定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)

Size: px

Start display at page:

Download "定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)"

龈党季
5 years ago
Views:

1 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一柯西中值定理二不定式极限返回

2 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv) g ( a) ¹ g( b). 则在开区间 ( a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一点, 使得

3 f ( ) f ( b) f ( a) =. g ( ) g( b) g( a) 几何意义首先将 f, g 这两个函数视为以为参数的方程 u = g(), v = f (). 它在 O uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) 的导数 dv du = 恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率 ( 见下图 ):

4 f ( b) k AB = g( b) f ( a). g( a) v P( g( ), f ( )) B( g( b), f ( b)) O A( g( a), f( a)) u

5 证作辅助函数 f ( b) f ( a) F( ) = f ( ) f ( a) ( g( ) g( a)). g( b) g( a) 显然, F() Î ( a, b), 满足罗尔定理的条件, 所以存在点使得 F ( ) =, 即 f ( b) f ( a) f ( ) g ( ) =. g( b) g( a) 因为 g ( ) ¹ ( 否则 f ( ) 也为零, 与条件 (iii) 矛盾 ), 从而 f ( ) g ( ) = f ( b) g( b) f ( a). g( a)

6 例设函数 f 在区间 [a, b](a > ) 上连续, 在 (a, b) 上可导, 则存在 Î( a, b) 证设 g( ) = f ( b) f, 使得 b ( a) = f ( )ln a ln, 显然 f (), g() 在 [a, b] 上满足柯西中值定理的条件, 于是存在 Î f ( b) f ( a) f ( ) =, lnb lna 变形后即得所需的等式.. ( a, b), 使得

7 二不定式极限在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无穷小量 ( 无穷大量 ) 的表达式. 这种表达式的极限比较复杂, 各种结果均会发生. 我们将这类极限统称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则.. 型不定式极限

8 定理 6.6 若函数 f 和 g 满足 : (i) lim f ( ) = lim g( ) = ; (ii) 在点的某空心邻域 U ( ) 内两者均可导, 且 g ( ) ¹ ; f ( ) (iii) lim = A ( A 可以为实数, ±, ). g ( ) 则 f ( ) f ( ) lim = lim = A. g( ) g ( ) 证我们补充定义 f ( ) = g( ) =, 所以 f, g

9 在点 ( [, o 连续. 任取 ÎU ( ), 则在区间 [, ] ] ) 上应用柯西中值定理, 有 f f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) ( ) f ( ) = = ( 介于与之间 ). 令, 故, 根据归结原理 f ( ) f ( ) f ( ) lim = lim = lim = A. g( ) g ( ) g ( ) + 注将定理中的改为,,

10 +, 的情形, 只要修正相应的邻域, 结论同样成立. tan 例求 lim. π sin4 4 解容易验证 : 这是一个型不定式. tan sec lim = lim = =. π sin 4 π 4cos f ( ) 如果 lim 仍是型不定式极限, 只要满足洛 g ( )

11 必达法则的条件, 可再用该法则. 存在性. e ( + ) 例求 lim. ln( ) 解 + 因为当时, ln( + ) ~, 所以考察 e ( + ) e ( + ) lim = lim ln( + ) lim g ( ) 3 f ( ) e ( + ) e + ( + ) = lim = lim =.

12 这里在用洛必达法则前, 使用了等价无穷小量的代换, 其目的就是使得计算更简洁些. 例 3 求 lim. + e 解这显然是型不定式极限, 可直接利用洛必达法则. 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些. 令 t =, 当时有 t, 于是 + lim lim t = = e e lim = e t t t t +

13 例 4 解 ( + ) e 求 lim. é ù ( + ) e ( + ) lim = lim ë û ln( + ) = lim( + ) + = + + elim ( )ln( ) ln( + ) e = elim =.

14 . 定理 6.7 型不定式极限若函数 f 和 g 满足 : (i) lim f ( ) = lim g( ) = ; + + (ii) 在点的某右邻域 U ( ) 内二者均可导, + 且 g ( ) ¹ ; f ( ) (iii) lim = A ( A 可以为实数, ±, ). g ( ) 则 f ( ) f ( ) lim = lim = A. + + g( ) g ( )

15 证设 A 为实数对于任意的 e >, $ ÎU + 满足不等式. ( ), < < 的每一个, f ( ) A < e, g ( ) ( ) 使由柯西中值定理, 存在 Î, 从而有, f f f = g( ) g( ) g ( ) ( ) ( ) ( ). f ( ) f ( ) f ( ) A = A < e, () g( ) g( ) g ( )

16 另一方面, g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) = f ( ). 由 ( ) 式, 存在正数 d >, 当 < < + d < 时上式的右边的第一个因子有界 ; 第二个因子对固定的是当时的无穷小量, 所以 " e >, + $d >, 当 < < + d 时, 有,

17 f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) < e, ( ) 综合 ( ) 和 ( ), 对一切满足不等式 < < + d 的有 f ( ) A < e, g( ) 这就证明了 f ( ) lim = A. + g( ) 请大家想一想, 若 A = +, 或, 应该如何证明?

18 注这里的 + 可以用这里的可以用,, +,, 来替换. 当然定理的条件要作相应的改变. ln 例 5 求 lim. + 解这是一个型不定式. ln lim = lim =. + +

19 e 例 6 求 lim 3. + e e e e 解 lim 3 = lim = lim = lim = 例 7 + sin 求极限 lim. sin 解这是一个型不定式. 如果用洛必达法则, + sin + cos lim = lim. ( 3) sin cos 而极限 + cos lim 不存在, 但是原极限 cos

20 sin + + sin lim = lim =. sin sin (3) 式不成立. 这就说明 : f ( ) f ( ) lim 不存在时, 不能推出 lim 不存在. g g ( ) ( ) 我们再举一例 : arctan 例 8 求极限 A = lim. + arctan π π 解因为 lim arctan =, lim arctan =, + +

21 所以 A =. 若错误使用洛必达法则 : arctan + 4 lim = lim =, + arctan + + 这就产生了错误的结果. 这说明 : 在使用洛必达法则前, 必须首先要判别它究竟是否是或型. 3. 其他类型的不定式极限不定式极限还有,,,, ± 等类型, 它们一般均可化为型或者型. 下面我们举例加以说明.

22 例 9 ( 型 ) 求 lim ln. + ln 解注意到 ln =, 则 ln lim ln = lim lim lim( ). + + = + = = + 但若采用不同的转化方式 : lim ln = lim = lim = lim ln ln ln =, 很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果.

23 例 ( 型 ) 求 lim(cos ). 解 lncos lncos (cos ) = e, 而 lim 是型. 由于 lim lncos = lim sin cos =, 因此 lim(cos ) = e.

24 例解 ( 型 ) æ π ö ln ç arctan lim è ø k = lim + æ π ö ç arctan k + è ø = lim k + æ π ö arctan k + ç è ø + 求 k æ π ö lim ç arctan ( k > ). + è ø ( ) k

25 = k lim + p ( k + ) arctan = k + k lim + ( k + ) + = k + k lim + k =, 所以, 原式 = e =. 例 ( 型 ) 求 æ è cos ö ø lim ç cot.

26 解 æ lim ç è cos = = cot æ = cos lim ç è cos sin = sin cos + cos lim sin lim lim sin ö ø ( cos ) cos cos 6sin cos 6sin cos ö ø 3

27 = 3 lim cos cos = cos 3 lim = 3. 例 3 设 ìg( ), ¹ f ( ) = í. î, = 已知 g() = g () =, g () = 3, 求 f (). 解 g( ) g( ) g() 因为 lim f ( ) = lim = lim = g () =, 所以 f ( ) 在 = 处连续.

28 f f ( ) f () f ( ) g( ) () = lim = lim = lim g ( ) g ( ) g () = lim = lim 3 = g () =. 例 4 设 f ( ) 在 [ a, + ) 上连续可微, lim ( f ( ) + f ( ) ) = A. 求证 lim f ( ) = A. + + 证先设 A >. 因为

29 lim ( e f ( ) ) = lim e f ( ) + f ( ) = +, + + 所以由本章第节例 4, 得根据洛必达法则, 有 lim e f ( ) = +. + e f ( ) lim f ( ) = lim = lim [ f ( ) + f ( )] = A. + + e + ( ) 同样可证 A < 的情形. 对于 A = 的情形, 可设 F( ) = f ( ) +, 则有

30 由上面的讨论, 得到即 lim f ( ) =. + lim ( ) + ( ) =. + ( F F ) lim F( ) =, + 复习思考题定理 6.7 中的条件 lim f ( ) = 为什么? 是可以去掉的,

31 作业 P3637:;3;5() (5) (7)

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一

一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一拉格朗日定理和函数的单调性中值定理是联系中值定理, 就可以根据质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了在区间上的性返回一罗尔定理与拉格朗日定理定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)

定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)

定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)