-3 隱函數的微分 ( 甲 ) 隱函數的微分 討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這 類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上 而我 們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若 干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切點的函數, 求出切線斜率, 進一步 求出切線的方程式 例 : 試求 9 + y 4 = 1 以點 ( 1 5, 6 5 ) 為切點的切線方程式 ( 一 ) 利用函數圖形 : 橢圓 9 + y 4 = 1 不是函數圖形, ( 二 ) 利用隱函數的微分法 : 顯函數與隱函數 : 前面所提的函數, 都是以 x 表示 y, 叫做顯函數 (explicit function), 例如 :y=x 3 x,y= 顯函數 若方程式 F(x,y)=0, 可以定義出函數 y=f(x), 而非解出 y 以 x 表示, 則稱 y 為 x 的隱函數 (implicit function) 如方程式 xy+y 4=0 可定義出一個函數 y=f(x)= x 4,x 1 故方程式 x 1 xy+y 4=0 中的 y 為 x 的隱函數 x+1 都是 隱函數的微分 : 一般而言, 方程式 F(x,y)=0 不一定都可以定義出函數 y=f(x) 縱使可以, 想解出 y 以 x 表示, 有時亦很困難, 例如 :siny+y+x=0, 甚至不可能 在此情形下, 我們可將 y 視為 x 的可微分函數, 全式對 x 微分, 即可求得 dy dx, 此種方法稱為隱函數的微分法 若假定 y=f(x) 存在且可微 dx dy 分, 則 y=f(x) 在曲線上點 P(x 0,y 0 ) 的導數, 記做 ( x0, y0 ) 或 dy dx P 例如 :F(x,y)= +y 4=0, 將 y 視為 x 的可微分函數, 全式對 x 微分, 則 d dx (F(x,y))= d dx (x )+ d dx (y ) d dx (4)=0, 即 x+y dy dx =0, dy 故 dx = x y,y 0 ~-3-1~
[ 例題 1] 試求 +xy+y 4=0 以點 P( 1,) 為切點的切線方程式 Ans:y = 3 (x+1) [ 例題 ] 若 xy+y dy d y =1 試以隱函數的微分法求 dx 與 d Ans: dy dx = x y y x+y,d d = 10 (x+y) 3 ( 練習 1) 試由方程式 y 3 +3xy+x 3 5=0, 求 y / =? Ans:y / = x +y x+y ( 練習 ) 試由 3 xy y dy =3, 求 dx (1,0) Ans:3 ( 練習 3) 對方程式 xy 3y +x y 3=0, 令 y=f(x), 試求 (1)f / (x) () 過點 (1, 1) 之切線方程式 Ans:(1) x f(x)+ x+6f(x)+1 ()x y 3=0 ( 練習 4) 求曲線 x + y = 1在點 ( 3 3 4, 4 ) 的切線及法線方程式 Ans:x+y=,x y=0 ~-3-~
[ 例題 3] 利用上述的隱函數微分的方法, 我們可以討論一般圓錐曲線的情形 : 設 p(x 0,y 0 ) 為圓錐曲線 a +bxy+cy +dx+ey+f=0 上一點, 則過 p(x 0,y 0 ) 的切線方程式 : ax 0 x+b ( x 0y+xy 0 )+cy 0 y+d( x 0+x )+e(y 0+y )+f=0 證明 : [ 例題 4] ( 已知切點 切線 ) 試求過曲線 +xy+y 4=0 上一點 ( 1,) 之切線方程式 Ans:x 3y+8=0 [ 例題 5] ( 已知切線 切點 ) 若直線 x 4y+11=0 為 Γ: +4y +x 19=0 的一條切線, 求其切點的坐標 Ans:( 3,) ~-3-3~
( 練習 5) 求雙曲線 4y 16y 17=0 上以點 (1, ) 為切點的切線方程式 Ans:x 1=0 ( 練習 6) 求過曲線 +xy+y 4=0 上一點 ( 1,) 的切線方程式 法線方程式 Ans:x 3y+8=0,3x+y 1=0 ( 練習 7) 求曲線 +xy y =4 上與 5x y=0 平行的切線 Ans:5x y=±8 過曲線外一點 (x 0,y 0 ) 求切線 : (1) 設切點 (a,b) 找二個條件求 (a,b): (a) 切線過 (a,b) (b) 求斜率函數, 斜率 ( 切線 )= 斜率 ( 斜率函數 ) () 設切線 y y 0 =m(x x 0 ) 代入曲線 ( 二次式 ),D=0 求 m [ 例題 6] 設曲線 +y +4x y 6=0 求過點 P(, ) 的切線方程式 Ans:4x+y 6=0,y+=0 ( 練習 8) 設 P 點是拋物線 Γ:y =4x 外一點, 已知過 P 點有二直線與 Γ 相切, 其斜率分別為, 3, 則斜率為 的切線方程式為,P 點的坐標為 Ans: y 1= ( 1 1 1 x 4 ),( 6, 6 ) (83 日大自 ) ( 練習 9) 自點 ( 1,5) 至雙曲線 y =7 作切線, 求其方程式 Ans:3x+y 7=0 及 19x 6y+49=0 ( 練習 10) 給予雙曲線 x 4y x 3= 0, 則 (1) 過 ( 3, 3 ) 之切線為 () 過 (, 3 1) 之切線為 (3) 過 (,) 10 的切線為 Ans: () 1 x+ 3y = 0( ) x 3= 0() 3 不存在 (x+1) ( 練習 11) 自點 (,6) 作橢圓 9 + y 16 =1 之切線, 求其方程式 Ans:5x 9y+44=0 及 x= ( 練習 1) 設 a>0, 若直線 3x+ay=1 與橢圓 8 + y 18 = 1 相切於 A 點, 則 a 之值為, 又 A 點的坐標為 Ans:a=,(,3) ( 練習 13) 試求垂直於 8x + 9y = 6而與雙曲線 9 4y + 18x+ 16y = 0 相切的直線方程式 Ans: y = 9 ( x + 1) ± 8 ( 7 )( 9 ) 9 8 + 7 4 ( 練習 14) 在 y 軸上一點 A(0,a) 引拋物線 y= x+3 的兩條切線互相垂直, 則 a=? 又兩條切線的方程 式為何? Ans:a= 7 4,y=( ± 5 x)+ 7 4 ~-3-4~
( 練習 15) 橢圓 16 + y 9 = 1 在直線 x y+10=0 上之正射影長為 Ans:5 ( 練習 16) 雙曲線 16 y 9 =1 具有斜率為 m 之切線, 求 m 之範圍 Ans:m> 3 4 或 m< 3 4 綜合練習 1. 求過點 (, 1 5) 且與圓 x + y + 4x y 4=0相切之直線方程式 Ans:3x+4y+17=0,x 1=0. 求 cosx+cosy= 1 在點 P( π,π 3 ) 的切線方程式 Ans:y π 3 = 3 (x π ) 3. 設 A B 為直線 4x+y=5 與雙曲線 xy=1 的兩交點 顯然 A B 位於該雙曲線的同一支 上 在該分支上求一點 C, 使雙曲線在 C 的切線與 AB 平行, 則 C 的坐標為, ABC 的面積為 Ans:C( 1,),3 8 4. 過原點 O 作拋物線 y= +x+a 之二切線互相垂直, 則 a 值為, 又此二切線的方程式 為 Ans:a= 1,y=(1± )x 5. 設函數 f ( x) 為一可微分函數,P 為 y=f(x) 圖形上距對原點 O 最近的一點 (1) 若 P 點的坐標為 (a,f(a)), 試證 a+f(a) f / (a)=0 () 若 y=f(x) 之圖形不通過原點, 試利用 (1) 之結果, 證明直線 OP 為 y=f(x) 之圖形上過 P 點之法線 (85 日大自然 ) 6. 設 a>0,o(0,0) 為原點, 在拋物線 ay=a 上取一點 P(s,t),(s>0) 過 P 作拋物線之切線, 交 x,y 軸於 Q,R 兩點, 當 P 點變動時, QOR 面積的最小值 Ans: 4 3a 9 7. 拋物線 y= 4x+3 與直線 y= x+a 相切, 則 a=, 又切點的坐標是 Ans:,(1,0) 8. 設一光線沿著 y= 的直線進行, 在拋物線 y =x 上之 P (87 自 ) 二點 P,Q 反射 ( 如圖 ), 求 PQ 之長 Ans: 5 8 Q 9. x a + y b =1 (a>b>0) 的切線與兩軸相交於 A,B, 證明 ABO 最小值 ab, AB 最小值 a+b 10. 不論任何實數 a, 拋物線 y= (a+3)x+a +8a 恆與一定直線 L 相切, 則 L 的方程式為何? Ans:x y 16=0 x y 11. 自橢圓 + = 1上任一點 P 做 x 軸的垂直線, 垂足為 A, 又過點 P 的切線與 x 軸相交於 a b B, 試證 OA OB = a 1. 求 (y 1) =4(x+) 兩互相垂直切線之交點之軌跡方程式 Ans:x+3=0 ~-3-5~
13. 自橢圓 9 +4y =36 外一點 P 做二切線, 若此二切線互相垂直, 則如此的 P 點所成的軌跡方程式為何? Ans: +y =13 14. 試證自拋物線 y =4cx 之準線上任一點做拋物線之二切線必正交, 且二正交切線交點必在準線上 15. 試求橢圓 +5y =5 與圓 (x+) +y =5 之公切線之方程式 Ans: x y 3= 0, x + y 3= 0 ~-3-6~