極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 從幾何觀點討論微分
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- 内奠 圣
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1 微 分 2
2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極 限 微分與積分 而本章所討論 的函數極限與連續性 是建立微 積分的根本原理 圖片來源 達志影像 97 97
3 -1 極 限 的 概 念 * -1 極 限 的 概 念 -1.1 函 數 定 義 域 值 域 例 如 : 1f ( x )x 2 x2 R 2f ( x ) 1 x 2 x2 0 {xx1,2xjr} f ( x )al2xx 2 2xx 2 0 x 2 x2 0 1 x 2 {x1 x 2xjR} 98
4 微 分 1 4f ( x ) al2xx 2 0 2xx 2 0 {x1x2xjr} 區 間 ab ab 1 閉 區 間 [ a,b ]{xa x b} 2 開 區 間 ( a,b ){xaxb} 半 開 區 間 半 閉 區 間 [ a,b ){xa xb} ( a,b ]{xax b} 正 無 限 大 10 負 無 限 大 (,0 ) [ a, ){xa x}( a, ){xax} (,a ]{xx a} (,a ){xxa} R(, ){xx} 1 1{x x 7}2{x0x10}{xx } 1{x x 7}[,7 ] 2{x0x10}( 0,10 ) {xx }{x x}[, ) 99
![限 大 10 負 無 限 大 (,0 ) [ a, ){xa x}( a, ){xax} (,a ]{xx a} (,a ){xxa} R(,](/docs-images/42/23080842/images/page_4.jpg "){xx} 1 1{x x 7}2{x0x10}{xx } 1{x x 7}[,7 ] 2{x0x10}( 0,10 ) {xx }{x x}[,")
5 -1 極 限 的 概 念 f ( x )log x 2 f ( x ) x2 1 x1 x2 1 x1 0 x1 f ( x ) {xx1xjr} f ( x ) x2 1 x1 f ( x )x1 x1 f ( x ) x2 1 x1 100
6 微 分 f ( x )x x f ( x )x f ( x ) R (, ) f ( x )x! # % x x 0 x x0 1 x 0 f ( x )x 1 y 2 x0 f ( x )x 1 y 12 f ( x )x f ( x )x 101
7 -1 極 限 的 概 念 4 f ( x ) x x x x 0 x0 f ( x ) {xx0xjr} 1 x0 f ( x ) x x 1 y 2 x0 f ( x ) x x 1 y 12 f ( x ) x x f ( x ) x2 x2 102
8 微 分 合 成 函 數 f ( x )x 2 x a f ( a )a 2 a g ( x )x1 f ( g ( x ) )[ g ( x )] 2 g ( x ) x1 f ( g ( x ) )[ g ( x )] 2 ( x1 ) 2 g ( x ) f ( x ) f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) fg ( fg ) ( x )f ( g ( x ) ) g ( x )x1f ( x )x 2 g ( f ( x ) ) g ( x 2 )x 2 1( x1 ) 2 f ( g ( x ) ) ( fg ) ( x )( gf ) ( x ) 5 f ( x )x 2 4g ( x )2x ( fg ) ( x ) ( gf ) ( x ) f ( x ) g ( x ) R g ( x ) f ( x ) f ( x ) g ( x ) fg gf ( fg ) ( x ) f ( g ( x ) )f ( 2x ) ( 2x ) 2 44x 2 12x1 10
9 -1 極 限 的 概 念 ( gf ) ( x ) g ( f ( x ) )g ( x 2 4 ) fggf 2 ( x 2 4 )2x 2 11 f ( x )x 2 x1g ( x )x 2 ( fg ) ( x ) ( gf ) ( x ) -1.2 函 數 的 極 限 f ( x )x1 x 2 f ( x ) x 趨 近 f ( x ) 趨 近 x g ( x ) x2 4 x2 x 2 x2 g ( x ) x 趨 近 g ( x ) 趨 近 x x 2 2 g ( x ) 0 x2 g ( x )x
10 微 分 圖 -1 圖 -2 f ( x ) x a xa f ( x ) L x axa f ( x ) L x a f ( x ) L lim x a f ( x )L 1 lim ( x x1 )2 2 4 lim x 2 x 2 x f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )2 lim x 1 f ( x ) 1 f ( x ) x1 f ( 1 ) x 105
11 -1 極 限 的 概 念 1 x 1 1 f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )1 2 f ( x ) x1 f ( 1 )2 x 1 x 1 1 f ( x ) f ( 1 )2 lim f ( x )2f ( 1 ) x 1 f ( x ) 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) x 0 x 1 lim x 1 ( x1 )2 x 1 x1 2 2 f ( x )x1 x x1 x 2 4 lim x 2 x2 4 x2 x 2 4 x2 0 0 lim f ( x ) x a xa f ( x ) 106
12 微 分 lim f ( x ) f ( x ) x a 1 xa f ( x ) 0 f ( a ) lim x a f ( x )f ( a ) 2 xa f ( x ) 0 0 f ( x ) xa x a xa f ( x ) xa0 xa xa 0 f ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( a )0h ( a )0 0 lim x a f ( x ) ( x ) 2 xa lim x 2 xa x1 x 1 x a0 a2 7 f ( x )x 2 x1 lim x f ( x ) f ( x )x 2 x1 x 0 0 f ( ) lim x f ( x )f ( ) 2 17 f ( x )x 2x 2 4x5 lim x 1 f ( x ) 107
13 -1 極 限 的 概 念 8 f ( x ) x2 x2 x1 1 lim x 2 f ( x )2 lim x 1 f ( x ) 1 x2 x1 0 x2 f ( x ) lim f ( x ) lim x 2 x 2 x 2 x2 x x1 x1 0 x1 f ( x ) x 1 x1 x1 x 2 x2 x1 ( x2 )( x1 ) x1 x2 lim x 1 x 2 x2 x1 lim x 1 ( x2 ) 12 f ( x ) x2 1 x1 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) x x 1 108
14 微 分 9 f ( x ) x9 ax 1 lim x 4 f ( x )2 lim x 9 f ( x ) 1 x4 ax 0 x4 f ( x ) lim f x9 ( x ) lim x 4 x 4 ax 49 a4 5 2 x9 ax 0 x9 f ( x ) x 9 x9 x9 x9 ax ( x9 )( ax ) ( ax )( ax ) ( x9 )( ax ) x9 ax lim x 9 f ( x ) lim x 9 x9 ax lim x 9 ( ax ) a9 6 lim x 4 ax 2 x4 109
15 -1 極 限 的 概 念 lim x a f ( x )L lim x a g ( x )M 1 lim x a ccc 2 lim x a cf ( x )c lim x a f ( x )clc lim x a ( f ( x )g ( x ) ) lim x a f ( x ) lim x a g ( x )LM 4 lim x a ( f ( x ) g ( x ) ) lim x a f ( x ) lim x a g ( x )LM 5 lim x a f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) x a lim g ( x ) L M M0 x a 10 1 lim ( x 2 7x )2 lim ( x4 ) 2 lim x 2 x 2 x 1 lim ( x 2 7x ) lim x 2 7 lim x x 2 x 2 x lim x 2 ( x4 ) 2 ( lim x 2 x4 ) 2 lim x ( 24 ) x 2 2x1 6x7 lim ( 5x 2 2x1 ) x ( 6x7 ) lim x x 2 2x1 6x7 110
16 微 分 1 lim x 1 ( 5x ) 2 2 lim x 1 7x 2x 2 1 6x4 11 lim x 1 ( 1x 2x x2 ) 1x lim 2x x2 ) x 1 ( lim x x 2x 2 1 lim x 1 4 x2 1 (1 ) lim x 1 ( 5x4 x 2 x1 x2 ) 111
17 -1 極 限 的 概 念 12 lim x ( lim x 2x10 x 2 2x x2 x ) 2x10 x 2 2x lim x lim x ( 2x10 x 2 2x x2 x ) 2x10( x1 ) ( x2 ) lim x ( x ) ( x1 ) lim x lim x x 2 x12 ( x ) ( x1 ) x4 x1 7 4 x2 x 2x10 x 2 2x x2 x lim x 2 ( 1 x2 2x x 2 4 ) 112
18 微 分 -1. 左 極 限 與 右 極 限 lim x a f ( x ) f ( x ) x xa xa x a f ( x ) xa xa xa x a f ( x ) L L f ( x ) a 右 極 限 lim x a f ( x )L xa x a f ( x ) M M f ( x ) a 左 極 限 lim x a f ( x )M 1 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )Ll lim x a f ( x )L 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x ) lim x a f ( x ) 例 如 : f ( x )x - lim f ( x )0 lim f ( x )0 x 0 x 0 x 0 0 f ( x ) 0 lim x 0 f ( x )0 圖 - 11
19 -1 極 限 的 概 念 1 f ( x ) x x0 lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x x 0 x 0 x 0 f ( x ) x x x0 x 0 f ( x ) 1 lim x 0 f ( x )1 x0 x 0 f ( x ) 1 lim x 0 f ( x )1 x 0 0 f ( x ) lim x 0 f ( x ) lim x 0 f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) x x 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) lim f ( x ) x x 2 x
20 微 分 14 f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x 1 x 1 x 1 x1 x 1 f ( x ) 2 lim x 1 f ( x )2 x1 x 1 f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )1 lim x 1 f ( x ) lim x 1 f ( x ) lim x 1 f ( x ) f ( 1 )1 f ( x )! # % x 2 2 x 1 lim x 1 f ( x ) 4x1 x1 x1 115
21 -1 極 限 的 概 念 -1.4 函 數 的 連 續 性 lim x a f ( x ) f ( a ) f ( x ) f ( x ) xa 1f ( a ) 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )f ( a ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) [ a,b ] f ( x ) xa xb f ( x ) [ a,b ] xa xb lim f ( x ) lim ( x ) x a x b f ( a )f ( b ) lim g ( x ) f ( x ) x x a lim f ( g ( x ) )f x a ( lim g ( x ) x a ) 例 如 :f ( x ) 1 x g ( x )x 2 1 lim x 1 g ( x )112 f ( x ) x2 f ( x ) g ( x ) f ( g ( x ) )f ( x 2 1 ) 1 x 2 1 lim f ( g ( x ) ) lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1 x f ( lim g ( x ) x 1 ) f ( 2 ) 1 lim 2 f ( g ( x ) )f x 1 ( lim x 1 g ( x ) ) 116
22 微 分 15 f ( x ) 1 x x0 x0 f ( x ) 1 x f ( 0 ) f ( x ) x0 f ( x ) x4 x4 x4 16! 1 $ f ( x ) # x2 x2 f ( x ) x2 $ % x2 1f ( 2 ) 2 lim x 2 f ( x ) lim x 2 1 x2 f ( x ) x2! $ f ( x )# x5 x5 f ( x ) x5 $ % 2 x5 117
23 -1 極 限 的 概 念 17 f ( x )! $ # $ % 1f ( 1 )8 x 2 1 x1 x1 f ( x ) x1 8 x1 2 lim x 1 f ( x ) lim x 1 lim x 1 f ( x )f ( 1 ) f ( x ) x1 x 2 1 x1 lim ( x1 )2 x 1! $ x 2 2x15 x5 f ( x )# x5 f ( x ) x5 $ % x5 18 f ( x )! x 2 1 x 1 # % ax x1 a f (x) f (x) x1 lim x 1 f (x) lim x 1 f (x)f (1) lim x 1 f (x) lim x 1 (x 2 1)2 lim x 1 f (x) lim x 1 (ax)a lim x 1 f (x) lim x 1 f (x) lim x 1 f (x) 2a a5 118
24 微 分! $ x 2 4 x2 f ( x )# x2 $ % a x2 a f ( x ) x2 f ( x )a n x n a n1 x n1 a 1 xa 0 sin xcos x a x a0a1 (, ) log a xa0a1 ( 0, ) 連 續 函 數 ( ) f ( x )! # % x5x 0 x 2 kx0 lim x 0 (x 2 k) lim x 0 (x5) f ( 0 )5 k5 119
25 -1 極 限 的 概 念 -1 一 基 礎 型 1 lim x 4 alx 2 5x42 lim x 7 15a 4 lim x 2 5 lim x ( x.1416 ) 6 lim 7 lim x 8 x x 9 lim x al( x ) 2 x q lim x 0 x alx lim x 2 alx4 4x1 x 4 x 2 x2 ( x2 ) 2 x sin x lim x x x lim x 16 w lim x 2 x16 ax 4 x x 2 5x6 x 2 x2 1 f ( x )log ( x )2f ( x ) x1 x 2 4x 二 研 究 型 lim x 2 f ( x ) 1 f ( x )! x x 2 # % x 2 x2 2 f ( x )! x x 2 # % 42x x2! x $ x5 x 2 8x15 $ f ( x ) # $ 1 x 2 $ % 2 x5 f ( x ) x x5 120
26 微 分 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 -2.1 導 數 的 定 義 ( 5050 ) 平 均 速 率 / 51 4 f ( 5 )f ( 4 ) 54 50f ( 4 ) 54 f ( t ) t f ( 5 )f ( 4.5 ) f ( 4.5 ) 54.5 f ( 5 )f ( ) 50f ( ) f ( 5 )f ( t ) f ( t )f ( 5 ) lim lim t 5 5t t 5 t5 1 f ( b )f ( a ) f ( x ) [ a,b ] 平 均 變 化 率 ba f ( b )f ( a ) 2 lim f ( x ) a 瞬 時 變 化 率 ba ba 121
27 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 f ( x )f ( a ) a f ( x ) lim x a xa f ( x )f ( a ) lim f ( x ) xa 導 數 f ' ( a ) x a xa f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa 1 f ( x )x 2 1x 1 f ( x ) 2f ( x ) x1 1x 1 f ( x ) f ( )f ( 1 ) ( 2 )( 1 2 ) f ( x ) x1 f ' ( 1 ) f ( x )f ( 1 ) f ' ( 1 ) lim x 1 x1 x 2 1 lim x 1 x1 lim x 1 lim x 1 ( x 2 )( 1 2 ) x1 ( x1 )2 f ( x )x 1x 1 4 f ( x ) 2f ( x ) x4 f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim xah xah x a xa x a h 0 f ( x ) xa f ( ah )f ( a ) f ' ( a ) lim h 0 h 122
28 微 分 2 f ( x )x 2 x1 x f ' ( ) f ( h )f ( ) f ' ( ) lim h 0 h ( h ) 2 ( h )1( 2 1 ) lim h 0 h h 2 5h lim lim ( h5 )5 h 0 h h 0 h 0 f ( x )1x x1-2.2 導 數 的 意 義 幾 何 意 義 A ( a, f ( a ) ) yf ( x ) B ( x, f ( x ) ) AB x a f ( x ) f ( x )f ( a ) xa 圖 -4 12
29 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 AB -4 A B A B A x a xa 0 f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa x a AB f ( x )f ( a ) xa f ' ( a ) A f ' ( a ) yf ( x ) xa f ' ( a ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) yf ( a )f ' ( a )( xa ) f ( x )x 2 yf ( x ) x2 ( 2, f ( 2 ) )( 2,4 ) f ( x )x 2 x2 f ' ( 2 ) f ' ( 2 ) lim x 2 x x2 4 yf ( 2 )f ' ( 2 )( x2 ) y44 ( x2 ) 4xy4 f ( x )1x 2 1f ' ( 4 )2 yf ( x ) x4 124
30 微 分 物 理 意 義 f ( t ) f ( t 2 )f ( t 1 ) t 2 t 1 t 1 t 2 f ( t )f ( a ) f ( t ) ta f ' ( a ) lim t a ta a v ( t ) v ( t 2 )v ( t 1 ) t 2 t 1 t 1 t 2 v ( t )v ( a ) v ( t ) ta v' ( a ) lim t a ta a 4 f ( t )7t 2 f ' ( ) f ( t )f ( ) f ' ( ) lim t t 7t lim t t lim t 7 ( t )42 v ( t )2t 125
31 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 -2. 導 函 數 f ( x ) a f ( x ) f ' ( a ) a 對 應 於 f ' ( a ) f ' ( x ) f ' ( x ) f ( x ) 導 函 數 f ( x ) 可 微 分 函 數 yf ( x ) y'f ' ( x ) dy dx df ( x ) dx d dx f ( x ) 5 f ( x )x 2 x15 f ' ( x ) d dx ( x 2 x15 ) lim h 0 f ( xh )f ( x ) h ( xh ) 2 ( xh )15( x 2 x15 ) lim h 0 h 2xhh 2 h lim h 0 h lim ( 2xh ) h 0 2x f ( x )1xx 2 126
32 微 分 可 微 分 的 函 數 必 定 是 連 續 說 明 : f ( x ) xa lim x a f ( x )f ( a ) xa lim x a ( f ( x )f ( a ) ) lim f ' ( a ) f ( x )f ( a ) xa f ( x )f ( a ) x a x a [ lim xa f ' ( a )( aa )0 lim x a f ( x )f ( a ) f ( x ) xa ( xa ) ] lim x a ( xa ) 連 續 函 數 不 一 定 可 微 分 說 明 : f ( x )x f ( x ) x0 f ( x )f ( 0 ) f ' ( 0 ) lim x 0 x0 lim x x 0 x 1 lim x lim x x 0 x f ( x ) x0 x 1 x 0 x lim x 0 x f ( x )x x0 x0 f ( x )x x0 x0 127
33 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 一 基 礎 型 -2 f ( x )x 2 x2 1 x1 x2 f ( x ) 2 f ( x ) x1 f ( x )x 2 x2 lim h 0 f ( 1h )f ( 1 ) h f ( x )( x2 ) 2 lim h 0 f ( 2h )f ( 2 ) 2h P f ( t )t 2 1 t1 tp 2 t1 P t P 二 研 究 型 f ( x )x 2 x1 yf ( x ) x2 f ( x )x yf ( x ) x1 128
34 微 分 - 微 分 公 式 -.1 微 分 公 式 微 分 公 式 f ( x )x n f ' ( x )nx n1 n 說 明 : ( xh ) n x n nx n1 hc 2 n x n2 h 2 C n x n h nxh n1 h n f ( xh )f ( x ) f ' ( x ) lim h 0 h x n nx n1 hc n lim 2 x n2 h 2 nxh n1 h n x n h 0 h lim ( nx n1 n n2 n2 C2 x hnxh h n1 ) h 0 nx n1 f ' ( x )nx n1 f ( x )x n n 129
35 - 微 分 公 式 1 f ' ( x ) 1f ( x )x 2f ( x ) 1 x f ( x )ax 1f ' ( x )x 1 x 2 2f ( x ) 1 x x f ' ( x )x 1 x 4 1 f ( x )ax x 2 f ' ( x ) x x 1 2ax x 4 f ' ( x ) 1f ( x )x 2f ( x ) 1 x f ( x )xax ( x ) ' = x -1 f ( x ) g ( x ) 可 微 分 函 數 f ( x )k f ' ( x )0k 說 明 :f ' ( x ) lim h 0 f ( xh )f ( x ) h lim h 0 kk h 0 10 F ( x )kf ( x ) F ' ( x )kf ' ( x )k 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h k lim h 0 f ( xh )f ( x ) h lim h 0 kf ( xh )kf ( x ) h kf ' ( x )
36 微 分 F ( x )f ( x )g ( x ) F ' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h [ f ( xh )g ( xh ) ][ f ( x )g ( x ) ] lim h 0 h f ( xh )f ( x ) g ( xh )g ( x ) lim lim h 0 h h 0 h f ' ( x )g' ( x ) F ( x )f ( x )g ( x ) F ' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 說 明 : 2 f ( x )4x 6x 2 7x5 f ' ( x ) f ' ( x ) 4x 1 62x x 2 12x7 f ( x )( 2x5 ) 2 f ' ( x ) 1 ( k )'=0(k 為 常 數 ) 2 ( x )'= x -1 ( + )'= '+ ' F ( x )f ( x ) g ( x ) F ' ( x )f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) 11
37 - 微 分 公 式 說 明 : F ( xh )F ( x ) f ( xh ) g ( xh )f ( x ) g ( x ) F ' ( x ) lim lim h 0 h h 0 h lim h 0 f ( xh ) g ( xh )f ( x ) g ( xh )f ( x ) g ( xh )f ( x ) g ( x ) h lim h 0 [ f ( xh )f ( x ) ] g ( xh )f ( x ) [ g ( xh )g ( x ) ] h f ( xh )f ( x ) lim lim g ( xh ) h 0 h h 0 lim h 0 f ( x ) lim h 0 g ( xh )g ( x ) h lim h 0 g ( xh )g ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) y( x 2 x4 ) ( 5x7 ) dy dx dy dx d dx [ ( x2 x4 ) ( 5x7 ) ] [ d dx ( x2 x4 ) ] ( 5x7 )( x 2 x4 ) [ d dx ( 5x7 ) ] ( 2x1 )( 5x7 )( x 2 x4 )5 15x 2 24x27 y y ( x 2 x4 )( 5x7 ) 5x 12x 2 27x28 dy dx 15x2 24x27 ( )'= ' + ' y( 7x8 ) ( 2x ) dy dx 12
38 微 分 F ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x )0 F ' ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h lim h 0 lim h 0 g ( x ) f ( xh )f ( x ) g ( xh ) hg ( xh ) g ( x ) f ( xh ) g ( xh ) f ( x ) g ( x ) h g ( x ) f ( xh )g ( x ) f ( x )g ( x ) f ( x )f ( x ) g ( xh ) lim h 0 hg ( xh ) g ( x ) f ( xh )f ( x ) g ( x ) [ lim h ]f ( x ) [ g ( xh )g ( x ) h ] h 0 g ( xh ) g ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 4 f ( x ) x2 2 2x1 f ' ( x ) f ' ( x ) [ d dx ( x 2 2 ) ] ( 2x1 )( x 2 2 ) [ ( 2x1 ) 2 ( 6x )( 2x1 )( x 2 2 )( 2 ) ( 2x1 ) 2 6x2 6x4 ( 2x1 ) 2 d dx ( 2x1 ) ] f ( x ) 4x5 1x f ' ( x ) ( ) ' ' ' = 2 ( ) f (x)t 4 f ' ( x )4t 1
39 - 微 分 公 式 -.2 連 鎖 規 則 連 鎖 規 則 F ( x )g ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( f ( x ) ) F ' ( x )g' ( f ( x ) )f ' ( x ) f ( xh )f ( x ) F ( xh )F ( x ) g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) 說 明 :F ' ( x ) lim lim h 0 h h 0 h g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) lim f ( xh )f ( x ) h 0 f ( xh )f ( x ) h g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) f ( xh )f ( x ) lim lim h 0 f ( xh )f ( x ) h 0 h g' ( f ( x ) ) f ' ( x ) 5 y( x 2 x1 ) 4 y' f ( x )x 2 x1g ( x )x 4 ( gf ) ( x )g ( f ( x ) )g ( x 2 x1 )( x 2 x1 ) 4 yg ( f ( x ) ) f ' ( x )2x1g' ( x )4x y' g' ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( x 2 x1 ) ( 2x1 ) 4 ( x 2 x1 ) ( 2x1 ) y( 1x ) 5 y' 14
40 微 分 d dx ( x n )nx n1 n f ( x ) F ( x )( f ( x ) ) n F' ( x )n ( f ( x ) ) n1 f ' ( x ) 6 f ( x )( 2x 2 x5 ) f ' ( x ) f ' ( x ) ( 2x 2 x5 ) 1 d ( dx 2x2 x5 ) ( 2x 2 x5 ) 2 ( 4x ) f ( x )( 8x7x 2 ) 4 f ' ( x ) 7 f ( x )( 2x5 ) 6 1 f ' ( 2 )2 f ( x ) x2 1 f ' ( x )6 ( 2x5 ) 61 d dx ( 2x5 ) 6 ( 2x5 ) ( 2x5 ) 5 f ' ( 2 )12 ( 45 ) f (x) x2 yf ( 2 ) f ' ( 2 )( x2 ) 15
41 - 微 分 公 式 y112 ( x2 ) 12xy250 f ( x )( x1 ) 10 1 f ' ( 1 )2 f ( x ) x1 8 f ( x ) 1 x 2x 2 5x4 f ' ( x )0 x f ' ( x )x 2 4x5 f ' ( x )x 2 4x50 ( x5 ) ( x1 )0 x5 1 f ( x )x 2x 2 f ' ( x )0 x 16
42 微 分 -. 高 階 導 函 數 yf ( x ) f ' ( x ) f ( x ) d dx f ( x )y' dy dx f ' ( x ) ( f ' ( x ) )' f ( x ) f " ( x ) d 2 dx f ( x )y" d 2 y 2 dx 2 f " ( x ) ( f " ( x ) )' f ( x ) f "' ( x ) d dx f ( x )y"' d y dx f ( x ) n f ( n ) ( x ) d n dx f ( x )y ( n ) d n y n dx n 9 f ( x )x x 2 4x5 f ( 4 ) ( x ) f ' ( x )x 2 6x4 f " ( x )6x6 f "' ( x )6 f ( 4 ) ( x )0 f ( x )x 4 f ( n ) ( x )0 n 17
43 - 微 分 公 式 10 f ( x )( 2x1 ) 5 f " ( 1 ) f ' ( x )5 ( 2x1 ) 51 d dx ( 2x1 ) 5 ( 2x1 ) ( 2x1 ) 4 f " ( x )104 ( 2x1 ) 41 d dx ( 2x1 ) 40 ( 2x1 ) 280 ( 2x1 ) f " ( 1 )80 [ 2( 1 )1 ] 80 f ( x )( 12x ) 4 f "' ( 1 ) 18
44 微 分 - 一 基 礎 型 f ' ( x ) 1 f ( x )( x 1 ) ( x 2 x1 ) 2 f ( x )( 2x1 ) ( 4x5 ) ( 1x ) f ( x )( x 2 1 ) 4 4 f ( x ) 2x5 5x 1 f ( x )( x1 ) 4 2 f ( x )2x 5 x 4x7 f ( x )( 1x ) 10 f ( x )x x 2 9x1 f ' ( x )0 x 二 研 究 型 f ( x )x x 2 f " ( a )0 a f ( a ) f ( x )x 2x 2 7x5 1 f ' ( x ) 2 f ' ( ) f ( x ) x 19
45 -4 微 分 的 應 用 -4 微 分 的 應 用 -4.1 遞 增 函 數 與 遞 減 函 數 遞 增 函 數 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x ) -5 圖 -5-5 f ( x ) mf ' ( x )0 0 遞 減 函 數 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 140
46 微 分 f ( x ) -6 圖 -6-6 f ( x ) mf ' ( x )0 0-7 f ( x ) ( a,b )( c,d )( e,f ) f ( x ) ( a,b )( c,d )( e,f ) f ( x ) ( b,c )( d,e ) f ( x ) ( b,c )( d,e ) 圖 -7 f ( x ) f ' ( x ) 141
47 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) ( a,b ) 1 xj( a,b )f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 2 xj( a,b )f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 說 明 :1 x 1 x 2 ( a,b ) ax 1 x 2 b f ' ( f ( x x 0 ) lim 0 h )f ( x 0 ) x h 0 h 0 j( x 1,x 2 ) f ' ( x 0 )0 1 h0 f ( x 0 h ) f ( x 0 )0 f ( x 0 h ) f ( x 0 ) x 0 hx 0 2 h0 f ( x 0 h ) f ( x 0 )0 f ( x 0 h ) f ( x 0 ) x 0 hx 0 x 1 x 2 ( a,b ) f ( x ) ( a,b ) 21 1 f ( x )x x 2 9x5 f ( x ) f ( x ) f ' ( x )x 2 6x9 1 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x ) ( x1 )0 x x1 f ( x ) (, )( 1, ) 2 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x ) ( x1 )0 142
48 微 分 x1 f ( x ) (,1 ) f ( x )xx -4.2 多 項 函 數 的 極 值 f ( x ) [a,b] -10 圖 -10 f ( x ) E ACE D f ( x ) ABC DE 最 大 值 ( 絕 對 極 大 值 ): f ( x ) x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 E ( e, f ( e ) ) f ( e ) 14
49 -4 微 分 的 應 用 最 小 值 ( 絕 對 極 小 值 ): f ( x ) x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 A ( a, f ( a ) ) f ( a ) 極 大 值 ( 相 對 極 大 值 ): f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 CE f ( c )f ( e ) 極 小 值 ( 相 對 極 小 值 ): f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 ADB f ( a )f ( d )f ( b ) 2 f ( x )2x 2 4x7 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 144
50 微 分 f ( x ) 2 ( x 2 2x )7 2 ( x 2 2x11 )7 2 ( x1 ) 2 5 x1 f ( x ) 5 f ( x )x 2 6x4 f ( x ) xa f ' ( a ) 0 f ( x ) ( a, f ( a ) ) f ( a ) f ( x ) -11 x a f ' ( x ) f ( x ) f ( a ) 極 大 值 圖
51 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) xa f ' ( a ) 0 f ( x ) ( a, f ( a ) ) f ( a ) f ( x ) -12 x a f ' ( x ) f ( x ) f ( a ) 極 小 值 圖 -12 ( a,f ( a ) ) f ( x ) ( a, f ( a ) ) 0 mf ' ( a )0-1 ABCD 圖 -1 f ( x ) xa f ' ( a )0 146
52 微 分 說 明 : f ( x ) xa f ' ( a ) f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa 1 f ( a ) f ( x ) xa x a f ( x ) f ( x ) f ( a ) f ( x )f ( a ) xa 0 f ' ( a ) lim f ( x )f ( a ) 0 x a xa xa x a f ( x ) f ( x ) f ( a ) f ( x )f ( a ) xa 0 f ' ( a ) lim f ( x )f ( a ) 0 x a xa f ' ( a )0 圖 -14 圖 f ( a ) f ( x ) f ' ( a )0 f ' ( a )0 f ( a ) 例 如 : f ( x )x f ' ( x )x 2 f ' ( 0 )0 x f ' ( x )x 2 0f ( x ) f ( 0 )0 ( ) 147
53 -4 微 分 的 應 用 f ( x )x x 2 9x1 f ( x ) f ' ( x )x 2 6x9 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x1 ) ( x )0 x1 f ' ( x )0x 2 6x90 1x f ( x ) ( 1, ) f ' ( x )0x 2 6x90 x1 x f ( x ) (,1 )(, ) x -1 f ' ( x ) f ( x ) 6-26 f ( x ) f ( x ) x1 6 x 26 f ( x )x x1 148
54 微 分 f " ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f " ( a ) 1 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 說 明 : f ' ( a )0 f " ( a ) f " ( a ) lim x a f ' ( x )f ' ( a ) xa lim x a f ' ( x ) xa 1 f " ( a )0 f ' ( x ) xa 0 xa xa0f " ( a )0 f ' ( x )0 f ( x ) xa xa xa0f " ( a )0 f ' ( x )0 f ( x ) xa f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 4 f ( x ) 1 x 2x 2 x4 f ( x ) f ' ( x )x 2 4xf " ( x )2x4 f ' ( x )0x 2 4x0 x1 x1 x f " ( x ) f " ( 1 )2420f " ( )6420 f ( x ) x1 f ( 1 ) 16 f ( x ) x f ( )4 149
55 -4 微 分 的 應 用 f ( x )x 12x1 f ( x ) [ a,b ] f ( x ) f ( a ) f ( b ) f ' ( x )0 f ( x ) [ a,b ] 5 f ( x )xx f ( x ) 0 x f ' ( x )x 2 f " ( x )6x f ' ( x )0x 2 0 x1 1 x1 0 x x1 0 x x0 x x1 f ( x ) f ( 0 )0f ( )18f ( 1 )2 f ( x ) x1 2 f ( x ) x 18 f ( x )2x 2 8x1 f ( x ) x 1 150
56 微 分 6 abc f ( x )x ax 2 bxc x1 5 x abc f ' ( x )x 2 2axb x1 x f ' ( x )x 2 2axb0! 1( ) 2a $ # $ 1( ) b % ab9 f ( x )x x 2 9xc f ( x ) x1 5 f ( 1 )19c5 c10 f ( x )x 6x 2 9xa f ( x ) a 151
57 -4 微 分 的 應 用 7 24 x 242x V ( x ) x ( 242x ) 2 4x 96x 2 576x V' ( x )12x 2 192x576 V" ( x )24x192 V' ( x )0 12x 2 192x5760 x4 x12 x12 0 x4 V" ( 4 ) V ( x ) x4 V ( 4 )
58 微 分 -4. 多 項 函 數 圖 形 的 描 繪 f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) L f " ( x ) f ( x ) ( a,b ) L 凹 口 向 上 -16 圖 -16 f ( x ) ( a,b ) L 凹 口 向 下 -17 圖
59 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) ( a,b ) f ( x ) ( a,b ) acb f ( x ) ( c, f ( c ) ) P yf ( x ) ( c, f ( c ) ) P -18 圖 ( c, f ( c ) ) xc f ' ( x ) f ' ( x ) ( a,b ) f " ( x )0-19 f ( x ) ( c, f ( c ) ) ( c, f ( c ) ) xc f ' ( x ) 圖 -19 f ' ( x ) ( a,b ) f " ( x )0 154
60 微 分 f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) 1 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 2 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 8 f ( x )x f ' ( x ) f " ( x ) f ' ( x )x 2 f " ( x )6x 1 f " ( x )06x0 x0 f ( x ) (,0 ) 2 f " ( x )06x0 x0 f ( x ) ( 0, ) f ( x )x 2 8 f ( x )x x0 f ( x ) 反 曲 點 拐 點 ( c, f ( c ) ) f ( x ) xc f ( x ) f " ( x ) f " ( c ) 0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) f " ( c )0 155
61 -4 微 分 的 應 用 9 f ( x )x 6x 2 9x1 f ' ( x ) f " ( x ) f ' ( x )x 2 12x9 f " ( x )6x12 f ' ( x )0x 2 12x90 ( x1 ) ( x )0 x1 x 1 f ' ( x )0 ( x1 ) ( x )0 1x f ( x ) ( 1, ) f ' ( x )0 ( x1 ) ( x )0 x1 x f ( x ) (,1 )(, ) 2f " ( 1 ) f ( x ) x1 f ( 1 ) f " ( )61260 f ( x ) x f ( )1 f " ( x )0 6x120 x2 f ( x ) ( 2, ) f " ( x )0 6x120 x2 f ( x ) (,2 ) f " ( x )0 x2 ( 2, f ( 2 ) )( 2,1 ) f ( x ) 156
62 微 分 x 1 2 f ' ( x ) f ( x ) 增 減 減 增 f " ( x ) 凹 口 向 下 凹 口 向 下 凹 口 向 上 凹 口 向 上 f ( x ) 極 大 值 1 反 曲 點 -1 極 小 值 f ( x ) f ( x )x 12x10 157
63 -4 微 分 的 應 用 -4 一 基 礎 型 1 f ( x )2x 2 8x52 f ( x )x 6x 2 7 A ( 1 )B ( )C ( 8 ) P ( x ) P #AP 2 #BP 2 #CP f ( x )x x f ( x )212xx 二 研 究 型 1 f ( x )2x 2 2x1 x 1 2 f ( x )109x4x 2 x x abc f ( x )x ax 2 bxc x1 5 x abc 158
64 -1 重 點 摘 要 [ a,b ]{xa x b} ( a,b ){xaxb} [ a,b ){xa xb} ( a,b ]{xax b} g ( x ) f ( x ) ( fg ) ( x )f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) x a xa f ( x ) L x a f ( x ) L lim x a f ( x )L lim x a f ( x )f ( x ) 1 xa f ( x ) 0 lim f ( x )f ( a ) x a 2 xa f ( x ) xa xa 0 f ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( a )0h ( a )0 0 lim x a f ( x ) 159
65 lim f ( x )L lim g ( x )M x a x a 1 lim ccc x a 2 lim cf ( x )c lim f ( x )clc x a x a lim ( f ( x )g ( x ) ) lim f ( x ) lim g ( x )LM x a x a x a 4 lim ( f ( x ) g ( x ) ) lim f ( x ) lim g ( x )LM x a x a x a lim f ( x ) f ( x ) 5 lim x a g ( x ) x a lim g ( x ) L M M0 x a xa x a f ( x ) L L f ( x ) a lim x a f ( x )L xa x a f ( x ) M M f ( x ) a lim x a f ( x )M f ( x ) f ( x ) xa 1 f ( a ) 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )f ( a ) -2 重 點 摘 要 f ( b )f ( a ) ba f ( x ) [ a,b ] 160
66 a f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a ) f ( x )f ( a ) 1 f ' ( a ) lim x a xa f ( ah )f ( a ) 2 f ' ( a ) lim h 0 h 1 f ' ( a ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) ( a, f ( a ) ) yf ( a )f ' ( a ) ( xa ) 2 f ( t ) v ( t ) a( t ) f ' ( t )v ( t )v' ( t )a ( t ) 重 點 摘 要 f ( x ) g ( x ) f ( x )x n f ' ( x )nx n1 n f ( x )k f ' ( x )0k F ( x )kf ( x ) F' ( x )kf ' ( x )k F ( x )f ( x )g ( x ) F' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 161
67 F ( x )f ( x ) g ( x ) F' ( x )f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) F ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x )0 F' ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 F ( x )g ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( f ( x ) ) F' ( x )g' ( f ( x ) ) f ' ( x ) n f ( x ) F ( x )( f ( x ) ) n F' ( x )n ( f ( x ) ) n1 f ' ( x ) f ' ( x ) d dx f ( x )y' dy dx f " ( x ) d 2 f "' ( x ) d n f ( n ) ( x ) d n dx 2 f ( x )y" d 2 y dx 2 dx f ( x )y"' d y dx dx n f ( x )y ( n ) d n y dx n -4 重 點 摘 要 1 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x ) ( a,b ) f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 162
68 1 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x ) ( a,b ) f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) f ( x ) xf ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) xf ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f ' ( a )0 f ( a ) f ( x ) 16
69 f ( x ) xa f ' ( a )0 1 xa f ' ( x )0 a f ( x ) xa f ' ( x )0 a f ( x ) f ( a ) f ( x ) 2 xa f ' ( x )0 a f ( x ) xa f ' ( x )0 a f ( x ) f ( a ) f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f " ( a ) 1 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) L 1 f ( x ) ( a,b ) L 2 f ( x ) ( a,b ) L f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) 1 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 2 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) xc f ( x ) xc ( c, f ( c ) ) f ( x ) 164
70 ( c, f ( c ) ) f ( x ) f " ( c )
71 ( ) lim x 0 6x 4x x 2 5x 1 ( ) lim x 1 1x ax ( ) lim x 1 x sin x 1 sin 1 0 sin ( ) lim x 2 x 2 5x6 x ( ) lim x 0 ax 0 lim x 1 x0 x1 x1 lim lim 1 x 1 x1 x 1 x1 lim x 1 x1 1! $ ( ) f ( x )# $ % 2 x0 lim f ( x )2 lim x 0 lim f ( x )1 x 0 x x x0 lim x f ( x ) x 5 f ( x )1 lim x 0 f ( x )0 1 ( ) f ( x ) x2 x2 x
72 ! x 2 1 $ ( ) f ( x1 x ) x1 # f ( x ) x1 a $ % a x ( ) f ( x )x 2 5x4 lim x 11 6 f ( x )f ( ) x ( ) g ( x )x g ( 2h )g ( 2 ) x2 lim h 0 h ( ) f ( x )x x 2 f ( 1h )f ( 1 ) x1 lim h 0 2h ( ) f ( x )2x 2 x2 ( 1, ) 2xy10 x2y10 xy0 xy0 xy90 2 ( ) f ( t )t ( ) f ( x ) x2 2x1 f ' ( 1 ) ( ) f ( x )( 2x ) 7 f ' ( 2 )
73 ( ) f ( x )( x5 ) 8 f " ( 2 ) ( ) f ( x )7x 7 6x 6 5x 5 4x 4 x 2x 2 x1 f "' ( 0 ) ( ) f ( x )7x 5 6x 8 f ( n ) ( x )0 n ( ) f ( x )42xx 2 [ 4,4 ] M m M5m4 M5m M m20 M5m20 M4m20 4 ( ) f ( x )2x 2 8x1 f ( x ) 7 (,2 ) f ( x ) f ( x ) ( 2,7 ) f ( x ) 7 f ( x ) ( 2, ) 4 ( ) f ( x )x x ( ) f ( x ) ( 0,0 ) ( 2,0 ) ( 1,2 ) ( 0,2 ) ( 0,1 ) 4 ( ) f ( x )1012xx x 5 f ( x )
74 ( ) f ( x ) ( ) f ( x )x x 2 9x f ( x ) (,1 ) (,1 ) ( 1, ) ( 1, ) (, ) 4 ( ) f ( x )x ax 2 bx1 ( 1,8 ) a1b6 a1b6 a8b1 ab9 a9b 4 ( ) ( ) f ( x )x x M m Mm27 M0m M m6 M14m0 M m 4 ( ) ( )
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
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工 程 硕 士 数 学 考 试 大 纲 与 要 求 ( 包 括 高 等 数 学 和 线 性 代 数 ) 一 函 数 极 限 与 连 续 第 一 部 分 : 高 等 数 学 考 试 内 容 函 数 的 概 念 及 表 示 法 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性 复 合 函 数 反 函 数 分 段 函 数 和 隐 函 数 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 初
所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位
95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續
( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN O4 44 CIP (00) : : 7 : 7007 : (09 ) : : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 0
( ) ( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN 7 56 448 0.... O4 44 CIP (00) 007344 : : 7 : 7007 : (09 )8493844 : www.nwpup.com : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 003 3 :0 006 000 :3: 00 00, ( ),,,,,,,, 003 8 (
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觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒
导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 基 本 初 等 函 数 的 导 数 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以
2015 年 考 研 数 学 二 考 试 大 纲 考 试 科 目 : 高 等 数 学 线 性 代 数 考 试 形 式 和 试 卷 结 构 一 试 卷 满 分 及 考 试 时 间 试 卷 满 分 为 150 分, 考 试 时 间 为 180 分 钟. 二 答 题 方 式 答 题 方 式 为 闭 卷 笔 试. 三 试 卷 内 容 结 构 高 等 教 学 约 78% 线 性 代 数 约 22% 四 试 卷
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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2015年一级建造师《项目管理》真题
2015 年 一 级 建 造 师 项 目 管 理 真 题 一 单 项 选 择 题 1. 某 工 程 在 浇 筑 楼 板 混 凝 土 时, 发 生 支 模 架 坍 塌, 造 成 3 人 死 亡,6 人 重 伤, 经 调 查, 系 现 场 技 术 管 理 人 员 未 进 行 技 术 交 底 所 致 该 工 程 质 量 事 故 应 判 定 为 ( ) A. 操 作 责 任 的 较 大 事 故 B. 操 作
4 AC BD F M CD, N ABM M, c, AN, BN AM BM :E F N a c a p + k F k - + F k + + c { a } IMO 4, { a } a a + c,a - 0, a - a - c,, a 0 a c, c, 0, 0, a > 0, 0
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,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
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2016 14 1.5 21 1. 50% 20% 5% 10% A.2 B.10.5 C.10 D.2.1 A = 1/ - =50%20%/10%5%=2 2. 2015 1 1.2 1.5 2016 1.9 2015 A.50% B.90% C.75% D.60% A = / = =1.2 1.5=1.8 2016 =1.9-1 /1=0.9 =0.9/1.8=50% 3. A. B. C.
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第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
E. (A) (B) (C) (D). () () () (A) (B) (C) (D) (E). () () () (A) (B) (C) (D) (E). (A)(B)(C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B)(C) (D) (E). (A) (B) (C)
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國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 一 冊 一 -1 單 元 一 數 線 與 整 數 的 加 減 運 算 主 題 一 正 數 負 數 的 意 義 一 正 數 和 負 數 : 尋 找 寶 藏 北 西 東 小 明 南 小 明 無 意 間 得 到 了 一 張 藏 寶 圖, 圖 上 的 黑 點 代 表 小 明 現 在 站 的 地 方, 每 個 腳 印 都 代 表 1 步 若 要 在
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8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
94/03/25 (94 0940002083 94 12 31 C 1-8 (65 29 5 15 1 2 1-23 28 24-27 k1. k1a. 1 2 3 4 k1b. 1 2 3 4 5 k1c. 1 2 ( 3 4 ( 5 k2. 1 A 2 k 3k 4 3 k3k4 k3. k3a. 1 2 3 4 ( k3b. 1 2 k3b1.? 3 ( (D4 k4. 11 12 02
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义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
簽 呈
台 新 證 券 投 資 信 託 股 份 有 限 公 司 公 告 中 華 民 國 105 年 5 月 4 日 台 新 投 (105) 總 發 文 字 第 00116 號 主 旨 : 本 公 司 經 理 之 台 新 亞 美 短 期 債 券 證 券 投 資 信 託 基 金 等 3 檔 基 金 ( 以 下 合 稱 本 基 金 ), 修 正 證 券 投 資 信 託 契 約 暨 配 合 修 正 公 開 說 明
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- ( )( ) B=A A A k A A A k (B)=(A )+(A )+ +(A k ) (B) B A A A k B (Patitios) Ex. 6 4 As. ()(A )=(U) (A) ()(A B )=((A B) )=(U) (A B) (DeMoga). (A-B)=(A) (A B) Ex. A={x x N x 0 6 } B={x x=0k k Z} (A B)=
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( 0178) ( CIP). 1 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 956-7.... G726. 9 CIP ( 2004) 069175 : 1 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2400 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
第一章 緒論
第 五 章 實 證 結 果 第 一 節 敘 述 統 計 表 11 表 12 分 別 為 男 女 癌 症, 實 驗 組 與 控 制 組 樣 本 之 基 本 特 性 此 為 罹 癌 前 一 年 度 樣 本 特 性 由 於 我 們 以 罹 癌 前 一 年 有 在 就 業, 即 投 保 類 別 符 合 全 民 健 康 保 險 法 中 所 規 定 之 第 一 類 被 保 險 人, 且 年 齡 介 於 35 至
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. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
1991 707 708 1972 36 1990 2 126 130 21 1656 1742 1705 1972 523 334 420 342 423 1433 1435 1975 205 = + + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 + [ ( )] 4 2 1 2 2 2 2 2 2
1991 707 708 1972 36 1990 2 126 130 21 1656 1742 1705 1972 523 334 420 342 423 1433 1435 1975 205 = + + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 + [ ( )] 4 2 1 2 2 2 2 2
:,,,, ( CIP ) /,. :, ISBN CIP ( 2001) : : 127, : : : ht t p: / / www. nwpup. com : :
:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
CIP / 005 ISBN X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G CIP ISBN X/G http / /cbs pku edu cn pku edu
CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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历 年 MBA MPAcc 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 (009-0) 009 年 月 MBA 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 一 问 题 求 解 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 分 下 列 每 题 给 出 的 五 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 试 题 要 求 的 请 在 答 题 卡... 上 将 所 有 选 项 的 字 母 涂 黑 ).
國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓
BOOK 山 與 溪 谷 社 編 堀 內 一 雄 執 筆 蕭 雲 菁 譯 CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓 練 068 心 率 計 為
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
目 錄 壹 前 言 1 貳 人 口 分 布 2 一 人 口 成 長 趨 勢 2 ( 一 ) 人 口 數 2 ( 二 ) 人 口 數 增 加 率 2 二 性 比 例 3 三 戶 量 4 參 人 口 結 構 5 一 人 口 結 構 年 齡 三 段 組 5 二 人 口 結 構 年 齡 三 段 組 性 別
臺 南 市 左 鎮 區 104 年 人 口 婚 姻 結 構 狀 況 分 析 與 探 討 臺 南 市 左 鎮 區 公 所 會 計 室 編 製 目 錄 壹 前 言 1 貳 人 口 分 布 2 一 人 口 成 長 趨 勢 2 ( 一 ) 人 口 數 2 ( 二 ) 人 口 數 增 加 率 2 二 性 比 例 3 三 戶 量 4 參 人 口 結 構 5 一 人 口 結 構 年 齡 三 段 組 5 二 人 口
二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2.
兒 歌 內 容 分 析 ~ 以 台 灣 省 教 育 廳 發 行 之 大 單 元 活 動 設 計 內 之 兒 歌 為 例 ~ 摘 要 82 76 158 一 兒 歌 類 目 的 分 布 情 形 ( ) 26 23 22 16 61 38.6 16.5 ( ) 二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2. 第 一 章 緒 論 第 一 節 研 究 動 機 79 第 二 節 研
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优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
Microsoft PowerPoint - 資料庫正規化(ccchen).ppt
資 料 庫 正 規 化 正 規 化 的 概 念 何 謂 正 規 化 (Normalization)?? 就 是 結 構 化 分 析 與 設 計 中, 建 構 資 料 模 式 所 運 用 的 一 個 技 術, 其 目 的 是 為 了 降 低 資 料 的 重 覆 性 與 避 免 更 新 異 常 的 情 況 發 生 因 此, 就 必 須 將 整 個 資 料 表 中 重 複 性 的 資 料 剔 除, 否 則
Microsoft Word - 全華Ch2-05.doc
得 分 : 101 學 年 度 第 2 學 期 Ch2-5 數 字 系 統 與 資 料 表 示 法 命 題 教 師 : 範 圍 : 年 班 號 姓 名 一 單 選 題 : ( 1 ) 1. 通 常 PC 上 採 用 2 的 補 數 法 表 示 負 整 數, 所 使 用 的 整 數 範 圍 為 -32768 到 +32767, 請 問 此 情 況 下, 一 個 整 數 佔 用 多 少 Bytes? (1)2
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中華民國青溪協會第四屆第三次理監事聯席會議資料
- 1 - 中 華 民 國 第 八 屆 第 四 次 理 監 事 聯 席 會 議 程 序 表 日 期 中 華 民 國 1 0 4 年 1 2 月 1 9 日 ( 星 期 六 ) 地 點 臺 南 南 紡 夢 時 代 雅 悅 會 館 五 樓 ( 臺 南 東 區 中 華 東 路 一 段 366 號 ) 項 次 程 序 起 訖 時 間 使 用 時 間 主 持 人 或 報 告 人 報 到 16:30~17:00
例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x) x = a x = a 2
y = x x = 0 y 2 0 2 x Figure : y = x f x) x = a f x) x = a f a) dy dx x=a f a) x a f x) f a) x a f a + ) f a) f x) x = a f x) x = a y = x x = 0 例題. y = x x = 0 y = x 0 li 0 li 0 li = y = x x = 0 = f x)
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名 師 峻 堯 老 師 地 理 考 科 壹 前 言 ( 筆 者 對 於 指 定 考 科 的 界 定 ) 105 103~104 20 107 2
/ / 105 / / 7 0 2 4 8 76 / / 7 0 2 5 2 8-1 / / 06 2619621 #311 / E-mail / periodical @ hanlin.com.tw / http://www.worldone.com.tw http://www.worldone.com.tw NO.00847 ZXCV 名 師 峻 堯 老 師 地 理 考 科 壹 前 言 ( 筆
範 例 1.1 試 解 出 下 列 微 分 方 程 dx = y. 不 嚴 謹 做 法 : 把 微 分 方 程 改 寫 為 y = dx. 兩 邊 同 時 積 分 y = 之 後 可 以 推 得 : ln y = X + C, 兩 邊 同 時 取 exp 之 後 可 以 得 到 y = Ce x.
微 分 方 程 法 蘭 克 老 師 1 微 分 方 程 1.1 可 分 離 微 分 方 程 假 設 M(x), N(y) 都 是 定 義 在 某 個 區 間 上 的 連 續 函 數 我 們 希 望 解 以 下 類 型 的 常 微 分 方 程 以 不 嚴 謹 的 方 法 我 們 可 以 把 (1.1) 改 寫 成 M(x) N(y) = 0. (1.1) dx N(y) = M(x)dx. (1.2)
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2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13
1Part BEVERAGE MODULATION PREPARATION 2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 1. 980301 980302 980303 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13 C14 C15 C16
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《米开朗琪罗传》
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过 程 排 除 A 正 确 答 案 是 B 14.A 解 析 本 题 考 查 思 修 第 八 章 中 国 人 权, 新 增 考 点 其 中 直 接 考 查 宪 法 保 障 是 人 权 保 障 的 前 提 和 基 础 A 人 权 保 障 的 最 后 防 线 是 司 法 保 障,B 人 权 保 障 的
2016 考 研 政 治 真 题 答 案 及 解 析 ( 完 整 版 ) 来 源 : 文 都 教 育 一 单 选 题 1.B 解 析 此 题 考 查 的 是 适 度 原 则 AC 选 项 表 述 正 确 但 与 题 目 无 关 D 表 述 错 误, 现 象 表 现 本 质 的 只 有 B 与 题 干 相 符, 所 以 答 案 为 B 2.A 解 析 前 一 句 话 " 自 由 不 在 于 幻 想 中
試 題 詳 解 與 分 析 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 單 選 題 (1 分 ) 說 明.. 第 1 題 至 第 題, 每 題 5 個 選 項, 其 中 只 有 1 個 是 正 確 的 選 項, 畫 記 在 答 案 卡 解 答
100 年 數 學 乙 考 科 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 民 國 98 年 起, 數 學 乙 考 科 測 驗 範 圍 限 縮 了 大 部 分, 僅 觸 及 大 學 管 理 學 院 與 商 學 院 所 用 的 部 分, 排 列 組 合 與 機 率 統 計 搖 身 一 變 成 出 題 的 主 角, 但 題 目 平 易 重 觀 念 今 年 的 數 學 乙 試 題 如 往 年, 重 視 基 本
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1991 707 708 1972 36 1990 2 126 130 21 1656 1742 1705 1972 523 334-420 342-423 1433 1435 1975 205 = + = + = 1 2 ( ) 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 4 [ + ( ) ] 2 1 2 2 2
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數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 四. 對 常 用 數 學 思 想 方 法 考 查 的 對 比 自 八 十 年 代 以 來, 數 學 教 學 中 普 遍 重 視 能 力 的 培 養, 因 此 對 數 學 思 想 方 法 的 教 育 逐 步 得 到 不 同 程 度 的 發 展
994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 陳 振 宣 楊 象 富 我 們 對 大 陸 ( 統 一 考 試, 分 文 科 理 科 ) 台 灣 ( 分 社 會 組 自 然 組 ) 兩 套 高 考 試 卷 作 了 初 步 的 對 比 分 析, 現 將 結 果 羅 列 如 下, 供 兩 岸 的 專 家 和 廣 大 教 師 參 考 一. 知 識 含 蓋 面 的 對 比 大 陸 台 灣 的 教
「家加關愛在長青」計劃完成表現及評估報告
- 1 - - 2 - - 3 - - 4 - 註 一 一 般 義 工 : 任 何 人 志 願 貢 獻 個 人 時 間 及 精 神, 在 不 為 任 何 物 質 報 酬 的 情 況 下, 為 改 進 社 會 而 提 供 服 務, 時 數 不 限 ( 參 考 香 港 義 務 工 作 發 展 局 之 定 義 ) 註 二 核 心 義 工 : 由 於 建 立 社 會 資 本 所 重 視 的 是 網 絡 的
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核 算 加 計 利 息 滯 納 金 滯 納 利 息 規 定 及 計 算 範 例 各 稅 法 對 納 稅 義 務 人 逾 期 繳 納 稅 款, 大 多 有 加 徵 滯 納 金 加 計 利 息 之 規 定, 而 逾 期 與 否, 應 以 繳 款 書 所 填 載 之 繳 納 期 間 繳 納 期 限 或 限 繳 日 期 為 準 認 定 之 各 代 收 稅 款 金 融 機 構 對 於 逾 期 繳 納 稅 款
2010年澳门市民体质监测公报
2010 年 澳 門 市 民 體 質 監 測 綜 合 簡 報 為 了 系 統 掌 握 澳 門 市 民 體 質 狀 況 和 變 化 規 律, 推 動 澳 門 市 民 科 學 健 身 活 動 的 開 展, 澳 門 體 育 發 展 局 聯 合 衛 生 局 教 育 暨 青 年 局 社 會 工 作 局 高 等 教 育 輔 助 辦 公 室 和 澳 門 理 工 學 院 等 部 門, 在 國 家 體 育 總 局 體
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第 直 流 迴 路 章 4-1 節 點 電 壓 法 4-2 迴 路 電 流 法 4-3 重 疊 定 理 4-4 戴 維 寧 定 理 4-5 最 大 功 率 轉 移 4-6 諾 頓 定 理 4-7 戴 維 寧 與 諾 頓 之 轉 換 重 點 掃 描 習 題 探 討 熟 練 節 點 電 壓 法 的 解 題 技 巧 熟 練 迴 路 電 流 法 的 解 題 技 巧 熟 練 重 疊 定 理 的 解 題 技 巧
1 32 a + b a + b 2 2 a b a b 2 2 2 4a 12a + 9 a 6 2 4 a 12a + 9 a 6 ( 2a 3) 2 a 6 3 1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + 1 3 9 + 2 6 18+ 3 9 27 + 1 10 1 10 ax + by = 2 cx 7y = 8 1 2 1 4 1 8 1
Microsoft Word - 2-2染色體與細胞分裂.doc
ERIC BIOLOGY 2-2 染 色 體 與 細 胞 分 裂 焦 點 7 染 色 體 學 說 ( 染 色 體 遺 傳 學 說 ) 提 出 者 洒 吞 & 巴 夫 來 (1) 親 代 的 基 因 經 由 精 子 和 卵 遺 傳 給 後 代, 基 因 必 位 於 生 殖 細 胞 內 (2) 根 據 孟 德 爾 互 交 實 驗 結 果, 精 子 和 卵 對 遺 傳 的 貢 獻 相 同 推 論 精 子
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圆运动的古中医学 彭子益 著 叶贤(kf701) 排版 目录 整理 己丑年于合肥 读万卷书 行万里路 不枉此生 内容目录 内容目录...2 医家小传...7 全书概要...8 本书读法次序...9 圆运动的古中医学总目...10 原理上篇...11 导言...11 目录...11 二十四节气圆运动简明图说...11 阴阳...12 五行...13 五行相生相克...14 六气...15 人秉大气的五行而生脏腑...16
長跨距暨挑高建築特殊結構系統之調查分析
第 一 章 1 2 3 4 第 二 章 5 6 7 8 1. 2. 9 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 10 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 11 第 三 章 p 12 b / B 0.75 13 p 14 15 D = l 20 +10 16 17 p l D l D l D 3 p 4 3 18 19 20 21 22 23 24 25
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骨 折 別 日 數 表 1. 鼻 骨 眶 骨 ( 含 顴 骨 ) 14 天 11. 骨 盤 ( 包 括 腸 骨 恥 骨 坐 骨 薦 骨 ) 40 天 2. 掌 骨 指 骨 14 天 12. 臂 骨 40 天 3. 蹠 骨 趾 骨 14 天 13. 橈 骨 與 尺 骨 40 天 4. 下 顎 ( 齒
查 詢 本 公 司 資 訊 公 開 說 明 文 件, 請 上 本 公 司 網 站, 南 山 產 物 團 體 傷 害 保 險 傷 害 醫 療 保 險 給 付 ( 日 額 型 ) 附 加 條 款 ( 主 要 給 付 項 目 : 傷 害 醫 療 保 險 金 日 額 保 險 金 ) 100.05.27(100) 美 亞 保 精 字 第 0097 號 函 備 查 101.08.08(101) 美 亞 保 精
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1 2 A 3 AB 8 11 12 13 14 15 16 4 5 6 21 200 (l)20 (2)15 (3)10 7 8 9 10 11 11 12 14 15 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 18 203500 1500 500 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
教育實習問與答:
問 與 答 集 一 總 則 Q1: 本 校 開 設 的 教 育 學 程 的 類 別 有 那 幾 種? A1: 本 校 開 設 的 教 育 學 程 有 中 等 學 校 師 資 類 科 教 育 學 程 ( 取 得 國 中 高 中 高 職 等 教 師 資 格 ) 國 民 小 學 師 資 類 科 教 育 學 程 取 得 國 小 教 師 資 格 ) 二 修 習 對 象 與 資 格 Q1: 在 何 種 條 件
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高 中 數 學 必 修 部 分 教 育 局 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組 前 言 目 錄 頁 數 i 學 習 單 位 1 一 元 二 次 方 程 1 學 習 單 位 函 數 及 其 圖 像 4 學 習 單 位 3 指 數 函 數 與 對 數 函 數 6 學 習 單 位 4 續 多 項 式 8 學 習 單 位 5 續 方 程 10 學 習 單 位 6 變 分 1 學 習 單 位 7 等 差
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 5 具 有 听 觉 的 不 足 6 个 月 的 婴 儿 能 迅 速 分 辨 相 似 的 语 音, 不 仅 仅 是 那 些 抚 养 这 些 婴 儿 的 人 使 用 的 语 言 的 声 音 而 年 轻 人 只 能 在 他 们 经 常 使 用 的
0 年 考 研 经 济 类 联 考 综 合 能 力 模 拟 题 ( 一 ) Born to win 一 逻 辑 推 理 : 第 ~0 小 题, 每 小 题 分, 共 40 分 下 列 每 题 给 出 的 A B C D E 五 个 选 项 中, 只 有 一 个 是 符 合 试 题 要 求 的 癣 是 一 种 由 某 种 真 菌 引 起 的 皮 肤 感 染 很 大 一 部 分 得 了 癣 这 种 病
期交所規則、規例及程序
黃 金 期 貨 合 約 細 則 下 述 合 約 細 則 適 用 於 黃 金 期 貨 合 約 : 相 關 資 產 合 約 單 位 交 易 貨 幣 合 約 月 份 報 價 最 低 價 格 波 幅 立 約 成 價 立 約 價 值 持 倉 限 額 成 色 不 少 於 995 的 黃 金 100 金 衡 安 士 美 元 現 貨 月 及 下 兩 個 曆 月 集 團 行 政 總 裁 與 證 監 會 會 商 後 可
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
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3.4 控 制 機 能 1/20 1. 顯 示 區 顯 示 當 前 起 重 機 狀 態 2. 蜂 鳴 器 蜂 鳴 器 主 要 用 於 過 載 ( 包 括 載 荷 限 制 警 報 ) 當 負 荷 到 達 90% 時, 蜂 鳴 器 間 歇 性 警 報, 到 達 100% 率 時 連 續 警 報 負 荷 率 增 加 時, 蜂 鳴 器 警 報 間 隔 時 間 越 來 越 短 警 報 類 型 間 斷 連 續
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數 學 乙 考 科 101 年 台 中 一 中 / 陳 正 明 老 師 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 今 年 是 95 暫 綱 的 最 後 一 次 指 考, 數 學 乙 的 考 題 重 視 基 本 定 義 觀 念 的 理 解, 整 份 考 題 題 目 數 不 多, 不 需 要 繁 瑣 的 計 算, 考 題 算 中 間 偏 易, 試 題 內 容 可 能 是 95 暫 綱 上 路 四 年 來