第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分
|
|
- 授窗 黎
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出 微积分学的创始人 : Newton( 英 )Leibniz( 德 ) 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 )
2 第二章导数与微分 主要内容 : 一 导数的概念二 导数的运算法则三 高阶导数四 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五 函数的微分
3 .1 导数的概念 主要内容 : 与导数有关的概念 导数的定义左右导数的定义导函数的定义 内在联系关系 可导与左右可导关系可导与连续的关系
4 一 导数的定义 (1) 背景 : 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻 t 质点的坐标为 s, s 是 t 的 函数 s=f(t), 求动点在时刻 t 0 的速度 分析 :(1) 动点在时间间隔 Δ t = t t0 内的平均速度 v Δs = = Δt f ( t0 + Δt) f ( t0) Δt () 动点在时刻 t 0 的速度 Δs vt ( 0) = lim = lim Δt Δ t 0 Δ t 0 f( t0 + Δt) f( t0) Δt
5 一 导数的定义 () 导数的定义 设函数 =f() 在点 0 的某个邻域内有定义, 当自变量 在 0 处取得增量 Δ ( 点 0 +Δ 仍在该邻域内 ) 时, 相应地函数 取得增量 Δ=f( 0 +Δ) f( 0 ) (1) 如果 Δ 与 Δ 之比当 Δ 0 时的极限存在则称函 数 =f() 在点 0 处可导并称这个极限为函数 =f() 在点 0 处的导数记作 = 0 f ( ) = lim 0 Δ 0 d d f( ) f ( 0 ), d d f ( 0 + Δ) f ( 0) Δ = = 0 0 () 如果 Δ 与 Δ 之比当 Δ 0 时的极限不存在 (3) 如果 则称函数 =f() 在点 0 处不可导 lim Δ 0 Δ Δ = 也称 f() 在 0 处导数是无穷大.
6 一 导数的定义 注记 1: 导数是函数的增量与自变量 增量比的极限. 因此导数 的表达形式可以由 注记 : 运动质点 s=f(t) 在时刻 t 0 的 d s d t 瞬时速度为是 v= s t= t = 0 t= t0 f ( ) = lim 0 不同形式 Δ 0 f ( 0 + Δ) f ( 0) Δ f( 0 + h) f( 0) f ( 0 )=lim h 0 h f( ) f( 0 ) f ( 0 ) = lim 0 0, 注记 3: 运动质点 v=g(t) 在时刻 t 0 的 d v d t 瞬时加速度为是 a= v t= t = 0 t= t0 注记 4: f ) 是 = f ( ) 的图形在 ( 0 点 ( 0, f( 0)) 处切线的斜率.
7 例 1: 证明 sin, 0 函数 f() = 在 = 0 处可导. 0, = 0 1 分析 :(1) 求出自变量的增量为 Δ 时函数值的增量 Δ 的表达式 () 求出 Δ Δ 的表达式 (3) 求出 lim Δ 0 Δ Δ 证明 : 当自变量的增量为 Δ 0 时函数值的增量 ( ) 1 Δ = f(0 +Δ) f(0) = Δ sin Δ Δ = Δ Δ 因此 ( ) 由于 Δ 0 故 Δ 0 时 1 sin Δ Δ 是无穷小量, Δ 0 时 sin Δ lim = 0 即 f () 在在 = 0处可导. Δ 1 Δ 有界, 所以 Δsin 1 Δ 是无穷小
8 二 左右导数 (1) 若 lim Δ 0 Δ Δ 存在, 则称函数 =f() () 若 lim + Δ 0 Δ Δ 存在, 则称函数 =f() 在点 0 处左可导, 并称这个极限为函在点 0 处右可导, 并称这个极限为函 数 =f() 在点 0 处的左导数, 记作 f 0 ( ) 数 =f() 在点 0 处的右导数, 记作 f + 0 ( ) Δ Δ f ( + Δ) f ( ) Δ 0 0 即 f ( 0 ) = lim = lim Δ 0 Δ 0 Δ Δ f ( + Δ) f( ) Δ 0 0 即 f + ( 0 ) = lim = lim + + Δ 0 Δ 0 定理 1: 函数 = f( ) 在点 0 处可导的充分必要条件是左右导数存在且相等 注记 5:(1) 若 f '( 0), f+ '( 0) 存在但不相等, 则 () f 在 0 () 若 f '( 0), f+ '( 0) 至少有一个不存在, 则 () 处不可导 f 在 0 处不可导
9 例 3: 讨论函数 f( ) = 在 = 0处的可导性 分析 : 由于, > 0 f( ) = = 0, = 0, 因此需要用左右导数来判断 f( ) 在 = 0处的可导性, < 0 Δ f(0 +Δ) f(0) Δ 解 : 显然 = = Δ Δ Δ, 所以 = Δ f (0 +Δ) f (0) Δ f (0) = lim = lim = lim = 1 Δ 0 Δ Δ 0 Δ h 0 Δ Δ f(0 +Δ) f(0) Δ f + (0) = lim = lim = lim = Δ 0 Δ Δ 0 Δ h 0 Δ o 因此 f (0) f (0), + 故 f( ) 在 = 0处不可导.
10 三 导函数 (1) 如果对每一 ( a, b), =f () 都有导 数, 即对每一 ( a, b) 都有一个导数值 与之对应, 则得到一个函数, 此函数叫 f () 的导函数记为 () d f, (), d df ( ) d 或. () 如果对每一 ( a, b), =f () 都可导, 且 f ( a), f ( b) 存在, + 则称 f() 在 [ a, b] 上可导. f ( +Δ) f( ) f( + h) f( ) f ( )= lim = lim Δ 0 Δ h 0 h 注记 6 : f ( 0 ) f ( ) = 0 d f ( ) d 0 =.
11 三 导函数 注记 7: 用定义求导数 f ( ) 的一般步骤 : 第一步 : 求 Δ = f( +Δ) f( ); 第二步 : 求 第三步 : 求极限 Δ f( +Δ) f ( ) = ; Δ Δ = Δ lim. Δ Δ 0 例 4. 求函数 f()=c(c 为常数 ) 的导数. 解 :(1) 显然 Δ = f( +Δ) f( ) = C C = 0 () 所以 0 (3) 故 Δ = Δ Δ = lim = 0 Δ 0 Δ
12 三 导函数 例 5. 设函数 f()= n (n 为正整数 ) 求 f ( ) n 1 n 1 n k n k 分析 (1)( +Δ ) = + C ( Δ ) + C ( Δ ) + + C ( Δ ) + + ( Δ) n k n n n n Δ = +Δ = n Δ + C Δ + + Δ n n n 1 n n [( ) ] [ n ( ) ( ) ] Δ = + Δ + + Δ Δ 1 1 () n n n C ( ) ( ) n n n n 1 (3) lim C ( Δ ) = = lim ( Δ ) = 0 n Δ 0 Δ 0 所以 n Δ ( ) = lim = Δ 0 Δ n n 1
13 三 导函数 一般地 : μ ( ) μ 1 = μ ( μ为常数 ) ( ) = = ( > 0) ( 1 ) 1 1 = ( 1) 1 = ( 0)
14 三 导函数 sin 例 6. 证明 ( ) = cos α + β α β sinα sin β = cos sin Δ Δ 证明 : 由三角公式可得 Δ = sin( +Δ) sin = cos + sin 所以 Δ = = Δ 故 ( sin ) lim lim Δ 0 Δ 0 Δ sin Δ Δ = cos + Δ Δ Δ sin Δ sin t lim cos + = lim lim cos( + t) = Δ Δ 0 t 0 t t 0 cos 同理可证 cos ( ) = sin
15 例 7. 求函数 f()= a ( a > 0, a 1) 的导数. +Δ Δ 分析 (1) Δ = a a = a ( a 1) 由于 Δ N e a e e ln N Δ ln a Δln a = = = Δ == a e Δ ln a ( 1) () Δ a e e = = a Δ Δ Δ Δln a Δln a ( 1) ( 1) 由于当 β 0 时, e β Δln 1 β. 当 Δ 0时, Δln a 0, 从而 (3) Δln a Δ e 1 Δlna lim = a lim = a lim = a ln a Δ Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 ( a ) = a lna a e 1 Δlna
16 部分初等函数的的求导公式 (1) ( C ) = 0 () (sin ) =cos. (3) (cos ) = -sin. 4 ( () a ) = a ln a. () 5 ( e ) = e μ μ 1 (6) ( ) = μ ( μ为常数 )
17 四 导数的应用 (1) 用导数的定义求极限 例 8: 求 ( ) h lim h 0 h 100 分析 : 设 f ( ) =, 则 ( ) ( ) h f ( + h) f( ) h h = 因此 + h f( + h) f( ) lim = lim = f ( ) h 0 h h 0 h 100 解 : 令 f = ( ), 99 ( ) = 100 由导数的定义可知 f ( ) h f( + h) f( ) lim = lim = f ( ) = 100 h 0 h h 0 h 99
18 四 导数的应用 () 求曲线的切线及法线 例 9 求 1 = 在点 1, 的切线和法线方程 1 = = = 解 :(1) 由于 ( ) 1 () 由导数的几何意义知, = 1 在点 1, 的切线的斜率 k 1 = = 4 = (3) 所求的切线方程为 (4) 所求的法线方程为 1 = 4( ) 即 4+ 4= = ( ) 即 8+ 15= 0 4
19 探究可导与连续的关系 若函数 = f( ) 在点 0 处可导 函数 f( ) = 在点 0 处连续 Δ lim = f ( 0 ) Δ Δ 0 Δ = Δ 0 lim 0 Δ Δ 0 极限与无穷小的关系 = f ( ) + α( α 0) ( ) ( α ) lim Δ = lim f ( ) Δ + lim Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ = f ( ) Δ + αδ( α 0) lim Δ = lim [ f ( ) Δ + αδ] 0 Δ 0 Δ 0 0
20 五 可导与连续的关系 定理 : 若函数 = f( ) 在点 0 处可导则 注记 7: 在点 0 处连续的函数在点 0 处不一定可导 即连续是可导的必要条件, 但不是充分条件. 函数 = f( ) 在 点 0 处连 续 注记 8: 若函数 = f( ) 在点 0 处不连续, 则函数 = f( ) 在点 0 处不可导
21 五 可导与连续的关系 例 10. 证明 3 f( ) = 在 = 0 连续但不可导 3 证明 : 显然 f ( ) = 是基本初等函数, 且 0 (1) 故 f ( ) 在 = 0 处连续 () 又 Δ 0 时, 所以 lim Δ 0 Δ = Δ, 故 = 是 ( ) 3 Δ f(0 +Δ) f(0) Δ 0 1 = = = Δ Δ Δ Δ lim Δ 0 Δ Δ 不存在, 因此 3 f 定义域内一点, 3 ( ) f( ) = 在 = 0 = 3 不可导 0 1
22 . 函数和积商的求导法则 主要内容 函数和的求导法则函数积的求导法则函数积的求导法则 求导法则的应用
23 一 函数和积商的求导法则 定理 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 则 (1) 函数 f ( ) = u( ) ± v( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = u ( ) ± v ( ) () 函数 f ( ) = u( ) v( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = u ( v ) ( ) + uv ( ) ( ) u ( ) f( ) v ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) f ( ) = ( v( ) 0) v ( ) (3) 当 v ( ) 0 时, 函数 可导, 且 = 在点 处 注记 1 两个函数都可导时, 才有两 函数和 ( 差 ) 的导数等于导数之和 ( 差 ) 注记 两个函数积的导数不一定等于导数之积 注记 3 两个函数商的导数不一定等于导数之商 1 v ( ) = v ( ) v( ) 注记 4
24 证明 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 函数 f ( ) = u( ) + v( ) 在点 处也可导 设 f( ) = u( ) + v( ) 已知函数 u ( ) v ( ), 在点 处可导 [ ] [ ] Δ = f( +Δ) f( ) = u( +Δ ) + v( +Δ) u( ) + v( ) [ u ( ) u ( )] [ v ( ) v ( )] = +Δ + +Δ = Δ u+δ v Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv = = + Δ Δ Δ Δ Δu lim = u ( ) Δ Δv lim = v ( ) Δ Δ 0 Δ 0 Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv lim = lim = lim + Δ Δ Δ Δ Δu Δv = lim + lim = u ( ) + v ( ) Δ 0 Δ Δ 0Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
25 证明 : 如果函数 u ( ), v ( ) 在点 处可导, 函数 f ( ) = u( ) v( ) 在点 处也可导 设 f( ) = u( ) v( ) 已知函数 u ( ) v ( ), 在点 处可导 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ u u] v [ v v] u = ( Δ u) v( +Δ ) + ( Δ v) u( ) Δ = f +Δ f = u +Δ v +Δ u v = ( +Δ ) ( ) ( +Δ ) + ( +Δ ) ( ) ( ) Δ f ( + Δ) f ( ) Δu Δv = = v( + Δ ) + u( ) Δ Δ Δ Δ Δu lim = u ( ) Δ Δv lim = v ( ) Δ Δ 0 Δ 0 函数 u, ( ) v ( ) 在点 处连续 lim u ( + Δ ) = u ( ) Δ 0 lim v ( +Δ ) = v ( ) Δ 0 Δ f( +Δ) f( ) Δu Δv lim = lim = lim v ( +Δ ) + u ( ) Δ Δ Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δu Δv = lim lim Δ v( +Δ ) + u( ) lim = u ( ) v( ) + u( ) v ( ) Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ Δ
26 一 函数和积商的求导法则 注记 5 定理 (1-) 可以推广到 有限个函数上 (1) 若函数 1 u ( ), u ( ),, u ( ) 处可导, 则 1 n 都在点 f() = u ( ) + u ( ) + + u ( ) () 若函数 f1( ), f( ), f3( ) 都在点 处 可导, 则函数 f() = f1( ) f( ) f3( ) 在点 处可导, 且 fff = f ff+ fff + fff ( ) n 推论 1: 如果函数 u () 在点 处可导, 则函数 f ( ) αu( ) = 在点 处可导, 且 [ αu ( )] = αu ( ). 推论 : 设函数 1 都在点 处可导, 则 1 1 u ( ), u ( ),, u ( ) f() = α u ( ) + α u ( ) + + α u ( ) 在点 处可导, 且 f ( ) = α u ( ) + α u ( ) + + α u ( ) 1 1 n n n n n
27 二 导数的运算法则的应用 a + a + + a + a = na + ( n 1) a + + a 例 1 : 证明 ( ) n n 1 n 1 n 0 1 n 1 n 0 1 n 1 证明 : 由求导法则及基本函数的求导公式可得 ( n n 1 ) ( ) ( = n n a + a + + an + an a 0 + a 1 ) + + ( an 1) + ( an) n n 1 ( ) ( ) n ( ) ( n) = a + a + + a + a = na + ( n 1) a + + a n n 1 n 0 1 1
28 二 导数的运算法则的应用 例 设 = e ( sin + cos ), 求 解 : 由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 ( sin cos ) e = + ( e ) ( sin cos ) e ( sin cos ) = ( sin cos ) ( cos sin ) = + + e e = e cos
29 二 导数的运算法则的应用 例 3 设 = tan, 求 分析 :(1) 由于 sin = tan = 是两个函数 u sin, v cos cos = = 商的形式, 显然 分子分母均可导. 由两个函数商的导数运算法则可得 uv uv (sin ) cos sin (cos ) = = v cos () 利用求导公式求出函数的导数, 并化简 (sin ) = cos,(cos ) = sin sin + cos = 1, 1 sec cos =
30 二 导数的运算法则的应用 例 3 设 = tan, 求 解 : 由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 sin (sin ) cos sin (cos ) = = cos cos = cos + sin cos = 1 sec cos = 即 (tan ) = sec 同理可得 (cot ) = csc
31 二 导数的运算法则的应用 例 4 求 = sec 的导数. 1 解 = (sec ) = ( ) = cos (cos ) cos = sin cos 即 同理可得 = sec tan. (sec ) = sec tan. (csc ) = csc cot.
32 部分初等函数的求导公式 (tan ) = sec. (cot ) = csc. (sec ) = sec tan. (csc ) = csc cot.
33 .3 反函数和复合函数的求导法则 主要内容 反函数的求导法则复合函数的求导法则 求导法则的应用
34 .3 反函数和复合函数的求导法则 问题 1 反三角函数在定义域内是否可导 如果可导如何用简便的方法求 (1) (arcsin ) () (arccos ) (3) (arctan ) (4) (arc cot ) 本质 若函数 = ϕ() 在区间 I 内可导 则满足什么条件它的反函数数 在区间 = f () 内是否也可导? I = { = ϕ( ), I } (5) (log a ) ( a > 0, a 1)
35 复习 若 ϕ( ) = 是定义在区间 I 上的单调连续的函数, 则它的反函数 = f( ) 必定存在, 且在 I = { = ϕ( ), I } 上也单调连续 函数在一点连续的等价定义 : 设函数 = f () 在点 0 的某一邻域内有定义, 若 0 0 Δ = 时, 0 0 Δ = f( +Δ) f( ) 0 我们就说函数 f ( ) 在在点 0 连续.
36 探究 1 函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 可导且 ϕ ( ) 0, 它的反函 数 f () = 在区间 I = { = ϕ( ), I } 是否可导? 已知函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 可导且 ϕ ( ) 0 函数 = ϕ() 在区间 I 内单调 连续 Δ ϕ ( ) = lim 0 Δ 0 Δ 反函数 = f () 在区间 I = { = ϕ( ), I } 存在且单调连续 当 0 Δ 时, f( ) f( ) Δ = +Δ 0 Δ 0时必有 Δ 0 f Δ 1 1 ( ) = lim = lim = Δ 0 Δ Δ 0 Δ ϕ ( ) Δ Δ 1 = Δ Δ Δ
37 一 反函数的求导法则 定理 1 若函数 = ϕ ( ) 在区间 I 内 (1) 单调 () 可导且 ϕ ( ) 0 则它的反函数 = f ( ) 在区间 内可导且有 即 = I = { = ϕ ( ), I } 1. 或 f ( ) = d d 1 ϕ ( ) = 1 d d 注记 1 对原函数的要求是 (1) 单调 () 可导 (3) 导数非零. 则 (1) 反函数可导 () 且反函数的导数与原函数的导 数互为倒数 反函数的导数问题总可以 化归为原函数的导数问题
38 一 反函数的求导法则 注记 : 求反函数 = f () 导数的步骤 第一步 : 找出反函数的原函数 = ϕ( ) 第二步 : 判断原函数 = ϕ() 在定义区间内单调可导并判断其导数 = ϕ ( ) 在定义区间内非零 第三步 : 利用反函数的导数与原函数导数的关系得到反函数的导数 第四步 : 利用 ϕ() 1 f ( ) = ϕ ( ) = 找出 ( ) ϕ 与 的关系式. 将该关系式代入 f 1 ( ) = ϕ ( ) 即可得到用自变量 表示的反函数的导数
39 例 1: 求反正弦与反余弦函数的导数 解 :(1) 显然 () 由于 sin 所以在对应区间 ( 1,1) π π = sin ( ) 是 arcsin π π = 在, ) 内有 = 是的原函数 ( 直接函数 ) =, ( 内单调增加可导, 且 cos = (arcsin ) = = cos (3) 由于 π π (, ) cos = 1 sin = 1,, 所以 因此 1 1 = (arcsin ) = = cos 1, ( 1,1 ) (4) π 1 (arccos ) = arcsin = 1, ( 1,1 )
40 例. 求反正切与反余切函数的导数 π = < 是 arctan 解 :(1) 显然 tan ( ) () 由于 tan π π = 在, ) (3) 所以在相应区间 I = (, + ) 内 = 是的原函数., ( 内单调可导, 且 = sec 0 = (arctan ) = 1 = 1 sec = 1+ 1 tan = 1 1+ π 1 (4) (arc cot ) = arctansin = 1+
41 例 3. 求对数函数的导数 解 : 显然 > 是函数 = log, (0, + ) 是的直接函数 = a ( a 0, a 1) a 由于函数 = a 在 (, ) = + 内单调 可导且 ( a ) a ln a 0 因此函数 log, (0, ) = + 可导, 且 a (log a ) = = = = ( a ) a lna lna 特别地 1 (ln ) = ( > 0)
42 部分基本初等函数的求导公式 (1) (arcsin ) = 1 1 (4) ( arc cot ) = () 1 (arccos ) = (3) 1 1 (arctan) = 1+ (5) ( ln ) 1 = ( > 0) (6) (log a ) = 1 ln a ( > 0, a > 0, a 1)
43 二 复合函数的求导法则 问题 如何用简便的方法求 ln( ) ( < 0) (1)( ) () ( μ ) 本质 (1) 若 u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 那么复合函数 = f[ g( )] (1) 是否可导? () 若可导 d? d =
44 探究 (1) 若 u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 复合函数 f[ g( )] = 是否可导? 已知 =f(u) 在 u=g() 处可导 u = g() 在点 可导 Δ lim = f ( u) Δu Δu 0 Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 u = g ( ) 在点 连续 Δ Δu = f ( u) + α( Δu 0时, α 0) Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 且 Δ 0 时 Δ u 0 Δ = f ( u) Δ u + α Δu Δ u lim = g ( ), Δ Δ 0 且 Δ 0 时 α 0 Δ Δ ( ) u Δ = f u + α u ( Δ 0) Δ Δ Δ d Δ Δu Δu = lim = lim f ( u) + α d Δ 0 Δ 0 Δ Δ Δ Δu Δu = f ( u) lim + lim α lim Δ 0Δ Δ 0 Δ 0Δ = f ( u) g ( )
45 二 复合函数的求导法则 定理 : 设 (1) u = g() 在点 可导 ()=f(u) 在 u=g() 处可导 则复合函数 = f [ g( )] (1) 在点 可导 () 其导 = u = f ( u) g ( ) 即 d d u d du = du d 注记 : 因变量对自变量求导等于 因变量对中间变量求导乘以 中间变量对自变量求导.( 链 式法则 ) 注记 3: 复合函数的求导法则可推广 到多个中间变量的情形. 设 f ( u), u = ϕ ( v), v = ψ ( ) =, 则复合函数 = f { ϕ[ ψ ( )]} 的导数为 = u v. u v
46 二 复合函数的求导法则 注记 4: 利用复合函数的求导法则求导数的思路 : (1) 搞清复合函数的结构 () 由外到内求导 (3) 将中间变量代入 u v
47 二 复合函数的求导法则 例 3: 求 = ln( ) 的导数 解 : ln( ) = 可以看做是函数 = ln u,( u > 0) 与 u,( 0) = < 复合而成的 函数. 因此 d d du = = ( 1) = = d du d u u 1 [ ln( ) ] = ( < 0) [ ] 1 ln = ( 0) 1 ln = ( > 0)
48 二 复合函数的求导法则 例 4: 证明 : = > 1 ( μ μ ) μ ( 0) 分析 :(1) μ μln = = e 可以看做是 v = e 与 v μ ln = 复合而成的函数 d dv = dv d v () 由求导法则及基本初等函数的求导公式可得 e, = μ (3) 由复合函数的导法则可得 d d dv v μ = = e d dv d μ μ μ μ 1 = = > ( 0) 即 = > 1 ( μ μ ) μ ( 0)
49 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 例 5 求函数 = ln sin 的导数. 解 : 因为函数 = ln sin 是函数 复合而成的. 所以 = ln u, u = sin. d d 1 cos = = sin = cot d du = du d u cos
50 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 例 6 设 = ln cos(e ), 求 d. d 解 :(1) 显然 = ln cos(e ) 分解为 = ln u, u = cosv, v = e () 由基本初等函数的求导公式可得 d 1 du =, du u d v dv = sin v, d = e (3) 由复合函数的求导法则, 可得 d d du 1 sin e = = ( sin v) e = e = e tan e. d du d u cos e
51 例 7 设 sin = e arc, 求. 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 解 : arcsin arcsin = (e ) = e ( arcsin ) 1 1 = 1 (1 ) arcsin arcsin =e ( ) e
52 例 8 判断正误 (1) = ( ) () (sin ) cos ln ( e ) = e (3)( arctan ) = ( ) (4) ln ln ( ln ) f = f (5)( ) ( ) ( ) = = ln ln ln ln ln ln ( ) ( ) ( )
53 .4 高阶导数 主要内容 高阶导数的定义高阶导数的运算法则 高阶导数的求法
54 一 高阶导数的定义 1. 背景 : 动点作变速直线运动其位置函数 s = s() t, 求动点 在时间 t 加速度 d ds a = dt dt f ( ) 称为零阶导数 f ( ) 称为一阶导数.. 定义 : 若函数 = f( ) 的导数 f ( ) = 可导, 我们把 f ( ) = 的导数叫做函数 = f( ) 的二阶导数, 记作 d f ( ) 或, d = ( ) [ ] f ( ) = f ( ) d d d d d d = 即 类似地, 二阶导数的导 数叫做三阶导 数. 记作, f ( ) 或 = ( ) d d 3 3 [ ] f ( ) = f ( ) 3 d d d = 3 d d d 一般地 n 1阶导数的导数叫做 n ( n) 阶导数记作 ( n f ) ( ), d n n d ( n) ( n 1) = ( ) ( n) ( n 1) f ( ) = [ f ( )] n n 1 d d d = n n 1 d d d 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
55 二 高阶导数的运算法则 定理 1: 设函数 u ( ), v ( ) 都有 n 阶导数, 则 [ u( ) ± v( ) ] = [ u( ) ] ± [ v( ) ] n [ Cu( ) ] C[ u( ) ] ( n ) ( n ) ( n ) ( ) ( n) = (C 为常数 ) ( ) n ( ) ( k ) n k = 0 n k n k [ u ( ) v ( )] C[ u ( )] [ v ( )] = 莱布尼兹公式 注记 3 求高阶导数的方法 方法一 : 逐阶求导法 方法二 : 归纳求导法 方法三 : 公式求导法 -- 利用已 知函数的高阶导数的公式及运 算法则
56 三 高阶导数的求法 例 1 若函数 ( ) f 二阶可导, 求 ln [ f( ) ] = 的二阶导数 分析 : 由于阶数较低, 因此用定义逐阶求导 (1) 求 () 求 解 : 显然函数 ln [ f( ) ] 由于 ( ) = 是 = ln u与 u = f( ) 复合而成的函数. f 二阶可导, 所以函数 ln [ f( ) ] 1 求导法则可得 = f ( ) f( ) 根据二阶导数的定义及商的求导法则我们有 = 一定可导. 由复合函数的 f ( ) = [ ] = f = = f f [ f ( ) ] f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) [ f ( ) ] ( ) ( ) ( )
57 三 高阶导数的求法 利用归纳求导法求高阶导数的步骤 第一步 : 求出 1-3( 或 1-4) 阶的导数 第二步 : 观察 1-3( 或 1-4) 阶导数, 找出 1-3( 或 1-4) 阶导数表达式的规律 第三步 : 归纳出 n 阶导数, 并加以证明
58 n 例 求 ( a + a + a + + a ) ( ) 0 1 n n 分析 (1) 设 = a + a + a + + a n n 求出 1-3 阶导数 n = 1 a + a + + na n = 1 a + 3 a + + n( n 1) a 3 n = 31 a + 43 a + + n( n 1)( n ) a 3 4 () 观察 1-3 阶导数, 找出 1-3 阶导数的规律 n = 1! a + a + + na 1 n =! a + 3 a + + n( n 1) a 3 n = 3! a a + + n( n 1)( n ) a (3) 由数学归纳法可得 3 4 ( n) = n! a n n n 1 1 n n n n 3 3
59 三 高阶导数的求法 n 例 求 ( ) ( n a + a + a + + a ) 0 1 解设 = a + a + a + + a 0 1 n n n 则 n = a + a + + na 1 n 1 n =! a + 3 a + + n( n 1) a 3 n n = 3! a a + + n( n 1)( n ) a 3 4 n 3 由数学归纳法可得 ( n ) = n! a n
60 三 高阶导数的求法 同理可得 ( ) ( n) a = a ( ln a) n ( e ) ( n ) = e ( n) μ = μμ ( 1) ( μ n+ 1) μ n
61 例 3 设 = sin, 求 ( n) = sin 找规律 数学归纳法 = cos = ( ) = sin π = sin + = sin + π nπ sin = sin( + ) ( ) ( n ) = = ( ) cos = sin + 3π 3 sin π = cos,sin π = sin, sin π = cos
62 三 高阶导数的求法 例 3 设 ( n) = sin, 求 π 解显然 = cos = sin( + ) π = [ ] = sin = sin( + ) 3π = [ ] = cos = sin( + ) 由数学归纳法可得 ( ) ( n ) 同理可得 ( ) ( n ) nπ sin = sin( + ) nπ cos = cos( + )
63 例 4 设 = 1 1, 求 ( n ) 1 = 1 找规律 数学归纳法 (1 ) 1 = = (1 ) (1 ) = 1! (1 ) (1 ) = ( ) = = (1 ) (1 ) 4 3 =! (1 ) 1 + ( n) = n! (1 ) n 1 + = = 3 (1 ) ( ) 4 = 3! (1 ) 3 1 +
64 三 高阶导数的求法 例 4 设 = 1 1, 求 ( n ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 解由求导法则及基本初等函数的求导公式可得 = = 1 (1 )! = (1 ) = = (1 ) (1 ) 4 3! 3! = (1 ) = (1 ) 3 4 由数学归纳法可得 ( n n! ) = n 1 (1 ) + 同理可得 ( n) n 1 ( 1) n! = n (1 + ) +
65 三 高阶导数的求法 例 5 设 = ln(1 + ), 求 ( n) = ln(1 + ) ( n ) n 1 ( 1) n! = 1 + (1 + ) n + 1 = n 1 ( n ) ( n 1) ( 1) ( n 1)! = ( ) = n (1 + )
66 三 高阶导数的求法 ( n) 例 5 设 = ln(1 + ), 求 又 解显然 = 1 (1 + ) ( n) n 1 ( 1) n! = n 1 + (1 + ) + 1 n 所以 ( ) n 1 ( ) ( n 1) ( 1) ( n 1)! = = (1 + ) n
67 常见的高阶导数公式 nπ sin = sin( + ) ( ) ( n ) nπ cos = cos( + ) ( ) ( n ) ( n) ( ) a = a ( ln a) n ( e ) ( n ) = e
68 常见的高阶导数公式 ( n) n 1 ( 1) n! = n 1 + (1 + ) + 1 ( n ) 1 n! = n 1 (1 ) + 1 μ ( n) [ ln(1 ) ] + = n 1 ( n) ( 1) ( n 1)! n (1 + ) = μμ ( 1) ( μ n+ 1) μ n
69 例 6 求 [ + ] (10) 0 sin cos = 解 : 由高阶导数的运算法则可得 [ sin + cos ] = [ sin ] + [ cos ] (10) (10) (10) ( ) nπ ( n) nπ sin = sin +, cos = cos + n 由公式 [ ] [ ] [ ] [ ] 可得 (10) 10π (10) 10π sin = sin + = sin, cos = cos + = cos 因此 [ ] (10) sin + cos = sin cos 所以 [ ] (10) 0 sin + cos = = sin 0 cos 0 = 1
70 考研原题 (1)(10,4 分 ) 函数 ln(1 ) = 在 0 = ( n = 处的 n 阶导数 ) (0) ()(07,4 分 ) 设函数 = n, 则 ( 0) =. (3)(06,4 分 ) 设函数 f( ) = 在的某领域内可导, 且 ( ) ( ) f ( ) =, = 1, 则 f e f f ( ) =
71 思考题 一 判断正误 4 (1) 设 f ( ) =, 则 (0) 0 f = () 1 1 (4) = = 4 (3)( ) (10) e = e (4)( e ) = 4e 1 1 (5) [ ] ( n ) n 1 ln(1 + ) = ( 1) ( n 1)! = 0 n (7) ( ) ( n+ a a a a 1) n = 0 1 (6) = 0 1+ = 1
72 思考题 二 填空题 ( 将正确答案填写在括号内 ) (1) 设 ln sin =, 则 =( ) () ( e ) (10) = ( ) (3) 1 1+ ( n) = ( ) (4) 1 ( n) = ( )
73 .5 隐函数的导数及由参数方程所 确定的函数的导数 主要内容 隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定的函数的导数
74 一 隐函数的导数 1. 有关定义 : 观察 :(1) = () sin = (3) ( ) = ln + 1+ 发现 : 表达式的特点是直接给出了由自变量 的取值求因变 量的对应值 的规律 ( 计算式 ) 我们把用这种方式表达的函数称为显函数. 定义 1: 形如 = f( ) 的函数称为显函数.
75 一 隐函数的导数 观察 : + 3 1= 0 发现 : 当自变量 在 (. + ) 内取值时, 因变量 有唯一确定的值与 3 之对应. 即方程 + 1= 0可以确定 是 的函数. 定义 : 若方程 F(, ) = 0可以确定 是 的函数, 我们把此函数称为隐函数. 即如果在方程 F(, ) = 0 中, 当 取某区间内的任一值时, 相应地 总有满足这方程的唯一的 值存在, 那么就说方程 F(, ) = 0在 该区间内确定的函数称为隐函数
76 一 隐函数的导数 3 观察方程 + 1= 0 发现该方程确定的函数可以用式子 3 1 = 表示 我们把隐函数化为显函数的过程叫做隐函数的显化 注记 1: 并不是所有的隐函数都可以化为显函数 3 方程 + 1= 0确定的隐函数可以显化 3 1 = 当隐函数不易显化或 不能显化时如何求导 5 7 方程 + 3 = 0确定的隐函数很难显化 方程 e + e= 0 确定的隐函数不能显化
77 一 隐函数的导数 注记 1: 求隐函数的导数的思路 利用复合函数的求导法则直接对方称 F(, ) = 0两边关于 求导. 其步骤为 第一步 : 对 F(, ) = 0两边关于 求导数得 d d F (, ) = 0 第二步 : 利用复合函数的求导法则由 d d F (, ) = 0解出
78 一 隐函数的导数 例 1. 求由方程 e + e= 0 所确定的隐函数 的导数. 分析 :(1) 设由方程 e e 0 + = 所确定的隐函数 ( ) ( ) e e + ( ) = 0 = 从而原方程 d ( ) d d () 把方程两边的每一项对 求导数得 ( e ) + [ ( ) ] ( e) = 0 d d d ( ) (3) 函数 z = e 可以看做是函数 z = e, = ( ) 复合而成的函数. 因此 d d ( ) ( ) = = e z e d d 又 [ ( )] ( ) 0 d = + = +, d e = 所以 ( ) e + + = 0 + e (4) 整理化简得 =,( + e 0)
79 一 隐函数的导数 例 1. 求由方程 e + e= 0 所确定的隐函数 的导数. 解 : 把方程两边的每一项对 求导数得 d d d ( e ) + ( ) ( e) = d d d 0 由复合函数的求导法则可得 ( ) e + + = 0 从而 =,( + e 0) + e
80 一 隐函数的导数 例 求椭圆 分析 : (1) 求出方程 + = 1在 (, 3) 处的切线方程. + = 1确定的隐函数的导数 16 9 () 求出过点 (, 3 3 ) 的切线的斜率 k = = (3) 写出过点 (, 3 3 ) 的切线方程 3 3 = k ( )
81 一 隐函数的导数 例 求椭圆 + = 1在 (, 3) 处的切线方程. 解 : 把椭圆方程的两边分别对 求导得 = 0 从而 9 = 16 将 =, 3 3 故所求的切线方程为 k = = = = 代入上式得所求切线的斜率 = ( ) 即 = 0
82 一 隐函数的导数 例 3. 求由方程 1 sin 0 + = 所确定的隐函数 的二阶导数. 分析 : 由于阶数低, 因此采用逐阶求导法 (1) 求出由方程 () 根据 d d d 1 sin 0 = d d d + = 确定的隐函数的一阶导数 d d 求出二阶导数 d d
83 一 隐函数的导数 例 3. 求由方程 1 sin 0 + = 所确定的隐函数 的二阶导数. d 1 d 1 cos 0 d + d = 解 : 方程两边对 求导, 得 ( ) 于是 d = d cos ( cos ) ( ) d d d d = = = d d d d cos cos sin d 4sin = = ( cos ) d ( cos ) 3
84 一 隐函数的导数 课堂训练 --- 判断正误 3 1. 由 + = 0所确定的隐函数 f( ) = 在 0 = = 的导数 0 1 =. e + = 在 1所确定的隐函数的导数为 = + e 1
85 二 对数求导法 学习隐函数的求导法则有何应用? 观察 : 办法 : 先在方程两边取对数 (1) = ( 1)( ) ( 3)( 4) 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. () = sin 发现 : 直接求导比较麻烦. 适用范围 : () 1 多个函数相乘或商 ( ) 幂指函数 u 的情形 v( ) ( ).
86 二 对数求导法 注记 : 对数法求函数 ( u( ) ) v( ) = 导数的步骤 第一步 : 对 = ( u( ) ) v( ) 两边取对数, 得 ln = v( ) ln u( ) 第二步 : 在 ln = v( ) ln u( ) 两边对 求导, 利用复合函数的求导法则即可
87 二 对数求导法 例 4: 求 sin = ( > 0) 的导数 解 : 两边取对数, 得 ( ) ln = sin ln. 两边对 求导, 得 1 = ( cos ) ln + ( sin ) 1 于是 = ( cos ) ln + sin = ( cos ) ln + sin sin
88 二 对数求导法 用对数求导法求函数 1 用对数求导法求函数 1 = f ( ) f ( ) f ( ) 的导数. = f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 1 n n m 的导数. 第一步 : 对方程两边取对数, 从而把积商的导数问题转化为和差的导数问题 第二步 : 利用复合函数的求导法则及对数函数的求导公式求出函数的导数
89 二 对数求导法 例 5. 求函数 = ( 1)( ) ( 3)( 4) 的导数. 解 : 两边取对数, 得 两边同时对 求导得 1 ln = [ ln 1 + ln ln 3 ln 4 ] = [ ] 即 = 1 ( 1)( ) ( 3)( 4) [ + ]
90 课堂训练 1. 设 f ( ), g( ) 可导 ( ) ( ) 0 +, 求函数 = f ( ) + g ( ) 的导数. f g. 求函数 = 1+ t 1 t 的导数. 3. 求 = ( > 0) 的导数
91 三 由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 所确定的函数的导数 d d 若 与 的函数关系是由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 达的函数为由参数方程所确定的函数. 确定的. 则称此函数关系所表 如何求由参数方程所 确定的函数的导数?
92 三 由参数方程 = ϕ() t = ψ () t 所确定的函数的导数 d d 求参数方程 = ϕ() t = ψ () t 的函数的导数 d d 方法一 : 消去参数, 得到显函数 = f( ) 后求导 = t d 如 消去参数, 得到函数 = + 1, 则 = t + 1 d = = ϕ() t 方法二 : 将 所确定的函数看做复合函数. 利用复合函数的求 = ψ () t 导法则求 d d 1
93 三 由参数方程所确定的函数的导数 定理若 (1) = ϕ() t 在某区间 I 上单调可导, 且 ϕ () t 0 () = ψ () t 在区间 I 可导 = ϕ() t 则由参数方程 = ψ () t 所确定的函数 (1) 可导 () 导数 d t ψ ( t) = = d ϕ ( t) t
94 已知 = ϕ() t 在某区间 I 上单调可导 ϕ () t 0 反函数的求导法知 = ϕ() t 在区间 I 有可导的反函数 t = t( ) t = 1 t = ϕ() t 参数方程 所确定的 = ψ () t 函数可以看做是函数 = ψ () t 与 t = t( ) 的复合函数 = ψ [ t( ) ] 复合函数的求导法则 d t ψ ( t) = = d ϕ ( t) d d t = t t
95 三 由参数方程所确定的函数的导数 = ϕ() t 注记 3: 由方程 = ψ () t 所确定的函数的导数 d ψ ( t) = d ϕ ( t) 仍以 t 为参数 注记 4: 若 (1) = ϕ() t 在某区间 I 上单调 二阶可导, 且 ϕ () t 0 () = ψ () t 在区间 I 上二阶可导 = ϕ() t 则由参数方程 所确定的函数也二阶可导且 = ψ () t d t d ψ ( t) d d d t t t d t ϕ ( t) = = = d d t t ϕ ( t) d ψ ( t) d ϕ ( t)
96 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 求椭圆 = acost = bsin t (1) 在 t π 4 = 相应点处的切线方程 分析 (1) 求切点 () 求 d d (3) 求切线的斜率 k = d d π t= 4 (4) 写出椭圆在切点处的切线方程 (5) 化简
97 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 求椭圆 解 :(1) 当 () (3) = acost = bsin t d d (1) 在 t π 4 π t = 时 0 = a, 0 = b 4 ( bsin t) b = = cot t acost a ( ) = acost = bsin t 在 t π 4 = 相应点处的切线方程 = 相应点处的切线的斜率 k d = = d π t= 4 b a (4) 椭圆在 t π 4 = 相应点处的切线方程为 b b= ( a) a (5) 化简得 : b + a ab = 0
98 三 由参数方程所确定的函数的导数 例 7: 设 = acost = bsin t () 求 解由 (1) 知 d 所以 d = d d d = d d d b a cot t d = d ψ ( t) d t ϕ ( t) d ϕ ( t) d b cot b d = = = d asin t a d t t csc t t a a b 3 csc t
99 部分考研原题 (1)(0 年,3 分 ) 已知函数 = f( ) 由方程 e = 0确定, 则 (0) = ()(05,4 分 ) 设函数 =() 由参数方程 = = t + t, ln(1 + t) 确定, 则曲线 =() 在 =3 处的法线与 轴交点的横坐标是 + (3)(01,3 分 ) 曲线 e cos( ) = e 1在点 (0,1) 处的切线方程为 4 (4)(03,4 分 ) 设函数 =f() 由方程 + ln = 所确定, 则曲线 =f(). 在点 (1,1) 处的切线方程是.
100 部分考研原题 d (5)(06,4 分 ) 设函数 = ( ) 由方程 = 1 e 确定, 则 A 0 d = =. (6)(07,4 分 ) 曲线 = + = 1 + sint cost cos t 上对应于 t π 4 = 的点处的法线斜率为 (7)(08,4 分 ) 曲线 sin ( ) + ln ( ) = 在点 ( ) 0,1 处的切线方程为. (8)(09,4 分 ) 设 = ( ) 是方程 + e = + 1确定的隐函数, 则 d d = 0 =
101 思考题 若 (1) = ψ () t 在某区间 I 上单调可导, 且 ϕ () t 0 () = ϕ() t 在区间 I 可导 = ϕ() t 则由参数方程 = ψ () t 所确定的函数的导数 d =? d
102 小结 隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 对数求导法 : 对方程两边取对数, 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 = ϕ( t) 在方程 中, = ψ( t) d d ψ ( t) ( t = = t ϕ t )
103 .7 函数的微分 主要内容 一 微分的概念 二 基本初等函数的微分公式 三 微分的运算法则 四 微分在近似计算中的应用
104 一 函数微分的概念 1. 背景 : 正方形金属薄片 受热后面积的改变量 本质特征 : 自变量增量为 Δ 函数值的增量 Δ 为 设正方形的边长由 变到 + Δ 0 0 所以 Δ A = ( 0 +Δ) 0 = 0 Δ + ( Δ) ( 1) () (1) 是 Δ 的线性函数, 是 Δ A的主要部分 () 是 Δ 0时比 Δ 高阶的无穷小 Δ = A Δ + o( Δ) 其中 (1)A 是不依赖于 Δ 的常数 () o( ) Δ 是当 0 Δ 高阶的无穷小 时比 Δ
105 一 函数微分的概念 定义 : 设 = f( ) 在某区间内有定义, 0 的增量 f 0 f 0 Δ = ( +Δ ) ( ) 可表示为 Δ = A Δ + o( Δ) 及 + Δ 0 在这区间内. 如果函数. 其中 (1)A 是不依赖于 Δ 的常数 () o( ) Δ 是当 Δ 0 时比 Δ 高阶的无穷小 则称 (1) 函数 = f( ) 在点 0 是可微的. ()AΔ 叫做函数 = f( ) 在点 0 相应于自变量 Δ 的微分, 记作 d 即 d = AΔ
106 一 函数微分的概念 注记 1: 若函数 = f( ) 在点 0 是可微, 则 Δ = A Δ + o( Δ) 且 d = AΔ 注记 : 若 A 是不依赖于 Δ 的常数, 则函数 = f( ) 在点 0 可微的 充要条件是 思考题 Δ AΔ lim = 0 Δ Δ 0 函数 f( ) = 的微分与函数在点 0 处的导数有何区别?.
107 问题 函数 f( ) = 在点 0 是可微与函数 = f( ) 在点 0 可导有什么关系? 函数 f( ) = 在点 0 是可微与函数 = f( ) 在点 0 连续有什么关系? 若函数 = f( ) 在点 0 是可微, 则 A =?
108 一 函数微分的概念 定理 1: 函数 f( ) = 在 0 可微 它在 0 可导 ; 且当函数 f( ) = 在 0 A = f ( ) 可微时 0 即当函数 f( ) = 在 0 注记 3:(1) 函数 f( ) = 在 0 d = f ( ) Δ 可微时 0 可微问题总可以化为导数问题 () f( ) = 在 0 d = f ( ) Δ 的微分与导数的关系式 0 注记 4: 函数 f( ) = 在 0 可微一定连续, 但连续不一定可微
109 (1) 必要性的证明的分析 已知 f ( ) 在点 可微 0 由定义 Δ = A Δ + o( Δ) 要证明 函数 f ( ) 在点 可导, 且 A= f ( ). 0 0 Δ o( Δ) = A + Δ Δ Δ o( Δ) lim = lim A+ lim = A+ 0 = A Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 o( α) lim =0 α α 0
110 (1) 必要性的证明 证明 : 若 f ( ) 在点 0可微 由定义可得 Δ = A Δ + o( Δ) 因此 所以 Δ o( Δ) = A + Δ Δ Δ o( Δ) lim = lim A+ lim = A+ 0 = A Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 即函数 f ( ) 在点 0可导, 且 A = f ( 0 ).
111 () 充分性证明的分析 已知函数 f ( ) 在点 可导, 且 A= f ( ). 0 0 要证明 f ( ) 在点 0 可微 由定义 由注记 lim Δ 0 Δ Δ = A 由无穷小与 Δ AΔ αδ lim = lim = lim α = 0 Δ Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 极限的关系 Δ = A + α ( lim α = 0) Δ Δ 0 Δ = A Δ + α Δ
112 () 充分性的证明 证 : 若 f ( ) 在 0 可导 lim Δ 0 Δ Δ 由无穷小与极限的关系可得 因此 又 Δ 0时, 0. 且 A= f ( ). = A Δ = A Δ + α Δ 0 由导数的定义可得 Δ = A + α ( α 0) Δ α Δ α 因 α Δ 0 = α 0 Δ, 所以 α Δ = o( Δ ) 因此 f ( ) 在点 0 可微
113 一 函数微分的概念 注记 5: 利用微分与导数的关系求函数在某点微分的步骤 第一步 : 求导函数 f ( ) 第二步 : 求函数在某点的导数 f 0 ( ) 第三步代入公式 0 d = f ( ) Δ
114 例 1: 填空 1. 函数 = 在 1 = 处的微分. 3. 函数 = 当, 0.0 = Δ = 时的微分. 解. (1) 显然 ( ) = = 因此函数在 = 1处的导数 f (1) = 所以函数在 = 1处的微分 (1) 3 () 显然 ( ) d = f Δ = Δ = 3 = 因此函数在 = 处的导数 f () = 1 所以函数在 =, Δ = 0.0 处的微分 d = f () Δ = 1Δ = 0.4
115 一 函数微分的概念 定义 : 函数 = f ( ) 在任意点的微分称为函数的微分. 记作 d 或 df ( ). d = f ( ) Δ. 通常我们把自变量 的增量 Δ 称为自变量的微分. 记作 d 即 d d f ( ) d =. = Δ 因此 d 从而 = f ( ) d 即函数的微分 d 与自变量 的微分之商等于函数的导数. 因此导数也称为微商
116 函数微分的几何意义 当 Δ 是曲线 = f( ) 上的点的纵坐标 = f () d 的增量时, d 就是曲线的切线上点纵坐. Δ 的相应增量. 当 Δ 很小时, 在点 M 的邻近, 我们可以 用切线段来近似代替曲线段. 斜边 ds + = (d) (d) 称为弧微分 ds d d o α Δ d = f ( 0) Δ
117 二 基本初等函数的微分公式 (1) d (C)=0 ()d ( μ )=μ μ 1 d (3) d (sin )=cos d (4) d (cos )= sin d
118 二 基本初等函数的微分公式 (5) d(tan)=sec d (6) d (cot )= csc d (7) d (sec )=sec tan d (8) d (csc )= csc cot d
119 二 基本初等函数的微分公式 (9) d (a )=a ln a d ( a 0, a 1 > ) (10) d (e )=e d (11) ( ) 1 d ln = d( > 0) (1) ( ) 1 d log a = d( a 0, a 1, 0) ln a > >
120 二 基本初等函数的微分公式 1 d d 1 (13) ( arcsin ) = 1 d d 1 (14) ( arccos ) = 1 d = d 1 + (15) ( arctan ) 1 d = d 1 + (16) ( arc cot )
121 三 函数微分的运算法则 定理 1: 设函数 u = u( ), v = v( ) 在 处可微, 则 (1) d( u± v)=du± dv [ u± v] = u ± v () d( Cu)= Cdu(C 为常数 ) (3) d( uv) = vu d + uv d [ Cu] = Cu uv = u v + uv [ ] (4) u vdu udv d = ( v 0) v v u u v uv = ( v 0) v v
122 三 函数微分的运算法则 定理 设 = f( u), u = ϕ( ) 分别可微, 则复合函数 f( ϕ( )) = 的微分为 d = d = f ( u) ϕ ( )d
123 三 函数微分的运算法则 设 = f( ) 有导数 f ( ) 当 是自变量时 d = f ( ) d d = ϕ () t dt = f( ( t)) 的微分 当 是中间变量时 即 = ϕ() t d = dt = f ( ) ϕ ( t) dt t
124 三 函数微分的运算法则 设 = f( ) 有导数 f ( ) 不论 是中间变量还是自变量函数 = f( ) 的微分形式 总是 d = f ( ) d 一阶微分 形式不变形
125 如 : 导数 (sin ) = 三 函数微分的运算法则 cos (sin ()) t cos () t () t 微分 dsin = cos d dsin () t cos () t d() t = ( ) 形式变了 = ( ) 形式没有变化
126 四 函数微分的求法 方法一 : 求导法 : 即利用微分与导数的关系求函数 = f( ) 微分即 d = f ( ) d 方法二 : 微分法 : 利用一阶微分的形式不变性 基本初等函数的微 分公式及微分法则求函数 = f( ) 微分
127 四 函数微分的求法 例 1: sin( 1), = + 求 d 分析 : 利用求导法 (1) 利用复合函数的求导法则求出 () 利用 d = d求出 d 解 : 由复合函数的求导法则可得 = cos(+ 1) 因此 d = d = cos(+ 1)d
128 四 函数微分的求法 1 例 3 e cos, = 求 d 分析 : 应用微分法求 d 1 3 ( cos ) d= d e d( uv) = vu d + uv d 一阶微分的形式不变性 d cos = + cos de e d ( ) ( ) d = 3 cos d sin d e e 1 3 d( e ) = = d(sin ) = cos d e d(1 3 ) 3e d ( 3cos sin ) e 1 3 = + d
129 四 函数微分的求法 1 例 3 e cos, = 求 d 解 : 由积的微分法则及微分公式可得 ( ) d = cos = cos + cos d e de e d ( ) = cos e d(1 3 ) + e ( sin ) d ( ) ( ) = 3cos e d sin e d ( 3cos sin ) e 1 3 = + d
130 四 函数微分的求法 例 3: 设 sin cos( ) = 0, 利用一阶微分形式的不变性求 解 : 由一阶微分形式的不变性可得 d( sin ) d(cos( )) = 0 ( ) sin d+ d sin + sin( )d( ) = 0 从而 sin d+ cos d+ sin( )(d d ) = 0 故 d = cos + sin( ) sin( ) sin d 因此 d cos + sin( ) = = d sin( ) sin
131 四 函数微分的求法 例 4. 在括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d( ) = d () d( ) = coswtdt 解 : (1) 因为 d 即 ( ) d = 所以 d ( ) = 1 ( ) ( ) d = d = d d 一般地, 有 () 同理 d( C) d + = ( C 为任意常数 ). sin wt d( C) coswtd w + = ( C 为任意常数 ).
132 四 函数微分的求法 当 f 0 ( ) 0时, 由于 d f ( 0 ) = Δ, 所以 当 0 Δ 时, 0, Δ d 0. Δ Δ 1 Δ lim = lim = lim = 1 d f ( ) Δ f ( ) Δ Δ 0 Δ 0 Δ 因此当 Δ 0, Δ 与 d 是等价无穷小. 注记 6 : 设 f ( 0 ) 0, 当 Δ 很小时, Δ d 当 f 0 ( ) 0时, 我们称 d 是 Δ 的线性主部.
133 五 微分在近似计算中的应用 如果函数 = f( ) 在点 0 处的导数 f ( 0 ) 0则当 Δ 很小时, 我们有 Δ d=f ( 0 )Δ 即 Δ=f( 0 +Δ) f( 0 ) d=f ( 0 )Δ, 所以 f( 0 +Δ) f( 0 )+f ( 0 )Δ. 若令 = 0 +Δ, 即 Δ= 0, 那么又有 f() f( 0)+f ( 0 )( 0 ). 特别当 0 =0 时, 有 f() f(0)+f (0).
134 五 微分在近似计算中的应用 注记 7: f() f( 0)+f ( 0 )( 0 ). 使用原则 (1) f( 0 ), f ( 0 ) 容易计算 () Δ = 0 较小 注记 8: 求函数近似值的步骤 第一步 : 确定, 0 Δ 第二步 : 计算 f( 0) 第三步 : 求 f ( 0 ) 第四步 : 利用 f( 0 +Δ) f( 0 )+f ( 0 )Δ 求出近似值
135 五 微分在近似计算中的应用 0 例 8. 利用微分计算 sin 的近似值. 解已知 0 π π = + 因此设 π π f ( ) = sin, 0 =, Δ = π 显然 ( 1) 容易算出, 1 π f( 3 0 ) = f( ) =, f ( 0 ) = f ( ) = 6 6 π () Δ = 较小 360 因此 0 π π 1 3 π sin = f( ) + f ( ) Δ =
136 五 微分在近似计算中的应用 常用的近似公式 ( 假定 是较小的数值 ) α (1) (1 + ) 1+ α () sin ( 用弧度作单位来表达 ) 由 f() f(0)+f (0) 可以得到 (3) tan ( 用弧度作单位来表达 ) (4) e 1 + (5) ln(1 + )
137 部分考研原题 1. (05,4 分 ) 设 ) d = ( 1+ sin, 则 = π =..(0,3 分 ). 函数 f (u) 可导, = f ( ) 当自变量 在 = 1处取得增量 Δ = 0. 1 时, 相应的函数增量 Δ 的线性主部为 0.1, 则 (1) f =.
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
More information第五章 导数和微分
第五章导数和微分 一 学习要求 : 正确理解微商的概念 ; 知道微商的几何意义与物理意义 ; 3 掌握可导与连续的关系 ; 4 牢固掌握求导的四则运算公式 复合函数求导的法则和反函数求导的法则, 能迅速正确地求初等函数的导数 ; 5 熟悉基本初等函数的求导公式 ; 6 掌握隐函数的求导法, 对数求导法, 由参数方程确定的函数的求导法 ; 7 正确理解微分概念 ; 8 了解可微与可导的关系, 知道导数与微分的区别与联系
More information第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
More information幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
More informationf ( d ) = f( d ) f ( d ) = [ f( ) f( ) ] d B: 函数 Φ ( ) 在 (, + ) 上无极值点 (5) 若函数 f ( ) 在闭区间 [, ] 上都连续., 则下列说法不正确的是 ( ) A: f () 是 的函数 B: f () 是 的函数 f () 是
高等数学 第五章 - 定积分 练习题 (A) 一 判断正误题 :( 判断下列各题是否正确, 正确的划, 错误的划 ) n () + + + d n + = n n n () f ( d ) = f( udu ) () 若函数 f ( ) 在区间 (, + ) 上连续, c,, 为任意三个常数, 则 c f ( d ) = ( ) f d+ c f( d ) (5). () (6) sin d (7)
More information8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )
高等数学 试题 考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟 一. 选择题. 当 时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点 极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f
More information第2章
教学目的 : 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义 会求平面曲线的切线方程和法线方程 了解导数的物理意义 会用导数描述一些物理量 理解函数的可导性与连续性之间的的关系 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 熟练掌握基本初等函数的导数公式 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 了解高阶导数的概念 会求某些简单函数的 n 阶导数 4 会求分段函数的导数 5
More information1-2
第二节 微积分的研究对象 函数 主要内容 : 函数 基本初等函 数与复合函数 一 函数 常量 : 保持不变的量. 如常数 1-50 e π 变量 : 可以取不同值的量. 如 sin 中的, sin ln(1+ ) 中的, ln(1+ ) 定义 ( 传统定义 ) 如果在变化过程中有两个变量 y, 在 某个变化范围 X 内的每一确定的值, 按照某个对应法则 f, y 都有唯一确定的值与它对应, 那么 y
More information第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性, 间断点的分类, 闭区间上连续函数的性质 巩固练习 一 选择题 设 时, e cos n e 与 是同阶无穷小, 则 n 为 ( ) ( A) 4 ( B) 5 ( C ) 5 ( ) 设 时, 下列 4 个无穷小量中比其它 个更高阶的无穷小量是
目录 第一天... 第一天参考答案... 4 第二天... 7 第二天参考答案... 9 第三天... 第三天参考答案... 4 第四天... 7 第四天参考答案... 9 第五天... 第五天参考答案... 4 第六天... 6 第六天参考答案... 8 第七天... 第七天参考答案... 中公教育考研学员专用资料报名专线 :4-6-966 第一天 核心考点 极限的概念, 极限的计算, 连续性,
More information第一节 导数的概念
第 2 章一元函数微分学 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则与基本公式 2.3 高阶导数 2.4 微分及其计算 2.5 中值定理罗比塔法则 2.6 函数的单调性与极值 2.7 微分在经济中的应用 1 2.1 导数概念 2.1.1 导数概念的实例 切线问题 如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线. 极限位置即 MN,
More information第八章不定积分 1 不定积分概念与基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法
第八章不定积分 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法, 乘法有其逆运算除法一样, 微分法也有它的逆运算 积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何中从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是 : 求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数. 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 例如 : 已知速度求路程
More information定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
More information第二章 导数与微分
第二章 导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分, 它的基本概念是导数和微分 本章主要介绍导数的概念 基本的求导公式与运算法则以及与导数密切相关的微分概念 第一节导数概念 在实际生活中, 经常需要了解函数相对于自变量变化而变化的快慢问题, 即函数的变化率 导数就是描述变化率的一个重要的数学概念 牛顿从求变速直线运动瞬时速度出发, 莱布尼兹 从求曲线上一点的切线出发, 分别给出了导数的概念. 一 变化率先介绍三个引例
More information第二节 换元积分法
第二节 换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 小结 思考题 一 第一类换元法 问题 cos d ( )sin C, 解决方法利用复合函数, 设置中间变量. 过程令 cos d d d, sin cos d C sin C. 在一般情况下 : 设 F ( u) f ( u), 则 f ( u)d u F( u) C. 如果 u () ( 可微 ) d F[ ( )] f [ ( )] (
More informationMicrosoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
More information第一节 导数的概念
第 章一元函数微分学 导数的概念 导数的运算法则与基本公式 3 高阶导数 4 微分及其计算 5 中值定理罗比塔法则 6 函数的单调性与极值 7 微分在经济中的应用 导数概念 导数概念的实例 切线问题 如图 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的 o 切线 极限位置即 MN NMT 设 M 割线 MN 的斜率为 tan 沿曲线 C N M 切线
More informationPowerPoint Presentation
第一章函数的极限与连续 一 函数及其性质二 极限三 函数的连续性 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 第一节函数及其性质 一 函数的概念 二 函数的性质 一 函数的概念 ( 一 ) 区间与邻域 1. 区间 研究函数时, 常常要用到区间的概念. 设 a, br 且 a b, 规定 : 开区间 ( a, b ) a b 闭区间 [ a, b ] a b 右半开区间 左半开区间 [
More information【考研帮】2017寒假数学作业
考研帮 7 寒假数学作业 考研帮说 寒假是备考的重要时间段, 对于考研数学来说, 适当的练习必 不可少 每天抽一点时间来完成寒假数学作业吧! 帮帮为你准备了前 5 天的数 学作业, 每天的题目后都附有答案哦 第一天. 设 lim, lim y, lim A. 则下列命题中正确的是 ( ). z (A) lim ( y ). (B) lim ( z ). y (C) lim ( y ). (D) lim
More information一、选择:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
More information三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -
微分中值定理与导数的应用答案 一 选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二 填空题 ; (, )
More information设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î
复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一 复合函数的求导法则 二 复合函数的全微分 返回 设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y
More informationd. 两个无穷小的比较 4. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5. 用泰勒公式 ( 比用等价无穷小更深刻 )( 数学一和数学二 ) f() 设 limf()=0,limg()=0, 且 lim=l g (1)l=0, 称 f() 是比 g() 高阶的无穷小, 记以 n 当 0 时,e=1+++Λ+
高数总结 考研数学知识点 - 高等数学一. 函数的概念 1. 用变上 下限积分表示的函数 (1)y= ()y= 连续, 则公式 1.lim sin =1 0 n u f(t)dt, 其中 f(t) 连续, 则 1 dy =f() d ϕ()f(t)dt, 其中 ϕ(),ϕ() 可导,f(t) 1 ϕ() 1 1 公式.lim 1+ =e;lim 1+ =e; n u n u lim(1+v)=e v
More informationuntitled
+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
More information. 0 C.1 8. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在.9. ( ). A.0 1 C 在时为 ( ). A. 无穷大量 ; 无穷小量 ; C. 极限存在, 但极限值不为零 ; 极限不存在, 但不为无穷大量 ; 11. 下面各组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. ;
专升本高等数学复习题库 ( 一 ) 一 单项选择题 1. 求的极限 () A.24 12 2. ( ). A.1 3. 函数是 ( ). A. 偶函数 ; 奇函数 ; C. 单调函数 ; 有界函数 4. 函数是 ( ) 函数. A. 单调 有界 C. 周期 偶 5. 设, 则 ( ). A.-1 2 C.0 不存在 6. 求的极限 () A.1 C.0 2 7. 求的极限 ( ) . 0 C.1 8.
More information一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v
第五章导数和微分 1 导数的概念 一 导数的概念二 导函数三 导数的几何意义 一 导数的概念 1 导数的概念 1. 引言问题 1 瞬时速度设一质点作直线运动, 其运动规律为 s=s(t), 若 t 为某一确定的时刻,t 为邻近于 t 的时刻, 则 s( t) s( t ) t t 是质点在时间段 [t, t]( 或 [t,t ]) 上的平均速度, 若 t t 时平均速度 v 的极限存在, 则称极限
More information7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )
8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数
More informationuntitled
arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
More information第4章
第四章 不定积分 教学目的 : 理解原函数概念 不定积分的概念 掌握不定积分的基本公式 掌握不定积分的性质 掌握换元积分法 第一 第二 与分部积分法 会求有理函数 三角函数有理式和简单无理函数的积分 教学重点 : 不定积分的概念; 不定积分的性质及基本公式; 换元积分法与分部积分法 教学难点 : 换元积分法; 分部积分法; 三角函数有理式的积分 忻州师范学院高等数学课程建设组 不定积分的概念与性质
More information数学分析考研辅导班讲义4.doc
数学分析考研辅导讲义第四章 - 9 - 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法.
More information1 导数和微分的概念 导数和微分的定义 1 导数和微分的概念 考虑函数 y = 在 x 0 的邻域内有定义 当 x x 0 时, 记 x = x x 0 ; y = f(x 0 ). 定义 1.1. 若函数 y = 在其定义域中的一点 x 0 处极限 y x x 0 x = f(x 0
第三章一元微分学 2017 年 11 月 2 日 目录 1 导数和微分的概念 2 1.1 导数和微分的定义..................................... 2 1.2 导数的几何意义...................................... 2 1.3 单侧导数.......................................... 3 2 导数的计算
More information( )
( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................
More information一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
More information参考文献:
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
More information定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g() 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iv)
柯西中值定理和不定式极限 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理, 本节用它来解决求不定式极限的问题. 一 柯西中值定理二 不定式极限 返回 定理 6.5( 柯西中值定理 ) 设函数 f (), g() 在区间 (iii) f ( ) + g ( ) > ; 一 柯西中值定理 [ a, b] 上满足 : (i) f(), g() 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) f(), g()
More informationSuccessful ways to cultivate high quality personnel for exhibition industry
不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数 F() 求
More information. 微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjr.bitbucket.io)
微积分课程 微积分 2 复习 2019 年 5 月 2 日 暨南大学数学系 吕荐瑞 (lvjrbitbucketio) 第五章不定积分 第六章定积分 第七章无穷级数 第八章多元函数 第九章微分方程 5 6 7 8 9 积分公式大全 (1) 1 d = + C (2) d = 1 + 1 +1 + C 1 (3) d = ln + C (4) d = ln + C (5) e d = e + C 5
More information2006ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
考研资料下载中心 hp://download.kaoan.com 6 年全国硕士研究生入学考试数学 ( 二 ) 一 填空题 + 4sin () 曲线 = 的水平渐近线方程为. 5 cos sin d,, () 设函数 f ( ) = 在 = 处连续, 则 a =. a, = + d () 广义积分 =. ( + ) ( ) (4) 微分方程 = 的通解是. d (5) 设函数 = ( ) 由方程 =
More information一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh e e 双曲余弦 : h sh e 双曲正切 : h h e sh l h l h l e e si lim lim e 三角函数公式 : 三角函数 : 正弦函数 si ; 余弦函数 ; si 正切函数 ;
高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g l log l s s se se s se si g g sh h h sh g g g g l l s s se se s si se g g g g g si l l l s s l se se l si l I I si l l si 一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh
More information2-2
第二节 函数极限 主要内容 : 一 函数极限的概念二 无穷大量与无穷小量三 极限的四则运算及两个重要极限 一 时 ( 自变量趋于有限数 ) ( ) f ( ), 把 值 f( ) 列表 : 附近的自变量 与它对应的函数.9.98.99.999.... f ()=+.9.98.99.999.... 当 从 的左右近旁越来越接近于 时, 函数 f( ) 越来越接近于, 并且要多接近就会有多接近. 当 无限变小时,
More information<4D F736F F D2036A1A BFBCD1D0CAFDD1A7B6FED5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF6A3A8CEC4B6BCB0E6A3A9>
8 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析 ( 文都版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.. 若 lim(e + a + b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b.. a, b. 答案 :(B) e + a + b e + a + b 解析 : lim( e + a + b )
More information01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
More information<4D F736F F D BFBCD1D0CAFDD1A7B6FED5E6CCE2BCB0B4F0B0B8BDE2CEF65FCDEAD5FBBEABD7BCB0E65F>
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析 ( 完整精准版 来源 : 文都教育 一 选择题 :~ 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ( 当 α α 时 若 l ( (- cos 均是比 高阶的无穷小 则 α 的取值范围是 ( (A( (B( (C( (D( 解析 当 α 时 l ( ~ ( α 由 α > 且 >
More informationMicrosoft Word - 数二答案
数二测试答案 一 选择题 ( 本题共 8 小题, 每小题 分, 满分 分, 每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 5 6 7 8 C A C B A () 当 时, 下面 个无穷小量中阶数最高的是 (A) + (B) + 5 + 5 (C) 答案 () ln( ) ln( ) + () cos sin t dt 解析 (A) 项 : 当 时, +
More information17 无穷小量的比较 18 无穷大量及其与无穷小量的关系 19 函数极限与无穷小量的关系 20 函数的连续性 21 函数的间断点 22 连续函数的和 差 积 商及复合的连续性 23 初等函数的连续性 24 闭区间上连续函数的性质 ( 二 ) 考试要求函数是数学中最重要的基本概念之一, 它是客观世界中
福建省高校专升本统一招生考试 高等数学 考试大纲 一 考试范围 第一章 函数 极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 微分学及应用 第四章 一元函数积分学 第五章 空间解析几何 第八章 常微分方程 第一章函数 极阻与连续 1 一元函数的定义 2 函数的表示法( 包括分段表示法 ) 3 函数的简单性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 反函数及其图形 5 复合函数 6 基本初等函数与初等函数( 包括它们的定义
More information南京农业大学课程教学大纲格式与要求
微积分 I A 教学大纲 一 基本信息 课程名称 微积分 ⅠA 课程编号 MATH2113 英文名称 Calculus I A 课程类型 通识教育选修课 总学时 90 理论学时 90 实验学时 实践学时 学 分 5 预修课程 初等数学 适用对象 工科类 内容包含 : 第一部分为一元函数微分, 即函数 极限与连续 导数与微分 微分中值 课程简介 定理及导数的应用 ; 第一部分为一元函数微积分, 不定积分与定积分计算方法与应用
More information第五章 不定积分
第四章不定积分 在微积分学 微分学和积分学 中 积分与微分互为逆运算 第二章中 我们讨论了如何求一个函数 的导数问题 但是在实际问题中 常常会遇到相反的问题 即已知函数的导数求原来的函数 例如 在经 济分析中 往往已知产品的边际成本 m 求产品的总成本函数 ; 已知产品的边际收益 R m 求产品的总收益函数 R 等等 这是积分学的基本问题之一 本章介绍不定积分的概念 性质及求不定积分的基本方法 第一节不定积分的概念与性质
More information函数在一点处极限的定义 左 右极限及其与极限的关系 趋于无穷 (,, ) 时函数的极限四则运算法则夹逼准则 () 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义无穷小量的性质无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 的关系 () 两个重要极限 sin lim, lim( ). 要求 () 了解极限的概念 (
西北工业大学网络教育学院 招生考试专科起点本科高等数学复习大纲 ( 第七版 ) 总体要求考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念
More informationchap1
第章 函数 极限 连续. 函数概念. 常用经济函数.3 极限概念.4 极限的运算.5 无穷小量与无穷大量.6 函数连续 . 函数概念.. 函数的概念.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母, y, t等表示变量. 变量的取值范围称为变域 若为区间 则变量 是连续变量 否则为离散变量. 如 物理中自由落体的 距离s与时间
More informationPowerPoint Presentation
第一章主要内容 一 极限 定义 : 运算法则 : 四则运算 复合函数 3 性质 : 有界性 唯一性 3 保号性 4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 5 lim A A α, 其中 lim α 4 无穷小量的阶 : 5 求极限的方法 : 定义, 运算法则及性质 ; 夹逼定理 ; 3 单调有界原理 求数列极限 ; 4 单侧极限与极限的关系 ; 5 两个重要极限 : si lim lim e lim
More information例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
More information<4D F736F F D20342DA3A8C5C5B0E6A3A9D7A8C9FDB1BEB8DFB5C8CAFDD1A7B8A8B5BCC5C5B0E6202E646F63>
西北工业大学现代远程教育专升本入学测试高等数学复习大纲 ( 第八版 ) 总体要求 考生应按本大纲的要求, 了解或理解 高等数学 中函数 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 排列与组合 概率论初步的基本概念与理论 ; 学会 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法. 应注意各部分知识的结构及知识的内在联系 ; 应具有一定的抽象思维能力 逻辑推理能力 运算能力 ; 能运用基本概念 基本理论和基本方法准确地计算
More informationuntitled
f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
More information2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0<x<1},B={x R x (2x-1)>0}, 则 A B=( )
2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0
More informationA. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求
微分中值定理与导数的应用练习题 一 选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数 在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b,
More informationuntitled
4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
More informationuntitled
998 + + lim =.. ( + + ) ( + + + ) = lim ( ) = lim = lim =. lim + + = lim + = lim lim + =. ( ) ~ 3 ( + u) λ.u + = + + 8 + o = + 8 + o ( ) λ λ λ + u = + λu+ u + o u,,,! + + + o( ) lim 8 8 o( ) = lim + =
More informationNLGS.s10
社 心 版 中 出 学 出版 cn 科 术 k. 技 boo 教.a 职 ww w 全国高等农林院校面向 世纪规划教材 高等数学 李任波丁琨主编 北京 内容简介 本书是根据教育部高等农林院校本科高等数学 ( 少学时 ) 教学基本要求 ( 试行 ) 编写的, 既有编者多年直接从事一线教学的经验, 又结合了西部高等农林院校本科教学的特点, 具有较强的针对性. 本书内容为 : 函数与极限 导数与微分 中值定理与导数的应用
More information一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导 ; (iii) f(a) = f(b). 那么在开区间 (a, b) 内必定 ( 至少 ) 存在一
拉格朗日定理和函数的单调性 中值定理是联系 中值定理, 就可以根据 质来得到 f 在该区间上的整体性质. f 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性的判别 f 与 f 的桥梁. 有了 在区间上的性 返回 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.( 罗尔中值定理 ) 设函数 f ( ) 在区间 [ a, b] 上满足 : (i) 在闭区间 [a, b] 上连续 ; (ii) 在开区间 (a, b)
More information南京农业大学课程教学大纲格式与要求
微积分 I B 教学大纲 一 基本信息 课程名称 微积分 I B 课程编号 MATH2110 英文名称 Calculus I B 课程类型 学科基础课 总学时 90 理论学时 90 实验学时 实践学时 学 分 5 预修课程 初等数学 适用对象 经管类各专业 本课程是经济 管理 金融等各专业的一门必修课, 其任务是使学生掌握必备的数学方 课程简介 面的基本理论 基本知识和基本技能, 培养学生的运算能力
More information试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
More information2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限,
More information2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷
文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,
More information作者 : 闫浩 年 月 同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出 为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c
作者 : 闫浩 年 月 / 微积分 B 第二次习题课参考答案 第六周 一 隐函数求导 方向导数与梯度. 设函数 是由方程 确定的 则函数 在点 的微分 d 答 : d d d 设方程 可以确定隐函数 求 d d d d. 本题不用解出最终答案 会解题过程就可以. 解 : d d d d d d d d d d d d. v 求 v 解 : v 和 的函数关系由方程组 v 确定 由隐函数微分法得到两个方程对于
More informationPowerPoint 演示文稿
多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
More information考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80 房 间 804 房 间 805 房 间 70 房 间 70 房 间 70 第 七 层 房 间 704 房 间 7
第 0 章 超 级 导 读 ( 必 看 ) 本 书 共 8 章, 此 章 虽 不 讲 具 体 的 知 识 点, 但 其 地 位 是 相 当 重 要 的 因 此, 强 烈 建 议 大 家 阅 读 本 章 的 内 容 考 研 数 学 三 部 曲 之 大 话 高 等 数 学 0. 考 研 数 学 高 等 数 学 部 分 其 实 就 是 一 座 大 楼 房 间 80 房 间 80 第 八 层 房 间 80
More information高等数学 积分表 公式推导
高等数学 积分表 公式推导 目 录 一 含有 的积分 ~9 二 含有 的积分 ~ 5 三 含有 的积分 9~ 9 四 含有 的积分 ~ 五 含有 的积分 9~ 六 含有 的积分 ~ 5 七 含有 的积分 5~5 八 含有 的积分 59~7 7 九 含有 的积分 7~7 十 含有 或 的积分 79~ 5 十一 含有三角函数的积分 ~ 55 十二 含有反三角函数的积分 其中 ~ 6 十三 含有指数函数的积分
More informationPowerPoint Presentation
西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
More informationlim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
More information0103 收敛数列的性质 (40 分钟 ) 唯一性 有界性 保号性 * 收敛数列与其子数列的关系 0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念 (40 分钟 ) 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 自变量趋于无穷大时函
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 上册 ) 知识点的细分目录第一章函数 极限与连续 (01) ( 注 : 以下括号内的时间为建议的视频讲课时间, 不包括讲习题的时间 ) 0101 函数 (80 分钟 ) 010101 函数的概念
More informationRemark:随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
More information5 551 [3-].. [5]. [6]. [7].. API API. 1 [8-9]. [1]. W = W 1) y). x [11-12] D 2 2πR = 2z E + 2R arcsin D δ R z E = πr 1 + πr ) 2 arcsin
38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
More information湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
More information2014高联高级钻石卡高等数学学习计划
高联学员寒假前后数学计划 特别提醒 : 在考研数学中, 高等数学占到总分 56% 分值, 高数上册又是整个高数中的重中之重 寒假期间的复习宜少而精 高联教育集团数学教研室建议学员能在寒假前后这段把高等数上册前四章根据大纲要求将知识点和章节课后题做熟 吃透即可, 为年后跟上数学基础班打下坚实基础 高联免费配发资料 ( 电子版 ): 考研数学知识分布图 ; 学员自备资料 : 同济大学数学系编写 ; 高等教育出版社
More information高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定
高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903 课程名称 : 高等数学 C1 学时 / 学分 : 48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易 物流管理 人力资源管理等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 高等数学 C1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510308903
More information目 录 第 I 部分函数极限连续...2 第 1 讲函数...2 一 函数的基本概念...2 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 2 讲数列极限...10 一 数列极限的概念...10 二 数列极限的性质...10 三 收
目 录 第 I 部分函数极限连续... 第 讲函数... 一 函数的基本概念... 二 常见的函数类...3 三 函数的构造方法...4 四 函数的基本性质...6 五 常用的重要公式...7 第 讲数列极限... 一 数列极限的概念... 二 数列极限的性质... 三 收敛准则... 四 数列极限的运算法则... 重点问题归纳... 第 3 讲函数极限...3 一 函数极限的概念...3 二 函数极限的性质...3
More information2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
More information微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际经济与贸易等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 审定 :
微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 / 学分 : 60/4 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 会计学 国际贸易与经济等专业开课教研室 : 大学数学教研室 执笔 : 庄乐森 审定 : 王仁举赵国喜 微积分 ( 一 ) 教学大纲 1 (2010 版 ) 课程编码 :110859 课程名称 : 微积分学时 /
More informationMicrosoft Word - 中山大学历年考研试题-数学分析(1999~2010)
中山大学历年考研试题 - 数学分析 (999-) 中山大学 年硕士研究生入学考试试题 考试科目 : 数学分析科目代码 :65 一 ( 每小题 6 分, 共 48 分 ) () 求极限 lim ( ) ( ) ; () 求不定积分 ma(,) d ; si t () 已知 f ( ) dt, 求定积分 ( ) t f d ; (4) 求二元函数极限 lim( ) ; (5) 求二次积分 d e d ;
More information<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63>
中值定理题型 题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题 例题 设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答 由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题 设 二阶连续可导 且 又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答 由泰勒公式得 h h h! 其中 位于 与 h 之间 于是 θh h h h! 或 θh θh
More informationGZGS.s92
科学出版社职教技术出版中心 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 高等数学 王晓宏主编 北京 内容简介本书是高等教育 十一五 规划教材. 全书借鉴了近年来国内外先进职业教育理念, 突出了职业教育的特点, 注重学生数学素养 计算能力和应用迁移能力的培养. 本书内容包括极限与连续 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及应用 常微分方程 二元函数的微积分 级数 线性代数 概率与统计初步等.
More informationuntitled
1 2.1 ΔP r n n r ΔV ΔS ΔF r V s r f lim ΔV 0 r ΔF ρδv m/s 2 2 2 ΔP r n n r ΔV ΔS ΔF r V s r n lim Δ S 0 r ΔP ΔS n Pa 3 lim ΔS 0 r ΔP ΔS B ΔS ΔP r s 4 2 r f 1 ρ δ δδ 6 δ n δ O δ B 1 δδ 2 1 δδ 2 A 5 3 1
More information高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 : 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技
高等数学 E1 教学大纲 (2013 版 ) 课程编码 :1510310503 课程名称 : 高等数学 E1 学时 / 学分 :48/3 先修课程 : 初等数学 立体几何 平面解析几何 适用专业 : 机械设计制造及其自动化 材料成型及控制工程 车辆工程 化学工程与工艺 制药工程 化学 计算机科学与技术 物理学 电子信息科学与技术 生物技术 园林 土木工程 交通工程等理工专业开课教研室 : 大学数学教研室
More information5 注意如果定理的三个条件有一个不满足, 则定理的结论就不一定成立. 经济数学 ( 第三版 ).. 拉格朗日中值定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; () 在开区间 ( a, b ) 内可导, 则在 ( a, b ) 内至少存在一点 ξ, 使得 f (
第 章中值定理与导数的应用 本章学习目标 了解中值定理的条件和结论, 特别是拉格朗日中值定理 理解洛必达法则及其应用条件, 会用洛必达法则求相应的极限 了解函数与曲线的对应关系, 掌握函数的增减区间与极值的求法 掌握曲线的凹凸区间与拐点的判别方法 会求曲线的渐近线, 知道描绘函数图形的基本步骤 知道导数在经济中的一些简单应用. 中值定理.. 罗尔定理 设函数 f ( ) 满足条件 : () 在闭区间
More information2009ÄêÈ«¹ú˶ʿÑо¿ÉúÈëѧͳһ¿¼ÊÔÊýѧ¶þÊÔÌâ
9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当 时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b)
More information第六章 微分中值定理
第六章微分中值定理及其应用 在这一章里 讨论了怎样由导数 的已知性质来推断函数质. 微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具. 一 拉格朗日中值定理. 罗尔定理 定理设函数 在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 iii b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ. 所应具有的性 几何意义 : 在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端高度相同 则至少存在一条水平切线.
More informationPowerPoint Presentation
一 主要内容 Cuchy 中值定理 F 洛必达法则 型 g g g 型 型 令 y 取对数 g g 型 g 型 Lgrnge 中值定理 n Tylor 中值定理 Rolle 定理 常用的泰勒公式 导数的应用单调性 极值与最值 凹凸性 拐点 函数图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 7 年 8 月南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 罗尔中值定理 罗尔 Rolle 定理如果函数 在闭区间 [ ] 上连续
More information2016考研数学三线性代数题目及试题答案
6 考研数学三真题及答案解析 来源 : 文都教育 () 设函数 f ( ) 在 ( ) 内连续 ; 其导数如图所示 则 ( ) (A) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (B) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (C) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 (D) 函数有 个极值点 曲线 f ( ) 在 个拐点 解析 : 导函数图形如图极值的怀疑点为 : a b
More information内 容 简 介 本书是与方桂英 崔克俭主编的 十二五 普通高等教育本科国家级规划教材 高等数学 第三版 相配套的学习指导书 主要作为本课程的课后复习和提高之用 本书按章编写 每章包括内容概要 学习目标 释疑与典型例题解析 习题选解 测验题与答案 本书切合实际 注重提高学生对高等数学的基本概念 基本定
十二五 普通高等教育本科国家级规划教材配套辅导 高等数学学习指导 方桂英 崔克俭 主编 北 京 内 容 简 介 本书是与方桂英 崔克俭主编的 十二五 普通高等教育本科国家级规划教材 高等数学 第三版 相配套的学习指导书 主要作为本课程的课后复习和提高之用 本书按章编写 每章包括内容概要 学习目标 释疑与典型例题解析 习题选解 测验题与答案 本书切合实际 注重提高学生对高等数学的基本概念 基本定理 基本计算方法与数学思想的理解与应用
More information标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
More information学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可
学年冬学期 资料白皮书 科目 : 微积分 出版单位 : 丹青学业指导中心 出版时间 : 年 月 学年冬学期 国奖采访记录 问 : 平时复习吗? 答 : 没有特意的复习, 真正开始复习是在考试前一个月, 所以要调整好时间. 问 : 复习的建议? 答 :. 刷题还是有用的, 也是必须的.. 如果刷题的话, 先刷课后的题目, 把老师布置的都做一遍, 把例题都看懂. 其实数学只要掌握了模式, 题都是可以变化的.
More information标题
知识目标 理导数与微分的概念及其本质含义. 了导数的几何意义 物理意义 经济意义等. 正确使用导数与微分的基本公式. 能力目标 能利用导数与微分的运算法则决简单的计算问题. 协作完成本单元相关的实际问题. 素质目标 对实际问题中量的变化快慢有一定的理. 课前准备 做好预习, 搜集本单元相关资料. 课堂学习任务 单元任务 2 易拉罐最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 ( 例如容量为 355
More informationA
工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...
More information11IY2.mps
第 3 章 导 数 与 微 分 学 习 指 导 与 训 练 导 数 和 微 分 是 微 积 分 学 的 重 要 概 念. 导 数 刻 画 的 是 函 数 相 对 于 自 变 量 的 变 化 快 慢 程 度, 而 微 分 则 给 出 自 变 量 有 微 小 改 变 量 时 函 数 改 变 量 的 近 似 值. 本 章 着 重 对 导 数 与 微 分 的 基 本 概 念 基 本 运 算 及 基 本 应
More information第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&'' 续函数的性质 在 上必取得最大值 % 和最小值 * 如果 %* 则 在 上恒等于常数 % 因此 对一切 都有 定理自然成立 若 %* 由于 因此 % 和 * 中至少有一个不等于 不妨设 %! 设 *! 证明完全类似 则 应在 内的某一点 处达到最大值
第 章 微分中值定理与导数的应用!"$ %&& 本章将利用函数的导数这一有效工具来研究函数自身所应具有的性质 首先 介绍微分中值定理 然后 运用微分中值定理 介绍一种求未定式极限的有效方法 洛必达法则 最后 运用微分中值定理 通过导数来研究函数及其曲线的某些性态 并利用这些知识解决一些实际问题 微分中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 因而称为中值定理 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础
More information目 录 目 录 第一章 函 数 集合 函数 初等函数 第二章 极限与连续 极限的定义 无穷小量与无穷大量 极限的运算法则 极限存在准则 函数的连续性 第三章 导数与微分 导数的概念 求导法则与导数公式 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 微分 第四章 中值定理与导数的应用 微分中值定理
目 录 目 录 第一章 函 数 集合 函数 初等函数 第二章 极限与连续 极限的定义 无穷小量与无穷大量 极限的运算法则 极限存在准则 函数的连续性 第三章 导数与微分 导数的概念 求导法则与导数公式 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 微分 第四章 中值定理与导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性和极值 函数的凹凸性及拐点 函数形的描绘 平面曲线的曲率 第五章 不定积分
More information第8章
教学目的 : 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义 了解二元函数的极限与连续性的概念 以及有界闭区域上的连续函数的性质 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在的必要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法 5 掌握多元复合函数偏导数的求法 6 会求隐函数 包括由方程组确定的隐函数 的偏导数 7 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念
More information一 根据所给图表,回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
More information作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时 注意此方程右端是两个函数 和 cos 之和 所以需要分别求出方程 程的一个特解. 的特解 和 解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程 程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c
More information内 容 简 介本书按内容分七个模块 前五个模块包括函数与极限 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分 另两个模块为拓展内容 内容是概率与统计简介 矩阵及矩阵运算简介 附录中节选了竞赛题供学生和教师参考 本书保持传统高等数学的知识点 同时紧扣高职高专的培养目标 借助图像 将抽象的数学知识生动 直观地
高等职业教育 十二五 规划教材 高职高专经济应用数学 步金芳 宋新红 主编刘金民 毛亚娟 秦 华 副主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介本书按内容分七个模块 前五个模块包括函数与极限 导数与微分 导数的应用 不定积分 定积分 另两个模块为拓展内容 内容是概率与统计简介 矩阵及矩阵运算简介 附录中节选了竞赛题供学生和教师参考 本书保持传统高等数学的知识点 同时紧扣高职高专的培养目标
More information