0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函

Size: px

Start display at page:

Download "0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函"

下米
5 years ago
Views:

注 :(1) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101

1 注 :(1) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 函数的概念 ( 两个要素 ) 函数的解析表示和几个函数的例子 ( 绝对值函数符号函数取整函数分段函数狄利克雷函数 ) 函数的几种特性反函数与反三角函数函数的四则运算和复合运算基本初等函数与初等函数双曲函数 ( 反双曲函数可暂时从略 ) 0102 数列极限的概念 (40 分钟 ) 数列的概念数列极限的描述性定义数列极限的精确定义数列极限的几何解释数列极限的例子

2 0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函数极限的精确定义自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释及曲线的水平渐近线 0105 自变量趋于有限值时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于有限值时函数极限的直观描述自变量趋于有限值时函数极限的精确定义自变量趋于有限值时函数极限的几何解释左右极限及其与极限存在的关系 0106 函数极限的性质 (40 分钟 ) 唯一性局部有界性局部保号性 * 函数极限与数列极限的关系 0107 无穷小与无穷大 (40 分钟 ) 无穷小的定义及例子无穷小与极限的关系

3 无穷大的定义及例子无穷大与无穷小的关系铅直渐近线 0108 极限的运算法则 (30 分钟 ) 极限的四则运算法则复合函数极限的运算法则 ( 变量代换法则 ) 极限的保序性 0109 极限存在准则两个重要极限 (60 分钟 ) 极限存在的夹逼准则 ( 几何说明, 可不证明 ) sin x 重要极限 lim 1及其在求极限中的应用举例 x 0 x 数列的单调有界收敛准则 ( 只几何说明 ) 1 x 重要极限 lim(1 ) e 其在求极限中的应用举例 x x 0110 无穷小的比较 (30 分钟 ) 无穷小阶的概念等价无穷小的概念与常见的等价无穷小两个无穷小等价的一个充要条件等价无穷小在求极限中的应用举例 0111 函数的连续性 (20 分钟 ) 函数连续的实例与直观描述函数在一点处连续的两个等价定义函数在一个区间上连续的定义

4 0112 函数的间断点 (30 分钟 ) 函数间断点的实例与直观描述函数间断点的定义 ( 三种情况 ) 间断点的分类及举例 0113 连续函数的运算 (30 分钟 ) 连续函数的四则运算 ( 主要用例子说明 ) 反函数的连续性复合函数的连续性 0114 初等函数的连续性 (20 分钟 ) 基本初等函数与初等函数的连续性分段函数在分段点处的连续性 0115 闭区间上连续函数的性质 (40 分钟 ) 有界性与最大值最小值定理 ( 用图形和例子说明 ) 零点定理与介值定理 ( 用图形和例子说明 ) 用二分法求方程的根应用实例 0116 单元小结 (60 分钟 ) 0117 单元测试 (60 分钟 ) 0201 导数的概念 (60 分钟 ) 第二章导数与微分 (02)

5 引例 ( 切线问题速度问题 ) 导数的定义左右导数及其与可导的关系在一个区间上的可导性, 可导函数导数的几何意义函数可导性与连续性的关系导数作为变化率的实际意义 ( 根据专业选例 ) 0202 函数的求导法则 (60 分钟 ) 函数求导的四则运算法则反函数的求导法则复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式表 0203 高阶导数 (30 分钟 ) 高阶导数的概念高阶导数的计算几个基本初等函数的高阶导数公式 0204 隐函数的求导法 (30 分钟 ) 隐函数的概念隐函数的求导法则隐函数求导的几何应用举例 0205 由参数方程所确定的函数的导数 (30 分钟 ) 由参数方程所确定的函数的概念由参数方程所确定的函数的求导法

6 参数方程求导的应用实例 0206 相关变化率 (30 分钟 ) 相关变化率的概念与计算相关变化率的应用实例 0207 函数的微分 (40 分钟 ) 微分的概念可微与可导的关系微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式表微分在近似计算中的应用 ( 误差估计函数的线性近似 ) 0208 单元小结 (60 分钟 ) 0209 单元测试 (60 分钟 ) 第三章微分中值定理和导数的应用 (03) 0301 罗尔定理 (30 分钟 ) 罗尔定理及其几何意义罗尔定理的证明罗尔定理的应用举例 0302 拉格朗日定理 (40 分钟 ) 拉格朗日定理及其几何意义

7 拉格朗日定理的证明拉格朗日公式的几种形式 f x 在区间 I 上恒为零的充要条件拉格朗日公式的其他应用举例 0303 柯西中值定理 (20 分钟 ) 柯西中值定理及其几何意义柯西中值定理与拉格朗日定理的关系柯西中值定理的应用举例 0304 洛必达法则 (50 分钟 ) 型未定式的洛必达法则型未定式的洛必达法则用洛必达法则求型和 0 型未定式的极限 0 0 用洛必达法则求,1,0 型未定式的极限不能用洛必达法则求解的未定式的例子 0305 泰勒定理 (50 分钟 ) 多项式逼近函数与泰勒公式具有佩亚诺余项的泰勒定理具有拉格朗日余项的泰勒定理常用函数的麦克劳林公式及其应用举例 0306 函数的单调性 (30 分钟 ) 函数单调性的判别法函数单调性的应用举例

8 0307 函数曲线的凹凸性 (40 分钟 ) 曲线凹凸性的定义和几何解释曲线凹凸性的判别法拐点的定义和几何解释拐点的判别法 0308 函数的极值 (30 分钟 ) 函数极值的概念函数极值点的必要条件函数极值点的第一充分条件函数极值点的第二充分条件 0309 函数的最值 (30 分钟 ) 函数最大值最小值的求法函数最值的应用实例 0310 函数图形的描绘 (30 分钟 ) 借助导数描绘函数图形的步骤函数作图举例 * 利用软件函数作图 0311 平面曲线的曲率 (50 分钟 ) 弧微分及其计算公式曲率的概念曲率的计算公式曲率圆与曲率半径

9 曲率的应用举例 0312 方程的近似解 (30 分钟 ) 利用两分法求方程的近似解利用切线法求方程的近似解 * 利用软件求方程的近似解 0313 单元小结 (60 分钟 ) 0314 单元测试 (60 分钟 ) 第四章不定积分 (04) 0401 原函数与不定积分的概念 (40 分钟 ) 原函数的定义原函数概念的两点说明 1. 若 F(x) 是 f(x) 的原函数, 则 F(x)+C 也是 f(x) 的原函数 ; 2. f(x) 的任意两个原函数相差一常数不定积分的定义不定积分的几何意义不定积分的简单应用举例 0402 不定积分的性质与基本积分表 (30 分钟 ) 不定积分与导数 ( 微分 ) 的互逆性基本积分表不定积分的线性性质简单不定积分的计算举例

10 0403 不定积分的第一换元法 (60 分钟 ) 第一换元公式 ( 凑微分法 ) 第一换元法举例 ( 可根据具体情况分段处理 ) 0404 不定积分的第二换元法 (50 分钟 ) 第二换元公式第二换元法举例 ( 可根据具体情况分段处理 ) 0405 不定积分的分部积分法 (50 分钟 ) 分部积分公式分部积分法举例 ( 可根据具体情况分段处理 ) 0406 初等函数的积分问题 (20 分钟 ) 积分表积分表的使用举例原函数的存在定理 ( 叙述 ) 几个不能用初等函数表示的积分 0407 单元小结 (60 分钟 ) 0408 单元测试 (60 分钟 ) 0501 定积分的概念 (60 分钟 ) 定积分问题举例定积分的定义定积分的几何意义第五章定积分 (05)

11 定积分存在的条件用定义求定积分 x dx 0502 定积分的性质 (40 分钟 ) 线性性质对区间的可加性 ( 可用几何说明 ) 不等式性质 ( 可用几何说明 ) 定积分的中值定理与积分平均值 0503 变上限积分及其导数 (50 分钟 ) 变上限积分的概念变上限积分求导定理 ( 微积分基本定理 ) 变上限积分求导举例 0504 牛顿 - 莱布尼茨公式 ( 微积分基本公式 )(50 分钟 ) 由速度与位移的关系引出牛顿 - 莱布尼茨公式牛顿 - 莱布尼茨公式及其证明公式应用举例 0505 定积分的换元法 (50 分钟 ) 定积分的换元公式换元公式应用举例 0506 定积分的分部积分法 (30 分钟 ) 定积分的分部积分公式分部积分公式应用举例 0507 定积分的近似计算 (30 分钟 ) 矩形法

12 梯形法抛物线法 ( 辛普森法 ) * 利用软件计算定积分 0508 反常积分 (50 分钟 ) 无穷区间上的积分无界函数的积分 * 函数 0509 单元小结 (60 分钟 ) 0510 单元测试 (60 分钟 ) 第六章定积分的应用 (06) 0601 定积分的元素法 ( 微元法 )(20 分钟 ) 0602 定积分在几何上的应用 (100 分钟 ) 直角坐标系下面积的计算极坐标系下面积的计算旋转体体积的计算平行截面面积已知的立体体积的计算平面曲线弧长的计算 0603 定积分在物理上的应用 (70 分钟 ) 变力沿直线做功的计算液体压力的计算引力的计算

13 0604 单元小结 (60 分钟 ) 0605 单元测试 (60 分钟 ) 第七章常微分方程 (07) 0701 常微分方程的基本概念 (30 分钟 ) 引例与微分方程的定义微分方程的阶解通解初值条件特解的含义一阶微分方程及其解的几何意义 0702 可分离变量的微分方程 (30 分钟 ) 可分离变量微分方程的一般形式可分离变量微分方程的解法 0703 齐次微分方程 (30 分钟 ) 齐次微分方程的一般形式齐次微分方程解法 * 可化为齐次方程的微分方程及其解法 0704 一阶线性微分方程 (60 分钟 ) 一阶线性微分方程的一般形式一阶齐次线性微分方程的解法一阶非齐次线性微分方程的解法 *0705 伯努利方程 (20 分钟 ) 伯努利方程的一般形式

14 伯努利方程的解法 0706 一阶微分方程的应用举例 (50 分钟 ) 用几何物理知识建立微分方程举例用微元法建立微分方程举例 0707 可降阶的高阶微分方程 (50 分钟 ) y ( n) f ( x) 型微分方程及其降阶法 y f ( x, y ) 型微分方程及其降阶法 y f ( y, y ) 型微分方程及其降阶法可降阶微分方程的应用举例 0708 二阶齐次线性微分方程 (30 分钟 ) 二阶线性微分方程的概念二阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关二阶齐次线性微分方程通解的结构 0709 二阶非齐次线性微分方程 (20 分钟 ) 二阶非齐次线性微分方程解的性质二阶非齐次线性微分方程的通解结构 0710 二阶常系数齐次线性微分方程 (40 分钟 ) 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式二阶常系数齐次线性微分方程的解法 * 高阶常系数齐次线性微分方程的解法

15 0711 二阶常系数线性非齐次微分方程 (60 分钟 ) 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式 y py qy e x P ( x) 型的解法 x y py qy e [ Acos x Bsin x] 型的解法 m y py qy e x P ( x)[ Acos x Bsin x] 型的解法 m *0712 欧拉方程 (20 分钟 ) 欧拉方程的一般形式欧拉方程的解法 0713 二阶常系数线性微分方程的应用举例 (30 分钟 ) 0714 单元小结 (60 分钟 ) 0715 单元测试 (60 分钟 )

定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23

定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /

0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函

0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性有界性保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述自变量趋于无穷大时函