M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T (171
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1 1 [ ]H L E B ( ) statistics state G (150l--1576) G ( ) ( ) C B ( ) P ( S5) O W ( ) ( ) ( ) (1687--H59) ( ) J ( ) W ( ) E ( ) A ( ) 1733
2 M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T ( ) L R ( ) L ( ) Po B ( ) C ( ) S D ( ) L A J. ( ) O F ( ) W ( ) F ( ) K ( ) ( ) C B ( ) 2 χ! (mean de Viatlon) (standard de V1ation) W S ( ) R A ( ) (null hypothesis) 2
3 , 3
4 ( ) E ( ). 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 A ( ) ( ) ( ) ( )
12 1. : (1) (2) (3) ( 0 5) L A i i ( i = 1,2, L,6) A 2 + A 4 + A 6 Ω φ 12
13 ω Ω Ω Ω Ω. ω 1 ω 2 Ω { ω 1 ω 2 } ; 0= 1= Ω { 0 1 } ω i i ( i = 1, 2, L,10) Ω { ω 1 ω 2 L, ω10 } (1,1), (1, 2), L (1, 6), (2,1), (2,2), (2,6), L Ω = L L L L (6,1), (6.2), L (6.6) 7 ω t Ω { ωt 19 ωt 20 } 1 B A, A φ A Ω B U 13
14 n A1, A2, L, An A1, A2, L, An A + A + L + A 1 2 n n U A i= 1 i A1, A2, L, An A1, A2, L, An A + A + L + A + L 1 2 n U A ( ) A B A B I n. : 4 B A B A B i= 1 i A A A= φ A φ = A Ω Ω= φ Ω. ( ) : A B A B, A I B=φ AB=φ n A1, A2, L, An i j A I A = φ (, i j = 1,2, L, n) i j n n A A A 14
15 ( A) = A A A A A A A A + A =Ω A I A = φ A = Ω A l 6 7 B1, B2, L, Bn B1 + B2 + L + Bn =Ω B 1, B 2, L, Bn
16 5 A= B= 5 C= 5 Ω A B C Ω= { 1, 2,3, 4,5,6} A = { 1, 3, 5} B = { 1, 2, 3, 4} C { 2, 4} = 6 A B C? 7 A B C A B C 16
17 A B? Ω B AB 17
18 2, 1 2 n µ n A µ n p n p A P( A) = p (1) A1, A2, L, An 18
19 (2) A ( i = 1,2, L, n) i (3) A ( i = 1,2, L, n) i n m A, A m PA ( ) = = n (Laplace) n 5 m 2 2 a, b I,, I a, b I,, 2 n = 3 = 9 I A 2 m = 2 = 4 4 PA= ( ) 9 3 a b,. 2 2 : a+b 2 n = C + 2 a b 2 2 m = C 1 a 19
20 2 m1 Ca 2 P = = 2 n C m = C C = ab a b 2 a b m2 ab P = = 2 n C a + b
21 1 2 21
22 5 4 6,. A = B = 3 n = A 10 3 m = A 1 6 m A ( ) = = = = n A PA B m = C 2 A 2 A m2 C4 A4 A6 PB ( ) = = = n A 10 3 n = 10 3 m = m1 6 PA ( ) = = = n 10 B m = C C m2 C4 4 C6 PB ( ) = = = n 10 k N (N k) (1) A= k 22
23 (1) B= k (3) C= k. : N n N n = N k (1) k k n! 2 n N n n C N n n! P 2 n CN n! N! = = n n N N ( N n)! 0 PA ( ) 1 P( Ω ) = 1 P( φ ) = 0 A B P A+B =P A +P B PA ( + A) = PA ( ) + PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 PA ( ) 23
24 1 A B 2 (3) B A P AB = P A P B I 10 t
25
26 (n 4) 10 φ AB = φ 1. 26
27 2 P S A P(A) S B A (50 20 ) 30 (25 5 ) (1) (2) (3) (50 20 ) 70 ( ) { 1} 27
28 A,B S P(A) 0 4 B, A 6 B 28
29 φ AB = φ A B ( )
30 ( ) A B C 4 30
31 5 A B 31
32 PBA ( ) = PB ( ) PAB ( ) = PAPB ( ) ( ) 1 A B 2 A B A B A B A B
33 = 3 5 a b c 3 3 3? 33
34 l o 33 o 67 t too o 6 o 5 34
35 6 n A = i ( i = 1,2, L, n) i A = A = A + A + L + A 1 2 n A 1, A 2, L, An A A = AA 1 2 L An A 1, A 2, L, An n n PA ( ) = PA ( ) PA ( ) L PA ( n ) = = n PA ( ) = 1 PA ( ) = n n A,, 35
36 36
37 37
38 38
39 39
40 40
41 41
42 42
43 43
44 44
45 45
46 46
47 47
48 48
49 49
50 5 n n n n n n ( ) 17 Chevalike Demere 25 Pasca1? 25 25? B 25 (6 6) 25 (6 6) (6 6) 25 (6 6) 25 (6 6) B B B P( B) > P( B) PB ( ) + PB ( ) = 1 1 PB ( ) > A i i 6 50
51 ? 25 n n A p (0 < p < 1) n A k 51
52 q 1 = p ) 3 2 2) : A 1000 p o 2 q o Pk ( 2) 3 o 7 o 6 (1) (2) A i = i (i = ) B i = i (i = ) 52
53 A p n A k P ( k) n n λ k λ Pn ( k) e λ = np k! P
54 Ω X X 1 10 = = =0 3 X ( ) X X [0, + ) 54
55 : : 3 2 X X x1 x2 x n,, L,, L X X { = } { = } { = } P X x1 P X x2 P X x k p P{ X x } ( k 1,2, ) k k,, L,, L = = = L X X x x x L x p p p p L p k k L L X X X k { } ( 1,2, ) p = P X = x k = L ( ) ( ) X 1 X X 0 1 p X k k { } 0.5 ( 0, 1) p = P X = k = k = 2 X X p
56 X p 0 p p 1 2 { } { } { } = P X = 0 = 0.1, = P X = 1 = 0.6, = P X = 2 = p (0 < p < 1) X X X X X = k ( k = 1,2, L ) k 1 PX ( = k) = pq ( k= 1,2, L ) q = 1 p X X L k p p pq pq L pq 2 k 1 L L X 3, X PX ( = 3) = C = 10 = C 3 PX ( = 4) = = =0 3 C 10 X =0 6 X
57 p X PX ( = a) = p (0< p< 1) PX ( = b) = q= 1 p X p a = 1, b = 0 X 0, PX ( = 1) = p (0< p< 1) PX ( = 0) = q= 1 p 0. : 1 X X PX ( = 1) = 0.95 PX ( = 0) = 0.05, X 0 2. : X n, k k n k P( X = k) = C p q ( k = 0,1,2, L, n) n (0 < p < 1, q = 1 p) X n, p 57
58 n o 005 X X : B(1000, 0.005) ( 10 k k 1000 k 10) = C1000 (0.005) ( ) k = 0 PX * ( 5) 58
59 Poisson X k λ λ PX ( = k) = e ( k= 0,1,2, L ; λ > 0) k! X λ 59
60 60
61
62 3 X f( x) ( < x < + ) ab, ( a< b) b { } ( ) P a X b f x dx < < = a X f ( x) X f ( x) : ( f x) 0 ( < x< + ) + f( x) dx = P( < X < + ) = 1 x x 1 (1) (2) X a a ( PX= a) = 0 X X ( ) ab, ( a< b) { < < } = { < } = { < } P a X b P a X b P a X b b = P{ a X b} = f( x) dx a 62
63 1 X X λ A 1. X X : U[ a, b] 1 λ λ = b a 2. : 63
64 λ X : E( λ) X 0 a < b X λ 3. : X =1 64
65 µ 0 σ 2 = 1 X : N(0,1) X φ( x) φ( x) = 1 e 2π 1 2 x 2 (a) f ( x) ; (b) x = µ (c) x = µ x = µ ± σ (d) σ µ f ( x) x f ( x) σ µ x ± x ; σ, σ N(0,1) X ( a, b) 2 1 x x 2 φ( x) = e ( x) φ( tdt ) 2 π 1 2 t 2 1 b P( a < X < b) = e dt a 2π 1 Φ = 0 x t a t b 1 = e dt e dt = Φ( b) Φ( a) 2π 2π 65
66 1 Φ (0) = PX ( 0) = Φ ( + ) = 1 ; Φ( ) = 0 2 ab>, 0 ( P a < X < b) =Φ( b) Φ ( a) 0 a > ( P X a) =Φ( a) X : N(0,1) a a ( Φ a) = P( X < a) = ϕ( t) dt = 1 φ( t) dt = 1 Φ ( a) ( P X > a) = 1 P( X a) = 1 Φ ( a) ( P a < X b) =Φ( b) Φ( a) =Φ( b) (1 Φ ( a)) = Φ ( b) +Φ( a) 1 ( P X a) = P( a X a) = 2 Φ( a) 1 P(1 < X < 2) =Φ(2) Φ (1) = = P( X < 1) = P( 1 < X < 1) = 2 Φ(1) 1 = = PX ( 1.96) = 1 Φ (1.96) = = P( 1 < X 2) =Φ (2) +Φ(1) 1 = = (, ) X ( a, b) N µ σ 2 (, ) X ( a, b) N µ σ X 2 : (, ) N µ σ 2 1 ( x µ ) 2 2 b 1 σ P( a < X < b) = e dx a 2πσ x µ t =, σ b µ 1 2 t 2 1 b µ a µ σ Pa ( < X< b) = a µ e dt=φ( ) Φ( ) 2π σ σ σ 66
67 P( µ σ < X < µ + σ) =Φ(1) Φ( 1) = 2 Φ(1) 1 = P( µ 2σ < X < µ + 2 σ) =Φ(2) Φ( 2) = 2 Φ(2) 1 = P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) =Φ(3) Φ( 3) = 2 Φ(3) 1 = (, ) X N µ σ [ µ 2 σ, µ + 2 σ] [ µ 3 σ, µ + 3 σ] 2 X : N(2, 0.3 ) ( PX> 2.4) µ = 2, σ = 0.3, PX ( > 2.4) = 1 PX ( 2.4) = 1 Φ ( ) = 1 Φ (1.33) = a. 67
68 5 6 X 68
69 X 7 P 68 69
70 70
71 71
72 72
73 73
74
75 5 75
76 76
77 77
78 78
79 79
80 80
81 81
82 82
83 83
84 84
85 85
86 86
87 87
88 88
89
90 90
91 3 91
92 2 4 92
93 3 X, 93
94 94
95 95
96 40 ( ) 5 p(0 p l p ) 5 1 p 5 a (a ) 5 b (b a) b m 96
97 97
98 98
99 99
100 100
101 101
102 102
103 103
104 104
105 105
106 106
107 107
108 108
109 109
110 2 110
111 111
112 112
113 + ( x EX) 2 q( x) dx λ = µ λ t t ( x )/ t e dt t 2 2 = λ te dt= λ Γ (3) = 2λ 0 q = 1 p, DX. 113
114 114
115 n 1 n. 115
116 4 EX EX X EX EX = ( DX + ( EX ) ) + 4EX + 4= 30 ( 2 + 2) = ( ) =
117 5 6 ( ) X X P p q E( X) = p, D( X) = pq 117
118 . q = 1 p 118
119
120 120
121 EX 1, λ 1 λ = DX = 2 121
122 (8) X : N ( µ, σ 2 ) EX 2 = µ, DX = σ 122
123 123
124 8 124
125 P
126
127 127
128 128
129 129
130 130
131 1 131
132 132
133 133
134 1. : 2. : 134
135 135
136 136
137 137
138 138
139 139
140 8 P
141 141
142 ( ρ 0) f( x, y) f ( x) f ( y) X Y 142
143 f ( xy, ) f ( x) f( y) ( ρ 0) X Y 143
144 Q p = p p (, i j = 1,2,3) ij ig gj X, Y 144
145 145
146 146
147 147
148 1 P , 2, 4, 8 2 P , 5, 7. P(1 X 2, 3 Y 4) 148
149 149
150 2 150
151 3 2 ρ XY ρ( X, Y) ρ 151
152 152
153 153
154 154
155 X Y ρ XY = 0 155
156 156
157 157
158 158
159 + 2Y, X Z X Z EXZ ( ) EXEZ ρxz = DX DZ EX = 0, DX = 1, EZ = EX + 2EY = 2, DZ = DX + 4DY = 9, EXZ EXX Y EX XY EX EXY 2 2 ( ) = ( ( + 2 )) = ( + 2 ) = + 2 ( ) ρ xz 2 = EX + 2EX EY = 1 X Y = =
160 . p X = 1 Y = 0 0 cov( X, Y ) 2 160
161 161
162
163 DX 0, DY 0, 163
164 164
165 165
166 166
167 1. P p , X = 0 cov( X, Y) 1 Y = 0 167
168 3. 168
169
170 3 170
171
172 2 172
173 173
174 174
175 175
176 176
177 177
178 178
179 179
180 180
181 181
182 182
183 183
184 184
185 185
186 186
187 2 187
188
189 1. : : 189
190 190
191 191
192 1 192
193 χ 2 ( n) χ 2 ( n 1) 1 193
194
195
196
197 197
198 198
199 2 199
200 4 200
201 201
202 1 202
203 203
204 2 204
205 1 205
206 3 X 1 X = x + x + L + x 1 2 n 2 n 1 S x x n 2 2 = ( i ) n 1 i= 1 206
207 P : 1 X ~ p( x) = e 0 x λ x > 0 x 0 x, x2,, x λ 1 Λ n λ 4 207
208 208
209 209
210 1 (1) (2) p ( α 0 05 H 0 H0 ( ) α o
211
212 2 H : µ = µ 2 σ, o H : µ = µ 1 o o ( µ o ) U 2 = X µ o 2 σ n o 3 H o U : N(0,1) 4 α 1 u α 1 2 X µ o P( > u α ) = α 2 1 σ 2 n 5 u o H u > u α 1 2 o H u u α 1 2 o H 1 212
213 α = 0.05 X 200 P( > 1.96) = / P α = P H : µ = µ 2 σ, o H : µ = µ o 1 o o ( µ o ) 2 2 T = X µ S n o 3 H o T : t( n 1) 4 α 1 P( X µ o > λ) = α 2 S n n t 2 λ 5 t o H > λ t o H λ t o H 213
214 2 µ o , ?( α = 5 ) S = 1.21 H : µ = o T X 100 = S 9 3 H o T : t(8) 4 α =0.05 t 2 λ = 2.36 P( X 100 > 2.36) = S 9 5 t o = t o = <
215 ( ) 1277 ( ) ( ) ( P ) T t(4) :, n 1= 5 1= 4 P ( ) α = 0.05 H : µ o 215
216 H : σ = σ µ, 2 2 o o H : σ = σ o o ( σ o 1 2 χ ( n 1) S = σ 2 2 o 2 ) 3 H o n 2 χ : χ 2 ( n 1), 1 4 α n 1 2 λ = χ, λ = χ α 2 α χ 3 2 α 2 α P( χ < λ1) =, P( χ > λ2) = χ o 5 H χ λ χ λ 2 o 1 2 o 2 H λ < χ < λ o H P ( 2 ) 216
217 : H : σ = o χ = 9 S H o χ 2 : χ 2 (8), 4 α = 0.05 λ = 2.18, λ = 17.54, χ 3 2 χ o S S = 9.54, χo = = = σ =
218 H : σ σ µ, H : σ σ (1) 2 2 o o o o ( σ o 2 χ (2) ( n 1) S = σ 2 o 2 ) (3) H o 2 χ χ 2 ( n 1), : 1 n, 2 2 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 P{ > χ ( n 1) ) } P{ > χ α( n 1) } = α σ 2 α 2 o σ 4 α n 1 2 λ = χ 2 ( n 1) α 2 ( n 1) S P > λ = α σ { } 2 o 2 χ o 5 χ > λ 2 o H χ λ 2 o H χ 3 218
219 6 χ 2 o 2 (9 1) = = > : P , 2, 3, 4, 5 219
220 , --- (1) ( ) (2) (3) (4) 1 Y x x Y ( x y ), ( x y ), L, ( x y ), 1, 1 2, 2 n, n Y x 220
221 y = a+ bx+ ε a b? Y x.. : 1 24 y x ( x y ) ( 1 i 24) i, i 24 ( ) a b b 221
222 a b 24 y a b n ( x 1, y 1 ), ( x 2, y 2 ), L, ( xn, yn), l : y = a+ bx [ y ( a+ bx )] ( x, y ) i i i i 2 l, n Qa (, b) = [ y ( a+ bx)] i= 1 i i l n, a b,, n : 2 a b, Qa (, b) a = aˆ, b = bˆ, Qa ( ˆ, bˆ ) = min( Qa (, b)) ( Qa, b) n Qa (, b) a b aˆ, bˆ 222
223 : n 1 ( x, y 1 ), ( x 2, y 2 ), L, ( xn, yn) :, ˆb â 223
224 2 P Y X. Y X Y X. : n ( x, y ), ( x, y ), L, ( x, y ) n n, : n n 2 2 ( y ) ( ˆ i y = yi yi) i= 1 i= 1 + y ˆi = aˆ + bx ˆ, ( i = 1,2, L, n) l yy = n i= 1 i ( y y ) i 2 n 2 ( yˆ i y) (1) i= 1 n U = ( yˆ y) i= 1 i 2 n Q = ( y yˆ ) i= 1 i i l = U + Q (1) yy 2 224
225 â = y bˆ x, bˆ = n i= 1 ( x x)( y y) i n i= 1 ( x x) i i 2 0 lyy = U + Q n n 2 2 ( y ) ( ˆ i y = yi yi) i= 1 i= 1 + n i= 1 ( yˆ y) i 2 y ˆi = aˆ bx ˆ + i xi 225
226 ˆ 1, ˆ, y y2 L, yˆ n y l yy, U, Q 226
227 lyy, U, Q (1) y ( i = 1,2, L, n) i U Q, Q b (2)U 0, X Y U Q Y ) lxy b =, aˆ = y bx ˆ ; U = l 2 bl ˆ xx = ˆ xy, yy xx ( P.244+3, : ) : H : b = 0 1 o U F = Q /( n 2) 2 bl Q = l U. 3 H o F : F(1, n 2), 4 α 1 n 2., F 4 λ PF ( > λ ) = α, 5 F o H F o > λ H Fo < λ, H 227
228 F X Y X Y F X Y, R = l l xx xy l yy R 0, Y X R 1 Y X R Y X. H o F R 228
229 P P
230 3 P ( ) (kg mm 2 ) ( α = 0.05) Y X 1, x y, lxx, lxy, lyy x i y i 2 x x i i yi yi yi i= 1 x 2 i = i= 1 y 2 i = i= 1 xy i i =
231 l xx 1 = ( x ) = xi i i= 1 12 i=1 l xy = x y ( x )( y ) = i i i i, i=1 12 i=1 i= 1 1 l = y ( y ) = yy i i i= 1 12 i= 1 ˆ lxy b = = 8.4 l xx aˆ = y bx ˆ = Y X yˆ = x 2 X Y Ho : b = 0 U F =, n 12 Q/( n 2) = H o F : F(1, 10), α = 0.05 F 0.05 (1,10) = 4, 96 ˆ U = b l xy = Q = lyy U = U F = = 40.64> 4.96 Q /10 H 5 A 7 A 231
232 232
233 ˆb = â = P
234 3 234
235 235
236 . 1. : m n n m n m m n1 n 2 n m
237 2. : m n n2 m n m n 1 + n n m m 1. : n r n r n Z ( ) n r < n r n n n n r r r dl n r 237
238 r n 3 4? 1) 2) 1) 2) r n r n r n r (2) 238
239 r n 1 r 1 r n r r 4?? n r n n2 r nr 1 239
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241 2 r n1 n2 r n r n 6 4? 8 3 a 2 m 2 4 (1 + x + x + x )(1 + x+ x )(1 + x) = 1+ 8x+ 31x + 78x + 143x + L + x
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