- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )

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1 第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } { } 皆為收斂數列, 且極限分別為 α β, 即 lim = α, lim = β, 則 () lim( + ) = α + β () lim( ) = α β () lim( ) = αβ () lim α = ( 其中 且 β ) β k (5) lim c = cα ( c 為常數 ) (6) lim k = α ( k 為正整數且 ). 無窮數列收斂或發散 () 數列 { } =,,,,,, 隨著 增加, 一般項也增大 ; 因此當 趨近於無限大時, 也趨近於無限大, 即 lim 不存在 () 數列 =,,,,,, 隨著 增加, 的值愈來愈小, 因此當 趨近於無限大時, 會趨近於定數, 即 lim = m m m + m () 當, f ( ) =, 其中 m p 為自然數, p p p p i j 均為實數, 且 m, p, 則 m ] 若 m = p, 則 lim f ( ) = ( 收斂 ) { 若 m < p, 則 lim f ( ) = ( 收斂 ) } 若 m > p, 則 lim f ( ) 不存在 ( 發散 ). 無窮等比數列 { r } 的收斂或發散 () 當 < r < 時,{ r } 為收斂數列, lim r = p () 當 r = 時,{ r } 為收斂數列, lim r = () 當 r 或 r > 時,{ r } 為發散數列, lim r 不存在

2 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )( ) ( )( ) lim lim ( ) 求 lim ( )? 原式 ( )( ) lim lim lim

3 微積分及其應用 - 分式型無窮數列的極限 求 lim? 5 ( ) 提示 : ( ) ( ) 原式 lim lim lim 求 lim? 提示 : ( )() 6 ( )( ) 原式 lim 6 6 lim 6 無窮等比數列的極限 求 lim r lim 求 lim r lim 無窮等比數列的極限 求 lim 9 r 9 lim 不存在 9 8 求 lim 7 8 r 7 8 lim 不存在 7

4 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 無窮等比數列的極限 lim 原式 lim 求 lim 無窮等比數列的極限 6 5 求 lim 5 提示 : r lim r 6( ) 原式 5 求 lim 原式 lim lim lim 求 lim 5 5 原式 lim 5 limlim. 函數極限之定義 函數極限的概念 設函數 f 定義在某一 ( 開 ) 區間上, 當函數 f 定義區間中的 逐漸趨近於定數 時 ( ), 則對應的函數值 f ( ) 也逐漸趨近於, 即 稱 趨近 時, f ( ) 的極限為, 記為 lim f ( ). 函數極限的四則運算 設 lim f ( ) A, lim g ( ) B, k 為一常數, 則 () lim( f ( ) g( )) lim f( ) lim g( ) A B () lim( f ( ) g( )) lim f( ) lim g( ) A B () lim kf( ) klim f( ) ka ()lim f ( ) g( ) lim f( ) lim g( ) A B (5) 若 B f ( ) lim f( ) A, 則 lim g ( ) lim g ( ) B ( ), 則 f ( )

5 微積分及其應用 -5 函數極限 求 lim ( )( ) 原式 lim ( ) lim ( ) ( )( ) 求 lim 原式 函數極限 5 6 求 lim ( )( ) 原式 lim lim ( ) 5 求 lim ( )( ) 原式 lim ( )( ) lim 函數極限 求 lim? 原式 lim ( )( ) ( ) lim ( )( ) lim ( )( ) ( ) 5 求 lim 的值 原式 lim 5 5 lim 5 5

6 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 函數極限 求 lim 原式 lim ( )( ) lim 求 lim ( )( ) 原式 lim lim ( ) 函數極限 求 lim 6 原式? ( )( 6)( ) lim ( 6)( 6)( ) ( )( 6) lim ( 6)( ) lim 求 lim 7 ( 7)( ) 原式 lim 7 ( )( ) ( 7)( ) lim 7 9 lim ( ) 7 6

7 微積分及其應用 -7 函數極限的應用 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 已知 lim, 求 之值 lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )( ) ( ) lim lim ( ), 已知 lim, 則 之值 為何? lim( ) lim lim ( )( ) ( ) ( ) lim ( )( ) ( )( ) ( ) lim ( )( ) lim, 連續函數的意義 函數 f 若滿足下列三個條件, 則稱 f 在點. f ( ) 有意義, 即 f ( ) 有定義. lim f ( ) 存在. lim f ( ) f( ) 處連續 : 函數的極限與連續 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 如圖, 求 () lim f ( ) () f ( ) 在 處 是否連續? () lim f( ) +, + - lim f( ) - lim f( ) lim f( ) lim f( ) () f () 不連續 如圖, 求 () lim f ( ) () f ( ) 在 處是否連續? () lim f( ) +, + - lim f( ) - lim f ( ) lim f( ) lim f ( ) 不存在 () 不連續

8 -8 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 函數的極限與連續, 設 f( ),, 求 () f ( ) 在 處是否連續? () lim? 利用,, () lim lim + + lim lim - - 不連續 () 左極限 右極限 lim 不存在, 設 f( ),, 求 () f ( ) 在 處是否連續? () lim? () 時, 時, ( ) lim lim + + ( ) lim lim - - 不連續 () 左極限 右極限 lim 不存在 函數的極限 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 若, f( ), 則 lim f ( )? 7, lim f( ) lim ( ) lim f( ) lim ( 7) 若 5, f( ), 則 lim f ( )?, lim f( ) lim( ) + + lim f( ) lim(5) - - 左極限 右極限 lim f ( ) 不存在 左極限 = 右極限 lim f( ) 函數的極限 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ), 已知 f ( ), 求 lim f ( )? 5, lim f( ) lim() 7 5, 已知 f ( ), 求 lim f ( )? 6, lim f( ) lim(5)

9 ( 一 ) 微積分及其應用 -9 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 9 ( B ). lim 5 ( A ). lim 7 6 ( D ). lim ( D ). lim (A) (B) (C) (D) 不存在教 5 (A) (B) 5 7 (A) (B) 5 (C) 5 (A) (B) (C) 9 ( B ) 5. lim ( ) (A) (B) (C) ( D ) 6. lim ( ) ( C ) 7. lim (D) 教 (C) (D) 不存在教 (D) 教 (D) 教 5 (A) (B) (C) (D) 不存在教 6 (A) (B) (C) 6 (D) 8 教 7 5 ( A ) 8. lim (A) (B) (C) (D) 教 7 ( B ). lim ( ) ( A ). lim 5 6 (A) (B) (C) (D) 6 教 (A) 6 (B) (C) (D) 教 ( D ). lim (A) (B) (C) (D) 教 7 7 ( D ). 求 lim (A) (B) (C) (D) 6 教 ( C ) 5. 求 lim (A) (B) (C) (D) 5 教 8

10 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 ( 二 ) 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( B ). 求 lim (A) (B) (C) (D) 教 8 ( D ). 求 lim (A) (B) (C) 9 (D) 教 5 6 ( D ). 下列各極限值中, 何者為? (A) lim (B) lim 5 6 (C) lim (D) lim 教 ( A ). lim ( B ) 5. 極限 lim 9 ( B ) 6. 求 lim 之值為 (A) (B) (C) (D) 不存在教 的值等於 (A) 之值為 (A) 5 ( A ) 7. 求極限 lim 5 之值為 (A) 5 (B) ( C ) 8. 設 f () 之圖形如右, 則下列何者錯誤? (A) f () 不存在 (B) lim f () 不存在 (C) lim f ( ) 5 5 (B) (B) 9 (C) 5 5 (C) (C) (D) 9 教 (D) 5 教 (D) 教 (D) f () 在 5 連續教 5 ( D ) 9. 求 lim (A) (B) (C) (D) 不存在教 6, ( A ). 設 f ( ) 5,, 則 lim f ( ) (A) 不存在 (B) (C) (D), 教 7 ( B ). 已知 f ( ),, 則極限 lim f ( 6, ) 的值為 (A) 不存在 (B) 5 (C) 6 (D) 教 8

11 微積分及其應用 - 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( D ). lim 5, 則 之值為 (A)7 (B)8 (C)9 (D)教, ( D ). 設函數 f ( ), 則下列敘述何者錯誤? (A) f ( ), (B) lim f ( ) (C) lim f ( ) (D) f () 為連續函數教 7 + -

12 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析. 導數的意義 主題二多項函數的導數與導函數 導數的意義 f ( ) f( ) () 令 y f( ) 為一函數, 為定義域中一個定數, 稱極限值 lim 為 f ( ) f( ) 函數 f ( ) 在 處的導數, 以 f '( ) 表示, 即 f '( ) lim () 令 h, 則 h當, 即 h, f ( ) f( ) f ( h) f( ) 所以 f '( ) 亦可表成 f '( ) lim lim h h. 切線方程式 () 過曲線 y f( ) 上一點 P (, f( )) 的切線斜率為 f( ) f( ) mlim f '( ) () 由點斜式得切線方程式為 y f( ) f '( )( ). 導數的幾何意義 () 若 f ( ) 表物體直線運動的位移函數時, 則 f '( ) 表此物體在某一特定時刻 的 瞬時速度 () 若 y f( ) 表坐標平面上的曲線時, 則 f '( ) 表過此曲線上一定點 (, f( )) 的 切線斜率 導數的意義 若一運動物體的位移函數為 f (), 求此物體在時刻 的瞬時速度 f ( ) f() f '() lim lim ( )( ) lim lim ( ) 若某運動物體的位移函數為 f ( ) 求此物體在時刻 的瞬時速度, f ( ) f() f '() lim lim lim ( )( ) lim

13 微積分及其應用 - 導數的意義 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) ( )( ) 設 f ( ), 則 f '()? ( )( ) f ( ) f ( ) 提示 : 利用 f '( ) lim f ( ) f() f '() lim ( )( ) ( )( ) lim ( ) lim ( )( ) 8 ( )( ) 設 f ( ), 則 f '( )? ( )( ) f ( ) f ( ) 提示 : 利用 f '( ) lim f( ) f( ) f '( ) lim ( ) ( )( ) ( )( ) lim ( ) lim ( )( ) ( )( 7) ( 5)( ) 5 導數與切線 設二次函數 f ( ), 求 () f ( ) 在 處的導數 () 在點 (,) 的切線方程式 f( ) f( ) () 切線斜率 lim f '( ) f ( ) f() f '() lim lim lim ( )( ) lim lim ( ) () m f '() 切線方程式為 y f( ) f '( )( ) y( ) y 設二次函數 f ( ), 求 () f ( ) 在 處的導數 () 在點 (,9) 的切線方程式 f( ) f( ) () 切線斜率 lim f '( ) f ( ) f() f '() lim 9 ( )( ) lim lim lim ( ) 6 () m f '() 6 切線方程式為 y f( ) f '( )( ) y 96( ) 6 y9

14 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 導函數. 導函數 () 如果函數 f 在定義域中的每一個點 之導數 f '( ) 都存在, 則 對應 f '( ) ( 即 f '( ) ), 形成一種新的函數關係, 稱 f '( ) 為 f ( ) 的導函數 () 求導函數的過程稱為微分. 導函數的表示法 d f ( ) dy d () 對於函數 y = f ( ) 之導函數, 有幾種常見的表示法 : f '( ) = y ' = = = f ( ) d d d () 在定義域中, 若 f '( ) 的導函數存在時, 稱 f '( ) 是 f ( ) 的第一階導函數 d f '( ) d () f ''( ) = f ( ) d = 是 f d ( ) 的第二階導函數. 可微分 () 若函數 f 在 = 處的導數存在, 稱 f 在 = 處可微分, 否則稱 f 在 = 處不可微分 () 若函數 f ( ) 在 導函數的意義 = 處可微分, 則 f ( ) 在 = 處連續 求函數 f ( ) = + 的導函數 f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) = lim + ( + ) f '( ) = lim ( ) + ( ) = lim ( )( + + ) + ( + )( ) = lim = lim ( ) = + f '( ) = + + 求函數 f ( ) = 的導函數 f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) = lim + ( + ) f '( ) = lim ( ) + ( ) = lim ( + )( ) + ( ) = lim = lim ( + + ) = + f '( ) = + 導數的意義 求函數 f ( ) = 在 = 的導數 f ( ) f () f '() = lim = lim () > 時, lim = lim = + + ( ) () < 時, lim = lim = 故 f '() 不存在 求函數 f ( ) = 在 = 的導數 f ( ) f () f '() = lim = lim () > 時, lim = lim = + + () < 時, lim = lim = 故 f '() 不存在

15 微積分及其應用 -5 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( A ). 設 f ( ) 8, 則 f '() (A) (B) (C) (D) 8 教 ( B ). 設 f ( ), 則 f () 在 處的導數為 (A) (B) (C) (D) 7 ( C ). 設 f ( ), 則 f () 在 的導數為 (A) (B) (C) 7 (D) 8 ( D ). 設 f ( ), 求 lim ( B ) 5. 設 f ( ), 則 f '() (A) f( ) f() ( B ) 6. 設 f ( ), 則 f () 在 的切線斜率為 (A) (B) 6 (B) 教 教 (A) (B) (C) 7 (D) 教 6 (C) (D) 教 (C) (D) ( B ) 7. 設 f ( ) 6, 則過圖形上一點 (,) 的切線斜率為 (A) (B) (C) 6 (D) 教 ( A ) 8. 設 f ( ), 則過圖形上一點 (,) 的切線方程式為 (A) y (B) y (C) y5 (D) y 教 ( C ) 9. 設 f ( ), 則 f () 的導函數為 (A) (B) (C) (D) 教 ( D ). 求函數 f ( ) 在 的導數為 (A) (B) (C) (D) 不存在 教 教 5 ( C ). 設 ( )( )( )( ) f ( ), 則 f '() (A) ( )( ) (B) (C) 5 (D) 7 教

16 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 微分公式一 主題三微分公式 微分公式 若函數 f ( ), 為正整數, 則 f '( ) 微分公式二 若函數 f ( ) 微分公式三 c, c 為常數, 則 f '( ) 若 f ( ) c g( ), c 為常數, 且 g ( ) 為可微分函數, 則 f '( ) c g'( ) 微分公式四 若 f ( ) g( ) h( ) 且 g ( ) h ( ) 皆為可微分函數, 則 f '( ) g'( ) h'( ) 微分公式五 : 乘積的微分規則 若 f ( ) g( ) h( ), 且 g ( ) h ( ) 皆為可微分函數, 則 f '( ) g'( h ) ( ) gh ( ) '( ) 微分公式六 g ( ) g'( ) h( ) g( ) h'( ) 若 f( ), 且 g ( ) h ( ) 皆為可微分函數, h ( ), 則 f '( ) h ( ) [ h ( )] 微分公式七 : 連鎖規則 設 f 與 g 均可微分, 則其合成函數 fog 亦可微分, 且 ( fog) '( ) f '( g( )) g '( ) 微分公式八 設 為有理數, f ( ) 為可微分函數, 則 [ ( ) f ]' ( f( )) f '( ) 微分公式 設 f ( ) 5, 求 f '( ) f '( ) 設 f ( ) 5 7, 求 f '() f '( ) f '() 5 6

17 微積分及其應用 -7 微分公式 設 f ( ) 6, 求 f '( ) f ( ) 6 f '( ) 6 ( ) 6 設 6 f ( ), 求 f '( ) f ( ) 6 f '( ) 6( ) 6 二階導函數 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 6 5 設 f ( ), 求 f ''( ) 5 f '( ) 6 6 f ''( ) 6 設 f ( ) 6 5 8, 求 () f ''( ) () f ''() () f '( ) 8 8 f ''( ) 6 () f ''() 6 6 微分公式 設 f ( ) ( )( 5), 求 f '() 利用 ( f g)' f ' g fg' f '( ) ( )( 5) ( ) f '() ( ) 7 ( ) 設 f ( ) ( )( ), 求 f '( ) 利用 ( f g)' f ' g fg' f '( ) ( ) ( ) 6

18 -8 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 微分公式 設 f ( ) ( )( )( ), 求 f '( ) f '( ) ()( ) ( ) () ( )( ) 8 設 f ( ) ( )( )( ), 求 f '( ) f '( ) ( )( ) ( ) ( ) ()( ) 6 5 微分公式 設 f ( ), 求 f '( ) f f ' g fg' 利用 ' g g () () f '( ) ( ) ( ) 設 5 f ( ), 求 f '( ) 5 f f ' g fg' 利用 ' g g 5( 5) (5) f '( ) ( 5) 9 ( 5) 9 f '( ) 9 ( 5) 微分公式 - 連鎖規則 設 f ( ) ( ), 求 f '() 提示 : 利用連鎖律 [ g( f ( ))]' g' ( f ( )) f '( ) f '( ) () ( ) f '() 設 f ( ) ( ), 求 f '( ) 5 提示 : 利用連鎖律 [ g( f ( ))]' g' ( f ( )) f '( ) f '( ) 5() ( ) f '( ) ( )

19 微積分及其應用 -9 微分公式 - 連鎖規則 設 h ( ) 5, 求 h '() h ( ) (5 ) 5 h'( ) (5) h'() 6 8 設 g ( ), 求 g '(5) g ( ) ( ) g'( ) () g '(5) 5 微分公式 - 連鎖規則 設 f ( ), 求 f '() 設 f ( ), 求 f '( ) f( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f '() f( ) ( ) f '( ) () ( ) f '( ) 微分公式 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 設 f ( ), 求 () f '() () f '() () f '( ), f ( ) f '( ), f ( ) f '( ) () f '() () f '() () 左極限 右極限 f '( ) 不存在 設 f ( ), 求 () f '() () f '() () f '( ), f( ) f '( ), f( ) f '( ) () f '() () f '() () 左極限 右極限 f '( ) 不存在

20 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 微分公式的應用 若 f ( ) f () f ( ), 則 lim? f ( ), f '( ) f( ) f() lim f '() 設 f ( ), 求 lim f ( ) f () f '( ) f( ) f() lim f '() 9 微分公式的應用 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) f ( h) f ( ) 已知 f ( ), 則 lim? h h f ( ) f( h) f( ) lim f '( ) h h f ( h) 已知 f ( ), 則 lim h h f ( ) f( h) f( ) lim f '( ) h h f ( ) =? 微分公式的應用 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 設 f ( ), 則 lim h 為何? f '( ) 原式 lim h f ( h) f () 之值 h f ( h) f() h f '() 設 f ( ), 則 lim h f '( ) f ( h) f() lim h h f ( h) f() lim h h 8 f '() 8 f( h) f()? h

21 . 切線斜率 利用微分公式求過函數圖形上一點的切線方程式 微積分及其應用 - 函數 y f () 在 處導數存在, 則 y f () 在點 (, f ( )) 之切線斜率為 f '( ). 切線方程式過 P (, f ( )) 的切線方程式為 y f ( ) f '( )( ) 利用微分公式求切線斜率及切線方程式 設 f ( ), 則過點 (, ) 的 切線 () 斜率 () 方程式為何? f '( ) 6 () m f '( ) 6 9 () 利用點斜式 y y m( ) y9( ) 9 y7 設 f ( ) 6, 則過點 P (,5 ) 的切線 () 斜率 () 方程式為何? f '( ) () m f '() () 利用點斜式 y y m( ) y 5 ( ) y6 利用微分公式求切線斜率 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 函數 f ( ) 9 在點 (,5) 的切線 函數 y 8 在點 (,6) 的切線斜率 斜率為何? f( ) ( 9) f '( ) ( 9) m f '() 為何? y (8 ) y' (8) 8 m y'() 6 8

22 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( C ). 設 g ( ) 8, 求 g '() (A) 9 (B) (C) (D) 教 8 ( B ). 設 g( ), 求 g '() (A) (B) (C) (D) 教 ( D )., 求 g '() (A) g ( ) (B) (C) (D) 5 教 ( A ). 設 g ( ) ( 5)( ), 求 g'( ) (A) (B)5 (C) 6 9 (D) 6 教 ( A ) 5. 設 g ( ) ( )( )( ), 求 g'( ) (A) (B) 7 (C) 6 8 (D) 6 教 ( C ) 6. 已知 f ( ), 則 f '() (A) (B) (C) 7 (D) 教 6 ( B ) 7. 設 f ( ) ( ), 則 f '( ) (A) 5 (B) (C) (D) 教 7 ( D ) 8. f, 則其導函數 f '( ) (A) (B) ( ) (D) (C) 教 8 ( A ) 9. 設 g ( ), 求 g '() (A) (B) (C) ( B ). 若 f ( ), 則 lim f ( ) f () 之值為 (A) 5 (B) (D) 7 教 9 (C) 6 (D) 教 ( C ). 設 f ( ), 則過點 (, ) 的切線方程式為 (A) y (B) y (C)5 y (D)5 y9 教 ( A ). 設 f( ), 則 f '() f '() (A) (B) (C) (D) 教 ( B ). f ( ), f ' 為 f 的導函數, 下列何者錯誤? (A) f '( ) 不存在 (B) f '() (C) f '() (D) f '( 8) 教 ( A ). f ( ), 則 lim h f ( h) f () 之值為 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) h 教 ( B ). 已知曲線 y 9 7, 則在點 (,) 的切線斜率等於 (A) 8 (B) 9 8 (C) 8 (D)6 教 5

23 微積分及其應用 - 主題四微分的應用 遞增函數與遞減函數. 遞增函數與遞減函數 設 f 為定義於區間 [, ] 的函數, 為區間中的任二點 () 當 時, 恆有 f ( ) f( ), 則稱 f 為在此區間內的遞增函數 () 當 時, 恆有 f ( ) f( ), 則稱 f 為在此區間內的遞減函數. 函數遞增 遞減與導數的關係 函數 f 在 [, ] 上連續, 在 (, ) 上可微分 () 若 f '( ) 恆正, 則 f 在 [, ] 上遞增 () 若 f '( ) 恆負, 則 f 在 [, ] 上遞減 () 若 f '( ) 恆等於, 則 f 在 [, ] 上是常數. 圖形說明 函數的遞增與遞減 求函數 f ( ) 5遞增 遞減的區間 f '( ) ( ) 求函數 f ( ) 遞增 遞減的區間 f '( ) ( ) () 遞增 : (, ) () 遞減 : (,) 遞增 : (, ) 遞減 : (, )

24 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 函數的遞增與遞減 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求函數 f ( ) 遞增 遞減的 求函數 f ( ) 9 5 遞增 區間 f '( ) ( ) ( )( ) 遞減的區間 f '( ) 6 8 6( ) 6( )( ) 遞增 : (, ) 或 (, ) 遞減 : (,) 遞增 : (, ) 遞減 : (,) 或 (, ). 函數的極值 函數的極大值與極小值 () 絕對極大值 ( 最大值 ): 函數 f 在區間 [, ] 中存在, 對所有, 使得 f ( ) f( ), 則稱 f ( ) 是函數 f 在 [, ] 之絕對極大值 ( 最大值 ) () 絕對極小值 ( 最小值 ): 函數 f 在區間 [, ] 中存在, 對所有, 使得 f ( ) f( ), 則稱 f ( ) 是函數 f 在 [, ] 之絕對極小值 ( 最小值 ) () 相對極大值 ( 極大值 ): 函數 f 在區間 [, ] 中, 僅有鄰近 的每個 ( 局部範圍 ), 使得 f ( ) f( ), 則稱 f ( ) 是函數 f 的相對極大值 () 相對極小值 ( 極小值 ): 函數 f 在區間 [, ] 中, 僅有鄰近 的每個 ( 局部範圍 ), 使得 f ( ) f( ), 則稱 f ( ) 是函數 f 的相對極小值

25 微積分及其應用 -5. 函數極值求法 多項函數 f ( ): () 由遞增函數 f '( ) 轉為遞減函數 f '( ), 一定有一個, 使得 f '( ) ; 此最高點的函數值 f ( ) 即為 f ( ) 的極大值如圖 () 所示 () 由遞減函數 f '( ) 轉為遞增函數 f '( ), 一定有一個, 使得 f '( ) ; 此最低點的函數值 f ( ) 即為 f ( ) 的極小值如圖 () 所示 函數的極值 求函數 f ( ) 的極值 f '( ) ( ) ( )( ) 令 f '( ),, 求函數 f( ) 的極值 ( ) f '( ) 6 令 f '( ),, f () 8 6 f ( ) 8 6 f () f ( ) 8 極大值 :, 極小值 : 極大值 :6, 極小值 : 6

26 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 函數的最大值與最小值 求函數 在 的 f ( ) 6 求函數 f ( ) 在閉區間 [,] 的 () 最大值 () 最小值 f '( ) 6 6 6( )( ) 令 f '( ),, f ( ), f ( ) f (), f () 6 最大值為 6, 最小值為 () 最大值 () 最小值 '( ) ( )( ) f 令 f '( ),, f ( ) 9, f ( ) 6 f () 6, f () 9 最大值為 6, 最小值為 6 極值的應用問題 長度 公尺的籬笆, 沿著筆直河川, 欲圍成一長方形的花園, 臨河水的一邊 不圍, 則此花園的最大面積為何? 設寬為 公尺, 則長為 公尺 面積 f ( ) ( ) f '( ) ( 5) 將 6 分成兩數之和, 則此兩數的乘積 最大值為何? 設此二數為,6 二數的乘積為 f ( ) (6 ) 6 f '( ) 6 ( 8) f (5) 5 5 即當寬 5 公尺, 長 公尺時 面積最大為 5 平方公尺 f (8) 88 6 故乘積最大值為 6

27 微積分及其應用 -7 極值的應用問題 有一長方形紙板, 長為 6 公寸 寬為 公寸, 今從四角分別截去同大小的 正方形, 以便摺成一個無蓋的紙盒, 則此 紙盒最大容積為何? 設截去的正方形邊長為 公寸 則紙盒容積為 f ( ) (6 )( ) 5 6 '( ) 6 f ( 6 ) ( )( ) 令 f '( ), 或 ( 不合 ) f () 被截去的正方形邊長為 公寸時, 可得最大的容積為 立方公寸 一邊長為 公分的正方形厚紙板, 將四角 分別截去同大小的正方, 以便摺起各邊使 成一個無蓋的紙盒, 則截去的正方形邊長 為多少時, 紙盒的容積最大? 設截去的正方形邊長為 公分 則紙盒容積為 ( ) ( ) f 9 f '( ) 9 ( 75) ( 5)( 5) 令 f '( ), 5或 5( 不合 ) f (5) 被截去的正方形邊長為 5 公分時, 可得最大的容積為 立方公分 函數極值的應用 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 設 ( ) 於 處有極 f 大值, 且 f ( ) 的極小值為 5, 求 提示 : 利用 f '( ) 有極值 f '( ) 6 6 f '( ) 6 6 f '( ) 6 6 6( ) 6( )( ) f ( ) f() 設 f ( ) 於 處有相對 極小值 8, 則 f ( ) 之相對極大值為何? 提示 : 利用 f '( ) 有極值 f '( ) f '() f() 8, 9 f '( ) 6 9 ( ) ( )( ) f ( ) 9 f ( ) 777 相對極大值為

28 -8 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 函數圖形的凹向與反曲點. 函數圖形的凹向 () 一個函數圖形的彎曲方向, 通常可分為凹向上及凹向下兩種 () 設函數 f 在開區間 (, ) 內第一階及第二階導函數都存在, c 是 (, ) 內任一點, 過 (, c f()) c 作 f ( ) 的切線 L () 如圖函數 f 在 (, ) 內的圖形均在切線 L 的上方, 則稱凹口向上 () 如圖函數 f 在 (, ) 內的圖形均在切線 L 的下方, 則稱凹口向下. 函數圖形凹向的判斷方法 設函數 f 在開區間 (, ) 內可微分, 且 c, () 若 f ''( c), 則 f ( ) 的圖形在點 (, c f()) c () 若 f ''( c), 則 f ( ) 的圖形在點 (, c f()) c. 反曲點的定義 為凹口向上 為凹口向下 () 函數圖形凹向發生變化的點, 稱為函數 f 的反曲點或拐點 () 若點 (, c f()) c 為函數 f 的一個反曲點, 則在 c 的附近, 函數 f 的凹向改變, 即 f ''( ) 的值由正變負或由負變正, 則 f ''( c) 或 f ''( c ) 不存在 ; 其逆不真

29 微積分及其應用 -9 函數圖形的凹向 討論 f( ) 圖形的凹向 f '( ) 6 f ''( ) 66 6( ) 討論 f( ) 5 圖形的凹向 f '( ) 6 5 f ''( ) 66 6( ) 凹口向上 : (, ) 凹口向下 : (,) 凹口向上 : (,) 凹口向下 : (, ) 函數圖形的反曲點 求函數 f ( ) 圖形的 反曲點 f '( ) 6 f ''( ) 66 6( ) f () 反曲點為 (, ) 求函數 f( ) 6 圖形的反曲點 f '( ) f ''( ) 6 6( ) f () 8 7 反曲點為 (,7)

30 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 描繪函數的圖形 描繪 f ( ) 6 9 的圖形 f '( ) 9 ( )( ) ( ) 描繪 f ( ) 6 的圖形 f '( ) 6 6 6( )( ) 6( ) 遞增 : (,) 或 (, ) ; 遞減 : (, ) f () 5, f () 極大值 :5, 極小值 : f ''( ) 6 6( ) 遞增 :(,) ; 遞減 :(, ) 或 (, ) f ( ) 5, f () 極大值 :, 極小值 : 5 f ''( ) 凹口向上 :(, ); 凹口向下 :(,) f () 反曲點為 (,) 凹口向上 :(,); 凹口向下 :(, ) f () 反曲點為 (, ) 函數圖形極值 反曲點的應用 設函數 f ( ) c d 在 有極大值, 且 (,) 為反曲點, 求 c d 之值 f '( ) c f ''( ) 6 (, ) cd f '() c (,) d f ''(), c, d cd 5 設函數 f ( ) c d 在 處有極大值, 且 (,) 為反曲點, 求 c之值 f '( ) c f ''( ) 6 (,) cd f '() c (,) d f ''(),, c, d c

31 微積分及其應用 - 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( C ). 函數 f ( ) 9 的遞增區間為 (A) (,) (B) (,) (C) (, ) 或 (, ) (D) (, ) 或 (, ) 教 ( A ). 承上題, 遞減區間為 (A) (,) (B) (,) (C) (,) (D) (, ) 教 9 ( A ). 求函數 f ( ) 8 遞增的區間為 (A) (,) (B) (, ) (C) (, ) (D) (,) 教 ( C ). f 的相對極大值等於 (A) (B) 6 (C) (D) 6 ( ) 9 5 教 ( D ) 5. 函數 f ( ) 6 9 5的相對極小值等於 (A) (B) (C) (D) 5 教 ( B ) 6. 求函數 ( ) 7 f 的極小值為 (A) 8 (B) 5 (C) 5 (D) 8 教 ( D ) 7. 求函數 f 在閉區間 [,5] 的最大值為 (A) (B) ( ) 6 (C) 6 (D) 教 ( B ) 8. 承上題, 最小值為 (A) 5 (B) (C) (D) 6 教 ( C ) 9. 長度為 公尺的籬笆, 沿著筆直河川, 欲圍成一長方形的菜園, 臨河水的一 邊不圍, 則此菜園的最大面積為 (A) 9 (B) 6 (C) 8 (D) 平 方公尺教 5 ( C ). 設一矩形周長為 公分, 則其最大面積為 (A) 6 (B) (C) 6 (D) 56 平方公分教 5 ( D ). 設 y 為實數, 且 y, 則 y 的最大值為 (A) (B) 96 (C) (D) 56 教 5 ( A ). 函數 f( ) 5圖形凹口向上的區間為 (A) (, ) (B) (,) (C) (,) (D) (, ) 教 8 ( B ). 函數 f( ) 9 圖形凹口向下的區間為 (A) (,8) (B) (8, ) (C) ( 8, ) (D) ( 8,8) 教 8

32 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 ( B ). 求函數 f ( ) = 圖形之反曲點為 (A) (,) (B) (, 9) (C) (,7) (D) (,) 教 9 ( B ) 5. 函數 f ( ) = 圖形有 (A) (B) (C) (D) 個反曲 點教 9 ( A ) 6. 函數 f ( ) = + 之圖形上的反曲點坐標為 (A) (,) 及 (, 6) (B) (,7) 及 (, 6) (C) (,5) 及 (,7) (D) (,5) 及 (,) 教 9 ( D ). 對函數 f ( ) = 之圖形而言, 下列敘述何者為真? (A) f 在區間 (, ) 為遞減 (B) 當 = 時, f 有極小值 (C) 當 = 時, f 有極大值 (D) f 在區間 (, ) 為遞減教 ( C ). 有一邊長 公分的正方形鋁片, 若要將四個角各截去同大的小正方形, 以便 摺起各邊使成一個無蓋的鋁盒, 則截去的小正方形邊長為 (A) (B) (C) (D) 公分時, 鋁盒的容積最大教 6 ( A ). 設函數 f ( ) = + + 在 = 有極小值, 則 = (A) 5 (B) (C) (D) 教 7 ( D ). 對函數 f ( ) = + 5的圖形而言, 下列敘述何者正確? (A) f 在區間 (,) 為凹口向上 (B) f 在區間 (, ) 為凹口向下 (C) f 在區間 (, ) 為減函數 (D) f 在區間 (, ) 為增函數教 ( C ) 5. 函數 f ( ) = + 9, R, 則下列敘述何者正確? (A) f ( ) 之相對極小值為 9 (B) f ( ) 有最大值 (C) (, 7) 為 f ( ) 的反曲點 (D) f ( ) 在 (,) 的區間內為遞增教 6. 請描繪 f ( ) = + 的圖形於下圖教 ( B ) 7. 設函數 f ( ) = + 圖形過點 (,), 又在 = 處有一反曲點, 則 + = (A) (B) (C) (D) 教

33 微積分及其應用 - 主題五積分的概念與反導函數 ( 由授課老師自行選授 ). 反導函數的定義 不定積分的概念 () 設 F( ) 的導函數為 f ( ), 即 F'( ) f( ), 則稱 F( ) 為 f ( ) 的反導函數 () f ( ) 的反導函數並不是唯一 () 求反導函數的過程稱為不定積分, 所謂 不定 是指不只有一個函數. 不定積分的定義 () 若 F( ) 是 f ( ) 的一個反導函數, 則稱 F( ) 為 f ( ) 的不定積分, 以 f ( d ) F ( ) c 表之, 其中 c R () 其中 為積分符號, f ( ) 為被積分函數, d 中的 為積分變數. 不定積分公式 () d c ( 其中, c 為常數 ) () kf( d ) k f( d ) c ( k 為定數 ) f g d f d gdc f g d f d gdc () ( ( ) ( )) ( ) ( ) () ( ( ) ( )) ( ) ( ) 不定積分 求不定積分 d c c d 求不定積分 d d c c d

34 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 不定積分 求不定積分 ( 6) d 原式 6 c c 求不定積分 d 原式 ( ) d c c 不定積分 求不定積分 ( )( ) d 原式 ( ) d c c 求不定積分 ( )( ) d 原式 ( ) d c c

35 定積分的概念 微積分及其應用 -5 定積分的概念. 要計算由 y f( ) 的圖形與直線 y ( 即 軸 ) 及 所圍成區域 R 的面積時 ( 假設 f( ) ), 可以依分割與逼近的方法, 才能求得面積將步驟敘述如下 : 步驟 : 將閉區間 [, ] 間的線段均分成 段 ( 圖 ( 一 )), 然後將區域 R 分割成 個長條, 每個長條的寬度皆為 步驟 : 如圖 ( 二 )() 所示, 是以每段閉區間上最大值 M 為高, 做成的 個矩形, 每個矩形的寬都是 M M, 所以這 個矩形 之面積和, 即為上和 U ( MM M) 如圖 ( 二 )() 所示, 是以每段閉區間上最小值 m m m 為高, 做成的 個 矩形, 每個矩形的寬都是, 所以這 個矩形之面積和, 即為下和 L ( mm m) 步驟 : 由上和 下和的定義, 無論 為何正整數, L 區域 R 面積而 L 由左方一起夾擠, 而擠出一個共同的數 r, 即 limu lim L r, 則數 r 即為區域 R 的面積 U, 故若 U 由右方,. r 也可表成 f ( d ), 此式稱為函數 f ( ) 在區間 [, ] 上的定積分, 分別稱為 積分的下限 上限. 定積分 f ( d ) ( f( ) ) 是一個將 [, ] 無限細分所得的面積總和的極限值, 也就是說 lim L f ( ) d lim U

36 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 定積分的性質. 定積分的性質 若 f 與 g 是定義在閉區間 [, ] 上的函數, 且在 [, ] 上皆可積分, 則 () f ( ) d () f ( d ) f( d ) () [ f ( ) g( )] d f( ) d g( ) d () k 為任意實數, kf( d ) k f( d ) c (5) 若 c, 則 f ( d ) f( d ) f( d ). 定積分的幾何意義 c () 設 f ( ) 在 [, ] 上恆有 f( ), R 表示 y f( ) 的圖形與直線 y ( 軸 ) 所圍成的區域, 則 f ( d ) R c 的面積 (R 的面積 ) (R 的面積 ) f ( d ) f( d ) c 如圖 ( 一 ) 所示 () 於圖 ( 二 ) 中, f ( ) 在 [, ] 上其函數圖形交 軸於 (,) c ( d,) 兩點, 則 f ( ) 的函數圖 形與直線 y 所圍成的區域可以分成三部分 R R R, 而在區間 [ c, ] [ d, ] 上, 因 f( ), c 所以 f ( d ) R 面積, f ( d ) R d 面積, 而在區間 [, cd ] 上, 因 f( ), 所以 f( ), 而 y f( ) 與 y f( ) 的圖形對稱 軸, d 故 R 面積與 R 積相同, 即 ( f ( )) d R 面積 R 面積, d 所以 f ( d ) R的面積 c c d 得 f ( d ) f( d ) f( d ) f( d ) c d R 面積 R c 面積 R 面積

37 微積分及其應用 -7. 定積分與面積的關係 若 f 是定義在閉區間 [, ] 上的函數, 則 f ( d ) 表 y f( ) 的圖形與直線 y 所圍成的區域中, 在 軸上方的面積減去 軸下方的面積而得的數值 定積分的性質 已知 f( ) d 5, 7 f( ) d 8, 7 9 gd ( ), 9 7 求 [ f ( ) g ( )] d? 提示 : [ kf( ) mg( )] d gd ( ), k f ( ) d m g ( ) d f( ) d5 7 7 f ( d ) f( d ) f( d ) ( 5) gd ( ) gd ( ) gd ( ) g( ) d g( ) d g( ) d 故 [ f ( d ) g ( )] d 7 7 f ( d ) gd ( ) 7 定積分與面積 已知 f( ) d 6, 8 f( ) d, 8 gd ( ), 8 求 [ f ( ) g ( )] d? 提示 : [ kf( ) mg( )] d gd ( ) 9, k f ( ) d m g ( ) d 8 8 f ( d ) f( d ) f( d ) 8 f d 8 6 ( ) gd ( ) 故 f( ) d 5 gd ( ) gd ( ) gd ( ) 8 gd ( ) 97 [ f ( ) g ( )] d 8 8 f ( d ) gd ( ) 設函數 f ( ) 的圖形 如右, 求 之值 f ( d ) f ( d ) ( ) 5 設函數 f ( ) 的圖形 如右, 求 之值 f ( d ) f ( d ) f d ( ) f( d ) ()

38 -8 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 ( A ). 求不定積分 d (A) c (B) c (C) c (D) c 教 ( A ). 求不定積分 ( 5 ) d (A) 5 c c 5 5 c (D) c 教 ( C ). 求不定積分 d (A) c (B) c (C) c c ( B ). 求不定積分 ( ) d (A) 6 c (B) c (C) 6 c (D) c教 5 ( D ) 5. 求不定積分 d (A) c (B) c (C) c (D) c 教 ( B ) 6. 求不定積分 ( )( ) d (A) c (B) 8 c (C) 8 c (D) 8 c教 ( C ) 7. 求不定積分 ( ) d (A) 86 c (B) 8 c (C) 6 c (D) 8 6 c教 ( B ) 8. 已知 f( ) d, 6 6 f( ) d 8, 則 f ( d ) (A) (B) 6 (C) (D) 6 教 教 ( C ). 已知 f( ) d 7, 8 f( ) d, gd ( ), 8 6 gd ( ) 5, 6 8 則 [ f ( ) g ( )] d (A) 6 (B) (C) 8 (D) 教

39 微積分及其應用 -9 ( B ). 設函數 f ( ) 的圖形如右, 求 f ( ) d = (A) 5 (B) (C) 6 (D) 教 5 ( C ). 設函數 f ( ) 的圖形如右, f ( ) 的圖形與 軸 圍成三個區域 : A B C, 其面積依次為 5, 求 f ( ) d = (A) (B) 5 (C) (D) 8 教 5

40 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 微積分基本定理 主題六多項函數的積分 ( 由授課老師自行選授 ) 多項函數的積分. 若函數 f 在區間 [, ] 上為連續函數, 且令 g ( ) ftdt ( ),, 則 g ( ) 為可微分 d 函數且 g'( ) f( ), 即 f () tdt f( ) d. 設函數 f 在區間 [, ] 上為連續函數, 而 g ( ) 為 f ( ) 的任意一個反導 函數, 則 f ( d ) g ( ) g ( ) 求定積分 求 ( ) d 原式 ( ) 求 ( ) d 原式 8 ( 98) 8 求定積分 求 ( )( ) d 原式 ( ) d ( 5 ) () (5) 5 求 ( 5 )( ) d 原式 (5 6 8) d (5 8 ) 58

41 微積分及其應用 - 求定積分 求 9 d 原式 9 ( ) ( ) 9 求定積分 9 8 求 ( ) d 原式 ( ) d 求 d 原式 d ( ) d 6 求 d 原式 d 5 ( ) d 求定積分 求 ( ) d 原式 ( ) d ( ) (7 ) ( ) 求 ( ) d 原式 ( ) d

42 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 絕對值函數的積分 ( 為增廣教學, 非信樺版教科書之內容 ), 當, 當 求絕對值函數的積分時, 先把絕對值符號去掉, 並將積分區間分成二個 ( 或二個以上 ) 的小區間, 再求其反導數 絕對值函數, 先分段再積分 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求 d ( ) d ( ) d d d d 6 求 d ( ) ( ) d d d d d d d 代換積分法 ( 為增廣教學, 非信樺版教科書之內容 ) 利用 變數變換 的技巧, 將函數化為簡單的形式再來求其積分, 此種方法為代換積分法 代換積分法 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求 ( ) d du 令 u ( ), 則 du d d, u ;, u u d u du ( ) 6 5 求 ( ) d du 令 u ( ), 則 du d d, u ;, u 5 u d u du 5 ( )

43 微積分及其應用 - 代換積分法 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求 d du 令 u ( ), du d d, u 9 ;, u 5 d ( ) d 5 5 u 5 u du u 求 5 d du 令 u ( ), du d d, u ; 5, u d ( ) d 6 6 u 6 u du u 代換積分法 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求 ( ) d 令 u ( ) du 則 du d d, u ;, u ( ) d ( ) d u 8 7 u du 求 ( ) d 令 u ( ) du 則 du d d, u ;, u ( ) d ( ) d u du u 6 5

44 - 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 代換積分法 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求 d 6 令 u ( ) 6 ( 6) du ( 6) d 6 du d 6, u ;, u d du u 6 5 求 5 d 令 u ( ) ( ) du ( ) d du d, u ; 5, u d du u 6 曲線與 軸所圍面積 ( 為增廣教學, 非信樺版教科書之內容 ). f ( ) 時 若 f () 在 [, ] 是連續函數, 且 f ( ), 則曲線 f () 與 軸及二垂直線, 所圍之面積為 A f ( ) d 當 f ( ). f ( ) 時 時, f ( ) d 為正值 若 f () 在 [, ] 是連續函數, 且 f ( ), 則曲線 f () 與 軸及二垂直線, 所圍之面積為 A f ( ) d 當 f ( ) 時, f ( ) d 為負值

45 微積分及其應用 -5 曲線與 軸所圍面積 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求直線 y 與 軸及二垂直線, 所圍區域的面積 求直線 y 與 軸及, 所圍 區域的面積 A ( ) d ( ) (9 ) ( ) 6 A d 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 曲線與 軸所圍面積 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求曲線 y 與 軸及, 所圍的 區域面積 求曲線 y ( ) 與 軸及, 所圍的區域面積 A d 7 ( 7) 8 [( ) ] A d ( ) d ( ) (9 9 9) 9

46 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 兩曲線間之面積 ( 為增廣教學, 非信樺版教科書之內容 ) 若 f (), g () 均為 [, ] 上之連續函數, 且 f ( ) g( ), 若, 則兩曲線 f (), g () 與, 所圍成區域的 面積為 A [ f ( ) g( )] d 兩曲線間之面積 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求直線 y 與曲線 y 所圍的 區域面積為何? y y ( )( ) 或 y 或 交點 (,) 或 (,) 求直線 y 與曲線 y 所圍的 區域面積 y y ( )( ) 或 y 或 交點 (,) 或 (, ) 面積 A [( ) ( )] d ( ) d ( ) 8 9 ( ) ( ) 面積 A [( ) ( )] d ( ) d ( ) 8 9 ( ) ( )

47 微積分及其應用 -7 兩曲線間之面積 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 求兩拋物線 y 6 與 y 所圍成的區域面積 y 6 y 交點為 (,) 或 (,8) 面積 [(6 ) ( )] A d ( 8 ) d ( ) 求曲線 y 與直線 及 軸所圍區域 面積 d d 6 兩曲線間之面積之應用 ( 增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ) 已知 y f( ) 與 y 相交於 (,) (, ) 兩點, 如圖, 若斜線部分的 9 面積為, 且 f( ) d, 則 f ( d )? 提示 : f ( d ) f( d ) f( d ) 由 (,) (, ) (, ) 9 所圍成的 面積 f ( d ) 斜線部分面積 + 面積 + f ( d ) ( ) 已知 y f( ) 與 y 相交於 (,) (,) 兩點, 如圖, 若斜線 9 部分的面積為, 求 f ( d )? 提示 : 如圖, PQR 面積 ABC D PQR 面積 8 D 的面積 9 A B 8 AB f( ) d

48 -8 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( B ). 求定積分 ( 6) d的值為 (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 58 教 ( A ). 求 d (A) (B) 6 (C) 6 (D) 教 ( B ). 求定積分 ( ) d 之值為 (A) (B) 8 (C) 5 (D) 6 教 ( D ). 求 d 之值為 (A) (B) (C) 6 (D) 教 5 5 ( A ) 5. 求 d 之值為 (A) (B) 5 (C) 7 (D) 76 教 ( A ) 6. 求 ( d ) 之值為 (A) 6 (B) 8 (C) 8 (D) 6 教 5 ( C ) 7. 求定積分 d 之值為 (A) (B) (C) 5 (D) 教 6 5 ( B ) 8. 求定積分 d 之值為 A) (B) (C) 8 (D) 6 教 ( C ) 9. 求直線 y 與 軸及, 所圍成區域的面積為 (A) 8 (B) (C) (D) 教 ( D ). 曲線 y 8 與 軸所圍成區域的面積為 (A) (B) (C) (D) 6 教 ( B ). 平面上兩曲線 y 與 y 所圍成區域的面積為 (A) (B) 9 (C) 5 (D) 6 教 ( D ). 平面上兩曲線 y 與 y 8 所圍成區域的面積為 (A) 5 (B) 56 (C) 6 (D) 7 教 ( D ). 求曲線 y 與直線 9 及 y 所圍區域面積為 (A) 6 (B) 6 (C) 7 (D) 5 教

49 微積分及其應用 -9 5 ( C ). 求 lim ( A ). 求 lim ( C ). 求 lim ( ) ( A ). 求 lim (A) (B) (C) 5 (D) - (A) (B) (C) (A) (B) (C) (D) - (D) - (A) 6 (B) (C) (D) ( D ) 5. 求 lim (A) (B) 7 (C) (D) 9 - ( B ) 6. 求 lim (A) (B) (C) (D) - 5 ( D ) 7. 求 lim 5 ( 6) ( A ) 8. 已知 lim 5 (A) 5 (B) 5 6, ( C ) 9. 已知 f ( ), 求 lim f ( ), ( B ). 設 (C) (D) 5 -, 求 之值 (A) 5 (B) (C) (D) ( )( )( ) f ( ), 則 f '() (A) (B) ( ) - (A) (B) (C) 5 (D) 6 (C) 7 - (D) ( C ). 設 f ( ) ( )( ), 則 f '( ) (A) 8 (B) (C) (D) - ( C ). 設 f ( ) ( )( )( 5), 則 f '() (A) (B) (C) 9 (D) ( A ). 設 g ( ), 求 g '() (A) 7 (B) 5 (C) (D) 5 - 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( D ). 設 f ( ) ( ), 求 f '() (A) (B) (C) 6 (D) 9 - ( D ) 5. 設 f ( ) 9, 求 f '() (A) (B) (C) (D) ( D ) 6. 設 f ( ), 求 f '() (A) (B) (C) (D) - - -

50 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 -5 ( C ) 7. 設 f ( ), 求 lim ( A ) 8. 若 f ( ), 則 lim f( ) f() (A) 8 (B) 9 (C) (D) 5 - f ( ) f () 之值為 (A) (B) (C) (D) - ( D ) 9. 設 ( ) f ( h) f () f, 則 lim 之值為 (A) (B) 6 (C) h h (D) - ( B ). 設 f ( ), 則過點 (,) 的切線方程式為 (A) y8 (B) y (C) y (D) y7 - ( C ). 求 f ( ) 在點 (,) 的切線斜率為 (A) (B) (C) (D) - ( D ). f( ) 的相對極大值為, 相對極小值為, 則 之值為 (A) (B) (C) (D) - ( D ). 設一矩形的周長為 6 公分, 則其最大面積為 (A) (B) 6 (C) 8 (D) 56 平方公分 - ( B ). 設 y 為實數, 且 y 9, 求 y 的最大值為 (A) 5 (B) 8 (C) 6 (D) - ( B ) 5. 設 f ( ) 在 與 處均有相對極值, 求 (A) 5 (B) (C) 6 (D) 5 - ( A ) 6. 討論 f ( ) 圖形的凹口向上區間為 (A) (, ) (B) (, ) (C) (, ) (D) (, ) - ( B ) 7. 承上題, 凹口向下區間為 (A) (, ) (B) (, ) (C) (,) (D) (,) ( C ) 8. 求函數 f( ) 9 7圖形的反曲點為 (A) (, 7) (B) (,9) (C) (,) (D) (,) - - ( A ) 9. 設 為實數, 若函數 f( ) 圖形之反曲點為 (, ), 求 的值為 (A) 6 (B) (C) (D) -

51 微積分及其應用 -5 ( A ). 求不定積分 d (A) c (B) c (C) c (D) c -5 ( B ). 求不定積分 ( )() d (A) 6 c (B) c (C) c (D) 6 c -5 ( C ). 已知 f( ) d 6, f( ) d 8, gd ( ), gd ( ) 5, 求 [6 f ( ) g ( )] d (A) (B) (C) (D) 5-5 ( C ). 設函數 f ( ) 的圖形如右, 求 (A) (B) 5 f ( d ) 之值 (C) (D) 7-5 ( D ) 5. 求 ( ) d (A) 8 (B) (C) (D) -6 ( B ) 6. 求 ( )( ) d (A) (B) (C) (D) 5-6 ( D ) 7. 求 d (A) (B) (C) 5 (D) ( D ) 8. 求 d (A) (B) (C) 5 (D) 6-6 ( A ) 9. 求 ( ) d (A) 6 (B) (C) 8 (D) -6 ( D ). 求 d 之值 (A) (B) (C) (D) -6 ( B ). 求 ( ) d (A) (B) 7 (C) 9 (D) -6 ( C ). 求 d (A) (B) (C) 5 (D) 6-6 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 ( D ). 求 6 ( ) d (A) (B) (C) 7 (D) 9-6 ( A ). 求 d (A) (B) (C) (D) 6-6 9

52 -5 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 ( B ) 5. 求直線 y 與 軸及二垂直線, (B) (C) (D) 5 所圍區域的面積為 (A) 平方單位 -6 ( A ) 6. 求曲線 y ( ) 與 軸及, 所圍的區域面積為 (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 平方單位 -6 ( B ) 7. 求曲線 y 與直線 y 所圍區域面積為 (A) (D) 6 (B) (C) 5 平方單位 -6 ( D ) 8. 求兩拋物線 y 與 y 8 所圍成的區域面積為 (A) 6 (B) (C) 5 (D) 6 平方單位 -6 ( A ) 9. 求曲線 y, 直線 5 與 軸所圍成的封閉區域面積為 (A) 6 (B) 9 (C) (D) 5-6 ( C ). 已知 y f( ) 與直線 L 相交於 (,) (,5) 兩點, 如圖, 若斜線部分的面積為 9, 則 f ( d ) (A) 9 (B) (C) (D) 6-6

53 微積分及其應用 -5 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 第三章微積分及其應用 ( D ). 求 lim 之值為 (A) 不存在 (B) (C) (D) - ( A ). 求 lim (A) ( B ). 求極限 lim (B) (C) (D) - (A) (B) (C) (D)6 - ( C ). lim (A) (B) (C) (D) - 5 ( ) ( C ) 5. lim 之值為 (A) (B) (C) (D) - ( ) ( D ) 6. 求 lim (A) (B) (C) (D) - 9 ( B ) 7. 關於下列各極限, 何者正確? (A) lim (B) lim 5 5. (C) lim (D) lim - 5, ( C ) 8. 設 f ( ), 則下列敘述何者不正確? (A) f '(), (B) lim f ( ) (C) f () 為連續函數 (D) f ''() - + ( B ) 9. 已知 f( ) 5 C (B) (C) si, ( B ). 若 f ( ), 則 lim f ( ), ( B ). 8 5 lim 5 7 ( C ). 求 lim 之值為 (A) ,, 若 f 在 處連續, 則 C (A) 8, (D) - (A) (B) (C) (D) - 等於 (A) (B) (C) (D) - (B) (C) 5 (D) ( B ). lim 之值為 (A) (B) (C) (D) 不存在 -

54 -5 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 第三章微積分及其應用 ( C ). lim ( D ) 5. lim 5 (A) (B) 8 8 (C) (D) 之值為 (A) 不存在 (B) (C)8 (D) ( C ) 6. 設 f '( ) 為 f () 的導函數, 若 f ( ), 則 f '() f '( ) (A) (B) (C) (D) - ( D ) 7. R, 設 f ( ), 則下列敘述何者正確? (A) f '() (B) f '( ) (C) f '( ) 為連續函數 (D) f '() - ( B ) 8. 若 lim 7, 則 之值為 (A) (B)7 (C) (D) - ( A ) 9. 下列敘述何者正確? (A) f ( ) f '( ) (B) f ( ). f '( ) (C) f ( ) f '( ) (D) f ( ) f '( ) - ( B ). 關於函數的導函數, 下列何者正確? (A) f( ) (5)(6 7), 則 f '( ) 7 7 (B) f ( ), 則 f '( ) (C) f( ) ( 5), 則 f '( ) ( 5) (D) f( ), 則 f '( ) - ( B ). 設函數 ( ) f, 則 f 之導數 f '( ) (A) (B) (C) (D) - ( D ). 設 f ''( ) 表函數 f () 的二階導函數, 試問若 f ( ), 則 f ''() (A) (B) (C) (D)6 - ( B ). 若 f ( ) ( )( 5), 則 f '() (A)5 (B) (C) (D) 5 -

55 微積分及其應用 -55 第三章微積分及其應用 ( C ). 若 f ( ), 則導數 f '() 之值等於 (A) (B) (C) 9 (D) 6 ( A ) 5. 設 f ( ), 則 f () 在 處的導數 f '() (A) 7 (B) - (C) (D) ( C ) 6. 已知 f ( ), 則 f '() 之值為 (A) (B) (C) (D) ( C ) 7. 設函數 y f () 的圖形為過 (,) 與 (,) 兩點之直線, 函數 y g() 的圖形 為過 (,) 與 (,) 兩點之直線, 若 u( ) f ( ) g( ), 則 u () 在 的導數 u '()? (A) (B). 5 (C).5 (D) - ( B ) 8. 設 與 為實數, 且 f '( ) 與 g '( ) 分別表示 f () 與 g () 的導函數, 若 f ( ) 與 g ( ) 滿足 f ( ) g() 及 f '() g' (), 則? (A) (B) (C) (D)5 - ( )( )( ) ( D ) 9. 設 f ( ), 則 f '() (A) (B) (C) (D) ( )( 5) 6 ( )( ) ( A ). 若 f( ) 5, 則 f '() (A) (B) (C) (D) 5 - ( D ). 若 ( ) f ( ) f () f, 則 lim 之值為 (A) (B) (C) (D) - f( ) f() ( D ). 設 f( ) ( ), 求 lim (A)6 (B)8 (C)9 (D) - ( D ). 若 f( ) ( ) 5, 且 '( ) f 為 f ( ) 的一階導函數, 則 lim f '( ) f '() (A) (B) (C)5 (D) - f ( h) f () ( C ). 若 f ( ) 5, 則 lim (A)5 (B) (C) h h (D) -

56 -56 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 第三章微積分及其應用 ( A ) 5. 已知多項式 f( ) ( ), 求 lim h f ( h) f() h 之值為 (A) (B) (C) (D) - ( B ) 6. 設 f '( ) 為函數 f ( ) 的導函數, 若 f '( ), 則 lim f( ) f() (A) (B) (C) (D) - ( A ) 7. 設 f ''( ) 為函數 f ( ) 的二階導函數, 若 f( ) ( )( )( ), 則 f ''( ) 之解為何? (A) (B) 5 (C) 6 (D)9 - ( A ) 8. y f ( ) 在點 (,6) 之切線斜率為 (A) (B)9 (C)6 (D) ( D ) 9. 設一曲線 f ( ), 則 f () 在點 (,) 上之切線斜率為 (A) (B) (C) (D) - ( C ). 下列各曲線中, 何者在 處的切線斜率為? (A) y ( ) 7 (B) y ()( ) (C) y (D) y ( ) - ( A ). 曲線 y 在點 (, ) 處的切線方程式為 (A) y (B) y (C) y (D) y - ( B ). 設函數 f ( ), 則在 f () 之圖形上以 (, ) 為切點的切線方程式為 (A) 6y (B) 5 y (C) y (D) 5 y - ( C ). 設 f ( ), 其中 為實數, 若 P (,) 為此函數圖形上一點, 則以 P 為切點的切線方程式為何? (A) y (B) y 8 (C) y (D) y - - ( C ). 設 f( ), 則下列哪一個方程式為 f ( ) 圖形的切線方程式? (A) y5 (B) y (C) y 5 (D) y 8 - ( D ) 5. 若 f( ) 9 的相對極大值為 M, 相對極小值為 m, 則 M m (A) (B)5 (C)7 (D) -

57 微積分及其應用 -57 第三章微積分及應用 ( C ) 6. 設 f ( ) 6 9, 則下列何者錯誤? (A) f ( ) 在 處有反曲點 (B) f ( ) 在開區間 (, ) 之圖形為遞減 (C) f () 為相對極小值 (D) f ( ) 在開區間 (,) 之圖形為上凹 - ( A ) 7. 設 f ( ), 下列各敘述何者正確? (A) 時, 有極大值 (B) 時, 有極小值 (C) 時, 有極大值 (D) 時, 有極小值 - ( C ) 8. 若 f ( ), 且 [,] 有一最大值 L, 及最小值 m, 則 L m之值為 (A)5 (B)9 (C) (D) 9 - ( B ) 9. 若函數 f( ) 5在 與 處均有相對極值, 則 (A) (B)9 (C)8 (D)7 - ( C ) 5. 設 R, 函數 f ( ) 在 與 均有相對極值, 則 (A) (B) (C) (D)6 - ( D ) 5. 已知 為實數, f ( ) ( ), 若 () f 且 f '() 6, 則 (A) (B) (C) (D)5 - ( D ) 5. 設 R, 函數 f ( ) c d 在 處有極大值, 而 (,) 為函數 f ( ) 的反曲點, 則 cd (A) (B) (C) (D) - ( A ) 5. 設 為實數, 若函數 f( ) 6之圖形的反曲點為 (, ), 則 (A) (B)5 (C)9 (D) -

58 -58 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 為增廣教學, 非信樺版教科書之題型 第三章微積分及應用 ( D ). 設 f ( ) 在 [, ] 上為一連續函數, 其中, 則下列敘述何者錯誤? (A) f ( d ) f( d ) (B) kf( d ) k f( d ), 其中 k 為任意常數 c (C) 若 c, 則 f ( d ) f( d ) f( d ) c (D) d, 其中 為任意常數 -5 ( B ). 已知 f ( d ), f( ) d, gd ( ), gd ( ) 5, 試求 ( f ( ) g ( )) d (A) (B)5 (C)7 (D) -5 ( C ). 已知 f ( ) d, f ( ) d 5, g ( ) d, g ( ) d, 則 [ f ( ) g( )] d (A) (B)6 (C)9 (D) -5 ( C ). 已知 f ( ) d 6, ( ) gd, ( ) hd, 且 ( ( ) ( )) mf g d, ( mg( ) h( )) d 5, 則 6m 8 (A)6 (B)8 (C) (D) -5 ( D ) 5. 函數 f ( ) 的圖形如圖所示, 則 f ( d ) 之值等於 (A) (B) 5 (C) (D) 7-5 ( A ) 6. 求定積分 ( ) d 的值為 (A) (B) (C) (D) -6 5 ( C ) 7. d 之值為 (A) (B) (C) ( D ) 8. 求 ( ) d (A) 97 (B) 9 (C) ( A ) 9. 求定積分 ( ) d (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 5-6 (D) (D) -6 ( C ). 求定積分 d 之值為 (C) (D) -6 ( B ). 9 d (A) (B) (C)6 (D)8-6 7 ( D ). 試求 d (A) (B)6 (C)8 (D) -6

59 微積分及其應用 -59 第三章微積分及其應用 ( D ). d 的值等於 (A) ( B ). ( ) d 之值為 (A) (B) 5 (B) (C) 5 58 (C) (D) -6 5 (D) -6 5 ( D ) 5. ( ) d 之值為 (A) 7 (B)8 (C) (D) 8-6 ( C ) 6. 定積分 d 等於 (A) 9 ( A ) 7. 定積分 d 等於 (A) (B) ( B ) 8. 定積分 d 的值等於 (A) 6 ( A ) 9. d (A) (B) 5 (B) 7 (C) (D) -6 (B) 6 (C) (D) -6 5 (C)9 (D) -6 (C)8 (D) -6 8 ( A ). 試求定積分 d = (A) (B) (C) (D) ( A ). 定積分 ( ) d 的值等於 (A) ( A ). 定積分 d 等於 (A) (B) 5 8 (B) (C) 6 ( A ). 設 f ( ), 且 f ''( ) 為 f ( ) 的二階導函數, 則 (A) (B) (C) 7 (C) 7 8 (D) 7-6 (D) f ''( d ) (D) -6 ( D ). 平面上曲線 y 與直線 y 所圍區域的面積為何? (A) (B) (C) (D) -6 ( D ) 5. 函數 f ( ) 的圖形與 軸在區間 [,] 所圍區域面積為何? (A) (B) (C) (D) -6 9 ( B ) 6. 曲線 y 與直線 y 所圍區域的面積為 (A)5 (B) (C) (D) 7-6

60 -6 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 第三章微積分及應用 ( A ) 7. 在坐標平面上由拋物線 y ( ) 與 軸所圍成的區域面積為何? 8 (A) (B) (C) (D) -6 ( D ) 8. 若 S 為拋物線 y 5與 軸所圍成的封閉區域, 則 S 的面積為何? (A) (B)7 (C) (D)6-6 ( B ) 9. 拋物線 y 與直線 y 所圍區域面積為何? (A) (B) (C) (D) -6 ( B ). 求圖中斜線部分之面積為何? (A) (B) 5 6 (C) (D) -6 ( C ). 已知 y f( ) 與 y 相交於 (,) (6,) 兩點, 如右圖, 6 若陰影部分的面積為, 且 6 f( ) d, 則 f ( d ) (A)7 (B)8 (C)9 (D) -6