第1題：答案D

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鞍谷
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1 第一部分 : 選擇題壹單選題 () ( 以 7 為底的指數函數為一個增函數, 所以 7 x + 最小而 ( x + 的最小值為, 故 7 x + ) ) 最小的充要條件為 x 的最小值為 () E 由已知的條件知道 90 局的 ERA 值為., 即 9., 可以求出這位投手 90 之前 90 局的總失分為分今又投了無失分的 6 局, 故新的 ERA 值為 ERA () 內圈的周長為 0 π 60π, 外圈的周長為 0 π 0π, 所以甲乙的速率比 V甲 : V 乙 60 : 00 : 所以, 在甲走了公尺的同時, 乙跑了 0 () 因為第一碼為 A, 最後一碼為, 所以我們只需排列第二碼的英文數字及第三四五碼的數字就這個原則, 可以分為兩類 :. 倒數第二碼為 : 因為第二碼不能為 O, 所以有個選擇第三碼沒有限制, 有個選 97 數學 -

2 擇, 此時第四碼不能為, 故剩 9 個選擇故這類的排號有 9. 倒數第二碼不為 : 因為第二碼不能為 O, 所以有個選擇第三碼沒有限制, 第四碼也沒有限制, 都有個選擇, 第五碼為, 只有個選擇故這類的排號有將兩類相加共有 990 () 作圖如右 : 假設小明原來的位置為, D 紅旗插在 B 點, 白旗插在 A 點向北 x x 公尺之後停在 D 點在 A 點, 假設 A t, B 6t, AD x, B D x x t 0 依題意可以列出式子, 解出 t, 所以 AB 公尺 6x 6t 0 A t 6t B , 最接近 60 貳多選題 6 ()()() 要讓圖形恆在 x 軸的上方的充要條件為函數值恆正 () y x + 0 的值不恆正 ; () y x +, 恆正故圖形恆在 x 軸的上方 ; () 因為 sin x + sin x, 恆正 ; x () x R, > 0, 恆正 ; () 常用對數的值域為整個實數集合, 故不恆正評註 : 本題也可圖解, 各函數圖示如下 : 97 數學 -

3 y x +0 y x + y + sin x (0,0) (0,0) O O (0,) x y y log x ()()() () 有可能抽出的 80 人全部來自校內某四個五個或六個班級所以不見得每班必有人被抽出 ; () 男生被抽出的機率 8 大於女生被抽出的機率, 但因為女生總數佔總學生 8 數的, 實際上有 00 人超過抽出學生人數一半, 所以有可能抽出的 8 女生人數超過所有被抽出人數的半數, 反而多於男生被抽出的人數 () 男生被抽出的機率大於女生被抽出的機率, 所以小文被抽出的機率應大於小美被抽出的機率 () 甲乙被同時抽出的機率為 800, 甲丙同時被抽出的機率也是 800, 所以, 甲乙兩人同時被抽中的機率跟甲丙兩人同時被抽中的機率一樣 () A B 同時被抽出的機率為 < 評註 : 這是一個用直觀就可以解決的問題, 如果向透過求出各種狀況的機率 0 97 數學 -

4 作判斷, 反而會讓問題變得複雜例如 : 在 () 中真的實際求出每班至少有一人被抽出的機率 : ( L ), 也並不容易計算出他實際的值或近似值以作為解題判斷的依據 8 ()() () a a + d, 如果 a <, 表示 > 0, 此時應 a < a () b b r, 如果 b b < 0 b b b b r b < b d a 且 <, 表示 r < 0, 此時 b < 0, b > 0, 而 0 此時 b > 即在 b < 0 及 r < 0 同時成立時, b < b 與 b > b 同時成立 () 舉一個反例 : ( a a, a ) (,0,) 就可以得到 a + a 0 且 a + a 0, < b b > () b < 0 表示 b 與 b 異號, 此時公比為負, 所以與 b 也異號 () 舉一個反例 : ( b b, b ) (,6,9), 其中不整除 6, 9 ()()() () 因為 n A n B, 所以, PA + PB log( n A nb ) log PA () 當 PA 時, PB 的值也是所以 B 菌的個數與 A 菌的個數相同 () 假設上週一 A 菌數目為 x, 週五 A 菌的數目為 y, 則 log x 且 log y 8 y log y log x log y x, 即週五 A 菌的數目為週一 A 菌數 x 目的倍 () P A + log( n A ) + log( n A ) + log log( n A ), 表示, 菌數增加為倍 () 因為 0000 n A + log + log n A PA 6 log, 在與之間 97 數學 -

5 ()()()()() 先將 g( x) x + x 作因式分解, 得到 g( x) ( x )( x + x + ), () 因為 ( x + x + ) 0 沒有實根, 所以 x 為 g ( x) 0的唯一的實根 () 若 f (x) 與 g(x) 的公因式為 ( x + x + ), 則不能保證 f ( x) 0 必有實根 () 若 f (x) 0 與 g ( x) 0 有共同實根, 又因為 x 為 g( x) 0 的唯一的實根, 所以, x 也是 f ( x) 0 與 g ( x) 0有共同實根 () 與 () 相同的論證, f (x) 與 g(x) 的最高公因式為一次式 () 因為沒有共同實根, 但是次數大於 0 的公因式, 所以此公因式必為 ( x + x + ) ()()()() () 與 L 都過點 ( 0,, ) 但不平行, 所以交於點 L () 與 L 有相同的方向向量, 但沒有交點 ( 將 (,t,t ) 代入 L 無解 ), 所以 L t 平行 v v v () 向量 QP ( 0,, ), 因為 QP (..) 0, 所以 QP 不垂直兩直線的方向向量故點 P( 0,, ) 與 Q (0,0,0) 的距離不為 P 到 L 的距離 () 直線 L 的方向向量為 ( 0,, ), 與及 L 的方向向量的內積均為 0, 所以與及 L 均垂直 L L () 因為與相交, 所以與共面又與平行, 所以與 L 共面, L L L L L L L 若 L 與再相交, 可宣稱三條直線共平面以 L 的參數式 (,t,t ) 代入 L 的方程式, 求得交點為 (,,), 故三線共面 L t 97 數學 -

6 ()()() 將方程式配方得 ( x ) + y () 圓心的座標為 (,0) () 因為圓心在直線 L : x + y 0 上所以, 圓上的點到 L : x + y 0 的最遠的距離恰為圓的半徑 () + (0) + () 圓心 (,0) 到直線 L : x + y + 0 的距離為 6, 所以兩圖形不相切 () 直線 L : x + y 0 到圓心的距離為 () + (0), 它與 Г 交於兩點, 在 Г (,0) 上有兩個點與 L : x + y 0 的距離為 ( 如右上圖 ) - () 直線 L : x + y 0 到圓心的距離為 () + (0), 它與 Г 交於兩點, 在 Г 上有三個點與 L : x + y 0 的距離為 ( 如右下圖 ) 第二部分 : 選填題 A ( 7,0,8) 本題中, 我們以粗體英文字母表示向量令座標的圓點為 O, 因為 DA DB + D 0, 所以 ( OA OD ) ( OB OD ) + ( O OD ) 0 將 OD 化為 OA OB O 的線性組合 : OD OA OB + O (,6,0) (,, ) + (,,) ( 7,0,8), 即 D 的座標為 ( 7,0,8) 97 數學 -6

7 B (,),(,0) 假設 A 的座標為 ( t,t ),B 的座標為 (s,0) 由題意 t + s 7 且 t, 故 s, 即 A 的座標為 (,),B 的座標為 (,0) B 如右圖 : 因為 ΔOAB 的面積為 OA OBsinθ, θ θ O A 所以 sin θ ; cos θ Δ OA 的面積為 - OA OBsin θ sinθ cosθ D (,0) 由雙曲線的光學性質知過 P 點的切線, 即為 P F PF 的切線過點 P 的切線為 F y F + y x + y + 0, 其與 X 軸的 D 8 交點為 (,0) - 97 數學 -7

8 E (,,9) 根據題意, 若 x + by + cz d 將長方體切成一個正方體及一個長方體, 則這個平面必平行於平 v 面 OB 選向量 OD 作為它的法向量, 其方程式為 ( x ) ( y + ) + ( z ) 0 x y + z 9, 所以 ( b, c, d) (,,9) ) Α(,-6,6) 9 D(,-,) Ο (,-,-) Β(,,) F 由 b 9a 及 a + b > 80 得 b + 8b > 0 ( b + 9) > 60, 這表示 ( b + 9), 即 b 因為 b 9a, 所以 a 最小的充要條件為 b 最小又因為 b 9a 知道 9a 是一個平方數, 而大於又是的倍數的最小的平方數為故 b 的最小值為, 所以 a 的最小值為 G (, ) v 因為向量 u (, ) 及 v (,) 的長度相等, 所以這兩個向量的平分線的的方向向量平行這兩個向量的和即 w v 平行於 u v (, ) 及 v (,) 的和 (,), 又因為選填的答案要求 w v 向量的座標為, 故 w v 的座標為 (, ) 97 數學 -8

9 H (, ) 如右圖 :A 為兩圓的切點, O 及 O 都在 Β Ο 拋物線上, 且 O A O O A OB, Α 根據拋物線的定義, 可知 A 即為拋物線的交點 A 即為線段 O O 的一個內分點, 切內分比為兩圓的半徑比 O 所以 + O A (, ) Ο - 97 數學 -9

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s