高等数学

Transcription

1 高等数学公式手册 二〇〇六年七月

2 导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g og s s s s s s si g g ± ± sh h h sh g g g g s s s s s si s g g g g g si s s s s si I I si si

3 一些初等函数 : 两个重要极限 : 双曲正弦 : sh 双曲余弦 : h sh 双曲正切 : h h sh h ± h si im im 三角函数公式 : 诱导公式 : 函数角 si g g - -si -g -g 9 - si g g 9 -si -g -g 8 - si - -g -g 8 -si - g g si g g 7 - si -g -g 6 - -si -g -g 6 si g g 和差角公式 : 和差化积公式 : si ± si ± si si si si ± m si si g ± g si si si g ± m g g g g m g ± g ± g si si

4 倍角公式 : 半角公式 : si si si si si ± ± ± ± g g 正弦定理 : B si si si 余弦定理 : 反三角函数性质 : g g si 高阶导数公式 莱布尼兹 ii 公式 :!! 中值定理与导数应用 : 时 柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 当柯西中值定理 : 拉格朗日中值定理 : ξ ξ ξ si si si g g g g si si si si g g g g g g

5 曲率 :. ;. im s :. K K s s K s K g s s 的圆 : 半径为直线 : 点的曲率 : 弧长 : 点 切线斜率的倾角变化量 ; 点到从平均曲率 : 其中弧微分公式 : 定积分的近似计算 : ] ] 抛物线法 : 梯形法 : 矩形法 : 定积分应用相关公式 : m m s W 均方根 : 函数的平均值 : 为引力系数引力 : 水压力 : 功 :

6 空间解析几何和向量代数 : 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 : 例 : 线速度 : 两向量之间的夹角 : 是一个数量与轴的夹角 是向量在轴上的投影 : 空间点的距离 : ].. si w j i j j j B B B j 马鞍面 双叶双曲面 : 单叶双曲面 : 双曲面 : 同号 抛物面 : 椭球面 : 二次曲面 : 参数方程 : 其中空间直线的方程 : 平面外任意一点到该平面的距离 : 截距世方程 : 一般方程 : 其中 点法式 : 平面的方程 : }; { } { m m s m B B B B B

7 多元函数微分法及应用 隐函数 隐函数隐函数的求导公式 : 时 当多元复合函数的求导法 : 全微分的近似计算 : 全微分 : ] ] J J J J J 隐函数方程组 : 微分法在几何上的应用 : } { } { T 过此点的法线方程 : 过此点的切平面方程 : 过此点的法向量 : 则 : 上一点曲面则切向量若空间曲线方程为 : 处的法平面方程 : 在点处的切线方程 : 在点空间曲线 ω ω ω

8 方向导数与梯度 : 在上的投影 是单位向量 为方向上的 其中它与方向导数的关系是 : 的梯度 : 在一点函数为轴到方向的转角 其中沿任一方向的方向导数为 : 在一点函数 j i j i g si g g si 多元函数的极值及其求法 : < > < > 不确定时时 无极值为极小值为极大值时 则 : 令 : 设 B B B B 重积分及其应用 : > o I I } { si 其中 : 的引力 : 平面 对轴上质点平面薄片 位于对于轴平面薄片的转动惯量 : 对于轴平面薄片的重心 : 的面积曲面

9 柱面坐标和球面坐标 : I I I si si si si si si si si si 转动惯量 : 其中重心 : 球面坐标 : 其中 : 柱面坐标 : 曲线积分 : < ] s 特殊情况 : 则 : 的参数方程为 : 上连续 在设第一类曲线积分 对弧长的曲线积分 :

10 通常设的全微分 其中 : 才是二元函数时 在二元函数的全微分求积 : 减去对此奇点的积分 注意方向相反! 应 注意奇点 如 内具有一阶连续偏导数 且在 是一个单连通区域 ; 平面上曲线积分与路径无关的条件 : 的面积 : 时 得到 即 : 当格林公式 : 格林公式 : 上积分起止点处切向量的方向角 分别为和 其中两类曲线积分之间的关系 : 则 : 的参数方程为设第二类曲线积分 对坐标的曲线积分 : } ] ] { s 曲面积分 : ± ± ± s s ] ] ] ] γ 两类曲面积分之间的关系 : 取曲面的右侧时取正号 取曲面的前侧时取正号 ; 取曲面的上侧时取正号 ; 其中 : 对坐标的曲面积分 : 对面积的曲面积分 :

11 高斯公式 : < s s s s s i... i i 因此 高斯公式又可写成 : 通量 : 则为消失即 : 单位体积内所产生的流体质量 若散度 : 高斯公式的物理意义 通量与散度 : γ ν ν γ 斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系 : Γ Γ Γ Γ s 的环流量 : 沿有向闭曲线向量场旋度 : 空间曲线积分与路径无关的条件 : 上式左端又可写成 : j i o γ 常数项级数 : 是发散的调和级数 : 等差数列 : 等比数列 :

12 级数审敛法 : 正项级数的审敛法 根植审敛法 柯西判别法 : < 时 级数收敛 设 : im 则 > 时 级数发散 时 不确定 比值审敛法 : U 设 : im U 定义法 : s 交错级数 < 时 级数收敛 则 > 时 级数发散 时 不确定 ;im s 存在 则收敛 ; 否则发散 或 > 的审敛法 莱布尼兹定理 : 如果交错级数满足 那么级数收敛且其和 s 其余项 的绝对值 im 绝对收敛与条件收敛 : 其中 为任意实数 ; 如果 收敛 则 肯定收敛 且称为绝对收敛级数 ; 如果 发散 而 收敛 则称 为条件收敛级数 调和级数 : 发散 而 收敛 ; 级数 : 收敛 ; 时发散 级数 : > 时收敛

13 幂级数 : im > < < 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 : 设称为收敛半径 其中时不定时发散时收敛 使数轴上都收敛 则必存在 如果它不是仅在原点收敛 也不是在全对于级数时 发散时 收敛于 函数展开成幂级数 :!! im!!! 时即为麦克劳林公式 : 可以展开成泰勒级数的充要条件是 : 余项 : 函数展开成泰勒级数 : ξ 一些函数展开成幂级数 :! 5!! si!! 5 < < < < m m m m m m m 欧拉公式 : si si i i i i i i 或

14 三角级数 : 上的积分 任意两个不同项的乘积在正交性 : 其中 ] si si si si si si ω ω 傅立叶级数 : 是偶函数 余弦级数 : 是奇函数 正弦级数 : 相减 相加 其中 周期 si si si si 周期为 的周期函数的傅立叶级数 : si si 其中 周期

15 微分方程的相关概念 : 一阶微分方程 : 可分离变量的微分方程 : 一阶微分方程可以化为 g g 齐次方程 : 一阶微分方程可以写成 即写成的函数 解法 : 设 则 分离变量 积分后将代替 即得齐次方程通解 或 得 : 称为隐式通解 的形式 解法 : 一阶线性微分方程 : 一阶线性微分方程 : 当 时 为齐次方程 当 时 为非齐次方程 贝努力方程 : 全微分方程 : 如果 中左端是某函数的全微分方程 即 : 其中 : 应该是该全微分方程的通解 二阶微分方程 : 时为齐次 时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 : * 其中 为常数 ; 求解步骤 : 写出特征方程 : 求出 式的两个根 其中 根据 的不同情况 按下表写出 * 式的通解 : 的系数及常数项恰好是 * 式中 的系数 ;

16 的形式 * 式的通解两个不相等实根 > 两个相等实根 一对共轭复根 < i i si 二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数 ; 型 为常数 ] si m ω ω λ λ λ