9 数学全真模拟测试卷解析 ( 数学一 ) 本试卷满分 5 考试时间 8 分钟 一 选择题 :~8 小题 每小题 4 分 共 3 分 下列每小题给出的四个选项中 只有 一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. l( si t) cos () 设 f( )= dt g ( )= tatdt t 则当 时 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则正整数 的值为 ( ) (A)3 (B) 4 (C)5 (D) 6 答案 (C) l( si t) 解析 由等价无穷小替换得: 当 t 时 t tat t t l( si t) cos 4 6 当 时 f( )= dt g ( )= ta d t t t 4 又因为 f( ) 是 的低阶无穷小 g ( ) 是 的高阶无穷小 则 5 故选 (C) () 设 [ ] 表示不超过 的最大整数 则 [ ] e 是 f( ) 的 ( ) (A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 答案 (A) 解析 由题可得: f( ) e 显然 lim f( ) 而 lim f( ) lim e offc 中公教 故 为 f( ) 的跳跃间断点 故选 (A) (3) 下列结论中正确的是 ( ) d d (A) 与 ( ) 都收敛 ( ) (B) d d ( ) 与 都发散 ( )
(C) d d ( ) 发散 收敛 ( ) 答案 (D) d 解析 =l l 积分收敛 ; ( ) d =l 积分发散 ; 故选 (D) ( ) 版权所有翻版必究 (D) d d ( ) 收敛 发散 ( ) a! (4) 已知级数 其中 a 则下列说法正确的是 ( ) (A) 当 a 时级数发散 (B) 当 a 时级数发散 (C) 当 a e时级数收敛 (D) 当 a e时级数收敛 答案 (D) 解析 由比值判别法可知 : a ( )! ( ) a ( ) a a lim lim lim a! ( ) ( ) e a 故当 a e时 e 级数发散 ; 当 a e时 a e 级数收敛 故选 (D) (5) 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 若向量组 A A 线性无关 且 3 A 3AA 则矩阵 A 属于特征值 的特征向量是 ( ) (A) A A 3 (B) A 3A (C) A A (D) 答案 (B) offc 中公教 解析 由定义可知: A 则 为矩阵 A 属于特征值 的特征向量 3 由于 AA ( 3 A) A 3A 3A A 3A A 3A
且向量组 A A 线性无关 可知 A3A 所以 A 3A 为矩阵 A 属于特征值 的特征向量 故选 (B) (6) 设 阶实对称矩阵 A 经第一行与第二行对调得到矩阵 B 矩阵 B 再经第一列与第 二列对调得矩阵 C 则矩阵 A 与 C 为 ( ) (A) 等价但不相似 (C) 合同但不相似 答案 (D) (B) 相似但不合同 (D) 相似 合同且等价 解析 由题可得: E A B BE C 故可得 : E AE C 矩阵 A 通过初 等变换得到矩阵 C 故矩阵 A 与 C 等价 ; 因为 ( E) E ( E ) E 故 ( ) E AE EAE C 故矩阵 A 与 C 相似 为实对称矩阵 故矩阵 A 与 C 合同 故选择 (D) ( E ) AE E AE C 且 A (7) 设随机变量 X 和 Y 相互独立 X 服从参数为 的指数分布 Y 的分布律为 PY { } PY { } 则 X Y 的分布函数 ( ) (A) 是连续函数 (C) 恰有一个间断点的非阶梯函数 答案 (A) 解析 由全概率公式知 对任意的常数 a R (B) 恰有一个间断点的阶梯函数 (D) 至少有两个间断点 PX { Ya} PX { YaY } PY { } PX { YaY } PY { } 所以 X offc 中公教 PX { a} PY { } PX { a} PY { } PX { a} PX { a} Y 的分布函数是连续的函数 故选 (A) (8) 设随机变量 X 服从分布 F () 记 P P{ X } P P{ } 则 ( ) X 3
(A) P P (B) P P (C) P P (D) 因 未知 无法比较 P P 大小 答案 (C) 解析 如果随机变量 X F( m ) 与均服从分布 () X 则 Fm ( ) X 由题中条件知 m 于是 X F 因此 P P{ X } P{ } P 故选 (C) X 二 填空题 :9~4 小题 每小题 4 分 共 4 分 请将答案写在答题纸... 指定位置上. f( y) y (9) 设 z f( y) 在 ( ) 处可微 且 lim ( y ) () 则 ( ) y f( h ) f( h) lim h h 答案 4 解析 由题 f( y) y lim 可知 : f ( ) f y ( ) 而 ( ) y ( y ) () f( h ) f( h) f( h ) f( ) [ f( h) f( )] lim lim h h h h f( h) f() [ f( h) f()] lim lim f ( ) f y( ) 4 h h h h () 曲线 y ( e ) 的斜渐近线 答案 y offc 中公教 e t e e 解析 由于 k lim lim lim t t 4
blim e lim o( ) 所以斜渐近线 y z z () 设函数 f() u v g() u 均可微 z f ( yl g( y)) 则 y y 答案 f. z 解析 yf ( yg) f z f gf 故 z z y f y y () 心形线 r a(cos ) ( a ) 的全长为 答案 8a 解析 极坐标形式下弧长公式为 : s r ( r) d [ a(cos )] ( asi ) d a cosd a cos d a cos d a costdt 8a (3) 设 A 为三阶矩阵 其特征值为 3 其对应的线性无关的特征 令 P =(4 3 3) 则 P ( A 3 E) P 为 向量为 3 4 答案 offc 中公教 解析 因为 A 的特征值为 3 所以 A 的特征值为 3 又因为 3 3 ; A 3E 的特征值为 4 4 也为 A 的线性无关的特征向量 4 也是 A 3E 的线性无关的特征向量 所以 3 3 5
4 所以 P ( A 3 E) P 版权所有翻版必究 (4) 假设随机变量 X 的分布函数为 F ( ) 概率密度函数 f( ) af( ) bf( ) 其 中 f ( ) 是正态分布 N( ) 的密度函数 f ( ) 是参数为 的指数分布的密度函数 已知 F() 则 ab 分别的取值为 8 3 答案 a b. 4 4 解析 由概率密度归一性可知 f ( ) d a f( ) d b f( ) d a b 又因为 F() 即 8 3 可得 : a b 4 4 a 8 f ( ) d a f( ) d b f( ) d a () 三 解答题 :5~3 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸... 指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. ( )si (5)( 本题满分 分 ) 设函数 f( ) 满足 f() f() 计算 lim f(e ) 答案. ( )si 解析 当 时 ( )si 所以 lim f( e ) offc 中公教 lim lim ( ) f e f(e ) f() e f() e 6
注 其中因 f () f () 故 (6)( 本题满分 分 ) (Ⅰ) 设 f( ) 在 [ ] f( ) f() f( ) f() f () lim lim 上连续 证明 : f (si ) d f (si ) d ; (Ⅱ) 设 f( ) 在 [ ] 上连续 且 f( ) f( )sid cos 求 f( ) 答案 (Ⅱ) f( ). cos 解析 (Ⅰ) f (si ) d u ( u) f (si( u))( du) ( uf ) (si udu ) [ f(si d ) ( uf ) (si udu ) ] f(si d ) ; (Ⅱ) 令 f ( )sid A 则 f( ) A cos 该式两边同乘 si 并在 [ ] 上求积分得 : si f ( )sid d Asid cos si 由于是关于 的偶函数 Asi 是关于 的奇函数 cos si 因此 f( )sid d cos si 则 A f ( )sid d cos si d 进行变量替换 令 t cos 对 si t tsi t si t A dt dt dta cos t cos t cos t 则 可得 : si t A dt arcta(cos t) cos t 4 4 offc 中公教 7
或利用 (Ⅰ) 结论得 : si si arcta(cos ) 8 版权所有翻版必究 A d d t cos cos 4 4 所以 f( ) cos ( 7 )( 本题满分 分 ) 设 u f( y ) 具有二阶连续偏导数 且满足 y u u u u y 试求函数 u 的解析式 答案 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 u du r du u d u du du 解析 令 r y 则 3 dr r dr r dr r dr r dr u y d u du y du du 同理可得 代入方程化简得 3 u r y r dr r dr r dr dr 求解二阶常系数非齐次微分方程 得其通解为 : u C cos rc si rr ; 故函数解析式为 u C cos y C si y y 其中 C C 为常数 3y (8)( 本题满分 分 ) 已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上 z 半部分 ( z ) 取上侧 是 S 在点 Pyz ( ) 处的切平面 ( yz ) 是原点到切平面 的距离 表示 S 的正法向的方向余弦计算 : (Ⅰ) S offc 中公教 z ds ( yz ) ;(Ⅱ) z( 3 y z) ds 答案 (Ⅰ) 3 3 ;(Ⅱ) 解析 由题意得 : 椭球面 S 的方程为 S y z z 3 ( )
令 F y z F F y F z 3 则 y 6 z 切平面 的法向量为 {3} y z 切平面 的方程为 X ( ) 3 yy ( y) zz ( z) 原点到切平面 的距离为 ( yz ) z 所以 : I ds z 9y z ds ( yz ) s s 3y z 9y z 9y z 将第一类曲面积分转化为二重积分 : 记 D : z z 由对称性可得 : z3( z ) r (3 r ) I 4 ddz 4 si d dr 3( z ) 3( r ) D z r (3 r ) si (3si ) 3 4 dr 4 d ; 3( r ) 3 (Ⅱ) 方法一 : 因为 z y z 9y z 9y z 9y z 所以 I z( 3 yz) ds z 9y z ds I s s 3 ; 方法二 ( 将第一类曲面积分转化为二型 ): I z y z ds zdydz zydzd z ddy 记 ( 3 ) 3 s s : z 3y ; : 3y z ( z ) 取面 向下 向外 由高斯公式得 : I zdydz 3zydzd z ddy 6zdV 求解三重积分 : 方法 : 先一后二 : offc 中公教 3 I 6 d zdz3 ( 3 y ) d d r( r ) dr 3y 3y 3y 3 9
方法 : 先二后一 : 6 3 I zdz d z z dz 6 ( ) 3y z 3 ; 4 3 3 方法 3: 球面坐标 : I d d r si dr 3 版权所有翻版必究 4 6 (9)( 本题满分 分 ) 求级数 34 56 ( ) 的 收敛域并求其和函数 s ( ) l l( ) 答案 收敛域[ ] 和函数为 : s ( ) l 解析 设 s ( ) () 则 s( ) ( ) dt 所以 s( ) l ( ) t t t s ( ) l dt l dt l l( ) t t ( ) s() lim l l( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) l + lim( l( ) l( )) l. offc 中公教 s( ) lim l l( ) ( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) ( ) l + lim ( l( ) l( )) l ( ).
l l( ) 故收敛域为 [ ] 和函数为 : s ( ) l 3 4 ()( 本题满分 分 ) 设线性方程组 3 4 3 ( ) (4 ) 3 44 已知 ( ) 是该方程组的一个解 试求 : (Ⅰ) 方程组的全部解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 ; (Ⅱ) 该方程组满足 3的全部解 答案 (Ⅰ) 当 时 全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时 全部解为 : k k ( ) k( 3 ) k( ) ( k k 为任意常数 ); (Ⅱ) 当 λ 时 满足 3的全部解为 : ( ) ; 当 λ 时 满足 3的全部解为 : ( ) k 3 ( ) ( k 为 4 4 4 任意常数 ) 解析 (Ⅰ) 将 ( ) 代入方程组 得 对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换 得 : offc 中公教 A 3 3 4 4 ( )
当 时 有 A r( A) r( A ) 34 故方程组有无穷多解 且 ( ) 为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( ) 故方程组的全部解为 : k ( ) k( ) ( k 为任意常数 ); 当 λ 时 有 A 3 r( A) r( A ) 4 故方程组有无穷多解 且 ( ) 为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为 ( 3 ) ( ) 故方程组的全部解为 : k k ( ) k( 3 ) k( ) ( k k 为任意常 数 ); (Ⅱ) 当 λ 时 由于 3 即 k k 解得 k 故方程组满足 3的解为 ( ) ( ) ( ) ; 当 λ 时 由于 3 即 3k k k 解得 k k 4 offc 中公教 故方程组满足 3的全部解为 : ( ) ( )( 3) ( ) 4 k k
k 3 4 4 4 ( ) ( ) ( k 为任意常数 ) ()( 本题满分 分 ) 已知二次型 f( ) ( a4) 3 4 4 3 3 3 若二次型 f( 3) 经正交变换 Qy 化为标准型 by 5y y3 (Ⅰ) 求 ab 的值 ;(Ⅱ) 求将二次型化为规范型所用的变换矩阵 5 答案 (Ⅰ) a b ;(Ⅱ) P 3 5 5 b 解析 (Ⅰ) 二次型矩阵为 : A a 4 5 3 tra tr a43b5 a 由题可得 A 与 相似 所以有 即 解得 ; A 3a45b b (Ⅱ) 由于 A 的特征值为 5 依次求解方程组 ( E A) (5 EA) ( EA) 可得对应的特征向量分别为 : 3 ; offc 中公教 单位化后可得 : 3 ; 3 3 3 所求的正交变换矩阵为 Q 3 相应的正交变换为 Qy 将二次型变形 3
4 版权所有翻版必究 y z 为标准型 y 5y y3 若再做合同变换 y z 5 即 y Pz y 3 z 3 可将二次型化为规范型 z z z 所用的变换为 Pz 3 5 故变换矩阵 P QP 3 5 3 5 5 ()( 本题满分 分 ) 设 X 为随机变量 若行列式 A X 的概率为 已知 Y U() Y B( ) Y 3 N() 且 X 分别与 Y Y Y 3独立 随机变量 X 3 Y Y Y 其中一个随机变量同分布 与 3 (Ⅰ) 随机变量 X 与 Y Y Y 3中哪个随机变量同分布 ; X (Ⅱ) 计算 E X Y ; offc 中公教 (Ⅲ) 求 Z X Y 的分布函数 答案 (Ⅰ) Y ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) F Z z < z z 4 9 ( z) ; z 4 z 6 8 3 z 6
解析 (Ⅰ) 由题得 : P{ X } 而 A X X 即 X 据题意有 PY { } ; PY { } 4 9 ; PY { } () 故与 X 同分布的只有 Y 3 ; (Ⅱ) 由于 X 与 Y 独立同分布 故 ( XY ) 的联合概率密度为 : y f( y) 4 由二重积分的轮换对称性可得 : 其他 则 X X Y X Y E () E E E E ; X Y X Y X Y X Y (Ⅲ) 据题意有 X 的密度函数 f( ) 其它 则有 : F ( z) P Z z P X Y z Z Y 的分布律 4 4 9 9 9 ; P X Y z Y P Y P X Y z Y P Y P X Y z Y P Y 4 4 P X z P X z P X z 9 9 9 4 offc 中公教 5
z < 4 z z z < z 9 9 z z 4 4 4 z z 9 z 4 9 9 9 z 4 z 6 4 4 z 4 z 8 3 4 z 6 9 9 9 8 3 z 6 z 6 (3)( 本题满分 分 ) 设 X X X 是来自总体 X N( ) 的一个简单随机样 本 ( 其中 为未知的参数 ) 记 X S ( X ) i X (Ⅰ) 试求 的最大似然估计量 ; (Ⅱ) 判断 ax Xi i ( a) S 是否为 的无偏估计量 并说明理由 ; (Ⅲ) 试确定常数 a 使得 ax ( a) S 有最小方差 答案 (Ⅰ) ˆ X i ;(Ⅲ) a ; i 解析 (Ⅰ) 设 为样本 X X X 的观测值 故似然函数为 L( ) e ( i ) i i 对数似然函数为 l L( ) l l dl L( ) 求解似然方程 得 的最大似然估计值为 ˆ i d i 的最大似然估计量为 i offc 中公教 ˆ ; X i i i i (Ⅱ) 证明 : 因为 E[ ax ( a) S ] ae( X ) ( a) E( S ) 6
a[ D( X ) E ( X )] ( a) a ( a) 因此 ax ( a) S 为 的无偏估计量 ; (Ⅲ) D[ ax ( a) S ] a D( X ) ( a) D( S ) 由于 X ( ) S 由于 X N 那么 () X 则 D ( ) ( ) S 则 D 4 从而 DX ( ) 4 ( ) 从而 DS ( ) 4 4 4 则 D ax ( a) S a ( a) ( a a ) 当 a 时 a a 取最小值 即方差最小 offc 中公教 7