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第二十三届希望杯全国数学邀请赛初一第 1 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 计算 :1+ (-2) 2 - -4 (-1) 2 =( ) 4 (A)-2. (B)-1. (C)6. (D)4. 2. 北京景山公园中的景山的相对高度 ( 即从北京的地平面到山顶的垂直距离 ) 是 45.7 米, 海拔高度是 94.2 米.

1 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初一第 1 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 计算 :1+ (-2) (-1) 2 =( ) 4 (A)-2. (B)-1. (C)6. (D)4. 2. 北京景山公园中的景山的相对高度 ( 即从北京的地平面到山顶的垂直距离 ) 是 45.7 米, 海拔高度是 94.2 米. 而北京香山公园中的香炉峰 ( 俗称鬼见愁 ) 的海拔高度是 557 米, 则香炉峰的相对高度是 ( ) 米. (A) (B) (C) (D) Ifrationalnumbersa,b,andcsatisfya <b <c,then a-b + b-c + c-a = ( ) (A)0. (B)2c-2a. (C)2c-2b. (D)2b-2a. 4. 某人在练车场上练习驾驶汽车, 两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反, 则这两次拐弯的角度可能是 ( ) (A) 第一次向左拐 40, 第二次向右拐 40. (B) 第一次向右拐 50, 第二次向左拐 130. (C) 第一次向右拐 70, 第二次向左拐 110. (D) 第一次向左拐 70, 第二次向左拐某单位 3 月上旬中的 1 日至 6 日每天用水量的变化情况如图 1 所示, 那么这 6 天的平均用水量是 ( ) 吨. (A)33. (B)32.5. (C)32. (D) 若两位数 ab 是质数, 交换数字后得到的两位数 ba 也是质数, 则称 ab 为绝对质数. 在大于 11 的两位数中绝对质数有 ( ) 个. (A)8. (B)9. (C)10. (D)11. 图已知有理数 x 满足方程 x = , x 则 x = ( ) x -1 (A)-41. (B)-49. (C)41. (D) 某研究所全体员工的月平均工资为 5500 元, 男员工月平均工资为 6500 元, 女员工月平均工资为 5000 元, 则该研究所男女员工人数之比是 ( ) (A)2 3. (B)3 2. (C)1 2. (D) 如图 2, ABC 的面积是 60,AD DC=1 3,BE ED =4 1,EF FC =4 5. 则 BEF 的面积是 ( ) (A)15. (B)16. (C)20. (D) 从 3 枚面值 3 元的硬币和 5 枚面值 5 元的硬币中任意取出 1 枚或多于 1 枚, 可以得到 n 种不同的面值和, 则 n 的值是 ( ) (A)8. (B)15. (C)23. (D)26. 图 2

2 二 A 组填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 11. 若 x =0.23 是方程 mx =0.12 的解, 则 m =. 12. 如图 3, 梯形 ABCD 中, DAB = CDA =90,AB =5,CD =2,AD =4. 以梯形各边为边分别向梯形外作四个正方形. 记梯形 ABCD 的面积为 S1, 四个正 S1 方形的面积和为 S2, 则 =. S2 图若有理数 a 的绝对值的相反数的平方的倒数等于它的相反数的立方的 32, 则 a=. 14.Ifa <-2,-1<b <0,H =-a-b,o =a 2 +b 2,P =-a+b 2,andE =a 2 -b,then themagnituderelationofthefournumberh,o,p,andeis. ( 英汉小词典 :magnituderelation 大小关系 ) 15. 某农民在农贸市场卖鸡. 甲先买了总数的一半又半只, 然后乙买了剩下的一半又半只, 最后丙买了剩下的一半又半只, 恰好买完. 则该农民一共卖了只鸡. 16. 若 (a-2b+3c+4) 2 + (2a-3b+4c-5) 2 0, 则 6a-10b+14c-3=. 17. 如图 4, 在直角梯形纸片 ABCD 中,AD BC,AB BC,AB =10,BC =25,AD =15, 现以 BD 为折痕, 将梯形 ABCD 折叠, 使 AD 交 BC 于点 E, 点 A 落到点 A1, 则 CDE 图 4 的面积是. 18. 代数式 5a 2 +5b 2-4ab-32a-4b+10 的最小值是. 19. 如图 5, ABC 中, ACB =90,AC =1cm,AB =2cm. 以 B 为中心, 将 ABC 顺时针旋转, 使得点 A 落在边 CB 延长线上的 A1 点, 此时点 C 落到点 C1. 则在旋转中, 边 AC 变到 A1C1 所扫过的面积为 cm 2 ( 结果保留 π). 20. 在一条笔直的公路上, 某一时刻, 有一辆客车在前, 一辆小轿车在后, 一图 5 辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶. 过了 10 分钟, 小轿车追上了货车 ; 又过了 5 分钟, 小轿车追上了客车 ; 此后, 再过 t 分钟, 货车追上了客车, 则 t=. 三 B 组填空题 ( 每小题 8 分, 共 40 分.) 21. 已知 2x -3y=z+56,6y=91-4z-x, 则 x,y,z 的平均数是, 又知 x >0 并且 (x -3) 2 =36, 则 x =,y =,z=. 22. 有长为 1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm 的六根细木条, 以它们为边 ( 不准截断或连接 ) 可以构成个不同的三角形, 其中直角三角形有个. 23. 已知 11 瓦 (0.011 千瓦 ) 的节能灯与 60 瓦 ( 即 0.06 千瓦 ) 的白炽灯的照明效果相同, 使用寿命都超过 3000 小时. 而节能灯每只售价为 27 元, 白炽灯每只售价为 2.5 元, 电费为 0.5 元 / 千瓦时. 若用一只 11 瓦节能灯照明 1500 小时, 则电费为元. 对于 11 瓦的节能灯和 60 瓦的白炽灯, 当照明时间大于小时时, 买节能灯更划算. a 2 -b 已知正整数 a,b 的最大公约数是 3, 最小公倍数是 60, 若 a >b, 则 2ab =. 25. 如图 6, 在 ABC 中, ACB=90,M 是 CAB 的平分线 AL 的中点. 延长 CM 交 AB 于 K,BK =BC. 则 CAB =, ACK KCB =. 图 6

3 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初一第 2 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 下面四个命题 : (1) 若两个角是同旁内角, 则这两个角互补. (2) 若两个角互补, 则这两个角是同旁内角. (3) 若两个角不是同旁内角, 则这两个角不互补. (4) 若两个角不互补, 则这两个角不是同旁内角. 其中错误的命题的个数是 ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 2. 若两位自然数 ab 是质数, 且交换数字后的两位数 ba 也是质数, 则称 ab 为绝对质数. 于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数字是 ( ). (A)1. (B)3. (C)7. (D)9. 3. 如图 1, 将边长为 4cm 的等边 ABC 沿边 BC 向右平移 2cm 得 DEF,DE 与 AC 交于点 G, 则 S 四边形 ABFD S ABC =( ) (A)3 2. (B)2 1. (C)5 2. (D)3 1. 图 1 4. 有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图 2 所示,O 为原点, 则代数式 a +b - b-a + a-c +c=( ) (A)-3a +2c. (B)-a-ab-2c. (C)a-2b. (D)3a. 图 2 5.Theperimeterofatriangleis18,whileeachsideisaninteger.Ifthe longestsideisnotaprimenumber,thenthenumberofsuchtriangleis( ) (A)4. (B)5. (C)6. (D)7. ( 英汉小词典 :perimeterofatriangle 三角形的周长 ;primenumber 质数 ) 6.77 可以表示成 n(n 2) 个连续自然数的和, 则 n 的值的个数是 ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 7. 如图 3, ABC 中, BCA=90, 点 E 在边 CA 上, 点 D 和 F 在边 BA 上, 若 BC =CD =DE =EF =FA, 则 A =( ) (A)20. (B)18. (C)15. (D)12. x 图已知 x,y 是非负整数, 且使 2 =4-y 是整数, 那么这样的数对 3 (x,y) 有 ( ) 个. (A)1. (B)2. (C)3. (D) 身高两两不同的 30 个学生面向老师站成一排. 其中恰有 11 个学生高于自己左侧相邻的同学, 那么高于自己右侧相邻同学的学生有 ( ) 人. (A)11. (B)12. (C)18. (D) 若 x +y =3,xy =1, 则 x 5 +y 5 =( ) (A)33. (B)231. (C)123. (D)312. 二填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 11. 计算 : =. 12. 已知 ABC 中,AB =2,BC =9, 若 AC 的长是奇数, 则 AC =. 13. 若自然数 x 除以 3 余 2, 除以 4 余 3, 除以 5 余 4, 则 x 除以 15 所得余数是.

4 14.If4x 2n+3 y 2m and-7x m+2 y 6n aresimilarterms,then (m +n) m n =. 15. 如图 4, 在四边形 ABCD 中,AD BC, 点 E 在 AD 上, 点 F G 在 BC 上, 并且 AE =ED =BF=FG=GC. 以 A B C D E F G 这 7 个点中的三个为顶点的三角形中, 面积最小的三角形有个 ; 面积最大的三角形有个. 16. 用黑白两种颜色的 1 1 正方形瓷砖, 按图 5 所示的方式铺地板 :( 图 (1) 中图 4 有 3 5 块瓷砖, 以后各图都比前一个加铺 2 5 块瓷砖 ), 则有 2014 块黑色瓷砖的是图 5 中的第个图. 17. 图 6 是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图, 若此立体最高有三层, 则此立体最少有个小正方体, 最多有个小正方体年以后出生的人, 他出生年份的最后两个数字组成的两位数 ( 如果末两位图 5 数字为 00 或 01, 则看成两位数 00 或 01, 其余类推 ), 加上这个人今年的年龄数, 所得的结果是或.( 注 : 今年的年龄数 =2012- 出生年份 ) 19. 已知正 n 边形 A1A2A3 An-1An 的面积是 60, 若四边形 A1A2AkAk+1 是一个图 6 面积为 20 的矩形, 则这个正 n 边形的一个内角是度. 20. 设 P(x)= 1 5 x x x x 1, 则 3 [ P(2)-P(-2)]=. 三解答题每题都要写出推算过程. 21.( 本题满分 10 分 ) 已知 a,b,c 都是整数, 如果对任意整数 x, 代数式 ax 2 +bx +c 的值都能被 3 整除. 证明 :abc 可被 27 整除. 22.( 本题满分 15 分 ) 某公司以每吨 500 元的价格收购了 100 吨某种药材. 若直接在市场上销售, 每吨的售价是 1000 元. 该公司决定加工后再出售, 相关信息如下表所示 : 工艺每天可加工药材的吨数出品率售价 ( 元 / 吨 ) 粗加工 14 80% 5000 精加工 6 60% 注 :1 出品率指加工后所得产品的质量与原料的质量的比值. 2 加工后的废品不产生效益. 受市场影响, 该公司必须在 10 天内将这批药材加工完毕, 现有 3 种方案 : (A) 全部粗加工 ; (B) 尽可能多地精加工, 剩余的直接在市场上销售 ; (C) 部分粗加工, 部分精加工, 恰好 10 天完成. 问 : 哪个方案获得的利润最大? 是多少? 23.( 本题满分 15 分 ) 有一系列数, 前两个数是 1,2, 从第三个数起, 每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字. 请回答以下问题 : (1) 在这列数中能否依次出现相邻的 2,0,1,2 这四个数? 说明理由. (2) 这列数中的第 2012 个数字是什么? 说明理由.

5 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初二第 1 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 如果 0< m <1, 那么 m 一定小于它的 ( ) (A) 相反数. (B) 倒数. (C) 绝对值. (D) 平方. 2. 在 2 77,3 55,5 44,6 33 这四个数中, 最大的数是 ( ) (A)2 77. (B)3 55. (C)5 44. (D)6 33. a 2 -b 2 +2b-1 3. 若 a+b=2012,b a+1, 则的值等于 ( ) a 2 -b 2 +a+b (A)2012. (B)2011. (C) (D) 方程 x -1-2 x 2-1 =1 3 ( ) (A) 只有一个根 x =1. (B) 只有一个根 x =2. (C) 有两个根 x1 =1,x2 =2. (D) 无解. ìx +y +z=10, 5. 方程组 í 3x +y -z=50, ( ) î2x +y =40 (A) 无解. (B) 有 1 组解. (C) 有 2 组解. (D) 有无穷多组解. 6.Asinthefigure1,therearefourcircles withradiusof2.thefour circlesareapartfromeachother.linktheircenterstoformaquadrilateral,then thetotalareaoftheshadedpartsinthefigureis( ) (A)2π. (B)4π. (C)6π. (D)8π. 7. 在平面直角坐标系中, 先将直线 y =3x -2 关于 x 轴作轴对称变换, 再将所得直线关于 y 轴作轴对称变换, 则经两次变换后所得直线的表达式是 ( ) (A)y =2x -3. (B)y =3x -2. (C)y =2x +3. (D)y =3x +2. Fig.1 8. 一次函数 y =(m 2-4)x + (1-m) 和 y=(m +2)x + (m 2-3) 的图象分别与 y 轴交于点 P 和 Q, 这两点关于 x 轴对称, 则 m 的值是 ( ) (A)2. (B)2 或 -1. (C)1 或 -1. (D) 如图 2, 在周长是 10cm 的 ABCD 中,AB AD,AC BD 相交于点 O, 点 E 在 AD 边上, 且 OE BD, 则 ABE 的周长是 ( ) (A)2cm. (B)3cm. (C)4cm. (D)5cm. 10.x1,x2,,x100 是自然数, 且 x1 <x2 < <x100, 若 x1 +x2 + +x100 =7001, 那么, x1 +x2 + +x50 的最大值是 ( ) (A)2225. (B)2226. (C)2227. (D)2228. 图 2

6 二 A 组填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 11. 有下列命题 : 1 矩形既是中心对称图形, 又是轴对称图形 ; 2 平行四边形是中心对称图形, 不是轴对称图形 ; 3 等腰梯形是轴对称图形, 不是中心对称图形 ; 4 有一个锐角是 30 的直角三角形不是中心对称图形, 也不是轴对称图形. 其中正确命题的序号是.( 把所有正确的命题的序号都填上 ) 12. 若 n 是正整数, 且 x 2n =5, 则 (2x 3n ) 2 (4x 2n )=. 13. 已知整数 a,b 满足 6ab=9a-10b+16, 则 a+b 的值是. 14.TheoriginalrailwayfromAtoBis310km,andnowa280kmlonghigh speedrailway isbuilt.thetrainspeedonthehigh speedrailwayistwicetheoriginalspeed,sothetraveling timefrom A tob is2hoursshorter.thentheoriginaltrainspeedontheoriginalrailwayis km/hour. 15. 如图 3, 已知 ABC 中,AD 平分 BAC, C =20,AB +BD =AC, 则 B 的度数是. 16. 若 ABC 的三个内角满足 3 A >5 B,3 C <2 B, 则 ABC 必是三角形.( 填锐角直角或钝角 ) 图 3 mx 若关于 x 的分式方程 x x =2 有整数解, 整数 m 的值是. 18. 已知 a+x 2 =2011,b+x 2 =2012,c+x 2 =2013, 且 abc=24, 则 a bc +c ab +b ac - 1 a - 1 b - 1 c =. 19. 若 x 是自然数,x +13 和 x -76 都是完全平方数, 那么 x =. 20. 如图 4, 在 ABCD 中, 点 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点, 点 P 在线段 GF 上, 则 PHE 与 ABCD 的面积的比值是. 三 B 组填空题 ( 每小题 8 分, 共 40 分.) 21. 直线 y =3x +k+2 与直线 y =-x +2k 的交点在第二象限, 且 k 是正整数, 则 k 的值是 ; 交点的坐标是. 图一个三角形的三条边的长分别是 5,7,10, 另一个三角形的三条边的长分别是 5,3x - 2,2y +1, 若这两个三角形全等, 则 x +y 的值是或. 23. 点 A 和 B 在直线 y=- 3 4 x+6 上, 点 A 的横坐标是 2, 且 AB =5. 当线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 后, 点 B 的坐标是或. 24. 等腰直角 ABC 中, ACB =90, 点 D 和 E 在 AB 边上,AD =3,BE =4, DCE =45, 则 DE = 或. 25. 袋中有红黄黑三种颜色的球各若干个, 黄色球上标有数字 5, 黑色球上标有数字 6, 红色球上标的数字看不清. 现从袋中拿出 8 个球, 其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数. 已知 8 个球上的数字和是 39, 那么红色球上标的数字是 ; 拿出黑色球的个数是.

7 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初二第 2 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 实数 a,b,c,d 满足 :1a+b=c+d;2a+d <b+c;3c <d. 则 a,b,c,d 的大小关系是 ( ) (A)a <c <d <b. (B)b <c <d <a. (C)c <d <a <b. (D)c <d <b <a. 2. 下列等式中不恒成立的是 ( ) (A) a+b a +a+b b =a+b a+b a b. (B) a a+1 - b b+1 = a+1 a b b+1. (C)a+ a a 2-1 =a2 a a 2-1. (D) a3 +b 3 a 3 + (a-b) = a+b 3 a+ (a-b). 3. 一组数据由五个正整数组成, 中位数是 4, 且唯一的众数是 7, 则这五个正整数的平均数等于 ( ) (A)4.2 或 4.4. (B)4.4 或 4.6. (C)4.2 或 4.6. (D)4.2 或 4.4 或化简 : =( ) (A)1. (B) 2. (C) 3. (D)2. 5.Put8identical balsinto 3 diferent boxes,each box hasatleast 2bals.How manydiferentwaystoputthebals? ( ) (A)6. (B)12. (C)18. (D)36. ( 英汉词典 :identical 完全相同的 ) 6. 如图 1, 在平面直角坐标系内,A B C 三点的坐标分别是 (0,0),(4,0), (3,-2), 以 A B C 三点为顶点画平行四边形, 则第四个顶点不可能在 ( ) (A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限. 7. 如图 2, 设点 A B 是反比例函数 y= k x 图象上的两点,AC BD 都垂直于 y 轴, 垂足分别是 C D. 连接 OA OB, 若 OA 交 BD 于点 E, 且 OBE 的面积是 2011, 则梯形 AEDC 的面积是 ( ) (A)2009. (B)2010. (C)2011. (D) 如图 3, 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,P 是 AD 上的动点,PE AC 于 E, PF BD 于 F, 则 PE +PF 的值是 ( ) (A)4.6. (B)4.8. (C)5. (D) 设 a,b 是实数, 且 1+a b = 1 b-a, 1+b 则 1+a +1+a 的值是 ( 1+b ) (A)3. (B)-3. (C)3(b-a). (D) 无法确定的. 10. 循环节长度是 4 的纯循环小数化成最简分数后, 分母是三位数, 这样的循图 3 环小数有 ( ) (A)798 个. (B)898 个. (C)900 个. (D)998 个. 二填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 图 1 图 2

8 11. 若 a 0, 计算 :a 2012 a 2011 a=. 2x +a 12. 若以 x 为未知数的方程 x +2 =-1 的根是负数, 则实数 a 的取值范围是. 13. 若 n(n 0) 是以 x 为未知数的方程 x 2 -mx -5n=0 的根, 则 m -n 的值是正整数 a,b 满足等式 15 =a 3 +b 5, 那么 a=,b=. 15. 已知 x + 1 x =6 (0<x <1), 则 x - 1 x 的值是. 16. 已知点 A(4,m),B(-1,n) 在反比例函数 y = 8 x 的图象上, 直线 AB 与 x 轴交于点 C. 如果点 D 在 y 轴上, 且 DA =DC, 则点 D 的坐标是. 17. 如图 4, 等腰直角 ABC 中, A =90, 底边 BC 的长为 10, 点 D 在 BC 上, 图 4 从 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E, 交 BA 的延长线于点 F, 则 DE +DF 的值是. 18. 如图 5, 在边长为 6 的菱形 ABCD 中,DE AB 于点 E, 并且点 E 是 AB 的中点, 点 F 在线段 AC 上运动, 则 EF +FB 的最小值是, 最大值是. ab 19. 若实数 a,b,c 满足 a+b =3, bc b+c =4, ca c+a =5 abc, 则的值是 ab+bc+ca. 20.SupposeM = abc321isa6 digitnumber.a,b,andcarethreediferent1 digitnumbers, andnotlessthan4.ifm isamultipleof7,thentheminimumvalueofm is. ( 英汉词典 :multiple 倍数 ) 三解答题每题都要写出推算过程. 21.( 本题满分 10 分 ) 如图 6, 直线 y=x+b(b 0) 交坐标轴于 A B 两点, 交双曲线 y= 2 x 于点 D, 从点 D 分别作两坐标轴的垂线 DC DE, 垂足分别为 C E, 连接 BC OD. (1) 求证 :AD 平分 CDE. (2) 对任意的实数 b(b 0), 求证 :AD BD 为定值. (3) 是否存在直线 AB, 使得四边形 OBCD 为平行四边形? 若存在, 求出直线的解析式 ; 若不存在, 请说明理由. 22.( 本题满分 15 分 ) 如图 7, 在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁, 一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去. (1) 若汽车的行驶速度是 30m/s, 在距离山壁 925m 处时汽车鸣笛一声, 则经过多长时间后司机听到回声? (2) 某一时刻, 汽车第一次鸣笛, 经过 4.5s 再次鸣笛. 若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是 4s, 求汽车的行驶速度. ( 已知声音在空气中的传播速度是 340m/s.) 23.( 本题满分 15 分 ) 生产某产品要经过三道工序, 同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同. 甲乙二人同时开始生产, 一段时间后, 甲恰好完成第 k 个产品的生产, 此时, 乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作. 若甲乙的生产效率比是 6 5, 问此时乙至少生产了多少产品? 图 7 图 5 图 6

如图 2, 梯形 ABCD 中,AB CD, 两条对角线交于点 E. 已知 ABE 的面积是 a, CDE 的面积是 b, 则梯形 ABCD 的面积是 ( ) (A)a 2 +b 2. (B) 2(a+b). (C)(a + b) 2. (D)(a+b) 2. 图 2 图 3 图 4 5.

9 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初三第 1 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 如图 1 所示, 一个正方体和一个圆柱体紧靠在一起, 则它们的主视图是 ( ) 图 1 2. 完成一项工作, 甲单做需 a 天, 乙单做需 b 天, 甲乙丙合作需 c 天, 则丙单做全部工作所需的天数是 ( ) (A) abc ab-ac-bc. (B) abc ab+ac-bc. (C) ab+ac+bc. (D) ab (c-a-b). abc c x 已知 x -1,0,1, 则 x -1 + x x + x +1 的值可能是 ( x +1 ) (A) 比 3 大的数. (B) 比 -3 小的数. (C)±1,±3. (D) 比 -3 大, 并且比 3 小的数. 4. 如图 2, 梯形 ABCD 中,AB CD, 两条对角线交于点 E. 已知 ABE 的面积是 a, CDE 的面积是 b, 则梯形 ABCD 的面积是 ( ) (A)a 2 +b 2. (B) 2(a+b). (C)(a + b) 2. (D)(a+b) 2. 图 2 图 3 图 4 5. 已知 a,b 是实数, 关于 x 的不等式组的解集表示在数轴上如图 3 所示, 则这个不等式组是 ( ) (A) { ax >1, (B) bx >1. { ax >1, (C) bx <1. { ax <1, (D) bx >1. { ax <1, bx <1. 6. 如图 4,AB BC,AB =BC, 点 D 在 BC 上. 以 D 为直角顶点作等腰直角 ADE, 则当 D 从 B 运动到 C 的过程中, 点 E 的运动轨迹是 ( ) (A) 圆弧. (B) 抛物线. (C) 线段. (D) 双曲线. ìx1 +x2 +x3 =a1, 7. 已知实数 x1,x2,x3,x4 满足条件 í x3,x4 的大小关系是 ( ) x2 +x3 +x4 =a2, x3 +x4 +x1 =a3, x4 +x1 +x2 =a4, î 其中 a1 <a2 <a3 <a4, 则 x1,x2, (A)x1 <x2 <x3 <x4. (B)x2 <x3 <x4 <x1. (C)x3 <x2 <x1 <x4. (D)x4 <x3 <x2 <x1. 8. 已知 2 x 3, 则函数 y =(x -1) 2 的取值范围是 ( ) (A)1 y 4 和 9 y 16. (B)1 y 16. (C)4 y 9. (D)1 y 9. 图 5 9. 如图 5, 已知梯形 ABCD 中,AB DC, A =α, C =β, 则 AD BC 等于 ( ) (A)sinα cosβ. (B)sinα sinβ. (C)sinβ sinα. (D)cosα sinβ.

10. 若关于 x 的二次函数 y=x 2-2mx+1 的图象与端点在 (-1,1) 和 (3,4) 的线段只有一个交点, 则 m 的值可能是 ( ) (A) 5 2. (B)- 1 3. (C) 1 2. (D) 1 3. 二 A 组填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 11. 若两位数除以它的数字和等于 7, 则这样的两位数有个. 12.

10 10. 若关于 x 的二次函数 y=x 2-2mx+1 的图象与端点在 (-1,1) 和 (3,4) 的线段只有一个交点, 则 m 的值可能是 ( ) (A) 5 2. (B) (C) 1 2. (D) 1 3. 二 A 组填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 11. 若两位数除以它的数字和等于 7, 则这样的两位数有个. 12. 已知 x -2y =1, 则 x 2-4y 2 -x -2y +5=. 13. 二次函数 y=ax 2 +bx +c 的图象如图 6 所示. 已知 OB =2OA,OA <OC, 则 a,b,c 满足的关系式是. 14. 如图 7, 已知 A B C 三点在同一个圆上, 并且 AB 是圆 O 的直径, 若点 C 到 AB 的距离 CD =5, 则圆 O 的面积最小是. 图 6 图 7 图 8 图如图 8, 在边长为 1 的正方形中, 分别以四个顶点为圆心, 作半径为 1 的圆弧, 则图中阴影部分的面积是. 16. 如图 9, 在梯形 ABCD 中,BA CD,AD AB,AB =7,CD =6m,BC =m 2, 若以 BC 为直径的圆与 AD 没有公共点, 则 m 的取值范围是. 17. 设 f(x) 是关于 x 的多项式,f(x) 除以 2(x +1), 余式是 3;2f(x) 除以 3(x -2), 余式是 -4. 那么,3f(x) 除以 4(x 2 -x -2), 余式是. 18. 已知实数 a,b 满足 a+ab+b=3, 若 m =a-ab+b, 则 m 的取值范围是. 19.Tom'scomputer has password,which contains only numbersfrom 0 to 9.Ifthe probabilitytoguesstherightpasswordonlyonetimeislessthan , thenatleastthe passwordhas digits. 20.Supposepoint A(- 1,m)is on the graph ofthefunction y =- 2 x.b,c,d, respectively,arepointa'ssymmetricpointsofx axis,origin,y axis.thentheareaofthe quadrilateralabcdis. 三 B 组填空题 ( 每小题 8 分, 共 40 分.) 21. 反比例函数 y= k1 和一次函数 y=k2x +b 的图象交于点 M x (3,- 2 和点 N (-1,2). 则 3) k1 =,k2 =, 一次函数的图象交 x 轴于点. 22. 已知 a,b 是实数, 且 a 2-2a+ b-3+1=0, 则 a=,b=. 23. 已知 a,b 是有理数,x = 5+1 是方程 x 3 -ax +b=0 的一个解, 则 a 的值是, b 的值是. 24. 如图 10, 已知 ABC 中,CD AB 于点 D,BD =2AD,CD =6,cos ACD = 8 9, BE 是 AC 边上的高, 则 AD =,BE =. 25. 已知点 A B P 是 O 上不同的三点, APB =α, 点 M 是 O 上的动点, 且使 ABM 为等腰三角形. 若 α =45, 则所有符合条件的点 M 有个 ; 若满足题意的点 M 有 2 个, 则 α =. 图 10

11 第二十三届希望杯全国数学邀请赛初三第 2 试试题一选择题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 1. 若反比例函数 y = k x 的图象经过点 (- 1 2, 2), 则 k 的值为 ( ) (A)-1. (B)1. (C)-4. (D)4. 2. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图 1 所示, 则下列代数式的值恒为正值的是 ( ) (A)abc. (B)ac. (C)bc. (D)ab. 3. 若存在 1 x 2, 使得 ax >0, 则 a 的取值范围是 ( ) 图 1 (A)a < (B)a > 3 4. (C)- 1 4 <a < 3 4. (D)a <- 1 4 或 a > 直线 y = k k x 总是下列哪个函数图象的对称轴? ( ) (A)y = k x. (B)y = k x. (C)y =kx 2. (D)y =kx. 5. 若实数 a,b,c 满足 a 2 +b 2 =1,b 2 +c 2 =2,c 2 +a 2 =3, 则 ab+bc+ca 的最小值为 ( ) (A)- 3. (B)- 2. (C)- 6. (D) 如图 2, 双曲线 y= k x ( k >0) 经过 Rt AOB 的斜边 AB 的中点 C,AF AO,BF BO,AF BF 与双曲线分别交于点 D E. 若 OA=8,OB=6, 则四边形 ODFE 的面积是 ( ) (A)12. (B)24. (C)36. (D)40. 图 2 7. 对于实数 a, 规定 [a] 表示不大于 a 的最大整数, 如 [2.1]= 2,[-1.5]= - 2. 则方程 [x] 2 + [y] 2 = 4 的解在 xoy 坐标系中的图象是 ( ) 8. 某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计, 得到下表 : 销售量 ( 件 ) 获利 ( 万元 ) 若获利是销售量的二次函数, 那么, 该商店获利的最大值是 ( ) (A)9 万元. (B)9.25 万元. (C)9.5 万元. (D)10 万元.

12 9. 如图 3, 已知长方形 ABCD 的边长 AB=3,AD =2,E 点在 BC 边上, 且 AE EF,EF 交 CD 于 F. 设 BE =x,fc =y, 则当点 E 从点 B 运动到点 C 时,y 关于 x 的函数图象是 ( ) 10. 若凸 n 边形 A1A2 An 适合以下条件 : (1) A1 =100 (2) Ak+1 = Ak +8,k=1,2,,n-1. 则 n 的值是 ( ) (A)5. (B)6. (C)7. (D)8. 二填空题 ( 每小题 4 分, 共 40 分.) 图若 ABC 是半径为 1 的圆的内接三角形,BC = 3, 则 A = 方程 x x = 1 x 的解是 x= x 如图 4,P 是等边 ABC 内一点,AP =3,PB =4,PC =5, 则 APB =. 14. 边长为整数, 且周长为 2012 的等腰三角形有个. 图已知关于 x 的一元二次方程 x 2-2(m -1)x+(m 2-1)=0 有两个不相等的实数根 α, β, 若 α 2 +β 2 =4, 则 m =. 16. 已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,5),B(6,-2),C(-1,-2), 则 ABC 外接圆半径的长度为. 17. 已知坐标平面 xoy,rt ABC 中的直角顶点是 A(2,5), 点 B 与点 O 重合, 点 C 在坐标轴上, 则点 C 的坐标是. x 2 -y 2 +3z 2 +xy +3yz-2zx 18. 已知 x+3y+5z=0, 并且 x+2y+3z=0, 则的值等于 x 2 +3y 2 -z α 和 β 是方程 x 2-2x -1= 0 的两根 ἀ 2 和 β 2 是 x 2 +mx+n= 0 的两根, 点 (m,n) 在一次函数 y= kx+ (n-3) 的图象上, 则此函数的解析式是, 它的图象与 xoy 坐标平面内的坐标轴围成的图形的面积是. 20. 如图 5, 在直角梯形 ABCD 中,AB CD, BAD = ADC=90, 两条对角线的交点为 O. O 与 AD 相切, 并与以 AD 为直径的 O 内切. 已知 AD 长为 h, 则梯形 ABCD 的面积是. 三解答题每题都要写出推算过程. 21.( 本题满分 10 分 ) 图 5 解方程 x 4 + (x -2) 4-82=0.

13 22.( 本题满分 15 分 ) 如图 6 所示, 已知二次函数 y=-x 2 +bx+8 的图象与 x 轴交于 A B 两点, 与 y 轴交于点 C, 且 B(4,0). (1) 求二次函数的解析式及其图象的顶点 D 的坐标 ; (2) 如果点 M (p,0) 是 x 轴上的一个动点, 则当 MC -MD 取得最大值时, 求 p 的值 ; (3) 如果点 E(m,n) 是二次函数 y =-x 2 +bx +8 的图象上的一个动点, 且图 6 ABE 是钝角三角形, 求 m 的取值范围. 23.( 本题满分 15 分 ) 给你若干个边长都是 1 的正三角形, 正方形, 正五边形, 正六边形, 从其中任选两种 ( 个数不限 ), 将它们拼接, 要求是 : 1 使某边重合 ; 2 两种图形中的任何一种不得有公共部分. 问 :(1) 用选出的两种图形围成正 n 边形, 如 : 用 3 个正方形和 3 个正六边形围成一个正三角形 ABC( 图 7). 请你再举两例, 并作图说明. (2) 对于 (1) 中的正 n 边形, 求它的外接圆的半径. 图 7

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于