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- 谘学 东方
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1 4 圓與直線的關係 ( 甲 ) 圓與直線的關係 (1) 圓與直線相交情況 : C C C L L L 不相交 ( 相離 ) 相交於一點 ( 相切 ) 相交於相異兩點 ( 相割 ) () 圓與直線的關係之判別 ( 代數觀點 ): (a) 原理 : 利用 圖形的交點就是聯立方程式的實數解 的觀念判別之 x + y + dx + ey + f = 0 (b) 方法 : 已知聯立方程式 ax + by + c = 0 將一次式代入二次式中, 得到一元二次方程式, 令其判別式為 D 結論 : 相離 D<0 相切 D=0 相割 D>0 (3) 圓與直線的關係之判別 ( 幾何觀點 ): (a) 原理 : 利用 圓心到直線的距離 與 半徑 的關係判別之 (b) 方法 : 設圓 C 的圓心為, 半徑為 r, 由 到直線 L 的距離為 d, 則相離 d>r 相切 d=r 相割 d<r 結論 : L L L 圓與直線的關係 相離 d(,l)> 半徑 相切 d(,l)= 半徑 相割 d(,l)< 半徑 交點數 0 1 坐標幾何 x + y + dx + ey + f = 0 x + y + dx + ey + f = 0 x + y + dx + ey ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 無解恰有一解有兩組相異解 + f = 0 ~4 1~
2 [ 例題 1] 試就實數 k 值討論直線 L:kx+y 3=0 與圓 C:x +y =3 的相交情況 ns:(1) 相離, <k< () 相切,k=, 或 k= (3) 相交,k> 或 k< [ 例題 ] 設直線 y=mx 與圓 :x +y 4x+y+1=0 交於 B 兩點, 若 B= 6, 則 m=? ns:m= 1 3 或 3 B [ 例題 3] 圓 C:x +y =4 上的動點 P 到直線 L:x y=10 之距離的 (1) 最大值 =, 此時 P 點坐標為 () 最小值 =, 此時 P 點坐標為 ns:5 +,P(, );5,P(, ) ( 練習 1) 設直線 L:3x+4y+k=0, 圓 C:(x 1) +y =9, 請就實數 k 討論直線 L 與圓 C 的位置的關係 ns: 相切 k=1 或 18, 相割 18<k<1, 相離 k>1 或 k< 18 ~4 ~
3 ( 練習 ) 求線 L:4x 3y+1=0 在圓 x +y =41 內的弦長 ns: 3 5 ( 練習 3) 設直線 y=mx+4 m 與圓 :x +y =5 交於 B 兩點, 若 B=6, 則 m=? 8 ns:0 或 15 ( 練習 4) 求圓 x +y =4 之點到直線 3x 4y=0 的距離之最大值與最小值, 並求此時點坐標 ns:m=6 點 ( 6 5,8 5 );m= 點 ( 6 5, 8 5 ) ( 乙 ) 圓的切線 (1) 圓的切線 : 割線 : 當一條直線與圓相交於兩點時, 這樣的直線稱為圓的割線 國中時圓的切線是這樣定義的 : 與圓恰有一個交點的直線稱為圓的切線, 該交點稱為切點 圓的切線性質 : (a) 圓的切線中, 除了切點 P 之外, 其餘的點都在圓的外部 (b) 圓心與切點的連線必垂直於切線 (c) 圓心到切線的距離等於半徑 [ 說明 ]: () 切線的求法 : 我們將圓的切線之型態分成三類 : (a) 過已知點, 求切線 (b) 已知切線斜率, 求切線 (c) 通過圓外一點, 求切線 求切線的方法 : 不管是那一種型態, 求圓的切線均可利用 圓心到切線的距離等於半徑 圓心與切點的連線必垂直於切線 這些觀念去解決 ~4 3~
4 [ 例題 4] (1) 求通過 x +y =5 上一點 (3,4) 的切線方程式 () 已知點 B(,7) 在圓 x +y +x 6y 15=0 上, 試求過 B 點的切線方程式 ns:(1)3x+4y=5 ()3x+4y 34=0 圓上一點的切線公式 ( 僅供參考 ) 設 T(x 1,y 1 ) 為圓 C:x +y +dx+ey+f=0 上給定的一點, 則以 T 為切點的切線方程式為 x 1 x+y 1 y+d( x 1+x [ 證明 ]: 設 P(x,y) 為切線 L 上的任意點 )+e( y 1+y x +y +dx+ey+f=0 (x+ d ) +(y+ e ) = d +e 4f 4, 所以 ( d, e ) PT T TP T =0 (x x 1,y y 1 ) ( d x 1, e y 1)=0 (x x 1 )( d x 1)+( y y 1 )( e y 1)=0 xx 1 + d x x 1 d x 1+y 1 y+ e y y 1 e y 1=0.(*) 再利用 T(x 1,y 1 ) 在圓 C 上, 即 x 1 +y 1 +dx 1 +ey 1 +f=0..(**) (*)+(**) x 1 x+y 1 y+d( x 1+x )+e( y 1+y )+f=0 )+f=0 T P [ 例題 5] 試求斜率為 1, 圓 x +y 6x 4y+5=0 的切線 ns:y= x+1 或 y= x+9 ~4 4~
5 [ 例題 6] 求通過 (4,) 與圓 x +y 4x+4y =0 相切的直線 ns:y = 1 3 (x 4) 或 y = 3(x 4) 已知斜率的切線公式 : (1) 圓 x +y =r 中, 斜率為 m 的切線為 y=mx±r 1+m () 圓 (x x 0 ) +(y y 0 ) =r 中, 斜率為 m 的切線為 y y 0 =m(x x 0 )±r 1+m 結論 : (a) 過圓外一點求切線的方法 : 設 P(x 1,y 1 ) 在圓 x +y +dx+ey+f=0 外, 則過此點之切線方程式求法 : 設所求切線方程式為 y y 1 =m(x x 1 ), 利用圓心到切線的距離等於半徑, 求斜率 m ( 注意 : 當 m 只有一個值時, 還有另一切線為鉛直線 x x 1 =0) (b) 已知切線斜率 (m) 求切線 : 設切線斜率為 y=mx+k, 利用圓心到切線的距離等於半徑, 求 y 截距 k ( 練習 5) 圓 C:(x 3) +(y ) =1 及一點 P(4,5), 求過 P 點而與圓 C 相切之切線方程式 ns:4x 3y 1=0 或 x=4 ( 練習 6) 設直線 L:x y+3=0, 圓 C:x +y +6x y+5=0 (1) 平行 L 與圓 C 相切的直線 () 垂直 L 與圓 C 相切的直線 ns:(1)x y+10=0,x y=0()x+y=0,x+y+10=0 ( 練習 7) 求過點 P(3, 1) 與圓 C:x +y +x y 17=0 相切的直線 ns:8x 3y 7=0 ~4 5~
6 ( 練習 8) 直線 5x y a=0 與圓 3x +3y x+4y+b=0 相切於 (c, 1), 求實數 a,b,c 之值 ns: a=11,b= 7,c= [ 例題 7] 自點 ( 3,3) 發出的光線 L 射到 x 軸上, 被 x 軸反射, 其反射光線所在直線與圓 x +y 4x 4y+3=0 相切, 求光線 L 所在的直線方程式 ns:x+y+3=0 y x [ 例題 8] 設 x(4 x) =mx+4 有兩相異實數解, 求 m 的範圍 ns: 1 m< 3 4 y x y = m( x 3) + 4 ( 練習 9) 設 有兩解, 求 m 的範圍 ns: x + y = 4 5 <m< 5 ( 練習 10) (1) 作圖 C:y=3 4 x y 9 14 () 若 P(x,y) 在 C 上, 求 x+3 的極大值 極小值 ns:3, 5 ~4 6~
7 ( 丙 ) 圓系 (1) 若設圓 C 1 :x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 =0, 與圓 C :x +y +d x+e y+f =0, 則過兩圓交點之所有圓方程式可設為 k 1 (x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 )+k (x +y +d x+e y+f )=0, 其中 k 1 +k 0 [ 證明 ]: 令 f 1 (x,y)= x +y +d 1 x+e 1 y+f 1,f (x,y)= x +y +d x+e y+f, 圓 C 1 的方程式為 f 1 (x,y)=0, 圓 C 的方程式為 f (x,y)=0, 假設 C 1 C 的交點為 (x 1,y 1 ) B(x,y ) 所以 f 1 (x i,y i )=0,f (x i,y i )=0,i=1, 今圓 過 B 兩點, 令 C(m,n) 為圓 上異於 B 兩點的點, C 取 k 1 =f (m,n),k = f 1 (m,n) 考慮 f (m,n) (x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 ) f 1 (m,n)(x +y +d x+e y+f )=0 B 將 B C 三點代入均成立, 因此上式所代表的圓通過 B C 三點而過 B C 三點的圓只有一個 所以 f (m,n) (x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 ) f 1 (m,n)(x +y +d x+e y+f )=0 為通過 B 兩點的圓 根據前面的結果, 當 k 1 0, 通過兩圓交點的圓, 可寫成 : (x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 )+k(x +y +d x+e y+f )=0, 其中 k= k k 1 通過圓 C 1 :x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 =0, 與圓 C :x +y +d x+e y+f =0, 則過兩圓交點之所有圓方程式可設為 (x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 )+k(x +y +d x+e y+f )=0 ( 不包含圓 C ) () 設通過圓 C:x +y +dx+ey+f=0 與直線 L:ax+by+c=0 之交點之圓系方程式為 : (x +y +dx+ey+f)+k(ax+by+c)=0,k 為任意實數 [ 證明 ]: 方法同 (1) (3) 若圓 C 1 :x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 =0, 與圓 C :x +y +d x+e y+f =0, 且兩圓相交於 B 兩點, 則直線 B 方程式為 (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 [ 證明 ]: 令 f 1 (x,y)= x +y +d 1 x+e 1 y+f 1,f (x,y)= x +y +d x+e y+f, 圓 C 1 的方程式為 f 1 (x,y)=0, 圓 C 的方程式為 f (x,y)=0, 假設 C 1 C 的交點為 (x 1,y 1 ) B(x,y ) 考慮 f 1 (x,y) f (x,y)= (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 這個方程式因為 f 1 (x i,y i )=0,f (x i,y i )=0,i=1, 所以 (d 1 d )x i +(e 1 e )y i +(f 1 f )=0,i=1, 因此 (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 通過 B 兩點又過 B 兩點只有一直線故直線 B 方程式為 (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 ~4 7~
8 [ 例題 9] 過 x +y 4x 8=0,x +y 4x 0y+5=0 的交點, 且與直線 x 7=0 相切得圓方程式 ns: x +y 4x y 0=0 或 x +y +4x 14y+8=0 [ 例題 10] 設圓 C:x +y x y =0 與直線 L:x+y=0 交於 B 兩點, 設定點 P(1,1), 則 (1) PB 的外接圓方程式為何? () 直線 B 的方程式 ns:(1)3x +3y x+y 6=0()x y=0 ( 練習 11) 求過兩圓 x +y x+4y 4=0,x +y x 3=0 之交點, 且過 (,1) 的圓方程式 ns:x +y x 8y 1=0 ( 練習 1) 通過 x +y +x 4y+1=0 與直線 x y+4=0 之交點且切 Y 軸之圓方程式 ns:x +y +6x 6y+9=0 或 x +y +14x 10y+5=0 ( 練習 13) 通過 x +y 4x 6y+4=0 與 x y =0 之交點且半徑為 3, 求圓方程式 ns:x +y 7x 3y+10=0 ~4 8~
9 ( 練習 14) 設直線 L:x+y 4=0 與圓 C:x +y +x y 14=0 相交於,B 二點, 試求 (1) 通過,B 二點及原點的圓方程式 () 通過,B 二點且與直線 x+y+=0 相切的圓方程式 ns:(1)x +y 3x 11y=0 ()3x +3y x 13y 14=0 ( 練習 15) 求過兩圓 x +y =4 x +y +x 3=0 之交點且半徑為 4 之圓方程式 ns:x +y +8x=0 或 x +y 6x 7=0 ( 丁 ) 圓的其他性質 (1) 切割線性質 : (a)pt =P PB=PC PD (b) P PB=PC PD C T D B D P P B C () 切線段長與圓冪 : [ 例題 11] (1) 設 P(x 1,y 1 ) 為圓 x +y +dx+ey+f=0 外部一點, 則自 P 點所作的切線長為 x 1 +y 1 +dx 1 +ey 1 +f () 試求點 P(5,8) 到圓 x +y 4x+6y+1=0 之切線段長度 ns: 3 46 T P ~4 9~
10 [ 補充教材 ]: 圓冪 : 點 P(x 0,y 0 ) 對圓 C:x +y +dx+ey+f=0 的冪 (power)= x 0 +y 0 +dx 0 +ey 0 +f x 0 +y 0 +dx 0 +ey 0 +f=(x 0 + d ) +(y 0 + e ) ( d +e 4f )= P ( 圓 C 的半徑 ) 圓冪的幾何意義 : (a) 點 P 在圓 C 外面 : 圓冪 = P ( 圓 C 的半徑 ) = PT = P PB (b) 點 P 在圓 C 上面 : 圓冪 = P ( 圓 C 的半徑 ) =0 (c) 點 P 在圓 C 內部 : 4 圓冪 = P ( 圓 C 的半徑 ) = P PB B T P P B (3) 兩圓的公切線 : 外公切線長 = 1 ( r1 r ) 1 內公切線長 = 1 ( r1 r ) + 1 B ~4 10~
11 [ 例題 1] 設 C 1 :(x ) +(y 3) =4,C :(x 6) +(y+3) =9, 求 C 1,C 的外公切線方程式及其長 4± 51 ns:y 15=( 15 )(x+6), 15 1 [ 例題 13] ( 極線 ) 證明 : 設 P(m,n) 為圓 x +y =r 外一點, 過 P 作此圓之切線, 設切點分別為 Q R, 則直線 QR 之方程式為 mx+ny=r Q P R ( 練習 16) xy 平面上有一定點 ( 1,) 及一圓 :x +y x+4y 3=0 試求 (1) 點 到圓 C 的切線段長 () 過 的直線與圓 C 相交於 P,Q 兩點, 求 P Q 之值 ns:(1) 3 ()1 ( 練習 17) 二圓 C 1 :x +y 6x y+1=0,c :x +y +4x+3=0, 則 (1) 二圓的外公切線長 內公切線長 () 設二圓的外公切線夾角 θ, 則 sinθ=? (3) 二圓外公切線的交點 內公切線的交點 (4) 二外公切線方程式 (5) 二內公切線方程式 ns:(1), 10 () 13 (4)y+ 1 =5± 1 (3)( 9, 1 ) ( 3 4,1 4 ) (x+ 9 )(5) y =5±4 9 (x+ 3 4 ) ( 練習 18) 點 P(3,4) 對圓 :x +y =9 所引之切點連線的方程式 ns:3x+4y=9 ~4 11~
12 綜合練習 x + y + k = 0 (1) 請就實數 k 值討論方程組 的解的個數 x + y + x 6y 6 = 0 () 設兩圓, 圓 C 1 :x +(y ) =1 與圓 C :(x+3) +(y+) =a (a>0) 試求 : (a) 若圓 C 1 與圓 C 相切, 則 a 值範圍為何? (b) 若圓 C 1 與圓 C 外離, 則 a 值範圍為何? (c) 若圓 C 1 與圓 C 內離, 則 a 值範圍為何? (d) 若圓 C 1 與圓 C 相交, 則 a 值範圍為何? (3) 求過點 (,4) 與圓 x +y +x+4y 4=0 相切的直線, 並求出切點坐標 (4) 過原點作圓 x +y 6x y+9=0 的切線, 求切線方程式 (5) 在坐標平面上 (7,5) 處有一光源, 將圓 x +(y 1) =1 投影到 x 軸的影長為 (6) 設圓 C 與直線 4x 3y+1=0 相切於 (a,3), 且 a>0, 與 y 軸相切於 (0,b), 且 b>0, 求圓 C 的方程式及 a,b 兩數之值 (7) 試求過 (1,) 且與 x 軸,y 軸均相切的圓方程式 (8) 試求圓心在 (9,7) 且又與圓 C:x +y +x 4y=15 相切的兩圓較小者的圓方程式 (9) 試求圓 C:x +y 8x 5y+k=0 與 x 軸相切時的 k 值 (10) 設 P(,h) (h>0) 為光源,C:x +y =1(y 0) 為半圓形障礙線, 若光源要照到點 (,0), 問 h 至少為多少? (11) 過 P(1,) 對圓 x +y 4x+y 4=0 作兩切線, 若切點為 Q R, 則 (a) 請問 PQR 的外接圓方程式 (b) 直線 QR 的方程式 (c) 兩切線的方程式 (1) 設圓 C 通過 x +y 1x+3y+8=0 與直線 x y 19=0 的交點及點 (1,0), 試求圓 C 的方程式 (13) 圓心在 x y=6 上且與兩坐標軸相切之圓方程式 (14) 試求通過二圓 C 1 :x +y x+y =0 與 C :x +y =5 的交點, 且圓心在 L:3x+4y 1=0 上的圓方程式 (15) 設 P,Q 為 y 軸上兩定點且 Q(0, 3), 若 P 到圓 C:4x +4y 3x+0y+53=0 的切線段長等 於 PQ 長, 求 P 坐標及切線段長 (16) 求 P(6,8) 到圓 (x 3) +(y 4) =1 之 (a) 最近距離 m=, 此時點坐標為 ~4 1~
13 (b) 最遠距離 M=, 此時點坐標為 (17) 設圓 C 1 :x +y +d 1 x+e 1 y+f 1 =0, 與圓 C :x +y +d x+e y+f =0, 不為同心圓, 若 P(m,n) 至圓 C 1 C 的切線段長相等, 求證 : P 點落在 (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 上 進階問題 (18) 已知圓心 (4,) 的圓 C 與 x 軸相切, 若自點 (,1) 發射光線 L 經 x 軸反射後與此圓相切 (L 不可在與 x 軸接觸前先碰到圓 C), 則光線 L 所在的直線斜率為何? (19) (a) 已知點 P(x 0,y 0 ), 圓 C:x +y +Dx+Ey+F=0, 若過點 P 引一直線交圓 C 於 B 兩點, 則 P PB== x 0 +y 0 +Dx 0 +Ey 0 +F, 試證之 (b) 已知 B 為圓 C:x +y +x 6y 3=0 之一弦,P(,5) 為 B 之三等分點, 求 B (0) 在坐標平面上有一圓 C:x +y =37, B 為圓 C 之一弦且點 P(1,) 恰為 B 之三等分點, 試求直線 B 之方程式 ( 二解 ) (1) 自圓 C:x +y +dx+ey+f=0 外一點 P(x 0,y 0 ) 作圓 C 的二切線, 設切點為 P 1 (x 1,y 1 ) P (x,y ), 則直線 P 1 P 的方程式為 x 0 x+y 0 y+ d (x 0+x)+ e (y 0+y)+f=0 () 過點 P 作圓 C:x +y 8x+6y=0 之切線, 切點 P 1 P, 設直線 P 1 P 之方程式為 7x+y=0, 試求 P 之坐標 綜合練習解答 (1) <k< 兩組解,k= 5±4 5 一組解,k> k< 無 實數解 () (a) a=6 或 a=4(b) 0<a<4(c) a>6(d) 4<a<6 (3) 3x 4y+10=0 為切線時, 切點 ( 14 5, 5 ) x= 為切線時, 切點 (, ) (4) y=0 與 3x 4y=0 (5) 16 3 (6) (x 10 9 ) +(y 11 3 ) = ,a=,b=11 3 (7) (x 1) +(y 1) =1 及 (x 5) +(y 5) =5 (8) (x 9) +(y 7) =45 (9) k=8 (10) h 至少為 4 3 (11) (a)x +y 3x y=0 (b)x 3y+4=0 (c)y= 或 y = 3 4 (x 1) (1) (x 5) +(y+1) =17 ~4 13~
14 (13) (x+6) +(y+6) =36 或 (x ) +(y+) =4 (14) x +y +x y 11=0 (15) P(0, 17 4 ) 9 切線段長 4 (16) (a) m=4,( 18 5,4 5 ) (b) M=6,(1 5,16 5 ) (17) [ 證明 : 設 P 點對圓 C 1 C 的切點為 T 1 T, 因為 P 到圓 C 1 C 的切線段相 等, 所以 m +n +d 1 m+e 1 n+f 1 = PT 1 =PT = m +n +d m+e n+f 所以 (d 1 d )m+(e 1 e )n+(f 1 f )=0, 故 P 點落在 (d 1 d )x+(e 1 e )y+(f 1 f )=0 上 ] (18) (19) (a) 當 P 點在圓外時,P PB=PT = x 0 +y 0 +Dx 0 +Ey 0 +F ( 參考例題 11), 當 P 點在圓內部時, 引一弦 CD 通過圓心 與 P 點, P PB=PC PD=(r P)(r+ P)=r P = ( x 0 +y 0 +Dx 0 +Ey 0 +F) 結論 :P PB== x 0 +y 0 +Dx 0 +Ey 0 +F (b)6 (0) y = 3 4 (x 1) 及 x 1=0 [ 提示 : 用 (19) 題的結果, 可知 PB=3 P=8,PB=4 B=1, 令直線 B 的方程式為 y =m(x 1), 利用弦中點與圓心連線垂直平分弦的性質, 圓心到直線 B 的距離 =1 m+ m +1 = 1 m=3 4, 但此種直線有兩條, 所以令一直線是 x 1=0] (1) [ 證明 : 圓 C 上過切點 P 1 (x 1,y 1 ) 的切線方程式為 x 1 x+y 1 y+ d (x 1+x)+ e (y 1+y)+f=0, 圓 C 上過切點 P (x,y ) 的切線方程式為 x x+y y+ d (x +x)+ e (y +y)+f=0, 因為這兩條切線均通過 P(x 0,y 0 ), 所以 x 1 x 0 +y 1 y 0 + d (x 1+x 0 )+ e (y 1+y 0 )+f=0 且 x x 0 +y y 0 + d (x +x 0 )+ e (y +y 0 )+f=0, 因此 x 0 x+y 0 y+ d (x 0+x)+ e (y 0+y)+f=0 通過 P 1 (x 1,y 1 ) P (x,y ) 故直線 P 1 P 的方程式為 x 0 x+y 0 y+ d (x 0+x)+ e (y 0+y)+f=0 () P( 3, 4) [ 提示 : 設 P(m,n), 根據 (1) 題的結果 P 1 P 的方程式為 x+ny 4(m+x)+3(n+y)=0 與 7x+y=0 比較係數 m= 3,n= 4 ] ~4 14~
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
標題
4 1 圓 第四章圓與球面 ( 甲 ) 圓的方程式 (1) 圓的定義 : 平面上跟一個定點 等距離 r 的點 P 所形成的軌跡稱為圓 其中 稱為圓心,r 稱為半徑 (2) 圓的方程式 : 從坐標幾何的觀點來看, 給定圓心 (h,k), 半徑 r, 如何來描述圓呢? 圓這個圖形可否能像直線一樣能用一個方程式來表示呢? (a) 圓的標準式 : 若設圓心 (h,k), 半徑為 r, 則此圓的方程式為 (
2-3 圓錐曲線的切線與法線
-3 隱函數的微分 ( 甲 ) 隱函數的微分 討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這 類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上 而我 們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若 干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切點的函數, 求出切線斜率, 進一步 求出切線的方程式
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
Microsoft Word - 2-3åœfiè‹⁄çł´ç·ıçı—銜俇(ä¿®æfl¹).docx
3 圓與直線的關係在國中時, 曾學過在平面上圓與直線的位置關係, 有下列三種情形 : (1) 若圓 C 與直線 L 交於相異兩點, 如圖 (a), 則稱直線 L 為圓 C 的割線 () 若圓 C 與直線 L 恰交於一點 P, 如圖 (b), 則稱直線 L 為圓 C 的切線, P 為切點 (3) 若圓 C 與直線 L 沒有交點, 如圖 (c), 則稱直線 L 和圓 C 不相交 ( 相離 ) (a) 交於相異兩點
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
一、 是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0
一 是非題 ( 第 題每題 0 分 ). 已知球面 S:x + y + z x + 4y + z 9 = 0, 平面 E :x + y + z = 0,E :x y + z =,E :y =,E 4 :x y z = 0,E 5 :x = y 考慮諸平面與球 面 S 所交的圓之面積 () 面積最大者為 E 與球面 S 所交的圓 () 面積最小者其面積為 6π 解答 () () () 球心 A(,,
數學
( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a
1 32 a + b a + b 2 2 a b a b 2 2 2 4a 12a + 9 a 6 2 4 a 12a + 9 a 6 ( 2a 3) 2 a 6 3 1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + 1 3 9 + 2 6 18+ 3 9 27 + 1 10 1 10 ax + by = 2 cx 7y = 8 1 2 1 4 1 8 1
標題
函數的微分 ( 甲 ) 函數的導函數 () 導函數的引入 : 例子一 : 設 f(x)x / f ( x) f ( a) x a,a 為任意數 f ( a) lim lim a x a x a x a x a 對於 f(x) 的定義域中的每一個 a 而言,f(x) 在 xa 處的導數為 f / (a)a a 5 f / (a) 4 5 6 根據上表, 可知 f(x) 定義域中的每個點 a f(x)
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-1 點 直線 圓之間的關係 例題 1 切線性質之應用如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點 已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑 隨堂練習 1 如 圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點 已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
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甲 直線的斜率 第二章直線與圓 -1 直線方程式及其圖形 乁重點整理乁 第二章直線與圓 59 1. 設 A( x 1, y 1 ), B( x, y ) 為直線 L 上相異兩點, 若 x1 x m L y = x y x 1 1 註 : 由定義可推知 : ; 若 x1 = x, 則 L 為鉛直線, 斜率不存在., 則直線 L 的斜率定義為 (1) 直線由左下往右上傾斜時, 斜率為正 ; 由左上往右下傾斜時,
ok321 直線方程式
主題一 直線的斜率 斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率 斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率 同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大
國中數學基本學習內容補救教材 第五冊
五 -1 單元五直線與圓及兩圓的關係 主題一點與圓的關係 校慶來臨, 小欣的班上決定擺設射飛鏢遊戲的攤位, 製作了一個半徑為 20 公分的圓作為鏢靶 遊戲規則未射中圓形鏢靶得 0 分射中圓形圓形標靶內部得 5 分恰好射中圓形標靶外框得 10 分 小欣 自己試玩 4 次, 結果落在點 A B C D( 如圖 ), 其中 的 D 點因圓沒畫完, 看不出 D 點的位置是在圓內, 圓上還是圓 外, 因此請小蘋
章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 兩圓位置關係與公切線數量 : O 1 r 1 O 2 r 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r 2 O 1 O 2 r 1 r O 1 O 2 r 1 r r 1 r 2 O 1 O 2 r
24 2-1 點 線 圓 本節性質與公式摘要 1 圓的切線 : 1 2 2 兩圓位置關係與公切線數量 : 1 r 1 2 r 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 2 1 2 r 1 r 2 2 1 r 1 r 2 1 2 r 1 r 2 2 0 1 2 r 1 r 2 1 0 0 1 2 r 1 r 2 0 0 3 圓外切四邊形 : 例 4 弦心距 : 例 M MMM
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十六單元 向量的應用 ( 甲 ) 分點公式與共線的條件 (1) 本節所要使用的基本知識 : (a) 向量的加減法 係數積 加減法 分解 ( 可用任意點作分解 ) =O+O ( 加法分解 ) =O O ( 減法分解 ) 係數積 平行與三點共線平行 :=r // (b) 向量的內積 : 夾角與內積 : a. b = a b cosθ 長度與內積 : a 2 = a. a 垂直與內積 : a b a.
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
函數的極大極小應用
極大值與極小值 第二章 導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
Microsoft Word 寒假作業B3.doc
101-1 寒假高二學藝活動數學作業 作業時數 :10 小時 1. ABC 中, B = 10, BD 為 ABC 之平分線, AB = 6, BC =,又 ABE = 90 ( 如圖 ),則: (1) BD =. () AE =.. 設等腰 ABC 中, B = 90,若 D 是 BC 的中點,則 : (1)tan BAD =. ()tan CAD =. sinα + sin β = 1. 設,求
遞迴數列
-3 雙曲線 目標 首先由雙曲線的定義及雙曲線的尺規描點作圖來認識雙曲線及其幾何性質 ; 再者 利用解析法推導出雙曲線的標準式及經過平移 伸縮後的雙曲線方程式 作為進一步探討雙曲線的基礎 討論. 設在平面上 給定兩相異點 F F 及一線段長 其中 FF > 則所有滿足 PF PF 的動點 P 所形成的圖形稱為雙曲線 F 及 F 稱為焦點 如圖所示 左邊一支距焦點 F 較遠 滿足 PF PF ; 右邊一支距焦點
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y
一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 :
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8, 3, 5, ( ),, 3,,, ;, ;,,,,,,,,,
,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
Microsoft Word - 第3章_99_.doc
- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
ok332 平面向量的座標表示法
1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry
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2016 14 1.5 21 1. 50% 20% 5% 10% A.2 B.10.5 C.10 D.2.1 A = 1/ - =50%20%/10%5%=2 2. 2015 1 1.2 1.5 2016 1.9 2015 A.50% B.90% C.75% D.60% A = / = =1.2 1.5=1.8 2016 =1.9-1 /1=0.9 =0.9/1.8=50% 3. A. B. C.
(Microsoft Word - 002_\303D\245\330\250\367.DOT)
2-2 二元一次方程式圖形一 單選題 ( )1. x y 是正整數時, 方程式 x+y=5 的圖形是 : (A) 二點 (B) 三點 (C) 四點 (D) 一直線答案 :C 班別 : 姓名 : 座號 y = 3x + 6 ( )2. 二元一次聯立方程式 的圖形在坐標平面上有幾個交點? y = 3x + 3 (A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個 (D) 無限多個答案 :A ( )3. 下列方程式中,
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞
二次曲線 西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞 十七世紀 解析幾何的主要 發現之一 是許多幾何曲線從幾 何的觀點來看似乎是彼此完全不 同的
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
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建國高中 95 課綱選修課程幾何學講義 臺北市立建國高中范文榮老師 ( 本講義內容若有疏漏不妥之處, 敬請各位先進惠賜寶貴意見 ) 全等形及其應用. 定義 : 給定兩個圖形, 把其中一個圖形經過運動 ( 旋轉 平移 對稱 ) 疊放到另一個圖形上面, 若能夠使他們完全重合, 就稱這兩個圖形為全等形 例如 : 兩個半徑相等的圓為全等形 ; 兩個邊長相等的正方形為全等形. 全等形具有下列性質 : () 反身性
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
圓錐曲線
圓錐曲線 ( x h) ( y k) = ( ) x h ( y k ) = ( y k) = 4 c( x h) 姓名 : 二元二次方程式 二元二次方程式的圖形與圓錐截痕 x xy cy d x ey f = 直圓錐面 :( 如圖 ) 設 L 與 M 為兩相交但不垂直的直線, 的圖形稱為二次曲線 將 L 固定而 M 繞 L 旋轉一周, 則直線 M 旋轉所成的曲面, 就是直圓錐面 L 其中 : 交點
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數與代數 : 1 指數運算 : 1 n 1. n = m n n n m. = ( ) = m 其中 0,m 是整數,n 是正整數 多項式 : 餘式定理 因式定理 多項式 f ( x) 除以 x, 所得餘數 R 等於 f ( ) n m 多項式 f ( x) 除以 mx n, 所得餘數 R 等於 f n m 若 f ( x) 為多項式且 f = 0, 則 mx n是 f ( x) n 反之, 若 mx
標題
第二章平面上的坐標變換 1 平移坐標軸 ( 甲 ) 平面坐標的意義 (1) 平面坐標的意義 : 給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e 1 e, 平面上任意點, 可以找 到實數 x,y 滿足 O=x e 1 +y e, 我們稱 S (O; e 1, e ) 為平面上的一個坐標系, 而 (x,y) 稱為 點相關於 S 的坐標 簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ),
第1題：答案D
第一部分 : 選擇題壹 單選題 () ( 以 7 為底的指數函數為一個增函數, 所以 7 x + 最小 而 ( x + 的最小值為, 故 7 x + ) ) 最小的充要條件為 x 的最小值為 7 9 + () E 由已知的條件知道 90 局的 ERA 值為., 即 9., 可以求出這位投手 90 之前 90 局的總失分為 分 今又投了無失分的 6 局, 故新的 ERA 值為 ERA 9.0 96 ()
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
100 學年度四技新生基礎數學第一次測驗 已知 f (x) 為一實係數多項式, 且 f ( ) = 27, f ( ) = 8 若 f (x) (6x + x 15) 的餘式為 ax + b, 則 b a =? (A) 4 (B)8 (C)12 (D)16 (E) 20 3
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
章節
試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
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一 二 1. 複習國中三角形相似的性質 1. 正弦 餘弦與 講義 習作 紙筆 生命教育 2. 由相似直角三角形邊長成比例, 引進 正弦 餘弦 正切的定義 測驗 正切 的概念 2. 正弦 餘弦與 3. 了解銳角的正弦與餘弦, 皆介於 0 與 1 之間 正切的關係 第一章三角. 給定銳角 θ, 由直角三角形的邊長, 求出 sinθ cosθ 3. 正弦 餘弦與 1-1 直角三角形的邊角關係 tanθ 正切的增減
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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Sample Event (Individual) (i) In the given figure, the sum of the four marked angles is a. Find a. 附圖所示四角之和為 a, 求 a a = (ii) The sum of the interior angles of a regular b-sided polygon is a. Find b. 一正
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 =. 求 log ( + + )? π 6. 設 0 < θ <, 且 si
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9. 求 + + 9 =? 8. 若 + = + A B + C + D +, 則 A + B + C + D
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
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空間中直線方程式 ( 甲 ) 空間中直線方程式 空間直線的參數式坐標平面上只要給定直線的方向向量與線上的一點, 就可以用參數式來表示直線上的點 當直線置於空間坐標中, 仍然可以利用參數式來表示直線 空間中, 直線 L 通過點 A(,, ) 且方向向量 v (a,b,c), 如何表示直線 L 呢? 設 P 點在直線 L 上, 且 P A, 由方向向量的意義, 可得 AP 平行 v 反過來說, 若 P
遞迴數列
(99 課綱 ) 第四冊第四章二次曲線 4-1 拋物線 目標 首先由拋物線的定義及拋物線的尺規描點作圖來認識拋物線 ; 再以解析法推導出拋物線的標準式及經過平移 伸縮後的拋物線方程式 作為進一步探討拋物線的基礎 討論 在西元十五世紀之前 人們一直相信地球是宇宙的中心 直到十六世紀哥白尼 ( 波蘭 1473~1543) 首先提出日心學說 認為所有行星都是循著圓形軌道繞太陽運行 之後伽利略 ( 義大利
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() 0 4 5 (km).5 4 5.5 7 8.5 () 0 4 5 (km) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 y5x. y0. 5x4 x y 9 5x y x y 9 5x y x x 6 x y. 55 y5x. y0. 5x4 x 0 x x y y y 5 x x x 4 y y y 5 () x y () y x x 4y 0 4x y x 0 0.4 y 0.5 0 5x y
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lt99ok441 拋物線
lt99ok441 拋物線 p1 llt99ok441 拋物線 主題一 拋物線的幾何定義 1. 拋物線的定義:設 L 是平面上的一定直線, F 是不在 L 上的一定點.平面上到 L 與 F 等距離的所有點 P 所形成的圖形,稱為拋物線,而 L 與 F 分別稱為此拋物線的準線與焦點 L P F. 拋物線的圖形要素: (1) 對稱軸:通過焦點 F 且與準線 L 垂直的直線稱為對稱軸,簡稱軸. () 頂點:對稱軸和拋物線的交點
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
2006年国家公务员招录考试行测真题（A）
2006 年 中 央 国 家 机 关 公 务 员 录 用 考 试 行 政 职 业 能 力 测 验 (A) 真 题 说 明 这 项 测 验 共 有 五 个 部 分,135 道 题, 总 时 限 为 120 分 钟 各 部 分 不 分 别 计 时, 但 都 给 出 了 参 考 时 限, 供 你 参 考 以 分 配 时 间 请 在 机 读 答 题 卡 上 严 格 按 照 要 求 填 写 好 自 己 的 姓
嘉義市立蘭潭國民中學一百學年度第一學期一年級國文領域課程計畫
嘉義市立蘭潭國民中學 104 學年度第一學期九年級學領域課程計畫 一 學領域每週學習 : 共 二 教材來源 : 翰林版第五冊 九年一貫學領域課程綱要 九年一貫議題融入課程與教學三 課程架構 : 單元主題 第一章 : 比例線段與相似形 單元名稱 1-1 比例線段與圖形的縮放 1-2 相似形 第二章 : 圓的性質 2-1 點 直線 圓之間的關係 2-2 圓心角 圓周角與弦切角 第三章 : 推理證明與三角形的心
標題
3 6 正弦餘弦函數之疊合 ( 甲 ) 正餘弦的疊合 我們考慮正餘弦函數圖形, 如圖中虛線的圖, 圖形像波動的形狀, 有高有低, 起伏很規則 高的地方就是波峰, 低的地方就是波谷 如果兩個波動同時進行, 疊合在一起後, 會變成什麼樣子呢? 8 6 4 hx () = sin ()+cos x () x gx () = cos() x fx ( ) = sin ( x) -10-5 5 10 - -4-6
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2006 年 中 央 国 家 公 务 员 考 试 行 政 职 业 能 力 测 验 一 第 一 部 分 言 语 理 解 与 表 达 1. 在 公 路 发 展 的 早 期, 它 们 的 走 势 还 能 顺 从 地 貌, 即 沿 河 流 或 森 林 的 边 缘 发 展 可 如 今, 公 路 已 无 所 不 在, 狼. 熊 等 原 本 可 以 自 由 游 荡 的 动 物 种 群 被 分 割 得 七 零 八
5 09/26-09/30-2. 探索三角形 SSS SAS AAA ( 或 AA) 相似性質 9-s-03 C-C-0. 紙筆測驗 6 0/03-0/07-3 相似三角形的應用. 能利用相似性質進行簡易的測量 2. 兩個相似三角形, 其內部對應的線段比, 例如高 角平分線 中線, 都與原來三角形的
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 05 學年度第 學期九年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 國中部數學科團隊 本學期學習目標. 能知道相似多邊形的意義, 並理解兩個相似的圖形中, 對應邊的邊長成比例 對應角相等 2. 理解與證明三角形相似性質, 並應用於平行截線和實體測量 3. 探討點 直線與圓的關係與兩圓的位置關係.
= 6000000 6000000 6000000 x = x = 8000000 x = 8000000 0 00 x = 00 x = 00 y = 0 00 y = 0 00 6000000 9000000 6 80 60 000 8000 = 8 000 6000 = 6 000 0000 00 A. B. C. 0000 000000 A. B. C. 0 00 000 A. B. C.
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
80000 400 200 X i X1 + X 2 + X 3 + + X n i= 1 x = n n x n x 17 + 15 + 18 + 16 + 17 + 16 + 14 + 17 + 16 + 15 + 18 + 16 = 12 195 = = 1625. ( ) 12 X X n i = = 1 n i= 1 X f i f Xf = f n i= 1 X f ( Xf). i i
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
1832 6 1863 1872 1875 1877 187 1879 3 1 2 4 1880 1824 1862 3 186 1865 1870 1872 1877 1879 1882 500
1949 61 72 1985 38 21 9 36 1985 212 326 1141 18 3 85 1592 6 1832 6 1863 1872 1875 1877 187 1879 3 1 2 4 1880 1824 1862 3 186 1865 1870 1872 1877 1879 1882 500 1884 11 8 16 1826 1862 1855 1865 1868 6 1874
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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10 1 a 1 aa bb 4 + b ± b 4ac x a 1 1 CBED DC(BC ED) (a b) DAE CBA DAE 1 ab ABE c 1 1 (ab) c ab 3 4 5 5 1 13 7 4 5 9 40 41 11 60 61 13 84 85 m 1 m + 1 m m ( m 1 ) ( m +1 = ) () m AB (m n ) n
学报 2017 年第 2 期!" ()*+, -.,/ RS!"#$%&' ()* +,-./01 # #79 78 ()* +,-./017:()*+,-./017: #79 ; ()*+,-./01 #2)<!"=1!"# ()*+,-./01
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2006..,1..,2.,.,2..,3..,3 22..,4..,4 :..,5..,5 :..,5..,6..,6..,8..,10 :..,12..,1..,6..,6..,2 1907..,5,:..,1 :..,1 :..,1 :..,2..,2..,3 :..,1 :..,1..,1.
2006 2005..,5..,2 20 20..,2..,3..,3..,3..,3..,3..,5..,5 :..,8 1861 :..,11..,12 2005..,2..,1..,2..,1..,4..,6..,6 :..,10..,4..,4..,5..,1 :..,4..,6..,3..,4 1910..,5 :1930..,1..,4..,2 :..,2..,2..,1 19.., 1..,1..,1..,3..,3
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
99 cjt h 7. 0 (8 ) 0 () abc a b c abc0 aaa 0 a () bca abc0 aa0 a0 0 a0 abc a789 a b c (8 ) 9!
99 cjt h. 4 (79 ) 4 88 88. 0 0 7 7 7 ( ) (80 ). ( ) (8 ) 4! ( ) 0 4 0 4. n (x)(x) (x) n x an bn cnd abcd (8 ) () adbc () acbd () ac (4) db0 () abcd (x)(x) (x) n n ( x)[ ( x) ] ( x) ( x) ( x) x) ( x) n
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
考试大2011年高考试题答案
持 续 更 新 中... 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 30 小 题, 每 小 题 1 分, 共 30 分 每 小 题 备 选 答 案 中, 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 多 选 错 选 不 选 均 不 得 分 ) 1. 甲 乙 签 订 的 买 卖 合 同 中 订 有 有 效 的 仲 裁 条 款, 后 因 合 同 履 行 发 生 的 纠 纷, 乙 未 声 明 有
2009 科學班 甄選 數學科試題
國立成功大學 / 台南第一高級中學高中科學班 98 學年度第一階段測驗數學科試題卷 說明 : 本試題共分為填充題和計算與證明題二部分 第一部分為填充題, 每題答對得 6 分, 共 36 分 各題只需寫出答案即可, 不必寫出過程 全對才給分 第二部分為計算與證明題, 共有六大題, 每題配分皆標示於題後, 共 64 分 各題皆須寫出計算過程, 才予以計分 採部分給分方式, 請儘量作答 第一部分 填充題
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
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2005 1 19 8 1 ( 2) 0 +4 2 2 2(x 1) x 20 8 x x 2 (k 1) x 6=0 2 k 21 8 P 1 P P 2 S P =4 S P P 22 10 02 5 06 (1) y y=ax 2 (2) 01 23 12 4 1 1 2 2 3 c a b 1 2 24 12 1 2 =a =b =c r 21 8 x 3 3x 2 + 2x = 0 1 13
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- ( )( ) B=A A A k A A A k (B)=(A )+(A )+ +(A k ) (B) B A A A k B (Patitios) Ex. 6 4 As. ()(A )=(U) (A) ()(A B )=((A B) )=(U) (A B) (DeMoga). (A-B)=(A) (A B) Ex. A={x x N x 0 6 } B={x x=0k k Z} (A B)=
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高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 1 微分本節課程學習重點 : 了解導數導數的定義 能使用函數的和 差 積及 k 次方的微分公式微分公式 能求多項式函數的導函數導函數 能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方程式切線方程式 能知道曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點 了解導數在運動學運動學上的意義
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第一章圓錐曲線 第一類大學入學試試題評量 1. 若函數 f (x) = ax + bx + c 的圖形如右圖, 則下列各數那些為負數? ( 多選 ) (A) a (B) b (C) c (D) b 4ac (E) a b + c 8 年. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x y = 0, 中心的坐標為 (1, 1), 且 Γ 通過點 (, 0) 試問下列敘述那些是正確的? (A) Γ 的兩條漸近線互相垂直
九十六學年度第一學期第三次定期考國文科試題
凡 答 案 卡 上 因 個 人 基 本 資 料 畫 記 錯 誤 或 不 完 全, 造 成 讀 卡 過 程 無 法 判 定 身 分 者, 本 科 此 次 定 期 考 分 數 扣 3 分 一 單 選 題 ( 每 題 2 分 )36% 1.( 甲 ) 乃 覺 三 十 里 :ㄐㄩㄝˊ( 乙 ) 經 宿 方 至 :ㄙㄨˋ( 丙 ) 乾 癟 :ㄅㄧㄢˇ( 丁 ) 垂 髫 : ㄊㄧㄠˊ( 戊 ) 一 綹 短 髮