尚德机构 学习是一种信仰 Sunlands.com 第一章 函数 1 预备知识 一元二次函数 方程和不等式 b 2 4ac 一元二次函数 y ax 2 bx c( a>0) x 1 x 2 x 1.2 一元二次方程 ax 2 bx c 0 有二互异实根 x 1,2 2 b b 4ac 2

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1 第一章 函数 预备知识 一元二次函数 方程和不等式 4c 一元二次函数 c( >). 一元二次方程 c 有二互异实根, 4c 有二相等实根 ( 有一根 ), 无实根 不等式 >) c> ( < ) < 或 > c< R 不等式 : 大于取两边, 大于大的, 小于小的 ; 绝对值不等式 : > (>) > 或 <- 小于取中间 < 等价于 -<< 一元二次方程的两个根分别为, 则有韦达定理 : + = * = c 为曲线对称轴 不等式 : 算术平均值大于等于几何平均值 : = 时才相等. 因式分解与乘法公式

2 () ( )( ) () ( ) () ( ) (4) ( )( ) (5) ( )( ) (6) ( ) (7) ( ) (8) c c c ( c) (9) n n ( )( n n n n ),( n ) 等差数列和等比数列. 等差数列 通项公式 : n d 前项和公式 n n n n n n Sn 或 Sn n d. 等比数列 GP n 通项公式 q, q n n 前 n项和公式. S n q q n n q q 求定义域 : : 分式的分母不能为 : 根号内的大于等于 : 对数内的要大于 ( 对数为分母时真数不等于 ) =sin, 奇函数 =cos, 偶定义域 (-,+ ) 值域 :- <= <= =tn, 定义域 { R, X kπ+ } k 为整数值域 :(-,+ ) 奇函数 =cot 定义域 { R, X kπ} k 为整数值域 :(-,+ ) 奇函数 判断奇偶性 :f(-)=f() 偶 cos,sec F(-)=- f() 奇 sin tn cot 等 反函数 : 先解出一个干净的 Y, 再把 Y 写成 X,X 写成 Y 就成了, 复合函数要会看, 谁是外衣, 谁是内衣, P6 页的公式要记住, 初等函数的几个常见的图形要记住,

3 名称 常数函数 幂函数 表达式定义域图形特性 C R 随 而异, 但在 R 上 均有定义 C = = = / = - = 过点 (,); 单增 ; 单减. 时在 R 时在 R 4.5 指 数 函数 R = << (,) = o. 过点,. 单增. 单减. m m n mn mn m n mn, n,

4 对数函数 log R O (,) =log > << =log 过点,. 单增. 单减. log, log, M, N log log MN log M log N, M log log M log N, N p log M P log M, logc log c,, log log ( ) c ( ) 正弦函数 sin R -/ O - / / 奇函数. T.. 余弦函数 cos R -/ O - / / 偶函数. T.. 正切函数 k tn k Z -/ O / 奇函数. T. 在每个周期内单增 余切函数 cot k, k Z - O 奇函数. T. 在每个周期内单减. 4

5 反正弦函数 rcsin, - / o -/ 奇函数. 单增.. 反余弦函数 rccos, - / o 单减.. 反正切函数 rctn R / o -/ 奇函数. 单增.. 反余切函数 rccot R / o 单减.. 5

6 初等数学基础知识一 三角函数. 公式 同角三角函数间的基本关系式 : 平方关系 : sin (α)+cos (α)=; tn (α)+=sec (α); cot (α)+=csc^(α) 商的关系 : tnα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα 倒数关系 : tnα cotα=; sinα cscα=; cosα secα= 三角函数恒等变形公式 : 两角和与差的三角函数 : cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβ tn(α+β)=(tnα+tnβ)/(-tnα tnβ) tn(α-β)=(tnα-tnβ)/(+tnα tnβ) 倍角公式 : sin()=sin cos cos()=cos ()-sin (α)=cos ()-=-sin () tn()=tn / [-tn^()] 半角公式 : 六边形记忆法 : : 对角线上两个函数的乘积为 : 阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如 :tn += sec : 任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积 如 :sin=cos*tn 画图口决 : 弦中切下层割, 左正右余 中间 sin (α/)=(-cosα)/ tn (α/)=(-cosα)/(+cosα) cos (α/)=(+cosα)/ tn(α/)=sinα/(+cosα)=(-cosα)/sinα 万能公式 : sinα=tn(α/)/[+tn (α/)] cosα=[-tn (α/)]/[+tn (α/)] tnα=tn(α/)/[-tn (α/)] 积化和差公式 : sinα cosβ=(/)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα sinβ=(/)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα cosβ=(/)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα sinβ=-(/)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式 : sinα+sinβ=sin[(α+β)/]cos[(α-β)/] sinα-sinβ=cos[(α+β)/]sin[(α-β)/] cosα+cosβ=cos[(α+β)/]cos[(α-β)/] cosα-cosβ=-sin[(α+β)/]sin[(α-β)/] 6

7 . 特殊角的三角函数值 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系, 依照三角函数的定义即可推出上面的三角值 诱导公式 : 函数角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα /9 -α cosα sinα ctgα tgα 9 +α cosα -sinα -ctgα -tgα π/8 -α sinα -cosα -tgα -ctgα 8 +α -sinα -cosα tgα ctgα 7 -α -cosα -sinα ctgα tgα 7 +α -cosα sinα -ctgα -tgα π/6 -α -sinα cosα -tgα -ctgα 6 +α sinα cosα tgα ctgα 记忆规律 : 竖变横不变 ( 奇变偶不变 ), 符号看象限 ( 一全, 二正弦割, 三切, 四余弦割 即第一象限全是正的, 第二象限正弦 正割是正的, 第三象限正切是正的, 第四象限余弦 余割是正的 ) 5 经济学中的常用函数 一 : 需求函数 Q=Q(P) 与供给函数 S=S(P) 当供给量与需求量相等, 此时 P 为均衡价格 ;Q 为均衡数量 二 : 成本函数总成本 C(q)= 固定成本 + 可变成本 =C +C (q) 平均成本是指总成本与产品数量之比 C(q)/q, 记作 C (q) 三 : 收益函数与利润函数 ( 常考点, 选择, 简单计算 ) 总收益函数 R=R(q)=qP(q) R 表示收益 ;q 表示售出商品的数量,P(q) 为商品单价与售出数量的关系 平均收益函数为 : R = R(q) q =P(q) 7

8 利润函数 : 总利润函数 L=L(q)=R(q)-C(q), 平均利润函数 : L = L (q)= L( q) q 当 L=L(q)=R(q)-C(q)> 时, 是盈余生产 当 L=L(q)=R(q)-C(q)< 时, 是亏损生产 当 L=L(q)=R(q)-C(q)= 时, 是无盈余无亏损生产 q 为无盈亏点 第二章极限与连续 一 : 极限 X 趋于 时的等价无穷小量 :( 在极限乘 除运算时可用, 加减不可用 ) sin tn rcsin 4 rctn 5 ln( ) 6 e 7 cos 8 ln 9 ln( ) = tn sin sin 重要极限一 : lim sin lim sin 根据 sin 值域推出 lim 重要极限二 : lim( ) e lim( ) e 二 : 无穷大量和无穷小量 ( 常考点, 选择, 简单计算, 计算 ) 无穷小乘以有界量为 无穷大的倒数为无穷小, 无穷小的倒数为无穷大, 无穷小量的比较 : 设 lim f ( ), lim g( ), 若 : f ( ) c lim g ( ) : 当 c= 时, 称 f() 是 g() 在 时的高阶无穷小量如最后极限得出 : 当 c 且 c 时, 称 f() 是 g() 在 时的同阶无穷小量 : 当 c= 时, 称 f() 是 g() 在 时的等价无穷小量 sin= = X 趋于无穷大求极限, 有分式的 : 分子分母同次数是系数之比 ; 分子高次是无穷大 ; 分母高次是无穷小 ; 8

9 定理 6( 零点定理, 介值定理 ) 三步骤 :, 设 f() 是 [,] 上是连续. 找异号 f()f()<. 直接写根据零点定理得出 零点定理的心得是求结论 f()=+, 是求等式的, 就令 g()= f()--=, 接着来三部曲就成了, 例 : 证明方程 5 至少存在一个正根 证明 : 令 f()= 5 则 f() 为连续函数 f ()=-< f ()=> 所以 f () f ()=-< 由介值定理可知 (,) 使得 f ( ) 5 即, 就是方程的根, 且为正根. 可去型间断点 ( 左右极限相等, 但与函数值不相等或函数值不存在 ) 函数的间断点 : 第一类间断点 : 如 =, 为 sin f ( ) 的可去型间断点 ;= 为 f ( ) 可去间断点 跳跃型间断点 ( 左右极限存在, 但不相等 ) 如 = 为 sgn() 的跳跃型间断点 ; 第二类间断点 : 若函数 f() 在点 处的左右极限中至少有一个不存在 ( 极限为无穷 ) ( 无穷, 振荡 ( 在两个数来回徘徊 ) 如 := 为 f()=, g()= e, h()= sin 的第二类间断点 函数的间断点, 找无意义的点, 有两大类 : 分母为 就是可去间断, 出现无穷就是无穷间断, 出现绝对值的就是跳跃 出现分段的没分母, 没真数, 没根号的就求一下左右极限看看是可去还是跳跃 相等就是可去, 不相等就是跳跃 连续函数的概念与性质 ( 必考点, 选择, 简单计算, 综合题 ) 9

10 第三章 导数和微分. 导数的定义 : ( 常考点, 选择, 简单计算,) 设函数 =f() 在 及其附近有定义, 如果极限 lim f ( ) f ( ) 存在, 则称函数 f() 在 = 处可导, d df ( ) 极限的值称为函数 f() 在 = 处的导数 记作 f ( ), ; 等 d d f ( ) f ( ) lim = f ( ) f ( ) 定义也可表述为 : 若极限 lim 存在, 则称函数 f() 在 = 处可导, 极限的值称为函数 f() 在 = 处的导数 例 : 用定义求 f()=ln() 在 (>) 处的导数 f ( ) f ( ) ln( ) ln 解 : 因为 lim lim ln( ) lim : 函数在一点处的单侧导数 定义 : 设函数 =f() 在 及其附近有定义 ; 如果极限 lim f ( ) f ( ) 存在, 则称函数 f() 在 = 处 左可导, 极限的值称为函数 f() 在 = 处的左导数 记作 f ( ) 定理 : f ( ) =A 的充分必要条件是 :f() 在 处即左可导且右也可导, 且 f ( ) f ( ) A. 函数在一点处导数的几何意义 从函数在一点处的导数定义可以看出, f ( ) 表示的是曲线 =f() 在点 (, f ( ) ) 处切线的斜率,rn 所以曲线 =f() 在点 (, f ( ) ) 处切线方程为 : 切线方程 : f ( ) f ( )( ). 过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线 : 当 f ( ) 时, 曲线 =f() 在点 (, f ( ) ) 处的法线方程为 法线方程 : f ( ) ( ). f ( ) 例 : 求曲线 =ln 在点 (,) 处的切线方程与法线方程 :ln() 的导数 = : = 代入公式. 所以 : 切线方程为 f ( ) f ( )( ). =ln()+ (-)=+(-)=- 切线方程为 =-

11 方线方程为 f ( ) ( ). f ( ) =ln()-(-)=-(-)=-(-) 法线方程为 =-.. 微分的概念 ( 常考点, 选择, 简单计算,) 定义.: 设函数 =f() 在 及其附近有定义, 如果函数值 f() 在点 处的改变量 自变量改变量的一次项 ( ) 则称函数 f() 在 处可微, ( ) f ( ) 可以表示成 与自变量改变量的高阶无穷小量 o( ) 之和, 即 : f ( ) ( ) o( ) 称为 f() 在 处的微分, 记作 : df ( ) ( ) 例 : 求 = 的微分 微分与导数的区别是导后 +d 解 : 因为 且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 所以 : o( ) 故 d. 定理.: 函数 f() 在 处可微的充要条件是函数 f() 在 处可导, 且 df ( ) f ( ) d = 的微分为 d d. ( 正确的写法 ) df ( ) f ( ), 其中 d. 导数的运算 ( 常考点, 选择, 简单计算,) 定理.4: 若函数 f(),g() 在 处可导, 则其和 差 积 商构成的函数均在 处可导 : 且 : [ f ( ) g( )] f ( ) g( ). [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) f ( ) g( ). f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( g( ) ) g( ) g ( ).. 复合函数的链式求导法则 ( 常考点, 选择, 简单计算,) 定理.5: 设函数 =f(g()) 是函数 =f(u) 和 u=g() 的复合, 若 g() 在 处可导,f(u) 在 u =g( ) 处可导, 则函数 =f(g()) 关于 在 处的导数为 : d d f ( u ) g( ) f ( g( )) g( ). 例 : e 解 : 设 u= 且 ( e u ) e u u ( e ) e ( ) e

12 复合函数的微分 已知 =f(u) 可微, 得 d= f ( u)du, 若函数 u=g() 可微, 且复合函数 f(g()) 有意义 d =f(g()) 的微分表示为 : d d f ( g( )) g( ) d f ( u) du d 例 : 设 e sin(ln ) 求 d 及 d d sin(ln ) sin(ln ) 解 : 由一阶微分形式的不变性, 得 d e e d sin(ln ) sin(ln ) e cos(ln ) d (ln ) e sin(ln ) cos(ln ) d e sin(ln ) d cos(ln ) d, d d e sin(ln ) cos(ln )... 反函数求导法 f ( ) f ( ) 定理.6: 设函数 f,g 互为反函数, 若 存在且不为, 则 g() 在 处可导, 且 g( ) f ( ). 例如求 :-rcsin 的导数 解 : 因为 =rcsin, 所以 =sin, 根据反函数求导公式, 得 (rcsin ) (sin ) cos sin 注意所得导数需变形为需要的形式, 这里用勾股定理变形而得到 cos= sin, 再由 =sin 代入..4 基本导数公式. 常数函数的导数 : ( C).. 幂函数的导数 : ( ).. 指数函数的导数 ( e ) e. ( ) ln. 4. 对数函数的导数 (ln ). (log ) ln. 5. 三角函数的导数 sin ( ) cos. ( cos ) sin. ( ) sec. ( ) csc tn cot ( sec ) sec tn ( csc ) csc cot * (sec ) cos 6. 反三角函数的导数 (rcsin ) (rccos )

13 (rctn ) (rccot ). 几种特殊函数的求导法 高阶导数 ( 常考点, 选择, 简单计算, 综合 ). 隐函数的求导法 ( 由于方程两边都含有 变量 ; 方程两边关于变量 求导, 看作是中间变量 ) d 例 : 已知函数 =() 由方程 =sin(+) 确定, 求 d 解 : 在方程 =sin(+) 两端关于变量 求导, 将 看作是中间变量, 得 d d ( )cos( ) d d 也就是 (cos( )( ) 解得 : d d = cos( ) cos( ). 对数求导法 直接看例题 : 求函数 的导数 解 : 因为 所以 ln = ln 两端关于变量 求导, 将 看作中间变量, 得 : ln 所以 : (ln ).. 高阶导数 ( 常考点, 选择, 简单计算, 计算题, 综合题 ) (n) ( n) 就是求一阶导数再求导,n 次求导记为 : f ( ) f ( ) 例题已知函数 =() 由方程 sin 确定, 求 解 : 在方程 sin 两端关于变量 求导, 将 看作中间变量, 得 cos 再在上式两端关于 求导, 将, 均看作中间变量, 得 ( ) sin cos 将 代入上式并整理, 得 cos ( ) sin cos cos ( ) sin 再整理得 : u 为了方便计算设 u cos u 得出 : sin ( ) sin u u u 将 u cos 代入得出结果 :

14 sin. ( cos ) 第四章微分中值定理和导数的应用 ( 可与二章接合来学习 ) 4. 微分中值定理 ( 常考点, 计算, 综合题 ) 4.. 罗尔定理 : 闭区间连续, 开区间可导, 区间端点相等 则在 (,) 内至少存在一点, 使 f ( ) 该点的切线平行于 X 轴 例 : 验证 f ( ) 6 在 [,6] 上满足罗尔定理的条件 ; 并求定理中 的值 解 : 在 [,6] 上 f ( ) 有意义, 并且为一初等函数, 故连续, 且在区间 [,6] 上可导, 且 f ( ) ( 6 ) 6 6. 又因为 f (), f (6), f () f (6), 所以满足罗尔定理的条件 当 f ( ) 6 时, 4 所以 4, 使得 f ( ) 拉格朗日中值定理 f ( ) 的点称为驻点 若函数 f() 满足 ;, 在 [,] 上连续,, 在 (,) 上可导 ; 则在 (,) 内至少存在一点 使得 : f ( ) f ( ) f ( ) 例 : 求函数 f()= + 在区间 [,] 上满足拉格朗日中值定理中 的值 f ( ) f ( ) f () f () 解 : f ( ) 5 f ( ) f ( ) 令 得 [,] 4. 洛必达法则 ( 常考点, 选择, 简单计算, 计算题 ) / 型, 无穷 / 无穷型, 分子分母同时求导, 如果求导后还是 / 型, 无穷 / 无穷型, 再次求导直到变成有意义 4

15 注意结合其他求极限的方法 : 如等价无穷小量代换, 恒等变形或适当的变量代换等 " " m m m m lim m 例 : lim lim n n n n lim n 当有意义时代入 求极限 " " " " e e e e e e lim lim lim lim( ) e e e 4.. 其它不定式 不定式还有 :. ;. 型等, 它们经过适当的变形, 可变 为基本不定式 求下列极限 : 或 型, 然后再用洛必达法则来计算 " " ". " rctn. lim ( rctn ) lim lim lim.. 4. ". " " " ln ln ln ( )ln ln " " ln lim lim ln lim( ) lim lim sin lim ln(cos ) " " cos tn " " lim lim lim( cos) e e e e 第二步变形 ln(sin ) lim cot lim "" " " lim ln(sin ) cos lim lim ( cos ) sin sin lim (sin ) e e e e e e " " " ln( ) " lim lim 5. lim ( ) e e e 这个像重要极限 lim( ) e 一个趋向无穷一个趋向 4. 函数的单调性与导数的关系 ( 用导数来判断函数的单调性 ) 定理 4.5( 单调性判定定理 ) 设函数 f() 在 [,] 上连续, 在 (,) 内可导.. 若在 (,) 内 f ( ) >, 则 f() 在 [,] 上单调增 5

16 . 若在 (,) 内 f ( ) 如果在 (,) 内 f ( ) ( 或 f ( ) 判定函数 f() 单调性的步骤 : (): 确定函数的定义域 (): 求 f ( ), 找出 f ( ) = 或 f ( ) (): 列表, 由 f ( ) <, 则 f() 在 [,] 上单调减 ), 且等号仅在个别点处成立, 结论仍然成立 不存在的点, 这些点将定义域分成若干小区间 在各个小区间内的符号确定函数 f() 的单调性 4.4 函数的极值及其求法 ( 必考点, 选择, 计算, 综合题 ) 判别函数极值的一般步骤 : : 确定函数 f() 的定义域 : 求 f ( ), 找出 f ( ) = 或 f ( ) 不存在的点, 这些点将定义域分成若干小区间 : 列表, 由 f ( ) 在在上述点两侧的符号, 确定其是否为极值点, 是极大值点还是极小值点 4: 求出极值 例 : 求函数 f()= ( ) 的极值 解 : 函数 f()= ( ) 的定义域是 (, ), 且 f ( ) 6 ( ) 令 f ( ) =, 得驻点 = -, =, = ( 没有不存在的点, 像分母为 等 ) 列表如下 :( 极值点左右符号互异 ) ( 如果是左为正, 右为负, 则是极大值点 ) (, ) - (-,) (,) (, ) f ( ) f ( ) 非极值点 极小值点 非极值点 所以, 函数 f() 在 = 取得极小值 ( 将 = 代入原函数 ( ) ) f()= 当函数在驻点处有不等于 的二阶导数时, 我们往往利用二阶导数的符号来判断 f() 的驻点是否为极值点, 即下面的判定定理定理 4.8:( 第二充分条件 ) 设函数 f() 在点 处有二阶导数, 且 f ( ) =, f ( ). 若 f ( ), 则函数 f() 在点 处取得极大值. 若 f ( ) 则函数 f() 在点 处取得极小值 如上面例子 : f ( ) 6( ) 4( ) f () 6( ( ) 4* ) 6 6

17 所以当 = 时函数取得极小值点 例求函数 f ( ) 的极值 解 : f ( ) ( )( ) f ( ) 6 令 f ( ) 得驻点 := - ; = 因为 : f ( ) f ( ) 6 所以函数 f() 在 =- 处取得极大值 f(- )= 因为 : f ( ) f () 6 所以函数 f() 在 = 处取得极大值 f() = 函数的最值及其应用 ( 必考点, 选择, 计算, 综合题 ) 最值是整体性概念, 对于可导函数而言, 其在区间上的最值要么在区间端点取得, 要么在区间内点 处取得 求连续函数 f() 在闭区间 [,] 上的最值步骤如下 :. 求 f ( ) 在 (,) 内 f ( ) = 和 f ( ) 不存在的点, 记为,,.,n.. 计算函数值 f(),f(),f(),,f(n),f().. 函数值 f(),f(),f(),,f(n),f(). 中最大者为最大值, 最小者为最小值 例 : 求 在区间, 上的最值. 解 : 由 ( ) 令 : 得, 又 不存在的点为 = 列表如下 : - / f() 5 4 所以 m f ( ) 5, min f () 当函数 f() 在 [,] 上连续, 且在 (,) 内存在唯一极值点时, 则此极值点即为最值点 4.6 曲线的凹凸性和拐点 ( 常考点, 选择, 简单计算 ) 定义 4. 设函数 f() 在区间 (,) 内连续, f ( ) f ( ) 若对任意,(,), 恒有 f ( ) 则称 f() 在区间 (,) 内是凹的 7

18 若对任意,(,), 恒有 f ( ) f ( ) f ( ) 则称 f() 在区间 (,) 内是凸的 定理 4.9: 设函数 f() 在区间 (,) 内具有二阶导数. 若当 (, ) 时 f ( ), 则曲线 =f() 在 (,) 内是凹的 ( 有极小值 ). 若当 (, ) 时 f ( ), 则曲线 =f() 在 (,) 内是凸的 ( 有极大值 ) 定义 4.: 设 M 为曲线 =f() 上一点, 若曲线在点 M 的两侧有不同的凹凸性, 则点 M 称为曲线 =f() 的拐点. ( 二阶导数 =) 定理 4. ( 拐点的必要条件 ) 若函数 f() 在 的某个邻域 U( ) 内具有二阶导数, f ( ) 且 (,f( )) 为曲线 =f() 的拐点, 则 ( 拐点的两个充分条件 ). f ( ) 若 f ( ) 在 的左 右两侧异号, 则 (,f( )) 为曲线 =f() 的拐点对于 f ( ) 不存在的点也可能是拐点 判别曲线的凹凸性与拐点的步骤如下 :. 确定函数的定义域. 求 f ( ), 并找出 f ( ) = 和 f ( ) 不存在的点, 这些点这些点将定义域分成若干小区间. 列表, 由 f ( ) 在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点 5 例 : 求曲线 的凹凸区间与拐点 5 解 : 曲线对应函数的定义域为 (, ), 且 令 列表如下 :, 得 ; 不存在的点为 =, (, ) 4 ( ) 4 (,) (, ) - + 不存在 + 拐点 非拐点 5 所以, 曲线 在 (,) 和 (, ) 内是凹的, 在 (, ) 内是凸的 ; 5 8

19 9 曲线的拐点为 (, ) 4.7 曲线的渐近线 ( 较低 ). 水平渐近线 : 设有曲线 =f(), 如果 lim f ( ), 则直线 = 是曲线 =f() 在 时的水平渐近 线 ; 如果 lim f ( ) 则直线 = 是曲线 =f() 在 时的水平渐 ; lim f ( ) 则直线 = 是曲线 =f() 在 时的水平渐. 例 : 求曲线 的水平渐近线. 解 : 因为 : lim, 所以直线 = 为曲线 的水平渐近线. 铅直渐近线 : 设有曲线 =f(), 如果存在常数 c, 使得 lim f ( ), 或 lim f ( ) 或 c lim f ( ), 则直线 =c 是曲线 =f() 的铅直渐近线又称 ( 垂直渐近线 ) c 技巧 : 对函数求极限 = 无穷, 但是 X 趋于无意义的点, 求这个点,X= 无意义间断点 例 : 求曲线 的水平渐近线和铅直渐近线 解 : 因为 lim 4, lim 所以直线 =4, 为曲线的水平渐近线 ;= 为曲线的铅直渐近线 c 4.8 导数在经济分析中的应用 ( 较低 ) 收益 = 需求 * 单价, 成本 = 变动 + 固定利润 = 收益 - 成本, 对利润函数求一阶导可求出极值, C( q). 边际成本 : 设 C(q) 表示生产某种产品 q 个单位的总成本, 平均成本 C(q) 表示生产 q 个单 q 位产品时, 平均每单位产品的成本 C (q) 表示产量为 q 的边际成本 边际成本 C (q) 表示产量从 q 个单位时再生产 个单位产品所需的成本, 即表示第 q+ 个单位产 品的成本. 边际收益 : R (q) 表示产量为 q 的边际收益. 边际利润 : L(q) 例 : 设生产某商品的固定成本为 万元, 每生产 个单位产品, 成本增加 元, 总收益函数 为 R(q) 4q q, 设产销平衡, 试求边际成本, 边际收益及边际利润 解 : 总成本函数 C(q) q, 边际成本 C(q) 边际收益 R(q) 4 q 总利润函数 : L(q) R(q) C( q) q q 边际利润 L(q) q 4.8. 弹性 9

20 E E f ( ) 弹性又叫相对变化率, f ( ) 例 : 求函数 e 的弹性函数 E E e e E 及 E 解 : E E ( e ) ( 6 e ) E E * 6 第五章 一元函数积分学 5. 原函数与不定积分的概念 5.. 原函数与不定积分 定义 5. 设 f() 是定义在区间 I 上的一个函数, 如果存在 F(), 对于任意的 I 都有 F( ) f ( ) 则称 F() 是 f() 在 I 上的一个原函数, 不定积分的定义 : 设 F() 是函数 f() 在区间 I 上的一个原函数, 则称 F()+C(C 为任意常数 ) 为 f() 的不定积分, 记作 : f ( ) d,, 即 : f ( ) d F( ) C, (C 为任意常数 ) 其中 称为不定积分号,f() 称为被积函数,f()d 称为被积表达式, 称为积分变量,C 称为积分常数. 例 : 设曲线 =f() 上任意一点 (,) 处的切线斜率为, 且曲线过点 (,), 求 f(), 解 : 由题设及导数的几何意义, 得 : ( ) 所以 f f ( ) d C 由于曲线 =f() 过点 (,), 所以 f()=, 即,+C=, 得 C=, 所以 f()= 5.. 不定积分的基本性质 ( 常考点, 选择, 简单计算, 综合题 ). 设 k 是不为零的常数, 则 k f ( )d k f ( ) d.. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d.. f ( ) d f ( ) 或 d f ( ) d f ( )d 4. F( ) d F( ) C. 性质 和 4 说明不定积分与导数 ( 或微分 ) 互为逆运算 5. 基本积分公式... ( 必考点, 选择, 计算, 综合题 )

21 . d C.. d C( ). d ln C.. d C(, ). e d e C ln 4. sin d cos C. 5. cos d sin C. 6. cos sec d d tn C. 7. sin 9. csc cot d csc C.. d rctn C.. csc d d cot C. 8. sec tn d sec C. 例 : d rcsin C. 基本积分公式是计算不定积分的基础, 必须牢记 ( ) d d d d rctn C. 5. 换元积分法 ( 常考点, 选择, 简单计算,) 5.. 第一换元积分法定理 5. 设函数 f(u) 有原函数 F(u), u ( ) 可导, 则有第一换元公式 f ( ) ( ) d F ( ) C. 若 f ( u) du F( u) C, 则在用第一换元积分法求不定积分时, 以下凑微分情形经常出现.. f ( ) d f ( ) d( ) F( ) C( ). f ( ) d f ( ) d( ) F( ) C( ).. f ( e ) e d f ( e ) d( e ) F( e ) C( ) 4. f (ln ) d f (ln ) d(ln ) F(ln ) C 5. f (sin )cos d f (sin ) d(sin ) F(sin ) C 6. f (cos )sin d f (cos ) d(cos ) F(cos ) C f (tn ) sec d f (tn ) d(tn ) F(tn ) C f (cot ) csc d f (cot ) d(cot ) F(cot ) C 9. f (rctn ) d f (rctn ) d(rctn ) F(rctn ) C. f (rcsin ) d f (rcsin ) d(rcsin ) F(rcsin ) C

22 例 : 求不定积分 cos5d 解 : 因为 (5) =5, 所以 d (5 ) 5 d cos 5d cos 5 (5 ) 5 cos sin sin 5. 5 d u udu u C C 第二换元积分法 ( 常考点, 选择, 简单计算, 计算题,) 令去根号定理 5.4 设函数 (t) 单调 可导, 且 (t), 又设 g[ ( t)] ( t) 具有原函数 G(t), 则 第二换元积分公式 : g( ) d G ( ) C 例 : 第二换元法求不定积分 : d 解 : 设 =t, 则 : ( ), t d tdt d. tdt dt rctn t C rctn C t t * t 5.4 分部积分法 ( 常考点, 选择, 简单计算, 计算题,) (UDV 两兄弟相见, 泪流满面, 互换位置 ) 不能直接做的要先提一个出来, 按指三幂反对的顺序来提, 再做 UDV 定理 5.5 设函数 u=u(),v=v() 的导数都存在且连续, 则分部积分公式 u( ) v( ) d u( ) v( ) u( ) v( ) d 用分部积分公式时, 一般先用凑微分法, 把积分改写成 udv 的形式. 例 : 求 cos d 解 : 设 u=,dv=cosd=d(sin), 则 v=sin, 利用分部积分公式, 得 cos d d(sin ) sin sin d sin ( cos ) C sin cos C 5.5 微分方程初步 微分方程的一般概念 ( 低频考点, 选择, 简单计算 ) 定义 5.5 满足微分方程的函数, 称为微分方程的解 定义 5.6 如果微分方程的解中所含独立任意常数的个数等于微分方程的阶数, 则此解称为微分方程的通解 定义 5.7 用来确定微分方程的解中任意常数的条件称为定解条件 ( 或初始条件 ), 定义 5.8 满足初始条件的解称为微分方程的特解 例. 验证函数, C, C ( 其中 C 为任意常数 ) 是否为微分方程 -= 的解, 是通解还是特 解? 解 : 将, 代入 -=, 得左边 : == 右边这是一个恒等式, 不含任意常数故 为方程的特解

23 将 C, C 代入方程得 : 左边 = C C == 右边含任意常数 个等于方程阶数为通解. 将 C, C 代入方程得左边 = C C 右边, 不是方程的解 5.5. 可分离变量的微分方程 ( 低频考点, 选择, 简单计算 ) 形如 g()d=f()d 的微分方程称为可分离变量的微分方程 对 g()d=f()d 两国边不定积分, 得 g( ) d f ( ) d 设 G(),F() 分别是 g(),f() 的一个原函数, 那么微分方程 g()d=f()d 的通解为 G()=F()+C. 其中 C 为任意常数 d 例 : 求微分方程 的通解 d 解 : 分离变量 : 得 d=-d d d 两边不定积分 : C C d 例 8 解初值问题 : d 解 : 分离变量, 得 C 故通解为 ( 其中 C=C 为任意常数 d d 两边不定积分 d d 得 ln ln ln C 其中 C 为任意常数, 所以 =C. 将初始条件 代入得 C=, 故 = 5.5. 一阶线性微分方程 ( 低频考点, 选择, 计算题 ) 定义 5. 形如 ( ) ( ) c( ) 的微分方程称为一阶线性微分方程, 其中 ( ), ( ), c( ) 是已知函数. 当 c() 恒为零时, ( ) ( ) 称为一阶齐次线性微分方程 ; 当 c() 不恒等为零时, ( ) ( ) c( ) 称 为一阶非齐次线性微分方程. 一般地, 一阶齐次线性微分方程表示为 : P( ) 其通解公式 : 为 ( ) C( ) e P d 其中 C C 为任意常数 ( 因为 = 也是微分方程的解, 所以 C 可为 ) 一阶非齐次线性微分方程表示为 : P( ) Q( ) 其中 P(), Q() 是已知函数 其通解公式 : 为 d 例 9: 求微分方程 e 的通解 d e Q() e d C P( ) d P( ) d 解 : 这是一阶非齐次线性微分方程, 其中 P( ), Q( ) e 由通解公式得 : e Q() e d d d C = e e e d C P( ) d P( ) d

24 通解为 : ( ) ( ) e e e d C e C 例 : 求微分方程 满足初初始条件 ( 当 = 时 =) 的解解 : 这是一阶非齐次线性微分方程,P()=,Q()=, P( ) d P( ) d 由通解公式得 : e Q() e d C d d e ( e d C) e ( e d C) e ( e e C) Ce 由初始条件 代入上式得 :C= 满足初始条件的解为 e 例 : 求微分方程 的通解 cos sin 解 : 若将 看作是 的函数, 则此方程不是线性微分方程, 但若将 看作是 的函数, 原式可改写为 d cos. sin d 其中 P()=-cos,Q()=sin, 它是关于 的一阶线性微分方程 由通解公式得 P( ) d P( ) d cos d cos d e Q( ) e d C e sin e d C 最后得出 : 5.6 定积分的概念及其基本性质 5.6. 定积分的概念 ( 常考点, 简单计算, 计算题, 综合题 ) 对于定积分的定义, 应注意以下几点 :. 定积分 f ( ) d sin Ce 的值是一个常数, 其大号只与被积函数 f() 及积分区间 [,] 有关 ; 但与积分变量的符号 无关, 所以改变函数自变量的字母不改变定积分的值 即 f ( ) d f ( t) dt f ( u) du. 如果函数 =f() 在区间 [,] 上恒等于, 那么 f ( ) d d. 由定积分定义可知 f ( ) d f ( ) d, f ( ) d sin 5.6. 定积分的几何意义 ( 常考点, 计算题, 综合题 ). 若 =f() 在 [,] 上连续且非负, 即 f()>=, 此时 f ( ) d 围成的曲边梯形的面积 A, 即 : f ( ) d A. 若 =f() 在 [,] 上连续且非正, 即 f()<=, 此时 f ( ) d 围成的曲边梯形面积的相反数 -A, 即 : f ( ) d A. 若 =f() 在 [,] 上连续, 其值即有正值又有负值, 此时 f ( ) d 是由曲线 =f() 与直线 =,= 及 轴所围成的曲边梯形面积的代数和, 即 : f ( ) d A A A 是由曲线 =f() 与直线 =,= 及 轴所 是由曲线 =f() 与直线 =,= 及 轴所 4

25 5.6.4 定积分的基本性质 ( 必考点, 选择题, 计算题, 综合题 ) 性质 : f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d 性质 : kf ( ) d k f ( ) d (k 为常数 ) c 性质 : 积分区间的可加性 f ( ) d f ( ) d f ( ) d c 性质 4: 比较定理 ; 设在区间 [,] 上有 f()<=g(), 则 f ( ) d g( ) d 推论 : 设在区间 [,] 上有 f()>= 则 f ( ) d 推论 : f ( ) d f ( ) d 性质 5: 估值定理, 设函数 f() 在区间 [,] 上有最大值 M 和最小值 m, 则 md f ( ) d Md 得 由于 : md m d m( ), Md M d M ( ) m( ) f ( ) d M ( ) 性质 6: 积分中值定理, 设函数在 [,] 上连续, 则至少存在一点 (<= <=), 5.7 微积分基本定理 使得 f ( ) d f ( )( ) : 5.7. 变上限积分及其导数公式 ( 常考点, 简单计算, 计算题, 综合题 ) 定义 5., 设函数 f() 在 [,] 上可积, 则任给 [, ], 定积分 f ( t ) dt 在 [,] 上定义了一个函数, 称为积分上 限函数 ( 或变上限积分 ), 记作 ( ) 即 : ( ) f ( t) dt( ) 如果 f ( t) ( t [,] ), 那么 ( ) 表示区间 [,] 上以 =f() 为曲边的曲边梯形的面积 定理 5.6 设函数 f() 在 [,] 上可积, 则积分上限函数 ( ) f ( t) dt 是 [,] 上的连续函数. 定理 5.7 ( 微分基本定理 ) 设函数 f() 在 [,] 上连续, 则积分上限函数 ( ) f ( t) dt 在 [,] 上可导, d 且导数为 : ( ) f ( t) f ( ) ( ) d 即 ( ) 是 f() 在 [,] 上的一个原函数 sin t 例 : 设 ( ) dt f ( ), 求 ( ) ; t d sin t sin sin 解 : 由定理 5.7 得 : ( ) dt d ( 用上限 代入 t) 所以 : ( ) ( ) t t e t ( ) 例 : 设 F( ) e dt, 求 F ( ) 解 : 由定理 5.7 得 : F( ) e dt e *( ) 5

26 5.7. 微积分基本公式 ( 牛顿 - 莱布尼茨公式 ) ( 必考点, 选择题, 计算题, 综合题 ) 定理 5.8 设函数 f() 在 [,] 上连续,F() 是 f() 在 [,] 上的原函数, 则 : f ( )d F ( ) F ( ) 此公式称为牛顿 - 莱布尼茨公式, 为了计算时书写方便, 记 : F( ) F( ) F( ) 例 7: 计算 解 : 由于被积函数, f ( ), d 故由积分区间可加性, 得 例 8: 设 f ( ) f ( ) d d d d 在积分区间 [,] 内含有分段点 =, ( )d ( )d ( ) ( ), 计算 解 : 由于定积分的值是一个常数, 设 [(4 ) ( )] [( 6) ( 4)] f ( ) d 并求 f() 的表达式 f ( ) d =A, 则 f ( ) A 对上式两边从 到 求定积分得 : f ( ) d d Ad 即 : A A 解得 A 6 所以 : f ( ) d = A, f ( ) A 定积分的换元积分法和分部积分法 ( 常考点, 简单计算题, 计算题, 综合题 ) 5.8. 定积分的换元积分法 定理 5.9 设函数 f() 在 [,] 上连续, 函数 ( t) 满足条件 ;. ( t) 在区间 [, ] 或 [, ] 上单调, 且具有连续导数 ( t) ;. 当 t 在 [, ] 上变化时, ( t) 的值在 [,] 上变化, 且 ( ), ( ) 则有 f ( ) d f ( ( t)) ( t) dt 例 : 求定积分 d 解 : 4 ( 定积分的换元积分公式 ) d d d ( ) ln( ) ln7 4 4 例 : 求定积分 8 d 解 : 设 =t, 则 t, d t dt ( 此题用第二换元法 ) 当 = 时,t=; 当 =8 时,t=, 且 t 在 [,] 上单调, 所以 d t dt ( t ) dt t t ln( t) ln t t 8 6

27 如果遇到关于原点对称的区间 [-,] 上的积分时, 注意被积函数的奇偶性, 如果 f() 为奇函数 : f ( ) d 如果 f() 为偶函数 : f ( ) d f ( ) d 5.8. 定积分的分部积分法定理 5. 设函数 u=u() 与 v=v() 在 [,] 上有连续的导函数, 则 定积分的分部积分公式 : u( ) v( ) d u ( ) v( ) v( ) u( ) d 例 7: 计算定积分 e d 解 : ( ) e d d e e e d e e 例 9 设 ln d, 求 的值 解 : ln d ln d ln( ) ln d ln sin t 例 设 f ( ) dt 计算 f ( ) d t sin 解 : 由积分上限函数的导数公式, 得 f ( ), 且 f ( ) 所以 : f ( ) d f ( ) df ( ) [ f ( ) ] f ( ) d = f ( ) d sin( ) d cos cos 5.9 反常积分 ( 常考点, 选择题, 简单计算, 综合题 ) 定义 5.4 设 f() 是无穷区间, 上的连续函数, 称为函数 f() 在无穷区间, 记 : f ( ) d 上的反常积分 ( 简称为无穷积分 ) 若对任意 > 极限 lim f ( ) d 存在, 则称反常积分 f ( ) d 收敛, 极限值定义为该反常积分的值 即 : f ( ) d lim f ( ) d 若极限不存在, 则发散, 此时 f ( ) d 只是一个符号, 无数值意义 类似我们可以定义 f() 在,,, 的反常积分, 时 : f ( ) d lim f ( ) d c c, 时 : f ( ) d f ( ) d f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d c c 为了书写方便, 记 F( ) lim F( ), F( ) lim F( ), 7

28 若 F() 是 f() 的一个原函数, 则 : f ( ) d lim f ( ) d lim[ F( ) F( )] F( ) F( ) F( ) 例 : 设 p 为常数, 讨论反常积分 解 : 当 p= 时, 因为 当 p 时 : e e e d 的敛散性 ln p d d(ln ) ln(ln ) p ln e ln e 所以, p d d p p ln e ln p e p 所以当 p<= 时, 函数发散, 当 p> 时收敛, 其值为 p (ln ) ln, p p 5. 定积分的应用 ( 常考点, 计算题, 综合题 ) e d 发散 ln p 定积分求平面图形面积 例. 求曲线 及直线 = 所围成的平面图形的面积图示 解 : 作草图 ( 如图 ), 解方程组得曲线 及直线 = 的交点是 (,) 和 (,) 解法 : 选择 为积分变量, 则所求平面图形的面积为 A ( d 6 解法 : 选择 为积分变量, 则 则所求平面图形的面积为 A ( ) d 6 例. 求由曲线 与直线 =-4 所围成的平面图形面积 ; 解 : 作草图如图示 : 解方程组 : 4 得两条曲线的交点是 (,-) 和 (8,4) 4 4 选择 为积分变量, 则 A ( 4) d 旋转体的体积利用定积分求旋转体的体积主要分以上几种情形 : : 由连续曲线曲线 =f() 以及直线 =,= 和 X 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所得体积 : V f ( ) d : 由连续曲线 =f() 和 =f()(f()>=f()>=) 以及直线 =,= 所围成的平面图形绕 轴旋转所得体积 8

29 V f ( ) f ( ) d : 由连续曲线曲线 =g() 以及直线 =,= 和 X 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所得体积 : V g ( ) d 4: 由连续曲线 =g() 和 =g()(g()>=g()>=) 以及直线 =,= 所围成的平面图形绕 轴旋转所得体积 V g ( ) g ( ) d 例 4: 设平面图形由曲线 与直线 = 及 轴所围成, 求, 此平面图形的面积,, 绕 X 轴旋转和体积 解 : 作草图, 与 轴交点 (,) 和 (,) 如图 : 根据公式得 : A d 4 5 绕 轴的旋转体积为 : V ( ) d ( ) d 5 5 例 5: 已知 D 曲线是由曲线 与直线 = 所围成的平面图形, 求 D 分别绕 轴和 轴旋转所得的旋转体体积 解 : 作草图, 如图示 平面图形 D 绕 X 轴旋转所得旋转体体积为 4 5 V [ ( ) ] d ( ) d ( ) 5 5 平面图形 D 绕 Y 轴旋转所得旋转体体积为 V [( ) ] d ( ) d ( ) 6 第六章多元函数微积分 6. 多元函数的基本概念 z=f(,),(,) D 其中, 称为自变量, 变量 Z 称为因变量,, 的取值区域 D 称为 f(,) 的定义域 6.. 二元函数的极限 例题说明 : 求 lim 极限解 : lim lim lim 6. 偏导数 9

30 定义 6.4 设函数 z=f(,) 在点 P (, ) 的某一邻域内有定义, 当 固定为, 而 从 改变到 ( ) 时, 相应的函数值 z=f(,) 的改变量 z 为 z f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) 如果极限 lim 记作 : ' ' z f f (, ) 或 z 或或 6.. 偏导数的计算 ( 常考点, 计算题, 综合题 比较简单, 注意固定 或 时不要弄反了 z 例 : 设 z (,, 为任意实数 ), 求 ; z z 解 : 把 看成常数, 此时 z 是 的幂函数, 所以 : z 把 看成常数, 此时 z 是 的指数函数, 所以 : ln( ) 存在, 则称此极限值为函数 z=f(,) 在点 (, ) 处对 的偏导数. 例 : 设 f(,)=ln(+ln), 求 f ' (, e ) ; f ' (, e) 解 : 把 看成常数, 利用乘积的求导法则, 对 求导, 得 f ' (, ) ln( ln ) ln 将 (,e) 代入, 得 : f ' (, e) ln( ln e) ln ln e 把 看成常数, 对 求导得 : f ' (, ).. 将 (,e) 代入得 : f ' (, ) ln ln e e eln e e 6.. 二阶偏导数 ( 必考点, 选择题, 简单计算题, 综合题 ) 设函数 z=f(,) 在区域 D 内具有偏导数 : z = f ' (, ), z = f ' (, ) 通常它们在区域 D 内都是, 的函数 z 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数 z=f(,) 的二阶偏导数, 其中 = f ' (, ) 关于 的偏导数称为函 z 数关于 的二阶偏导数, 记作 : 或 f z (, ) 即.( z ), 相同描述 z = f ' (, ) 关于 的偏导数称为函数 z=f(,) 先对 后对 的二阶混合偏导数, z 记作 : 或 f (, ) z z 即.( ) z = f ' (, ) 关于 的偏导数称为函数 z=f(,) 先对 后对 的二阶混合偏导数, z 记作 : 或 f (, ) z z 即.( )

31 例 7; 设 z e 求 z ; z ; z ; z 解 : 一阶偏导数为 : z e z e 二阶偏导数为 : z 6 e z e 6 z = 6 6 e e z 6 6 e e 例 8 设 z e 求 z (,), z (,) 和 z (,) 解 : 一阶偏导数为 : z e z ( ) e 所以 : z e z ( ) e z ( ) e 所以 : z (, ) e (,) z (, ) ( ) e (,) z (,) ( )e (,) 6. 全微分 ( 常考点, 选择题, 简单计算题, 综合题 ) 6.. 全微分与偏导的关系 函数 f(,) 在点 (,) 处的全微分可写成 : 例 : 求 z 在点 (,-) 处的全微分 dz (, ) f (, ) d f (, ) d 解 : 因为 : f (, ) 6 f (, ) 4 9 所以 : f (, ) 6 8 f (, ) 故 : dz f (, ) d f (, ) d 8d 5d 6.4 多元复合函数的求导法则 ( 常考点, 选择题, 简单计算题, 综合题 ) 两种情形 : 如果 z=f(u,v), 而 u=u(),v=v(), 则 z=f(u(),v()) 是 的一元函数,z 对 的导数称为全导数 : dz z z u z v.. d u v 选取 U 时, 按 ( 反, 对, 幂, 三, 指 ) 选取, 排前的定为 U dz z z d 如果 z=f(,), 而 =(), 则函数 z=f(,()) 的全导数为 :. d d z z 例 : 设 z u v, u, v, 求, z z u z v z 解 :.. = u. v. 4. u v

32 z z u z v z.. = u. v. u v 4. u v 6.5 隐函数的求导法则 ( 常考点, 选择题, 简单计算题, 综合题 ) 一元隐函数的求导法则 : 例 : 求隐函数 d F F ( ) d F Y 的导数及微分 : 解 : 先将函数变形为 :, 则 F(,)= 则 : F, F, d F 所以 : d F, d d d d d 二元隐函数的求导法则 : z F (,, ) (,, ) z z F, z F(,, z) F(,, z) z z 计算时先算出 F, F, F z, 再代入公式, 注意前面负号, 分母都为 F z 6.6 二元函数的极值 ( 常考点, 选择题, 简单计算题, 综合题 ) z 极值存在的必要条件 : z f (, ), f (, ) f (, ) B f (, ) C (, ) 极值存在的充分条件 : A f 则当 : (): B (): B (): B AC, 且 A< 时, f (, ) 是函数 f(,) 的极大值 AC, 且 A> 时, f (, ) 是函数 f(,) 的极小值 AC, (, ) f 不是函数 f(,) 的极值 (,) A B C B -AC 判断 f(.,) (,) - 4 f(,) 不是极值 (,-) f(,-)= 为极大值 例 : 求函数 f (, ) 6 5 极值 : 解 : 因为 : f 6, f (, ) (, ) 所以 : f (, ) f (, ) 解得 : 驻点 (,) 和 (,-) 根据 f (, ), f (, ), f (, ) 6 例表如左表得出极值点 : 6.7 二重积分 6.7. 二重积分的计算 ( 必考点, 选择题, 计算题, 综合题 ) 首先判断图形是 X 型还是 Y 型, 或两种都是, 选其中好计算的型 如果积分区域为 X- 型区域先对 后再对 的二次积分 ( 累次积分 )

33 公式 : D ( ) d ( ) f (, ) dd. f (, ) d 如果积分区域为 Y- 型区域先对 后再对 的二次积分 ( 累次积分 ) 公式 : D d ( ) d c ( ) f (, ) dd. f (, ) d 特别情况 : 当积分区域为矩形时 d f (, ) dd d. f (, ) d 或 : f (, ) dd d. f (, ) d D 当被积分函数 f(,)= g()*h() 时 ( 如 f(,)=*) 有 : f (, ) dd g( ) d. h( ) d D c d c D d c 例 : 计算二重积分 D dd 解 : 矩形区域, 被积函数为 g()*h() 所以 : D, 其中积分区域 D 为矩形区域 <=<=,-<=<=,. * * d d dd 例 : 计算二重积分 ( ) dd, 其中积分区域 D 由直线 =, =/, = 和 = 围成 D 解 : 画出草图 : 根据图形可以看出此图是 Y 型区域 ; 算出 <=<=, <=<= 先对 X 后对 Y 的二次积分 : 即 : D ( ) dd d. ( ) d d ( ) 7 d ( ) ( ). D