第三讲空间解析几何与向量代数

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钦孜廉
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1 第三讲空间解析几何与向量代数 3.. 向量代数. 数量积 ( 内积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之间的夹角. 向量积 ( 外积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构成右手系 a b( 含共线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐标表示 : ab = xx + yy + zz, i j k a b = x y z, 其中, a = ( x, y, z ), b = ( x, y, z ) x y z 4. 几何意义 : a b 代表以 ab, 为邻边的平行四边形的面积 S ; 平面上三点 Ax (, y,), Bx (, 构成的三角形的面积为, y,) Cx ( 3, y3,) i j k S ABC = AB AC = x x y y x3 x y3 y x x y y = 的绝对值 x3 x y3 y x y 也可以写成 S ABC = x y 的绝对值 x3 y3 5. 混合积 : ( abc,, ) = a ( b c) 注意 : ( abc,, ) = ( bca,, ) = ( cab,, ) x y z 6. 坐标表示 : ( abc,, ) = a ( b c) = x y z, 其中, x3 y3 z3 a = ( x, y, z), b = ( x, y, z), c = ( x3, y3, z3) 7. 几何意义 : ( abc,, ) 的绝对值表示以 abc,, 为三条邻边的平行六面体的体积 abc,, 共面的充要条件是 ( ab,,. c ) = 空间不共面的四点 A( x, y, z ), B( x, y, z ), Cx ( 3, y3, z3), Dx ( 4, y4, z4) 构成的四面体的体积为 x y z x x y y z z x y z V = = x3 x y3 y z3 z 的绝对值 6 x3 y3 z3 6 x4 x y4 y z4 z x y z

几何意义 : a b 代表以 ab, 为邻边的平行四边形的面积 S ; 平面上三点 Ax (, y,), Bx (, 构成的三角形的面积为, y,) Cx ( 3, y3,) i j k S ABC = AB AC = x x y y x3 x y3 y x x y y = 的绝对值 x3 x y3 y x y 也可以写成

2 ( 它实际是以 AB, ACAD, 为邻边的平行六面体的体积的六分之一 ) 题目精选 :. 设 a b = 3, a b = {,, }, 试求 a 与 b 的夹角 θ. 解 : 因为 ab = abcosθ = 3. a b = a b θ = + + = 所以 sin 3 3 π tan θ = θ = 设单位向量 abc,, 满足 a+ b+ c =, 求 s= a b+ b c+ c a的值解 = a+ b+ c = ( a+ b+ c)( a+ b+ c) = = 所以 s = a b+ b c+ c a = a b c ( a b b c c a) ( a b b c c a) 3. 设 a+ 3b和 7a 5b垂直, a 4b和 7a b垂直, 求非零向量 a 与 b 的夹角解 : 由 ( a+ 3b) ( 7 a 5b), ( a 4b) ( 7a b) 得 ( a+ 3 b) (7a 5 b) = 7 a + 6a b 5 b = () ( a 4 b) (7a b) = 7 a 3a b+ 8b = () ()-(), 得 46ab = 3 b, 即 a b= b, b abcos ( ab, ) = b, cos( ab, ) = a () 8+() 5, 得 6 a = 3a b, a abcos ( ab, ) = a, cos( ab, ) = b b a 由 =, 推得 a = b a b π 所以, cos( ab, ) = ( ab, ) = 设向量 OA = a, OB = b, OC = c, 证明 :A, B, C 三点共线的充要条件是 a b+ b c+ c a = 证明 : A, B, C, 三点共线 ( c a) // ( b a) ( c a) ( b a) = c b c a a b+ a a= a b+ b c+ c a= 3 π 5. 设 ab, 是三维空间 R 中的两个非零向量, 且 b =, ( ab, ) =, 3 74

设 a+ 3b和 7a 5b垂直, a 4b和 7a b垂直, 求非零向量 a 与 b 的夹角解 : 由 ( a+ 3b) ( 7 a 5b), ( a 4b) ( 7a b) 得 ( a+ 3 b) (7a 5 b) = 7 a + 6a b 5 b = () ( a 4 b) (7a b) = 7 a 3a b+ 8b = () ()-(), 得 46ab = 3 b, 即

3 a + xb a 求极限 lim x x a+ xb a a+ xb a 解 lim = lim x x x x a+ xb + a [ ] ( a+ xb) ( a+ xb) a a ab + xbb = lim = lim x x a+ xb + a x a+ xb + a [ ] ab π = = b cos( a, b) = cos =. a 3 6. 以 O 为圆心的单位圆周上有相异的两点 P Q, 向量 OP 与 OQ 的夹角为 θ, a, b 为正常数, 求极限 lim ( aop + boq aop+ boq ) θ θ 解 lim ( a OP + boq aop+ boq ) θ θ ( a+ b) aop+ boq = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a + b + ab a + b + ab OP OQ ( cosθ ) = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) ab ab( cos θ ) lim ab = = = θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a+ b+ a+ b ( a+ b) 3.. 平面与直线方程. 平面方程的各种形式 n r r () 点法式 : ( ) =, 即 A( x x) + ( y y) + C( z z) =, 式中 n= { A, B, C} 为平面的法向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 上的定点和动点, r = OM r = OM 是向径, M xyz 分别为平面 () 一般式 : Ax + By + Cz + D = x y z (3) 截距式 : + + =, 式中 abc,, 分别为平面在三个坐标轴上的截距 a b c x x y y z z (4) 三点式 : x x y y z z = x3 x y3 y z3 z 式中 Pi( xi, yi, zi)( i=,,3) 为平面上不共线的三点 ( 相当于 PP, PP, PP 共面面积 ( PP, PP, PP ) = ). 直线方程的各种形式

+ ab a + b + ab OP OQ ( cosθ ) = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) ab ab( cos θ ) lim ab = = = θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a+ b+ a+ b ( a+ b) 3.. 平面与直线方程.

4 x x y y z z () 点向式 ( 或标准式对称式 ): r = r + ts, 即 = = ( = t) m n p 式中 s= { n, m, p} 为直线的方向向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 的定点和动点, r = OM, r = OM 是向径 Ax+ By+ Cz+ D = () 一般式 ( 交面式 ): Ax + By + Cz + D = 这里, 把直线看作两个平面的交线 x x y y z z (3) 两点式 : = = x x y y z z i i i i) 式中 M ( x, y, z (i=, ) 为直线上相异的两点 x = x + mt (4) 参数式 : y = y + nt z = z + pt s m, n, p ( < t <+ ) M xyz 分别为直线上式中, = { } 为直线的方向向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 直线上的定点和动点,t 为参数 3. 两平面两直线以及平面和直线之间的关系 () 两平面的关系 : 给定两平面 : Ax By Cz D i i i i i M xyz 分别为 π =, 其中 n { A, B, C} 为平面 π i 的法向量 ( i =, ), 则两平面垂直 : n n n n = AA + BB + CC = A B C 两平面平行 : n// n n n = = = A B C A B C D 两平面重合 : = = = A B C D 两平面相交 : 与 n 不平行 n i = i i i x xi y yi z zi () 两直线的关系 : 给定两直线 li : = =, Mi( xi, yi, zi) 为直线 li m n p 上的点, s { m, n, p} i i i i i i = i 为直线 l 的方向向量 ( i =,, 则两直线垂直 : s s s s = mm + nn + p p = i m n p 两直线平行 : s// s s s = = = m n p 两直线重合 : M M // s // s x x y y z z MM s s = l m n 两直线异面 : l m n 两直线相交 : MM s s =, 且与 s 不平行 s (3) 直线与平面的关系 : 给定平面 π : Ax + By + Cz + D = 和直线 76

<+ ) M xyz 分别为直线上式中, = { } 为直线的方向向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 直线上的定点和动点,t 为参数 3.

5 x x y y z z l : m n p = = n= { A, B, C} 为平面 π 的法向量, M ( x, y, z ) 和 s { m, n, p} = 分别为直线 l 上的定点和方向向量则直线与平面相交 : ns A B C 直线与平面垂直 : n// s n s = = = m n p 直线与平面平行 : n s n s = ma+ nb+ pc = 直线在平面上 : ns = 且 Ax + By + Cz + D = 4. 点到平面的距离 : 定点 D( x, y, z ) 到给定平面 Ax + By + Cz + D = 的距离 Ax + By + Cz + D d = A + B + C 补充 :. 点到直线的距离 : P( x, y, z ) 到直线 L ( 过点 A( abc,, ), 方向向量为 S = (, l m, n) 点 AP S sin θ AP S d = AP sinθ = = S S i j k ( a x, b y, c z ) ( l, m, n) = = a x b y c z l m n l + m + n l + m + n ) 的距离. 两条异面直线的公垂线方程两条异面直线 L, L 的公垂线 L 可以看作是过 LL 的平面与过 LL 的平面的交线, 即 ( P P, S,S S) = ( P P, S,S S) = 写成分量的形式为 x x y y z z l m n = l m n x x y y z z l m n = l m n 此处, ( l,m,n) = ( l,m,n) ( l,m,n ) 3. 两条异面直线之间的距离 : 等于 P P 在 S 上的投影, 即 77

点到直线的距离 : P( x, y, z ) 到直线 L ( 过点 A( abc,, ), 方向向量为 S = (, l m, n) 点 AP S sin θ AP S d = AP sinθ = = S S i j k ( a x, b y, c z ) ( l, m, n) = = a x b y c z l m n l + m + n l + m + n ) 的

6 PP S ( PP, S, S d = = ) S S S 典型例题 x = cy + bz. 三个平面 y = az + cx 过同一条直线的充要条件是. z = bx + ay 应填 a + b + c + abc =. 解一这三个平面都过原点, 因此 x cy bz = 这三个平面过同一条直线齐次线性方程组 cx y + az = bx + ay z = c b 有非零解 = =. c a a b c abc b a 解二这三个平面都过原点, 因此这三个平面过同一条直线三个法向量 (, cb, ), ( c,, a), ( ba,, ) 共面 c b c a = a + b + c + abc =. b a x y z+ x + y z. 已知二直线 L : = =, L : = = () 说明它们异面 ;() 求它们的公垂线方程 ;(3) 求它们之间的距离解 () ( PP, S, S) = = 3, 所以异面 i j k () S S = = (,,), 公垂线方程为 x y z+ = x+ y+ 4z+ 3=, 即 x + y z x y z + 3 = = PP S ( PP, S, S) 3 (3) 距离为 d = = = = S S S

c a a b c abc b a 解二这三个平面都过原点, 因此这三个平面过同一条直线三个法向量 (, cb, ), ( c,, a), ( ba,, ) 共面 c b c a = a + b + c + abc =. b a x y z+ x + y z.

7 x = 3z y = x 5 同类型题 : 求直线 l : 和直线 l : 的公垂线 l 的方程 y = z 3 z = 7x + 及两条直线之间的距离. 解 : 先将给定的直线及 l 的一般方程转化成对称式方程 l 3 5 : x + y + z, : x y + z l = = l = = 3 7 x 3z+ = 再按第二题的做法答案 : 37x+ y z+ = 3. 一直线 L 过点 (,6,3), 与平面 α : x y + 3z 5 = 平行, 且和直线 x y z 6 l : = = 相交, 求此直线方程 5 8 解不妨设直线方程为 L : x y z 6 = =, 其中 lmn,, 待定 l m n L 与 l 相交 L 与 l 共面 L// α l m+ 3 n= () = 6l 5m n= () l m n 由 () 和 () 得 l = 5 n, m= 4n, 代入 L 的方程得 x y z 6 L : = = 5 4 x y + z 5 x y + 3 z + 4. 平面通过两直线 L : = = 和 L : = = 的公垂线 L, 3 且平行于向量 c = (,, ), 求此平面的方程 i j k i j k 解 s = s s = = (,,), n= s c= = (,,) 3 设 L 与 L, L 的交点分别为 A, B, 则 A( + t, + t, t+ 5), B( λ, 3λ 3, λ ), AB( λ t,3λ t,λ t 6) λ t 3λ t λ t 6 AB // s = =, 解得 t = 6, λ = 5, A(7,,), 所求平面方程为 ( x 7) + ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y+ z 38= 5. 试求过点 A (,,) 和 B(,,), 且与锥面 x + y = z 交成抛物线的平面方程 79

一直线 L 过点 (,6,3), 与平面 α : x y + 3z 5 = 平行, 且和直线 x y z 6 l : = = 相交, 求此直线方程 5 8 解不妨设直线方程为 L : x y z 6 = =, 其中 lmn,, 待定 l m n L 与 l 相交 L 与 l 共面 L// α l m+ 3 n= () 6 3 6 5 8 =

8 解设 n= ( abc,, ) 为所求平面的单位法向量, 则 n AB = (,,) a = b 所求平面与锥面交成抛物线, 故平面与 xoy 面成 45 角, 因此 π n k cos( nk, ) = cos = c= 4 n k 又 a + b + c = a = b=±, 所求平面方程为 ± ( x+ ) ± ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y± z+ = 6. 已知曲面 x y + z 4yz 8zx + 4xy x + 8y 4z = 与某一平面的交线的对称中心在坐标原点, 求该平面方程解已知平面经过原点, 若平面为 yoz, 则 y + z 4yz+ 8y 4z = x = 该曲线关于原点不对称, 故 yoz 不为所求 ; 同样, xoy, xoz 都不为所求设所求平面方程为 : x+ by+ cz = ( 也可以 y+ bx+ cz =, z+ bx+ cy = ) 将 x = ( by + cz) 代入原曲面方程, 得 by + cz y + z 4yz + 8 z( by + cz) 4( by + cz) y + ( by + cz) + 8y 4z = 即 ( b 4b ) y + ( c + 8c+ ) z + ( bc+ 4b c ) yz+ ( b+ 4) y+ ( c ) z = 它关于原点对称相当于 y, z 用 y, z 代替不变, 这只需要一次项 y, z 的系数为, 即 ( b+ 4) =,( c ) = b= 4, c=, 得所求平面方程为 : x 4y+ z = 3.3. 曲线曲面方程. 空间曲面 F x, y, z = ; () 曲面方程的一般形式 : 曲面方程的显示形式 : z f ( x, y) x = x( u, v) 曲面方程的参数形式 : y = y( u, v) z = z( u, v) f ( x, y) = ( ) 旋转曲面 : 曲线 f x, ± y + z = ; = ; z = 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为 f ( x z y) 绕 x 轴旋转的旋转曲面方程为 ± +, = 8

已知曲面 x y + z 4yz 8zx + 4xy x + 8y 4z = 与某一平面的交线的对称中心在坐标原点, 求该平面方程解已知平面经过原点, 若平面为 yoz, 则 y + z 4yz+ 8y 4z = x = 该曲线关于原点不对称, 故 yoz 不为所求 ; 同样, xoy, xoz

9 (, ) (3) 母线平行于坐标轴的柱面 : 母线平行于 z 轴的柱面方程为 F x y = (4) 常见二次曲面 : 椭球面 : x + y + z = a b c 单叶双曲面 : x + y z = a b c 双叶双曲面 : x + y z = a b c 二次锥面 : x + y z = a b c x y 椭圆抛物面 : + = z a b x y 双曲抛物面 : = z ( 马鞍面 ) a b. 空间曲线 F x, y, z = y = y x () 空间曲线方程的一般形式 : 用 ( 隐式 ) 或 G( x, y, z) = z = z x ( 显式 ) 或 () () () x = x t y = y t z = z t ( 参数式 ) 表示空间曲线方程 F x, y, z = () 空间曲线在坐标面上的投影 : 设 G( x, y, z) = f x, y 面两个方程式消去 z, 得 f ( x, y ) =, 则 = z = 上的投影曲线的方程有关知识补充 :. 柱面方程 F(x, y,z) = 给定准线, 母线方向 S = (, l m, n), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x x y y z z = = l m n 消去 x, y, z 即为所求柱面. 锥面方程 : 表示空间曲线 C, 通过上表示空间曲线 C 在 xoy 面 8

空间曲线 F x, y, z = y = y x () 空间曲线方程的一般形式 : 用 ( 隐式 ) 或 G( x, y, z) = z = z x ( 显式 ) 或 () () () x = x t y = y t z = z t ( 参数式 ) 表示空间曲线方程 F x, y, z = () 空间曲线在坐标

10 F(x, y,z) = 给定准线, 定点 A( abc,, ), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x a y b z c = = x a y b z c 消去 x, y, z 即为所求锥面 3. 旋转曲面 : F(x, y,z) = 给定母线 C:, 它绕直线 L: P= A+ ts 旋转的曲面, 相当于以 G(x, y,z) = A 为球心 AP 长为半径的球面, 与过 P 以 S = (, l m, n) 为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面, 从而有 Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, ( x a) + ( y b) + ( z c) = ( x a) + ( y b) + ( z c) lx ( x) + my ( y) + nz ( z) = 消去 x, y, z 即为所求旋转曲面特别, 当定直线 L 为坐标轴, 如 z 轴时, 取 a=b=c=, S = k = (,), 此时, 后两个方程变为 : x + y + z = x + y + z, 即 x + y = x + y z = z, z = z, 再由前两个方程 ( 指 Fx,y,z ( ) =,G( x,y,z ) = ) 将 x, y 用 z = z 表示, 即得所求旋转曲面典型例题 x = z. 直线绕 z 轴旋转, 得到的旋转曲面方程为 y = 解 : 在该直线上取点 ( x, y, z ), 绕 z 轴旋转到 ( x, yz), 由关系 z = z, x + y = x + y 可得旋转面方程 : x + y 4z =. x y z. 求直线 L : = = 在平面 π : x y + z = 上的投影直线 l 的方程, 并求 l 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程解 : 过直线 L 作一垂直于 π 的平面 π, π 与 π 的交线即为 l 的方程 π 的法向量既垂直于 L 的方向向量, 又垂直于 π 的法向量, 因此, 可取 8

( ) =, ( x a) + ( y b) + ( z c) = ( x a) + ( y b) + ( z c) lx ( x) + my ( y) + nz ( z) = 消去 x, y, z 即为所求旋转曲面特别, 当定直线 L 为坐标轴, 如 z 轴时, 取 a=b=c=, S = k = (,), 此时, 后两个方程变为 : x + y

11 i j k π 的法向量为 = i 3j k 由点法式知 π 的方程为 : x 3y z+ =, 从而 l 的方程为 x= y x y+ z = l : 将 l 写成, x 3y z + = z = ( y ) 设 l 绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 S, 点 px ( p, yp, zp) S, 则 y p = y, ) ( ( ) ( ) 7 x p zp = x + z = y + y = yp + yp = yp y 4 去掉下角 P, 即得 S 的方程为 4x 7y + 4z + y = + p + 4, 3. 已知 A (,,) 与 B(,,), 线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成的曲面为 S, 求 S 与两平面 z =, z = 所围立体的体积解 : 过 A (,,) 和 B(,,) 的直线方程为 x y z x = z = =, 即. y = z 在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆, 此截面与 z 轴交于点 Q(,, z), 与 AB 交于点 M( z, z, z), 故截面圆半径 rz = ( z) + z = z+ z 从而截面面积 S( z) = π ( z+ z ), 旋转体的体积 V = π ( z+ z ) dz = π. 3 x y z 4. 求直线 l : = = 绕直线 l : x= y = z 旋转一周所得旋转曲面的方程 F(x, y,z) = 解这是旋转曲面方程给定母线 C :, 它绕直线 L: P= A+ ts 旋转的 G(x, y,z) = 曲面, 相当于以 A 为球心 AP 长为半径的球面, 与过 P 以 S = (, l m, n) 为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面, 从而有 F( x, y, z) = Gx (, y, z) = ( x - a) + ( y- b) + ( z- c) = ( x- a) + ( y - b) + ( z- c) lx ( - x) + my ( - y) + nz ( - z) = 消去 x, y, z 即为所求旋转曲面 ( 见前面 ) x y z 本题 : 母线 l : = =, A(,,), s = (,, ),, 83

已知 A (,,) 与 B(,,), 线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成的曲面为 S, 求 S 与两平面 z =, z = 所围立体的体积解 : 过 A (,,) 和 B(,,) 的直线方程为 x y z x = z = =, 即.

12 x + y + z = x + y + z () ( x- x) + ( y- y) + ( z- z) = (), x y z = = (3) 由 (3) 得 y = z = x, 由 () 得 x+ y+ z = x + y + z = 5x 4, x + y + z + 4 (, x + y + x y z ) = = z =, 再代入 () 得 5 5 x+ y+ z+ 4 8( x+ y+ z+ 4) x + y + z = x + y = 5x 8x + 4 = + 4, 5 5 化简得 x + y + z xy xz yz+ = 5. 求椭球面 x + y + z xy = 在三个坐标面上的投影区域解先考虑椭球面 x + y + z xy = 在 xoy 平面上的投影该投影即通过所给曲面上的每一点向 xoy 平面作垂线所得的垂足的全体, 它是 xoy 平面上的一个区域, 这个区域的边界由曲面上这样的点的投影构成 : 这一点向 xoy 平面所作的垂线在它的切面内 ( 与椭球面相切 ), 即该点的法线与 xoy 平面平行注意到该点的法向量为 { n= { x y, y x, z} } 因此, 该点的坐标满足 z =, z =,, 这些点的投影为, x + y + z xy =. x + y xy = 它即椭球面在 xoy 平面上投影的边界曲线, 于是在 xoy 平面上的投影区域为圆 : x + y xy, z = ; 同样的方法可考虑切面与 xoz 平面垂直, 则有 y x = 因此, 对 xoz 平面投影为边界点的椭球面上的点应满足方程 y x=, x + y + z xy =. y x=, 这是椭球面与平面的交线, 将它改写为柱面与平面的交线 3x + z =. 4 y =, 于是, 椭球面在 xoz 平面上投影的边界由方程 3x + z = 4 3 所确定, 面上的投影区域为椭圆 :,. 4 x + z y = 同样的方法可确定椭球面在 yoz 平面上投影的边界由方程 x =, 3y 4 + z = 所确定, 在 yoz 平面上的投影区域为椭圆 : 3 +, = 4 y z x 84

求椭球面 x + y + z xy = 在三个坐标面上的投影区域解先考虑椭球面 x + y + z xy = 在 xoy 平面上的投影该投影即通过所给曲面上的每一点向 xoy 平面作垂线所得的垂足的全体, 它是 xoy 平面上的一个区域, 这个区域的边界由曲

精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)

精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a) 年考研数学二模拟题 ( 二 ) 参考答案本试卷满分 5 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题每小题分共分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 () 在点处不存在极限的函数是 (

第三讲 空间解析几何与向量代数

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