76 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月 H G O 共線例. 以直角三角形的每邊為邊向外作正方形, 則連結直角邊上正方形中心的線段和連結斜邊上的正方形中心與直角頂點的線段互相

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靡毓岑
7 years ago
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1 用解析法解決平面幾何問題優勢多多胡紹宗平面解析幾何是中學數學課程的重要組成部分, 它是以坐標系為工具, 用代數方法研究平面幾何圖形, 它不僅是聯繫中學數學各部分知識的紐帶, 也是進一步學習高等數學和力學等不可缺少的工具本文擬簡介如何運用平面解析幾何知識簡捷的解決平面幾何中的問題為了實現這一願望, 關鍵是首先要建立適當的坐標系, 選取坐標系的一般原則是 : 點得到簡化 (1) 選取圖形中的一個點作為原點, 該點坐標即 (0, 0) () 選取圖形中的一條直線作為 x 軸或 y 軸, 該線上的點的縱坐標或橫坐標就是 0 () 若圖形中有兩條互相垂直的線段, 則應將這兩條線段所在的直線選為坐標軸 (4) 若圖形是軸對稱, 則應選擇對稱軸為坐標軸 ; 若圖形中心對稱, 則應選擇對稱中心為原選擇坐標系時, 應根據具體圖形的特點, 目的是使有關點的坐標盡量簡單, 從而可使運算例 1. 證明三角形的垂心, 重心, 外心在同一直線上圖 1 證 : 取 ABC 的邊 BC 所在直線為 x 軸, 邊 BC 上的高所在直線為 y 軸, 建立如圖 1 所示的直角坐標系先分別求出垂心 H 重心 G 外心 O 的坐標設 A(0, ) B(, 0) C(c, 0), 則 k AB =, 因而 k CH =, 於是 CH 的方程為 y = (x c) y = (x c) 可求出垂心 H(0, c x = 0 ) A B C 的坐標可得重心 G( 0++c, +0+0 ), 即 ( +c, ) 設 O(x 0, y 0 ), 則 (x 0 0) +(y 0 ) = (x 0 ) +(y 0 0) = (x 0 c) +(y 0 0), 解得 x 0 = +c, y 0 = c+, 即 O( +c, c+ ), 於是 k HG = +c (+c) = k GO, 75

取圖形中的一條直線作為 x 軸或 y 軸, 該線上的點的縱坐標或橫坐標就是 0 () 若圖形中有兩條互相垂直的線段, 則應將這兩條線段所在的直線選為坐標軸 (4) 若圖形是軸對稱, 則應選擇對稱軸為坐標軸 ; 若圖形中心對稱, 則應選擇

2 76 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月 H G O 共線例. 以直角三角形的每邊為邊向外作正方形, 則連結直角邊上正方形中心的線段和連結斜邊上的正方形中心與直角頂點的線段互相垂直且相等圖證 : 取 R t ABC 的兩直角邊所在直線為坐標軸, 建立如圖所示的直角坐標系設 G H M 分別是以 AC AB BC 為邊的正方形中心, 則 G(, ) H( c, c ), k GA = k AH = 1, 知 G A H 三點共線作 DE x 軸, 則 Rt ABC = Rt EDB, 因而 D( + c, c), 又 C(0, ), 中點坐標公式, 得 M( +c, +c ), 於是 k AM = 1, 而 k GH = 1, AM GH 兩點間距離公式, 得 AM = GH = ( + c) 例. 若 CEDF 是一個已知圓的內接矩形, 過 D 作該圓的切線與 CE 的延長線相交於點 A, 與 CF 的延長線相交於點 B, 則 BF AE = BC AC 證 : 取矩形的兩鄰邊 CF CE 所在直線分別作 x 軸與 y 軸, 建立如圖所示的直角坐標系設 D(, ), 則 E(0, ) F(, 0), k OD =, 得 k AB =, 則 AB 的方程為 y = (x ). 於是圖 x = 0 y = 0 BF + AE = + = BC + AC = = + y = (x ) y = (x ), 得 A(0, + ), 得 B( +, 0)

以 AC AB BC 為邊的正方形中心, 則 G(, ) H( c, c ), k GA = k AH = 1, 知 G A H 三點共線作 DE x 軸, 則 Rt ABC = Rt EDB, 因而 D( + c, c), 又 C(0, ), 中點坐標公式, 得 M( +c, +c ), 於是 k AM = 1, 而 k GH = 1, AM GH 兩點

3 用解析法解決平面幾何問題優勢多多 77 BF AE = BC AC. 例 4. 在 ABC 中, AB = AC, 高 AD BE 相交於 K, EF BC, 延長 AD 到 G, 使 DG = EF, L 為 AK 的中點, 求證 : BG BL 圖 4 證 : 取 ABC 的邊 BC 所在直線為 x 軸, 過頂點 A 的對稱軸為 y 軸, 建立如圖 4 所示的直角坐標系設 C(, 0), B(, 0), A(0, ), 則 AC 的方程為 y = (x ) BE 的方程為 y = (x + ) y = (x ) y = (x + ), 解得 E( 而 G(0, ), k + BG = + y = (x + ), 解得 K(0, x = 0 ), ), 從 + + 中點坐標公式, 得 L(0, + ), k BL = +, k BG k BL = 1, BG BL 例 5. 圓 O 內一定點 A, 過 A 任作兩條互相垂直的弦, 求證這兩弦長的平方和為定值證法 1: 取圓心 O 為原點, 建立如圖 5 所示的直角坐標系不失一般性, 定點 A 選在 x 軸上, 設 A(x 0, 0), 並設圓的方程為 x + y = r 當兩弦的斜率存在且不為 0 時, 弦 PAQ 的方程為 y = k(x x 0 )... 1 弦 RAS 的方程為 y = 1(x x k 0) 將 1 代入圓的方程, 得 (1 + k )x k x 0 x + k x 0 r = 0... 圖 5 設 P(x 1, y 1 ) Q(x, y ), x 1 x 是方程的兩個實根, 則韋達定理, x 1 + x = k x 0 1+k, x 1 x = k x 0 r 1+k 於是 PQ = (x 1 x ) + (y 1 y ) = (x 1 x ) + [k(x 1 x 0 ) k(x x 0 )] = (x 1 x ) + k (x 1 x ) = (x 1 x ) (1 + k )

), 則 AC 的方程為 y = (x ) BE 的方程為 y = (x + ) y = (x ) y = (x + ), 解得 E( 而 G(0, ), k + BG = + y = (x + ), 解得 K(0, x = 0 ), ), 從 + + 中點坐標公式, 得 L(0, + ), k BL = +, k BG k BL = 1, BG BL 例 5.

4 78 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月同樣可求 RS = 4(r +r k x 0 ) 1+k = [(x 1 + x ) 4x 1 x ](1 + k ) = ( k ) x 0 4 k x 0 r (1 + k ) = 4(r + r k k x 0 ). 1 + k 1 + k 1 + k PQ + RS = 4(r x 0 ) ( 定值 ) 當 k 不存在時, RS 位於 x 軸上, 當 k = 0 時, 同理可證 PQ + RS = 4(r x 0 ) + (r) = 4(r x 0 ). π 證法 : 用參數方程求證於兩弦垂直, 故傾角相差為設兩垂直弦的參數方程分別為 x = x 0 + t cosθ (t 為參數, θ 為傾角 ) y = t sin θ x = x 0 + t cos(θ + π ) = x 0 t sin θ y = t sin(θ + π) = t cosθ 分別代入圓的方程, 得 t + x 0 t cosθ + x 0 r = t + x 0 t sin θ + x 0 r = 0... 設方程 1 的兩根為 t 1 t, 方程的兩根為 t t 4, 則韋達定理, t 1 + t = x 0 cosθ, t + t 4 = x 0 sin θ, t 1 t = x 0 r t t 4 = x 0 r 於是 PQ + RS = t 1 t + t t 4 = (t 1 + t ) 4t 1 t + (t + t 4 ) 4t t 4 = ( x 0 cosθ) 4(x 0 r ) + (x 0 sin θ) 4(x 0 r ) = 4(r x 0 ). 例 6. 已知扇形 OAB 中, 頂角 AOB = α (0 < α < π ), 半徑為 r, P 是點, 過 P 作 OB 的平行線交 OA 於點 Q, 求 OPQ 面積的最大值 { { AB 上的動

π 證法 : 用參數方程求證於兩弦垂直, 故傾角相差為設兩垂直弦的參數方程分別為 x = x 0 + t cosθ (t 為參數, θ 為傾角 ) y = t sin θ x = x 0 + t cos(θ + π ) = x 0 t sin θ y = t sin(θ + π) = t cosθ 分別代入圓的方

5 用解析法解決平面幾何問題優勢多多 79 解法 1: 取扇形頂點 O 為原點, OB 所在直線為 x 軸, 建立如圖 6 所示的直角坐標系弧 AB 的參數方程為 x = r cosθ 0 θ α y = r sin θ 圖 6 P(r cosθ, r sin θ), A(r cos α, r sin α), 直線 OA 的方程為 y = x tn α, 直線 QP 的方程為 y = r sin θ y = x tn α y = r sin θ, 得 Q( r sin θ, r sin θ). tn α 於是 S OPQ = 1 OQ OP sin(α θ) = r r sin θ tn α + r sin θ sin(α θ) = r sin θ 1 + tn α sin(α θ) tnα = r sin θ sin(α θ) sin α = r [cos(θ α) cosα]. 4 sin α 當 cos(θ α) = 1, 即 θ = α 時, S 最大 = r (1 cos α) = r tn α 4sin α 4 解法 : 用極線坐標法求解以 O 為極, OB 為極線軸, 建立極線坐標系 ( 參考圖 6) { { AB 的方程為 ρ = r, 直線 OA 的方程為 θ = α, P(r, θ), Q(ρ, α), 則 ρ sin α = r sin θ, ρ = r sinθ sinα 於是 S OPQ = 1 r ρr sin(α θ) = sin θ sin(α θ) sin α 當 θ = α 時, S 最大 = r tn α 4 = r [cos(θ α) cosα] 4 sin α 例 7. 已知半圓 O 的直徑 AB, AC AB, 且 AC = 1 AB, BD AB, 且 BD = AB, P 為半圓上一點, 求封閉圖形 ABDPC 面積的最大值

tn α 於是 S OPQ = 1 OQ OP sin(α θ) = r r sin θ tn α + r sin θ sin(α θ) = r sin θ 1 + tn α sin(α θ) tnα = r sin θ sin(α θ) sin α = r [cos(θ α) cosα].

6 80 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月於是圖 7 解法 1: 取半圓直徑 AB 中點 O 為原點, AB 所在直線為 x 軸, 建立如圖 7 所示的直角坐標系因為梯形 ABCD 面積一定, 所以求封閉圖形 ABDPC 面積的最大值, 就是求 DPC 面積的最小值若 P 距離 CD 最近, 則 DPC 面積最小, 因此可利用作切線求切點的方法求最值設半圓的方程為 x + y = r (y 0), A( r, 0) B(r, 0) C( r, r) D(r, r) 設 P(x 0, y 0 ), 當 P 點是平行於 CD 的圓的切線的切點時, S DPC 取得最小值 k CD = r r = 1, 可設切線方程為 y = x + r+r x + y = r, 得 x + x + r = 0 y = x + = () 4 ( r ) = 0, = ± r ( 捨去負值 ) x + y = r y = x + r, 得 P( r, r) S DPC 最小值 = 1 r r 1 r r 1 r r 1 = ( )r 的絕對值 S ABDPC 最大值 = 4r ( )r = ( + )r. 解法 : 半圓的參數方程為 x = r cos θ y = r sin θ (0 θ π) 設 P(r cos θ, r sin θ), 則 S DPC = 1 r cos θ r sin θ 1 r r 1 r r 1 = ( + cosθ sin θ)r 的絕對值

得最小值 k CD = r r = 1, 可設切線方程為 y = x + r+r x + y = r, 得 x + x + r = 0 y = x + = () 4 ( r ) = 0, = ± r ( 捨去負值 ) x + y = r y = x + r, 得 P( r, r) S DPC 最小值 = 1 r r 1 r r 1 r r 1 = (

7 = [ + ( 1 cosθ 1 )] sin θ = [ + cos(θ + 45 )]r 當 θ + 45 = 180, 即 θ = 15 時, S DPC 取得最小值 S DPC 最小 = ( )r. S ABDPC 最大 = 4r ( )r = ( + )r. 解法 : 設 P(x 0, y 0 ), 則過 P 點的切線方程為用解析法解決平面幾何問題優勢多多 81 r x 0 x + y 0 y = r, x 0 x + y 0 y r = 平行於直線 CD 的圓的切線方程為 y = kx ± k + 1r ( 捨去負值 ), 解法 1, 知這裡 k = 1, 即 x y + r = 0... 於 1 表示同一條直線, 故有 x 0 = r y 0 = r. ( 以下同解法 1) x 0 1 = y 0 1 = r r 例 8. 在半圓 O 中, 定點 A 在直徑 EF 的延長線上, B 點在半圓周上運動以 AB 為一邊作正三角形 ABC, 問 B 在何處時, O C 兩點的距離最遠, 並求出最遠距離圖 8 解法 1: 取 EF 的中點 O 為原點, EF 所在直線為 x 軸, 建立如圖 8 所示的直角坐標系於 C 是動點, 故可求出 C 點的軌跡, 再利用 C 點的軌跡方程, 求 O C 兩點的最遠距離設定圓半徑 OE = r, OA =, BAO = α, B(x 1, y 1 ), C(x, y ) 則有 x 1 + y 1 = r, B A = x 1 x 1 = B A = AB cosα, y 1 = AB sin α

.. 1 平行於直線 CD 的圓的切線方程為 y = kx ± k + 1r ( 捨去負值 ), 解法 1, 知這裡 k = 1, 即 x y + r = 0... 於 1 表示同一條直線, 故有 x 0 = r y 0 = r. ( 以下同解法 1) x 0 1 = y 0 1 = r r 例 8.

8 8 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月 AB = BC = AC x = AC cos(α + 60 ) = AC cosα cos 60 AC sinαsin 60 = 1 AB cosα AB sinα = 1 ( x 1) y 1. 此可得 x = x 1 + y x 1 = AB cosα = AC cosα = CC cosα sin(α + 60 ) y cosα = 1 sin α + cosα = y cosα 1 y 1 + cosα AB y cosα = 1 + cosα = y 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 cos α = y ( x 1 ) y 1 + ( x 1 ) 兩邊除以 x 1, 得 1 = y y 1 + ( x 1 ) y = 1 + 及 x 1 + y1 = r, 得 ( x ) ( ) + y = r x 1 y 1... 因此動點 C 的軌跡是以 O 1 (, ) 為圓心, 半徑為 r 的圓當動點 C 在連心線 OO 1 上時, 動點 C 與 O 點的距離最遠, 且最遠距離為 OC = OO 1 + O 1 C = ( 下面求當 C 點離 O 最遠時 B 點的位置 : 設 O 1 OA = β, 則 tn β = = 1, β = 60 x = OC cos60 = 1 ( + r) C 點坐標為 y = OC sin60 = ( + r) ) ( ) + + r = + r.

1 ) 兩邊除以 x 1, 得 1 = y y 1 + ( x 1 ) y = 1 + 及 x 1 + y1 = r, 得 ( x ) ( ) + y = r x 1 y 1.

9 用解析法解決平面幾何問題優勢多多 8 於是 AB = AC = [ 1 ( + r)] + [O ( + r)] = + r + r cos BOA = OB + OA AB OB OA BOA = 10 = r + ( + r + r) r = 1 為解法 : 利用半圓的參數方程, 解 OAC, 得到 OC 的三角函數表達式, 再求最值設 OB = OE = OF = r, OA =, 則半圓的參數方程 x = r cosθ (0 θ π) y = r sin θ 再設 BAO = α, B(r cosθ, r sin θ), 則有 AB = OB + OA OB OA cosθ = r + r cos θ OC = AC + OA AC OA cos(α + 60 ) = AC + AC (cosαcos 60 sin α sin 60 ) ( ) 1 = AB + AB cosα AB sin α [ ] 1 = r + r cosθ + ( r cosθ) r sin θ = r + r cos θ + r sin θ ( ) 1 = r + r cosθ sin θ = r + r cos(θ + 60 ) 因此, 當 cos(θ + 60 ) = 1, 即 θ = 10 時, C 點到 O 點距離最遠, 即 OC = + r + r = + r. 解法 : 利用複數的四則運算, 求出 OC 的函數式, 再求最值在複平面上, A 點對應複數, B 點對應複數 r cosθ + ir sin θ BA 逆時針旋轉 60 到 BC, 設 C 點對應的複數 Z C, 則 Z C = [( r cosθ) ir sin θ](cos 60 + i sin 60 ) + r cosθ + ir sin θ = + r ( cosθ + r sin θ + r cosθ + r ) sin θ i

(cosαcos 60 sin α sin 60 ) ( ) 1 = AB + AB cosα AB sin α [ ] 1 = r + r cosθ + ( r cosθ) r sin θ = r + r cos θ + r sin θ ( ) 1 = r + r cosθ sin θ = r + r cos(θ + 60 ) 因此, 當 cos(θ + 60 ) = 1, 即 θ = 10

10 84 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月 OC = Z C = ( 以下同解法 ) ( + r ) ( cosθ + r sin θ + r cos θ + r sin θ = + r r cos θ + r sin θ = + r r = + r r cos(θ + 60 ). ( 1 cosθ sin θ ) ) 本文作者任教於中國安徽省阜陽師範學院

6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了

76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相

76 數學傳播 9 卷 1 期民 94 年月 H G O 共線例. 以直角三角形的每邊為邊向外作正方形, 則連結直角邊上正方形中心的線段和連結斜邊上的正方形中心與直角頂點的線段互相