d. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ+

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1 高数总结 考研数学知识点 - 高等数学一. 函数的概念 1. 用变上 下限积分表示的函数 (1)y= ()y= 连续, 则公式 1.lim sin =1 0 n u f(t)dt, 其中 f(t) 连续, 则 1 dy =f() d ϕ()f(t)dt, 其中 ϕ(),ϕ() 可导,f(t) 1 ϕ() 1 1 公式.lim 1+ =e;lim 1+ =e; n u n u lim(1+v)=e v 0 1v dy () f[ϕ1()]ϕ1 () =f[ϕ()]ϕ

2 d. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ++0n!n! ()( f()=0[g()], 称 g() 是比 f() 低阶的无穷小 ()l 0, 称 f() 与 g() 是同阶无穷小 (3)l=1, 称 f() 与 g() 是等价无穷小, 记以 35n+1n sin= ++Λ+( 1)+0n+1 n+1!3!5! ) n 4n cos=1 + Λ+( 1)+0n n!!4! () n 3n+1 ln(1+)= + Λ+( 1)+0n 3n ()( f()~g() 3. 常见的等价无穷小当 0 时 sin~,tan~,arcsin~,arctan~ n+1 35n+1

3 arctan= + Λ+( 1)+0n+1 35n+1 ) (1+) α=1+α+α(α 1)+Λ+α(α 1)Λ[α (n 1)]n+0(n)! n! 6. 洛必达法则法则 1.( 1 cos~ 1,e 1~,ln(1+)~, (1+) α 1~α 型 ) 设 (1)limf()=0,limg()=0 0 二. 求极限的方法 1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则. 两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 (1) 若 n+1 n(n 为正整数 ) 又 n m(n 为正整数 ), 则 limn=a 存在, 且 A m n () 变化过程中,f (),g () 皆存在 f ()=A( 或 ) (3)lim g 则 lim f()=a( 或 ) gf () 不存在且不是无穷大量情形, 则 g () 若 n+1 n(n 为正整数 ) 又 n M(n 为正整数 ), 则 limn=a 存在, 且 A M n ( 注 : 如果 lim 准则.( 夹逼定理 ) 设 g() f() h() 若 limg()=a,limh()=a, 则 limf()=a 3. 两个重要公式 1 不能得出 lim f() 不存在且不是无穷大量情形 ) g 法则.( 型 ) 设 (1)limf()=,limg()=

4 Edited by 杨凯钧 005 年 10 月 () 变化过程中,f (),g () 皆存在 考研数学知识点 - 高等数学 f () (3)lim=A( 或 ) g 则 lim 值, 如果对于区间 [a,b] 上的任一点, 总有 f() M, 则称 M 为函数 f() 在 [a,b] 上的最大值 同样可以定义最小值 m 定理 3.( 介值定理 ) 如果函数 f() 在闭区间 [a,b] 上则对于介于 m 连续, 且其最大值和最小值分别为 M 和 m, 和 M 之间的任何实数 c, 在 [a,b] 上至少存在一个 ξ, 使得 f()=a( 或 ) g 7. 利用导数定义求极限 f(0+ ) f(0) =f (0) [ 如果基本公式 :lim 0 存在 ] 8. 利用定积分定义求极限 f(ξ)=c 推论 : 如果函数 f() 在闭区间 [a,b] 上连续, 且 f(a) 与 f(b) 异号, 则在 (a,b) 内至少存在一个点 ξ, 使得 1n k 1 基本公式 lim f = f()d [ 如果存在 ] 0n nk=1 n 三. 函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类 : (1) 第一类间断点 设 0 是函数 y=f() 的间断点 如果 f() 在间断点 f(ξ)=0 这个推论也称为零点定理五. 导数与微分计算 1. 导数与微分表 0 处的左 右极限都存在, 则称 0 是 f() 的第一类间断 点 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点 () 第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点 四. 闭区间上连续函数的性质 在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(), 有以下几个基本性质 这些性质以后都要用到 定理 1.( 有界定理 ) 如果函数 f() 在闭区间 [a,b] 上连续, 则 f() 必在 [a,b] 上有界

5 定理.( 最大值和最小值定理 ) 如果函数 f() 在闭区间 [a,b] 上连续, 则在这个区间上一定存在最大值 M 和最小值 m 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下 : 定义设 f(0)=m 是区间 [a,b] 上某点 0 处的函数 (c) =0 d(c)=0 () =α α α 1 (α 实常数 )d ()=α α α 1 d(α 实常数 ) (sin) =cos dsin=cosd (cos) = sin dcos= sind (tan) =sec dtan=secd (cot) = csc dcot= cscd (sec) =sectan dsec=sectand (csc) = csccot dcsc= csccotd 1 (a>0,a 1) lnad (a>0,a 1) dloga= lna (ln) =1 dln=1d (a) =alna(a>0,a 1) (loga) = da=alnad(a>0,a 1) Edited by 杨凯钧 005 年 10 月 考研数学知识点 - 高等数学 (e) =e de=ed ψ (t) 存在, 且 ϕ (t) 0, 则 1

6 1 (arcsin) =(arccos) 1 1 darcsin=d dyψ (t)= (ϕ (t) 0) dϕt 二阶导数 = darccos= d 11 arctan= dd 1+1+ (arccot) = 1 darccot= 1d 1+1+ (arctan) = dy d d dy == dd dy d d 1=ψ (t)ϕ (t) ψ (t)ϕ (t) ddtϕ t3dt [ln(+ ( +a )]= 1+a 1+a

7 5. 反函数求导法则 设 y=f() 的反函数 =g(y), 两者皆可导, 且 dln++a= ) d f () 0 则 g (y)= [ln(+ ( a )]= 1 a 1 a 11 (f () 0) = f f gydln+ a=. 四则运算法则 ) d 1 d f d[g (y)] 1 = 二阶导数 g (y)= dydyd d

8 [f()±g()]=f ()±g () [f() g()]=f ()g()+f()g () = f ()f [g(y)] (f () 0) = 33f f gy f() f ()g() f()g ()= (g() 0) g g 3. 复合函数运算法则设 y=f(u),u=ϕ(), 如果 ϕ() 在 处可导,f(u) 在对应点 u 处可导, 则复合函数 y=f[ϕ()] 在 处可导, 且有 6. 隐函数运算法则设 y=y() 是由方程 F(,y)=0 所确定, 求 y 的方法如下 : 把 F(,y)=0 两边的各项对 求导, 把 y 看作中间变量, 用复合函数求导公式计算, 然后再解出 y 的表达式 ( 允 dydydu ==f [ϕ()]ϕ () ddud 许出现 y 变量 ) 7. 对数求导法则先对所给函数式的两边取对数, 然后再用隐函数求导方法得出导数 y 对数求导法主要用于 : 1 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数 y=[f()] 3 g() 对应地 dy=f (u)du=f [ϕ()]ϕ ()d 由于公式 dy=f (u)du 不管 u 是自变量或中间变量都成立 因此称为一阶微分形式不变性 4. 由参数方程确定函数的运算法则 设 =ϕ(t),y=ψ(t) 确定函数 y=y(), 其中 ϕ (t), 常用的一种方法 Edited by 杨凯钧 005 年 10 月考研数学知识点 - 高等数学 y=eg()lnf() 这样就可以直接用复合函数运算法则进行 8. 可微与可导的关系 f() 在 0 处可微 f() 在 0 处可导

9 9. 求 n 阶导数 (n, 正整数 ) 先求出 y,y,λ, 总结出规律性, 然后写出 y 用归纳法证明 有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式 (1)y=e y (1) 在闭区间 [a,b] 上连续 ; () 在开区间 (a,b) 内可导 ; 则存在 ξ (a,b), 使得, 最后 f(b) f(a)=f (ξ) b a 或写成 f(b) f(a)=f (ξ)(b a) (a<ξ<b) 有时也写成 f(0+ ) f(0)=f (0+θ ) =e ()y=a(a>0,a 1) y =a(lna)n (3)y=sin y =sin nπ + (4)y=cos y =cos +nπ (5) y=ln y =( 1)n 1 (n 1)! n 两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式 [n u()v()] = Cku(k) n k)n()v(() k=0 其中 Ck n!n= k!n k!

10 , u(0) ()=u(),v(0)()=v() 假设 u() 和 v() 都是 n 阶可导 微分中值定理一. 罗尔定理设函数 f() 满足 (1) 在闭区间 [a,b] 上连续 ; () 在开区间 (a,b) 内可导 ; (3)f(a)=f(b) 则存在 ξ (a,b), 使得 f (ξ)=0 二. 拉格朗日中值定理设函数 f() 满足 (0<θ<1) 这里 0 相当 a 或 b 都可以, 可正可负 推论 1. 若 f() 在 (a,b) 内可导, 且 f () 0, 则 f() 在 (a,b) 内为常数 推论. 若 f(),g() 在 (a,b) 内皆可导, 且 f () g (), 则在 (a,b) 内 f()=g()+c, 其中 c 为 一个常数 三. 柯西中值定理 ( 数学四不要 ) 设函数 f() 和 g() 满足 : (1) 在闭区间 [a,b] 上皆连续 ; () 在开区间 (a,b) 内皆可导 ; 且 g () 0 则存在 ξ (a,b) 使得 f(b) f(a)gb ga=f (ξ)g ξ (a<ξ<b) ( 注 : 柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广, 特殊情形 g()= 时, 柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 ) 四. 泰勒定理 ( 泰勒公式 )( 数学一和数学二 ) 定理 1.( 皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 ) 设 f() 在 0 处有 n 阶导数, 则有公式 f()=f(f (0)f (0)f(0)n0)+!( 0)+!( 0)+Λ+n! ( 0)+Rn() 14 Edited by 杨凯钧 005 年 10 月 相关文档 高数总结高数总结高数总结高数总结高数总结高数总结高数总结考研高数公式总结高数 总结文档高数第二学期知识点总结 更多精彩文档请访问 :www.