9 浙江专升本考试群 638639 浙江省 4 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 注意事项 : 选择题部分. 答题前, 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上. 每小题选出答案后, 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选涂其他答案标号, 不能答在试题卷上 一 选择题 :( 本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 共 分在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的 ). 当 时, 若 f ( ) 的极限存在, g( ) 的极限不存在, 那么下面说法正确的是 ( ) (A) f ( ) g( ) 必定极限存在 (B) f ( ) g( ) 必定极限不存在 (C) 若 f ( ) g( ) 极限存在, 极限必定为零 (D) f ( ) g( ) 极限可能存在, 也可能不存在 思路点拨 对于极限收敛性有结论 : ) 收敛 收敛 收敛, 收敛 发散 发散, 发散 发散? 发散, 收敛 ) 收敛 收敛 收敛, 收敛 发散, 发散 发散 =??, 收敛 = 答案 (D) 解析 收敛 发散的极限类型可以为, 为未定式, 故其结果有可能极限存在, 也可能 极限不存在由题意得 f ( ) 收敛, g( ) 发散, 故选 (D). 函数 3 f ( ) 3 上切线方程平行 轴的点是 ( ) (A) (,) (B) (, ) (C) (,) (D) (,3) 思路点拨 一点处导数的几何意义表示曲线在该点处切线的斜率
9 浙江专升本考试群 638639 答案 (C) 解析 f ( ) 3 3, 切线方程平行于 轴故切线斜率为, 故有 3 3, 可得点为 (,) 或者 (, ), 故选 (C) 3. 函数 3 f ( ) ( ) 不可导的点的个数是 ( ) (A) 3 (B) (C) (D) 思路点拨 对于分段函数分段点处的可导性可以借助导数定义来判断 答案 (D) ( )( )( ) 3 ( )( )( ) 解析 f ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 当 时, 处函数可导 ; 当 时, 函数不可导 ; 当 时, 数不可导 ; f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim, f ( ) lim, 故在 f ( ) f () f ( ) f () f () lim, f () lim f ( ) f () f ( ) f () f () lim 4, f () lim 4 综合可得不可导点有 个, 故选 (D) d 4. 若 f ( ) sin( t )dt d, 则 f ( ) ( ) (A) sin (B) cos (C) sin (D), 故在 处, 故在 处函 思路点拨 变限函数求导数时, 当被积函数中含有 时, 可作变量代换消去 答案 (A) 解析 ut sin( t )dt sin udu, d d 故 sin( )d sin d sin( ) sin d t t d u u, 故选 (A) y 5. 微分方程 y 的通解为 ( ) ( )
9 浙江专升本考试群 638639 (A) arctan C (B) (arctan C) (C) arctan C (D) arctan C dy 思路点拨 一阶线性非齐次微分方程 P( ) y Q( ) d 的通解可直接用公式 y Q( ) d C P( ) d P( ) d 计算 答案 (B) 解析 由题意可得 P( ), Q( ), 直接带入公式可得 ( ) y d C ( ) d C C d d (arctan ), 故选 (B) 非选择题部分注意事项 :. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上. 在答题纸上作图, 可先使用 B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二. 填空题 ( 本大题共 小题, 每小题 4 分, 共 4 分 ) sin 3 sin 6. 设 f ( ) 在 R 上连续, f () 3, 则 lim f 思路点拨 f ( ) 在 R 上连续, 故有 lim f ( ) f ( ) 答案 9 sin 3 sin sin 3 sin 解析 lim f 3lim f 3 f () 9 3 7. 设函数,, f ( ) 求 f [ f ( )],, 思路点拨 当遇到计算抽象函数的复合函数时, 一般直接作整体代换, 即将原来函数中的 换为新的变量即可 答案,, f [ f ( )],,
9 浙江专升本考试群 638639 解析 f ( ), f ( ), ( ),,,, f [ f ( )], f ( ),,,, 8. 函数 y ln ( ) 的渐近线是 思路点拨 记住三种渐近线的求法 答案 y 解析 lim y lim ln, 故不存在垂直渐近线 ; lim y lim ln, 故不存在水平渐近线 ; ln y 设 y k b 为水平渐近线, 故 lim lim k, b lim ( y ) lim ln t ln t ln t lim lim lim t t t t t t 9. 设 y ln, 则 y(), 故斜渐近线为 y 思路点拨 当遇到对数函数时, 可以先利用对数函数的性质进行化简 答案 解析 y ln ln ln [ln( ) ln( )], 故 y, 可得 y (). y ( ) 的拐点是 思路点拨 涉及拐点的题目借助函数的二阶导数 答案 3, 3 3 4
9 浙江专升本考试群 638639 (3 ) 解析 y, y 3 ( ) ( ) ( ) 令 y 可得 3 3, 故拐点为 3 3, 3 4. 由曲线 y, y 所围成的平面图形的面积是 思路点拨 会利用定积分的几何意义求平面图形的面积 答案 6 3 解析 两条曲线的交点为 (,), 面积为 ( )d 3 6. 将函数 f ( ) sin 展开成 的幂级数 思路点拨 对于幂级数展开的题目需要借助常见函数,sin,cos,ln( ),( ), 的幂级数展开形式 ( ) 4 答案 n! n n n n, R a 解析 cos ( ) 4 f R ( ) sin n n n, n n! 3. 已知向量 ( a b) c, 则 [( a b) ( b c)] ( c a ) 的值为 思路点拨 混合积, 向量积运算法则, 在混合积计算中, 如有两向量相同, 则混合积为 答案 解析 [( a b) ( b c)] ( c a ) = [ a ( b c) b( b c)] ( c a) = [ a b + a c bb + bc] ( c a) [ a b + a c + bc] ( c a) = a b ( c a) a c ( c a ) + bc ( c a) = a b c + a b a + a c c a c a + bc c bc a ( a b c ) 4. 微分方程 ( ) yd y ( y) d 的通解是 思路点拨 可分离变量方程的基本求解思路是把, y 分开再分别两边积分 y 答案 C( )( y ), 其中 C 为任意常数
9 浙江专升本考试群 638639 解析 由 ( ) yd y ( y) d 可得 d y ( ) y 即 d ( ) y ydy d y ( ), 两边同时积 y 分可得 y ln y ln C, 化简为 C( )( y ), 其中 C 为任意常数 5. 已知 y ay by 的通解为 c y() 的解是 c, 则 y ay by 满足 y(), 思路点拨 利用特征方程的根与二阶齐次线性微分方程通解的关系求解 5 答案 4 y 解析 由题意可得微分方程的特征方程为 r ar b 的根为 r, r, 故 a 3, b 设非齐次方程 y ay by 的特解为 y 非齐次微分方程的通解为 y C C 由 y(), y () 可得 5 4 y C C C 4 C 5 C C A, 代入方程可得 A, 故, 故方程的解为 三 计算题 ( 本题共有 8 小题, 其中 6~9 小题每小题 7 分,~3 小题每小 题 8 分, 共 6 分计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分 ) 6. lim ln(sin ) ln( ) 思路点拨 掌握求极限的基本方法, 遇到 洛必达法则求解 答案 ln(sin ) ln ( sin ) 解析 lim lim ln( ) ln ( ) 型求极限的题目可以利用等价无穷小替换 ln( sin ) sin lim lim ln( ) 7. 函数 f ( ), 求间断点及其分类
9 浙江专升本考试群 638639 思路点拨 求函数的间断点时先找出可疑点, 即函数分母为 的点以及分段函数的分段点, 再计算可疑点处的左右极限即可 答案 为第二类间断点中的无穷间断点, 为第一类间断点中的跳跃间断点 解析 函数的可疑点为, 对于可疑点, 第二类间断点中的无穷间断点 对于可疑点, 一类间断点中的跳跃间断点 lim f ( ) lim, lim f ( ) lim, 故 为 lim f ( ) lim, lim f ( ) lim, 故 为第 t ln( t), d y 8. 设 y y( ) 由参数方程 所确定, 求 y t t d 思路点拨 会利用反函数求导法则求参数方程的二阶导数 d y 答案 3 d t t t dy dy dt dy d y( t) t (t )( t) 解析 / t 3 ; d dt d dt d t ( t) t t t d y d d d (t )( t) t 3 t 3 / d d t dt t dt t t t t 3 3 9. 试在曲线 y 上求一点 P 的坐标, 使得点 P 到定点 A (,) 思路点拨 求两点之间的最短距离可以转化为函数的最值问题 答案 5 4 的距离最近 解析 设曲线上点 P 坐标为 (, ), 则点 P 到点 A 的距离为 ( ), 而 ( ) 与 ( ) 取最值的点是相同的, 故可转化为求 ( ) 的最小值 设 f ( ) ( ), d f ( ) d ( )( ) ( ) ( ) d f ( ), 令 d 可得 或
9 浙江专升本考试群 638639 当 时 f ( ), 故 f ( ) 单调递减 ; 当 时 f ( ), 故 f ( ) 单调递增 ; 当 时 f ( ), 故 f ( ) 单调递增 ; 故当 时距离最短, 最短距离为 5 4. 求 d sin 思路点拨 不定积分的被积函数中若含有根号, 则可用第二类换元法消去根号 答案 cot C 解析 令 t, 得 t 原式为 d tdt t sin t csc d cot cot sin t t t C C. f (sin ) cos tan, 求 f ( ) 思路点拨 当函数变量为复合函数时, 为了求出函数一般做整体变量代换 答案 ln C 解析 在 中令 sin f (sin ) cos tan t, 得 sin t ( ) (sin ) cos tan sin f t f t t, cos t t 故 f ( ) f ( ) f ( )d d ln C. 判断级数 n n n n 的收敛性 思路点拨 正项级数中比较审敛法的重要思路就是借助 p 级数 p n n 的敛散性进行判 断 答案 当 解析 时原级数收敛 ; 当 时原级数发散 n n 4 ( n n n n ) n n
9 浙江专升本考试群 638639 4 当 n 时, n ( n n ) 当 即 时原级数发散 3. 求过点 A (,,) 4 与 n z, 且与直线 垂直的平面方程 y 3z, 思路点拨 求平面方程的关键在于求出平面的法向量 n 答案 3y z 6 同阶, 故有当 即 时原级数收敛 ; 解析 平面方程与直线垂直可以得到它与直线的方向向量平行在直线上找两点 (,,),(3,4,), 故直线的方向向量 s = (,3,) ( ) 3( y ) ( z ) 即 3y z 6 四 综合题 ( 本大题共 3 小题, 每小题 分, 共 3 分 ), 也即为平面的法向量, 故平面方程为 4. 已知函数 f ( ) lim n n a b n 为连续函数, 求 a, b 的值 思路点拨 函数 f ( ) 为连续函数, 故对于定义域内的每一点都有 lim f ( ) f ( ) 答案 a, b,, n 解析 由 lim,, 可得 n,, 当 时 n a b n n f ( ) lim a b ; 当 时 当 时 当 时 f ( ) lim f ( ) lim n a b n n ; n f ( ) lim n n a b a b n ; n a b a b n ;
9 浙江专升本考试群 638639 故 a b,,,, f ( ) a b,, a b, 函数 f ( ) 为连续函数, 故有 lim f ( ) lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ), 可得 ; ; lim f ( ) lim( a b) a b; lim f ( ) lim lim f ( ) lim( b ) a b ; lim f ( ) lim + + a b, a, 故 即 a b, b 5. 设 f ( ) 有二阶导数, 且 f ( ) f ( ),lim, 证明 : 当 时, f ( ) 思路点拨 证明不等式的基本思路是两边相减构造辅助函数 证明 令 F( ) f ( ), (, ) f ( ) f ( ) f ( ) 由 lim 可得 f () lim, f () lim 由上述可得 F (), 且 F( ) f ( ) ; F (), 且 F( ) f ( ) 故当 时 F( ) 单调递增, 可得 F( ) F (), 故 F( ) F (), 即 f ( ), 得证 6. 若 ln dt, 求 的值 t 6 思路点拨 积分的被积函数中若含有根号且根号里带有指数函数, 则可用第二类换元法消 去根号, 令根号整体等于新的变量 答案 ln t 解析 令 u, 得 t ln( u ) 原式为 dt u du u ln 3 3 arctan ( arctan ) t u u 3 6 arctan 4, 故, 可得 ln, 可得