电 荷 流密度, 那么守恒定律的形式是 : 流密度的散度 + 电荷量密度变 化率 = 这是关于粒子流守恒的一般形式 b 类似的还有在介质的极化部分我们会见到类似的连续性 方程 : 极化电荷密度与极化电流也满足电流的连续性方程 : P P t 介质磁化形成的磁化电流满足的联系方程则是 M 孤立的磁荷不存在, 至少目前实验上尚未发现 c 在稳恒电流情况下物理量不随时间而变化, t, 得 到 稳恒情况下电流线是闭合的, 换言之, 对于一个闭

5 合面 包含的体积可以无穷小 而言, 单位时间内有多少 流入, 就有多少量流出 体内的电荷密度不随时间变化 电流与电流之间的相互作用 磁场对电流的作用 实验上观测到 : 电流与电流之间存在相互作用 ; 这种相互 作用力是通过称为磁场的物质传递的 ; 电流元在磁场中所受到的力为 F Il B I l 称为电流元 ; 线元 l 的方向与电流的流向同向 ; 矢量 B 描述电流元所在点磁场的性质 磁感应强度 恒定电流所激发的磁场 毕奥 - 萨伐耳 Biot-avat 定律 Biot-avat 通过电流之间的相互作用, 从数学上给出了 处的电流元 在场点 处产生的磁场 ; B 式中 为真空的磁导率, B 称为磁感应强度 后面我们会从静电场与静磁场的很多公式的对比发现, 在 很多的情况下 B 与 E 有着很多的对应 如果电流集中在一条细导线上, 设导体的横截面面积为 n,

6 则有 l n Il 通过细导线的恒定电流所激发的磁场为 : Il B 毕奥 - 萨伐耳定律是磁场分布规律的积分形式 如果有一电荷以速度 v 运动 v c, 且忽略其加速度, 则根据上述定律, 可得到由它所激发的磁场 严格的推导 需要等我们学到推迟势一章节 : B qv v E 5 磁场的散度电流与其邻近点的磁场之间的关系根据毕奥 - 萨伐耳定律 B 式中 利用关系式 : 1 得到 :

7 1 B 进一步利用数学公式 : f f f 得到 1 B 由于 只对观察点 微商, 则有 A B 矢势 A 定义为 A 磁场的散度 B A 2.1 结论 : 磁场是无散度的场 上述公式不仅适用于恒定情况, 也适用于非恒定的一般情况, 即有

8 根据数学中的高斯定理, B B 从而得到, 总结一下 : 非恒定的一般情况, 有 B,t, B,t 6 磁场的旋度在电磁学中我们知道, 载电流导线周围磁场的磁感线总是围绕着导线的一些闭合曲线, 磁场沿闭合曲线的环量与闭合曲线所围曲面的电流 I 成正比, 系 : 其中 L 为任一闭合曲线,I 为通过 L 所围曲面的总电流 对于连续电流分布, 我们有积分形式的电流和磁场的关 取一个很小的面元, 当趋近于 时,

9 由此得到 : 另一种方法, 可以利用磁感应强度与矢势的关系毕奥 - 萨伐耳 Biot-avat 定律, 来推导出上述关系 B A 2 A 首先分析第一项 : A 由于 只对观察点 微商, 则有 A A 根据定义 2 y y 2 z z 2 所以有 A

10 利用数学公式 : f f f 有 1 A 根据电荷守恒定律, 由于是讨论的恒定电流情况, 故有 因此有 A 此处的面积分对整个电流存在的区域 在恒定电流的情况下, 区域的边界面上应无电流流进和流出, 即在边界面上有电流密度应无法向分量, 从而得到 A 2.17

11 计算式 2.16 中的第二项 : 2 A 根据矢势 A 的定义 由于 2 A 上述的被积函数只可能在 样在被积函数中可令 2 A 处才可能不为零 这 根据, 同时在计算 时可取 作为坐标原点, 从而得到

12 磁场的旋度可表示为 : 利用 tokes 公式 C 2 A f l B f 得到对应公式 2.11 的积分形式 : 磁感应强度对一个闭合回路 L 的线积分为 : 推论 : L B l 2.1 a 磁场为无源有旋场 ; 磁感应线为闭合线, 无起点和终点 ; b 不同于静电场, 磁场为非保守场 ; 电流激发的磁场以涡 旋形式出现 ; c B 只有在恒定的情况下成立 ; 而 B 在一般的情况 如随时间变化的非恒定 下 也成立, B,t 7 补充说明 :

13 1 运动电荷在磁场的作用下做圆周运动 ; 假设电荷沿着一 个半径为 a 的环形路线运动, 形成稳定的电流 i, 定义磁矩 m i ia 2 n 假设 a 2,i,ia 2 finite, 此即所谓理想分子环形电流 模型 2 分子环形模型也称为磁偶极子模型 之所以这样称呼, 不是因为可能存在一对靠近的正 负磁 荷 孤立的磁荷目前实验上还没发现!, 而是因为 在静磁 场一章我们会看到 分子环形电流模型在空间的矢势为 A m 式中, 为从圆心指向场点的位矢 这个公式在形式上与 纯 p 电偶极子的电势的表达式 1 还可以证明, 磁偶极子周围的磁感应强度 的形式为 B m m e 具有某种对应特征 ; e m B A 再一次看到, 磁偶极子周围的磁感应强度的表达式形式与 电偶极子周围的电场的表达式也非常类似 :

14 E 1 p e e p 从这些表达式的相似性, 可以看出描述电场与磁场一些物理 量之间具有某种对称性 下面把电偶极子和磁偶极子的相关物理量的表达式做一个 比较, 便于大家加深印象 : 源 偶极子 偶极矩 静止 电荷 稳 电荷流 纯 电偶极子, q, ql finite 电偶极矩 p q 纯 磁偶极子 a 2,i,ia 2 finite 磁偶极矩 m i ia 2 n 势 标势 1 场 1 E p e p e p B 矢势 A m m e e m 对于物理上的载流线圈 电流和线圈的半径都是有限值, 其在远场产生的矢势除了最主要的磁偶极子贡献项 A m 外, 还存在更高阶的修正项 在静磁场一章会

15 讨论 作业 1: 郭硕鸿 电动力学 第三版 P5 页, 习题 1 2: 试由稳恒电流产生的磁场的 Biot-avat 定律 : B B., 推导出安培环路定理 :

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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