数学分析考研辅导班讲义4.doc

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趾郜
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1 数学分析考研辅导讲义第四章第四章不定积分积分学是微积分的主要部分之一积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具又是今后计算重积分曲线积分曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习应掌握不定积分的概念性质基本积分公式及积分方法. 一内容概要. 原函数与不定积分 () 原函数定义若在区间 I 内可导函数 F( ) 的导数为 f ( ) 则 F( ) 称为 f 内的一个原函数. () 原函数存在定理如果函数 f ( ) 在区间 I 内连续则 f ( ) 在区间 I 内一定有原函数. (3) 不定积分定义在区间 I 内 f ( ) 带有任意常数项的原函数称为 f 分记为 f ( d ). 若 F( ) 是 f = + [ 注意 ] 的一个原函数则有 f d F ( 其中为积分常数 ). 在区间 I 在区间 I 内的不定积如果 f ( ) 有一个原函数那么 f ( ) 就有无限多个原函数. 若 F( ) Φ 都是 f ( ) 在区间 I 内的原函数那么 F( ) 与 Φ 只差一个常数即 Φ F = 0 ( 0 为某个常数 ).. 不定积分的性质

2 数学分析考研辅导讲义第四章 k f d k f d (k 为非零常数 ); f g d f d g d ; () = ( ) ± = ± d d = (3) f d f 或 = d f d f d ; () f d= f + 或 df = f 基本积分表 ⑴ 0d= ⑵ µ + d µ µ + = + ( µ ) ⑶ d= ln + + ⑷ ⑸ d= arcan + d= arcsin + ⑹ sind= cos + ⑺ cosd= sin + ⑻ ⑼ cos d= sec d= an + sin d= csc d= co + ⑽ ansecd= sec + ⑾ cocscd= csc + ed= e + ⑿ ⒀ ad= a + ln a

3 数学分析考研辅导讲义第四章不定积分的计算 () 第一换元法 ( 凑微分法 ) 设 f ( u ) 具有原函数 F( u ) u ϕ 令 u = ϕ 常用的几种凑微分的形式 : = 可导则 : = f ϕ ϕ d f ϕ dϕ f ( u) du = F( u) + = F ϕ +. a ( 0 ⑴ f ( a+ b) d= f ( a+ b) d( a+ b) f ln d f ln dln ; ⑵ = ⑶ = ; f d f d ⑷ f ( e ) ed = f ( e ) de ; n n n n ⑸ f ( ) d= f ( ) d( ) ( 0 n n ); a ); f d f d = n ( 0 ⑹ n n+ n n f sin cos f sin sin ; f cos sin f cos cos ; f an sec d f an an ; ⑺ = ⑻ = ⑼ = ⑽ = n ); f arcsin d f arcsin darcsin ; + f arcan d f arcan darcan ; ⑾ = ⑿ f d = df ( ) = ln f ( ) + f f.

4 数学分析考研辅导讲义第四章则 () 第二换元法设 = ψ ( ) 是单调的可导且 ψ ( ) 0 又设 f ψ ( ) ψ ( ) 具有原函数其中 = ψ 是 ψ ( ) = () () f d f ψ ψ d = 的反函数. = ψ 常用的几种变量替换的形式 : 三角代换通过这种替换将根式积分化为三角有理式积分. 被积函数中含有根式相应的三角替换 a a = a sin + = a an a = a sec 倒代换令 =. 注一般用倒代换不能去掉根号但有时会简化计算. (3) 分部积分法设 u v 均有连续导数则 = u v d u v u v d. 或 u( dv ) = u v v du 注用分部积分法求不定积分的关键在于 : 恰当地将被积函数分成两部分选择 u 和 dv 的原则 : 积分容易者选作 dv ; 求导简单者选作 u 在二者不可兼得情况下首先要保证前者. 常用的分部积分法的几种题型 : n ed ; n sin. e sin cos 为 v n d ; cos d 选取 n 为 u( ) 选取

5 数学分析考研辅导讲义第四章 n ln d ; n n arcsin d ; arcan d 选取 ln arcsin arcan 为 u 选取. n 为 v 3 e sin d ; e cos d 任意选取次即可解. e 为 u 或 v 应连续用两 () 特殊类型函数的积分有理函数的积分有理函数总可以化为整式与以下四种部分分式之和这四种部分分式的不定积分如下 : A d = A ln a + ; a A A a a d = + ( m m ( ) m ( ) 其中二次多项式 + p+ q无实根且令 = + d Im = m + p+ q p m ); A + B A ln B Ap arcan + d= + p+ q + p + ; + p+ q q p q p A + B A Ap d d= + B ( ) ( -) ( p q m p q) ( + p+ q) m m m I m 可用递推公式计算. 三角函数有理式的积分形如 ( sin cos ) d ( q p a = ) m ( + a ) R d 的积分 ( R 表示有理函数 ) 称为三角函数有理式的积分. 用万能代换即令 = ( π π) an < < 化为有理函数的积分此时 R( sin cos ) d= R d.

6 数学分析考研辅导讲义第四章简单无理函数的积分 R a b d ; R a + b n d 的积分称为无理函数的积分 c+ d 形如 ( ) n + 分别令 : n a+ b = ; a + b n = 变量替换化成有理函数的积分. c+ d 二典型题解答例.. 已知 f ( ) = ln 解 : 因为 f ( ) 又 ϕ = ln 且 f ϕ = ln ( ) ( ) ϕ + ϕ f = ln = ln 即 ϕ ϕ d= 从而 ϕ + d d. 求 ϕ + + 所以 f = ln + = 解得 ϕ = + ln d = + +. lnan 例.. 求 d. cos sin lnan lnan 解 : 原式 = d= d( an ) cos an an = lnand ( lnan ) = ( lnan ) +. + = d. 例..3 已知 f ( ) 的一个原函数为 ( + sin) ln 求 f 解 : = f d f f d = f + sin ln +

7 数学分析考研辅导讲义第四章 sin f = sin ln + = cos ln + 又由于 f d= cos ln+ + sin + + sin ln +. 故得 ln( + ) 例.. 设 f ( ln ) = 计算 f 解 : 设 ln = 则故 = e f ln( + e ) d. ( + e ) ln = e f d= d= ln + e d e e = e ln( + e ) + d + e e = e ln( + e ) + d + e ln( ) ln( ) ( ) ln( ) = e + e + + e + = + e + e +. sin 例..5 求 d. sin+ cos sin+ cos 解法一 : 因为 d = + sin+ cos 及 ( sin cos ) sin cos d + d = sin+ cos sin+ cos = ln sin+ cos + sin + 得 d= ln sin+ cos + 3 sin+ cos sin d= + +. sin+ cos 故 ( ln sin cos )

8 数学分析考研辅导讲义第四章解法二 : 原式 sin = d sin+ cos sin+ cos+ sin cos = d sin+ cos sin cos = d + sin+ cos ( sin + cos ) d = sin+ cos = ( ln sin cos ) + +. 例..6 ( 北京大学 990 年考研试题 ) 试求不定积分 ( cos sin ) ( cos + sin ) d 进而求出 cos d 与 sin d. 解 : cos sin = ( cos + sin )( cos sin ) = cos sin = cos; d 与 cos + sin = cos + sin sin cos 3 = sin = + cos ( cos sin ) d= cosd= sin+ ; ( cos sin ) d + = + cos d= + sin 以上两式相加推得 cos d= + sin+ sin+ 8 3 两式相减推得 3 sin d= sin+ sin+. 8 3

9 数学分析考研辅导讲义第四章 cossin 例..7 ( 华东师范大学 000 年考研试题 ) 计算 d. + cos 解 : 原式 = cos cos cos = cos d + cos = = ( + ) + + d ln cos ln cos = + +. 例..8 ( 清华大学考研试题 ) 计算 e 解 : d= d( e ) e e e d e ( ) + = d e = e e d d >. 令 e = 则 = ln( + ) d= d 故 + e d= d = d + + = arcan + e = e arcan + 故原式 = e e + arcan e +. lnsin 例..9 ( 复旦大学 997 年考研试题 ) 求 d. sin

10 数学分析考研辅导讲义第四章 lnsin d d sin 解 : = lnsin ( co ) 例..0 f ( sin ) 解 : f 条件 cos = co ln( sin) + co d sin = co ln sin + csc d = co ln sin co +. sin d. = 求 f π d ( 令 = sin 0< < ) sin = f ( sin ) sincosd sin sin = sincosf ( sin ) d cos = sin f sin sin d sin d = sind = dcos = cos + cosd = cos + sin + = cos + sin +. 例.. 求心形线 r = a( + cosθ ) ( 0) a > 的积分曲线. 分析若曲线用函数 y = f 表示时依定义积分曲线心形线在直角坐标系下的显式表达式不好写. 现在的问题是将积分 f 这里的 y f y = f d 但 d 算出 = rcosθ = a + cosθ cosθ = 的参数方程可以写成 : 即. y = rsinθ y = a( + cosθ) sinθ d. 可借助该方程算出 f

11 数学分析考研辅导讲义第四章解 : 设心形线的直角坐标表示为 y = f f d ( 令 ( cos ) sin ( sin sin cos ) = a + cosθ cosθ ) = a + θ θ a θ θ θ dθ = a sin θ + 3cosθ + cos θ dθ cosθ = a sin θdθ + 3sin θ cosθdθ + dθ 3 = a cosθ dθ + sin θ + ( cosθ) dθ 3θ 6 3 = a sinθ + sin θ sinθ + 积分曲线可用以下参数方程给出 : ( θ) = a + cos cosθ 3 θ sin θ sinθ sinθ 6 3 y = a + +. 练习题设 F( ) 为 f ( ) 的原函数且当 0 时 f F 已知 F ( 0) = F( ) > 0 求 f ( ). e = ( + ) 求 d 求 sin( ln ) d arcan e 求 d. 3 + d d 5 求 ;

12 数学分析考研辅导讲义第四章计算不定积分 7 ( 山东大学考研试题 ) 求积分 an d. + d 与 d + 进而求不定积分 + + d. + 8 ( 复旦大学 999 年考研试题 ) 求 ln d. 9 ( 四川联合大学 000 年考研试题 ) 求不定积分 lnln + d ln. e an + d. 0 求

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f