河北省2008年专科接本科教育考试

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1 河北省普通高校专科接本科教育考试数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 考试说明 Ⅰ. 课程简介一内容概述与总要求数学考试是为招收理工类财经类管理类及农学类各专业专科接本科学生而实施的入学考试为体现上述不同类别各专业对专科接本科学生入学应具备的数学知识和能力的不同要求, 数学考试分为数学 ( 一 )( 理工类 ) 考试和数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 考试, 每一类考试单独编制试卷参加数学 ( 二 ) 考试的考生应理解或了解高等数学中函数极限连续一元函数微分学一元函数积分学多元函数微分学无穷级数常微分方程以及线性代数中行列式矩阵线性方程组的基本概念与基本理论 ; 掌握或学会上述各部分的基本方法 ; 注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的运算能力逻辑推理能力空间想象能力和抽象思维能力 ; 能运用基本概念基本理论和基本方法准确简捷地进行计算, 正确地推理证明 ; 注重数学应用能力的培养, 能综合运用所学知识分析并解决较简单的实际问题数学考试从两个层次上对考生进行测试, 较高层次的要求为理解和掌握, 较低层次的要求为了解和会这里理解和了解是对概念与理论提出的要求掌握和会是对方法运算能力及应用能力提出的要求二考试形式与试卷结构考试采用闭卷笔试形式, 全卷满分为分, 考试时间为 6 分钟试卷包括选择题填空题计算题和应用题选择题是四选一型的单项选择题 ; 填空题只要求直接填写结果, 不必写出计算过程或推证过程 ; 计算题应用题均应写出文字说明及演算步骤选择题和填空题分值合计为 5 分计算题和应用题分值合计为 5 分数学 ( 二 ) 中高等数学与线性代数试题的分值比例约为 8:7 一函数极限与连续 Ⅱ. 知识要点与考核要求 ( 一 ) 函数. 知识范围函数的概念及表示法分段函数函数的奇偶性单调性有界性和周期性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题函数关系的建立. 考核要求 () 理解函数的概念, 会求函数的定义域表达式及函数值

2 () 了解函数的简单性质, 会判断函数的有界性奇偶性单调性周期性 () 掌握基本初等函数的性质及其图形 () 理解复合函数及分段函数的概念, 了解反函数及隐函数的概念掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单的函数的复合的方法 (5) 会建立实际问题中的函数关系式并利用函数关系分析和解决较简单的实际问题 ( 二 ) 极限. 知识范围大数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左右极限极限的四则运算无穷小无穷无穷小的比较两个重要极限 :. 考核要求 sin lim ; lim( ) e () 理解极限的概念 ( 对极限定义中 N M 等形式的描述不作要求 ), 理解函数左右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系, 了解自变量趋向于某个常数或无穷大时函数极限存在的充分必要条件 () 了解极限的性质, 掌握极限的四则运算法则 () 理解无穷小无穷大以及无穷小的比较 ( 高阶低阶同阶和等价 ) 的概念, 会应用无穷小与无穷大的关系有界变量与无穷小的乘积等价无穷小代换求极限 () 掌握利用两个重要极限求极限的方法 ( 三 ) 函数的连续性. 知识范围函数连续的概念函数的间断点初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 ( 最大值与最小值定理零点存在定理介值定理 ) 及其简单应用. 考核要求 () 理解函数连续性概念, 会判断分段函数在分段点的连续性 () 会求函数的间断点 () 了解闭区间上连续函数的性质 ( 最大值与最小值定理零点存在定理介值定理 ) () 了解连续函数的性质和初等函数的连续性, 理解函数在一点连续和极限存在的关系, 会应用函数的连续性求极限 (5) 会利用连续函数的最大值与最小值定理零点存在定理及介值定理分析和解决较简单的实际问题二一元函数微分学 ( 一 ) 导数与微分. 知识范围导数与微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性的关系平面曲线

3 的切线和法线基本初等函数的导数导数与微分的四则运算复合函数隐函数以及参数方程确定的函数的微分法高阶导数的概念某些简单函数的 n 阶导数微分运算法则一阶微分形式不变性边际函数收益函数需求函数供给函数. 考核要求 () 理解导数与微分的概念, 理解导数的几何意义和经济意义, 了解函数的可导性与连续性之间的关系, 会求分段函数在分段点处的导数 () 会求平面曲线的切线方程与法线方程 () 掌握基本初等函数的导数公式, 掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 () 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶二阶导数, 会使用对数求导法 (5) 了解高阶导数的概念, 会求某些简单函数的 n 阶导数 (6) 掌握微分运算法则及一阶微分形式不变性, 了解可微与可导的关系, 会求函数的微分 (7) 理解边际函数收益函数需求函数和供给函数的意义, 会解一些较简单的应用问题 ( 二 ) 微分中值定理和导数的应用. 知识范围罗尔 (Rolle) 中值定理拉格朗日 (Lagrange) 中值定理洛必达 (L'Hospital) 法则函数单调性的判定函数极值及其求法函数最大值最小值的求法及简单应用函数图形的凹凸性与拐点及其求法. 考核要求 () 了解罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义 () 掌握用洛必达法则求,,, 型未定式极限的方法 () 掌握利用导数判定函数单调性及求函数的单调区间的方法 () 理解函数极值的概念, 掌握求函数极值的方法, 掌握函数最大值最小值的求法及其简单应用, 会利用导数解决经济学及管理学中的一些简单应用题 (5) 会判断函数图形的凹凸性, 会求函数图形的拐点三一元函数积分学 ( 一 ) 不定积分. 知识范围原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式第一换元法 ( 即凑微分法 ) 第二换元法分部积分法简单有理函数简单无理函数及三角函数有理式的积分. 考核要求 () 理解原函数与不定积分的概念 () 理解不定积分的基本性质 () 掌握不定积分的基本公式

4 () 掌握不定积分的第一换元法第二换元法 ( 限于三角代换与简单的根式代换 ) 和分部积分法 ( 二 ) 定积分. 知识范围定积分的概念和性质变上限定积分及其导数牛顿莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式定积分的换元法和分部积分法定积分的应用 ( 平面图形的面积, 旋转体的体积 ) 无穷区间的广义积分的概念与计算. 考核要求 () 理解定积分的概念, 理解定积分的基本性质 () 理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理, 掌握牛顿莱布尼茨公式 () 掌握定积分的换元法和分部积分法 () 掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体体积 (5) 了解无穷区间的广义积分的概念, 会计算无穷区间的广义积分四多元函数微分学. 知识范围多元函数的概念二元函数的极限与连续的概念偏导数全微分的概念全微分存在的必要条件与充分条件二阶偏导数复合函数隐函数的求导法多元函数的极值条件极值的概念二元函数极值存在的充分条件必要条件极值的求法. 考核要求 () 理解多元函数的概念, 了解二元函数的几何意义和定义域了解二元函数极限与连续概念 ( 对计算不作要求 ) () 理解偏导数的概念, 了解全微分的概念和全微分存在的必要条件和充分条件 () 掌握二元初等函数的一二阶偏导数的计算方法, 会求全微分 () 掌握复合函数一二阶偏导数的计算方法 ( 含抽象函数 ) (5) 掌握由方程 F(,y,z)= 所确定的隐函数 z=z(,y) 的一阶偏导数的求法 (6) 会求二元函数的极值, 会求二元函数的最大值最小值并会解一些简单的应用问题五无穷级数 ( 一 ) 常数项级数. 知识范围常数项级数收敛发散的概念收敛级数的和级数收敛的基本性质和必要条件正项级数收敛性的比较判别法比值判别法交错级数的莱布尼茨 (Leibniz) 判别法绝对收敛与条件收敛. 考核要求 () 理解常数项级数收敛发散以及收敛级数的和的概念理解级数收敛的必要条件和基本

5 性质 () 掌握几何级数 n n aq 的敛散性 () 掌握调和级数与 p- 级数 n n n p n 的敛散性 () 掌握正项级数的比值判别法, 会用正项级数的比较判别法 (5) 会用莱布尼茨判别法判定交错级数收敛 (6) 了解级数绝对收敛与条件收敛的概念, 会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛 ( 二 ) 幂级数. 知识范围 e 幂级数的收敛半径收敛区间和收敛域幂级数在收敛区间内的基本性质函数, ln( ), 的马克劳林 (Maclaurin) 展开式. 考核要求 () 了解幂级数的概念 () 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质 ( 逐项求和, 逐项求导与逐项积分 ) () 掌握求幂级数的收敛半径收敛域的方法 ( 包括端点处的收敛性 ) () 会运用 e, ln( ), 的马克劳林展开式, 将一些简单的初等函数展开为或的幂级数六常微分方程 ( 一 ) 微分方程基本概念. 知识范围常微分方程的概念微分方程的阶解通解初始条件和特解. 考核要求 () 了解微分方程的阶解通解初始条件和特解的概念 () 会验证常微分方程的解通解和特解 () 会建立一些微分方程, 解决简单的应用问题 ( 二 ) 一阶微分方程. 知识范围一阶可分离变量微分方程一阶线性微分方程. 考核要求 () 掌握一阶可分离变量微分方程的解法 () 会用公式法解一阶线性微分方程 5

6 七线性代数 ( 一 ) 行列式. 知识范围行列式的概念余子式和代数余子式行列式的性质行列式按一行 ( 列 ) 展开定理克莱姆 (Cramer) 法则及推论. 考核要求 () 了解行列式的定义, 理解行列式的性质 () 理解行列式按一行 ( 列 ) 展开定理 () 掌握计算行列式的基本方法 () 会用克莱姆法则及推论解线性方程组 ( 二 ) 矩阵. 知识范围矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的转置单位矩阵对角矩阵三角形矩阵方阵的行列式方阵乘积的行列式逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换矩阵的秩初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵. 考核要求 () 了解矩阵的概念, 了解单位矩阵对角矩阵和三角形矩阵 () 掌握矩阵的线性运算乘法和矩阵的转置 () 会用伴随矩阵法求二三阶方阵的逆矩阵 () 理解矩阵秩的概念, 会用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵, 会解简单的矩阵方程 ( 三 ) 线性方程组. 知识范围向量的概念向量组的线性相关与线性无关向量组的极大无关组向量组的秩与矩阵的秩的关系齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解用初等行变换求解线性方程组的方法. 考核要求 () 理解 n 维向量的概念, 理解向量组线性相关与线性无关的定义, 了解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念 () 了解判别向量组的线性相关性的方法 () 会求齐次线性方程组的基础解系, 会求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的一般解和通解 () 会建立线性方程组, 解决简单的应用问题 6

7 Ⅲ. 模拟试卷及答案河北省普通高校专科接本科教育考试数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 模拟试卷 ( 考试时间 :6 分钟 ) ( 总分 : 分 ) 说明 : 请在答题纸的相应位置上作答, 在其它位置上作答的无效一单项选择题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前的字母填涂在答题纸的相应位置上, 填涂在其它位置上无效 ). 设函数, f ( ), 则 f [ f ( )] ( )., A. B. C., f ( ), D., f ( ),. 已知 f ( ) e, 则函数 f() 的第一类间断点是 ( ). A.= B. = C. =- D. =. 曲线 y e 上哪一点的切线平行于 y ( ). A. (,ln ) B. (,ln ) C. (ln,) D. (ln,) a( t sin t). 设, 则 y a( cos t) dy d t ( ). A. B.- C. D.- 5. 下列表达式中正确的是 ( ). A. ( f ( ) d) f ( ) B. d f ( ) d f ( ) C. f ( ) d f ( ) C D. df ( ) f ( ) t 7 6. 若 e d, 则 t ( ). A. B. ln C. D. ln y 7. 设 f (, y) ln( ), 则 f (,) ( ). 7

8 A. B.- C. D. 8. 级数 n n 的收敛域为 ( ). n A. (, ) B. (, ) C. (,) D. [, ] 9. 微分方程 y y sin 的通解是 ( ). A. y (sin C) B. y ( cos C) C. y (cos C) D. y (sin C). 设向量组 a, a, a,, an 线性相关, 则 ( ). A. 向量组中存在某一向量可由其它向量线性表示 B. 向量组中只有一个向量可由其它向量线性表示 C. 向量组中任意一个向量可由其它向量线性表示 D. 向量组中任意一个向量都不可由其它向量线性表示二填空题 ( 本大题共 5 小题, 每小题分, 共分. 将答案填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置无效 ) tan ( cos ). lim sin. 已知 f ( ) cos e, 则 f ( ).. 函数 z ln( y) 的定义域为.. t. 已知矩阵 A t, 且齐次线性方程组 A O 有非零解则 t. 5. 级数 =. n (5n )(5n ) 三计算题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 将解答的主要过程步骤和答案填写在答题纸的相应位置上, 写在其它位置上无效 ) 6. 求 e d 的值. 7. A=, 矩阵 A 满足方程 AX=A+X, 求矩阵 X. 8

9 z z 8. 设 z u v, u sin y, v ln y, 求和 y. dy y y 9. 解方程 e e, y. d 四. 应用题 ( 本题分 ; 将解答的主要过程步骤和答案填写在答题纸的相应位置上, 写在其它位置上无效.). 某旅行社举办风景区旅行团, 若每团人数不超过人, 飞机票每张收费 9 元 ; 若每团人数多于人, 则给予优惠, 每多一人, 飞机票每张收费减少元, 直至每张飞机票收费降到 5 元为止. 每团乘飞机, 旅行社需付给航空公司包机费 5 元. 问 : 每团人数为多少时, 旅行社可获得最大利润? 最大利润为多少? 数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 模拟试卷参考答案和评分标准一单项选择题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 选对得分, 选错未选或多选得分 ).B.A.D.C 5. C 6.B 7.C 8.A 9. B. A 二填空题 ( 本大题共 5 小题, 每小题分, 共分. 填对得分, 未填或填错得分 ).. sin e cos. (, y) y 三计算题 ( 本大题共小题, 每小分, 共分. 解答过程步骤和答案必须完整正确 ) 6. 解 : 令 t, 则 t 分原式 t t e dt te dt, 分 t = tde, 6 分 t e e 分 7. 解 : 由 AX=A+X 得 (A-I)X=A 9

10 A-I= - = 分 A I, 所以 A-I 可逆 5 分由 AX=A+X 得 (A-I)X=A, 即 X ( A I) A = 分 z z u z v v 8. 解 : v vu cos u ln u ln y 分 u v ln y ln y ln y cos (sin y ) (sin y ) ln(sin y ) ln y ; 5 分 z z u z v v v vu y u ln u y u y v y y 7 分 y y y y y 分 y ln y ln y ln (sin ) (sin ) ln(sin ) 9. 解 : 方程可以改写为 d y y e ( e ) d 即 y e dy ( e ) d 分 y 两边积分得 e e C 以条件 y 于是所求特解为代入, 得 C, 即 C. 6 分 y e e 即 y ln( e ). 分四应用题 ( 本题分 ; 解答过程步骤和答案必须完整正确 ). 解 : 设表示每团人数, p 表示飞机票的价格, 因 (9 5) 5, 所以每团人数最多为 5 75人, 飞机票的价格为旅行社的利润函数为 9, p 9 ( ), 75 分 L L( ) p 5

11 9 5, 9 ( ) 5, 75 因为 9, L( ), , 5, 75 分 6 分显然, 当 L( ) 时, 有 6, 又 6 时, L( ), 当 6 75 时, L( ). 所以, 当 6 可获得最大利润, 最大利润为人时, 利润函数取最大值, 即每团 6 人时, 旅行社 L (6) ( 5) 6 分

12 河北省普通高校专科接本科教育考试数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 模拟试卷 ( 考试时间 :6 分钟 ) ( 总分 : 分 ) 说明 : 请在答题纸的相应位置上作答, 在其它位置上作答的无效一单项选择题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 在每小题给出的四个备选项中, 选出一个正确的答案, 并将所选项前的字母填涂在答题纸的相应位置上, 填涂在其它位置上无效 ). 设 cos f ( ) sin e,( ) 是 ( ). A. 有界函数 B. 单调函数 C. 周期函数 D. 偶函数. 已知函数 ln( ), f ( ) e tan a, 是 (, ) 上的连续函数, 则 a ( ). A.- B. C. D.. 已知 F( ) arctan 是 f ( ) 的一个原函数, 则 ( ). A. f ( ) d arctan B. f ( ) d arctan C C. f ( ) d arctan D. F( ) C. d ( ). A. d B. d C. d D. d 5. 函数 y 的极小值点是 ( ). A.- B. C. D. 6. 如果 lim f ( ),lim g( ), 则下列极限成立的是 ( ). a a A. lim[ f ( ) g( )] B. lim[ f ( ) g( )] a a C. lim a f ( ) g ( ) D. lim a f ( ) u z 7. 设 z cosv,u y, v y, 求 ( ).

13 B. y ln ysin( y) cos( y) A. ln y ysin( y) D. y ln ycos( y) sin( y) C. ln y ysin( y) 8. 微分方程 y y 的通解是 ( ). ( ) A. (arctan C) B. arctan C C. 9. 矩阵 A 可逆的充要条件是 ( ). arctan C D. arctan C A. A B. A C. A D. A. 下列级数中, 绝对收敛的是 ( ). A. ( ) n B. n n ( ) n C. n n n n ( ) D. ( ) n n n n n 二填空题 ( 本大题共 5 小题, 每小题分, 共分. 将答案填写在答题纸的相应位置上, 填写在其它位置无效 ) d. 已知 y y( ) 是由方程 y ln y 所确定的隐函数, 则 dy. sin. lim ( ).. 说明定积分 sin d 的几何意义, 并求其值. *. 设 A, 则 ( A ). n n 5. 幂级数 ( ) 的收敛域是. n n 三计算题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 将解答过程步骤和答案填写在答题纸的相应位置上, 写在其它位置上无效 ) 6. 求 e d. 7. 设函数 f (, y) my n y 在点 (,) 处取得极值, 求常数 m, n 的值.

14 8. 求方程组的通解解微分方程 cos yd ( e )sin ydy, 求满足初始条件 y() 的特解. 四应用题 ( 本题分. 将解答的过程步骤和答案填写在答题纸的相应位置上, 写在其它位置上无效 ). 某企业生产的某产品固定成本为 5 万元, 每生产吨需增加费用 5 万元. 该产品的市场需求量为 Q P ( P 为价格 ), 产销平衡. 求边际利润函数 ( 在经济领域中称函数的导数为边际函数, 其含义是自变量改变一个单位时, 函数的改变量 ), 并求产量为多少时利润最大? 数学 ( 二 )( 财经管理农学类 ) 模拟试卷参考答案和评分标准一单项选择题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 选对得分, 选错未选或多选得分 ).B.C.B.C 5.C 6.D 7.D 8.A 9.B.D 二填空题 ( 本大题共 5 小题, 每小题分, 共分. 填对得分, 未填或填错得分 ) y. ( ). y y y... 表示曲线 y sin 与直线之差, 其值为. A. * ( ) 及轴围成在轴上方图形面积与轴下方图形面积 5. (,]. 三计算题 ( 本大题共小题, 每小题分, 共分. 解答过程步骤和答案必须完整正确 )

15 6. 解 : e d e d ( ) e 6 分分 ( lime e ) 8 分分 7. 解 : 由于 f (, y ) 在 (,) 处取得极值, 且偏导数存在, 由取极值的必要性得 f my ny f m n y y 从而有分 f (,) m n f y (,) m n, 6 分即 m n m n n 解得 m 6. 分 8. 解 : 写出方程组的增广矩阵, 用初等变换化为简化阶梯阵 Ab 得方程组的一般解为令得方程组的一个特解, 为自由元. 5 分 6 分 5

16 原方程组的导出组的一般解为令得导出组的一个基础解系为, 为自由元,, 8 分故方程组的通解为 C,C 为任意常数. 分 9. 解 : 该方程为可分离变量微分方程. sin 分离变量得 y dy cos y e d sin y 两端积分 dy d cos y 分 e d cos y d( e ) cos y e 方程的通解为 cos y C( e ) 6 分分由初始条件 y(), 得 C 8 分得方程的特解为 cos y ( e ), 即 y arccos[ ( e )]. 分四应用题 ( 本题分. 将解答的过程步骤和答案填写在答题纸的相应位置上, 写在其它位置上无效 ) Q. 解 : 由于 P Q 总收入为 R PQ Q 分总成本为 C 5 5Q 分 Q 故总利润函数为 L R C 6Q 5 6 分 6

17 Q 求导得, 边际利润函数为 L 6, 8 分 5 令 L, 解得驻点 Q 根据实际问题知, L 存在最大值, 且 Q ( 吨 ) 是利润函数 L 唯一驻点, 故当产量为吨时利润最大, 利润最大值为 Lma 85 万元分 7

二一元函数微分学运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7. 理解无穷小的概念和基本性质, 掌握无穷小量的比较方法. 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8. 理解函数连续性的概念 ( 含左连续与右连续 ), 会判别函数间断点的类型. 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限

二一元函数微分学运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7. 理解无穷小的概念和基本性质, 掌握无穷小量的比较方法. 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8. 理解函数连续性的概念 ( 含左连续与右连续 ), 会判别函数间断点的类型. 运算法则, 掌握利用两个重要极限求极限 2017 年与 2016 年考研微积分大纲变化对比数三章节 2016 年数学考试大纲和 2017 年数学考试大纲和变化对比微积分一函数极限连续函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则