技職教育一般科目課程發展中心九十三年度第二次工作會議

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1 高職數位教材發展與推廣計畫 - 數學科單元教案設計表 教學目標 單元編號 55 單元名稱信賴區間與信心水準能瞭解信賴區間的定義並能計算正確能瞭解並說出信賴區間的意涵單元目標能瞭解並說出信心水準的意涵能夠計算信賴區間能夠正確的解讀統計數據與民意調查 準備活動 教學活動教學時間元件編號內容說明 以日常中的新聞內容, 提供信賴區間應用之實例 - 引起動機 5 分鐘 55-F1 1. 播放一段新聞畫面 ( 內容講述一段有趣的民意調查 ) 元件 1: 不用一次性商品重複使用即環保 現代人壓力大. 飲食精緻罹癌族群年輕化 台灣最醜 選舉旗幟 看不下去!- 民視新聞

2 纽约人大多愿在沃尔玛购物 有提到信賴區間與信心水準嗎? 哪一段? 發展活動 1. 說明常態分配曲線的意義講解定義範例練習 學生常犯錯誤 : 誤以為所有母體的性質都會呈現常態分配因為高中職課程只討論到常態分配, 所以造成有大部份的學生有其誤解, 認為所有的分配皆為常態分配 故, 可再多舉左偏或右偏或其他不對稱分配的數據與圖形做為例子, 說明此概念, 以方便使用數位敎材之教師幫助學生澄清觀念 25 分鐘 55-F2 55-P1 55-P2 55-P3 55-P4 55-F3 55-P5 元件 2: 以動畫呈現 1.[ 常態分配 ( 藍底白字為按鈕 ) (1) 鐘形圖 ( 請依 1 ~ 5 順序逐步呈現 ) 1 文字敘述案例 1: 某次 IQ 測驗有人數 30 (30~10000) 人參加, 2 文字敘述繪製次數分配圖 ( 註 : 2 配合所輸入人數的成績 ( 依 IQ 測驗資料庫隨機產生 ) 分佈出現如子彈般一個一個的彈孔, 繪製成圖 3-9 出現在白紙上 : 3 將這些彈孔連接起來, 4 再將這些不規則曲線圓滑成平順的曲線, 如圖 3-10:IQ 成績分配曲線圖 ) 5 文字敘述 : 當資料的次數分配折線圖呈現如鐘形一樣, 由中間往兩邊對稱下降的情形時, 就說此組資料之分佈是近似常態分配 ( 或稱常態分佈 ), 常態分配是高斯 (CarlF.Causs, 德國, 1777~1855 ) 所創

3 元件 3: 以 PPT 呈現 1 ( 請依 1 ~ 10 順序逐步呈現 ) 文字敘述 1 此種常態分配稱做 2 [ 經驗法則 ]( 68%, 95%,99.7% 規律 ) 以紅色閃爍呈現 3 呈現常態分配曲線如下圖 元件 3-1: 以 PPT 呈現 ( 元件 4: 以 PPT 呈現 2.[ 中央極限定理 ]( 請依 1 ~ 4 順序逐步呈現 ) 1 中央極限定理是統計學的重要定理, 當樣本數 n 很大 ( 通常 n>30) 時, 樣本平均數之抽樣分配近似於 2 常態分配 以下文字以打字機效果呈現 3 簡單的說, 已知母群體之平均數為 μ, 標 準差為 σ, 抽取之樣本數為 n 4 每次抽樣都會得到一個平均數, 抽樣多次後會得到許多的平均數, 而 這些平均數呈現常態分配 元件 5: 以 PPT 呈現 以 PPT 打字機效果呈現, 並依 1 ~ 3 順序逐步呈現 1 問題 : 樣本平均數只有一值, 會不會剛剛好就是母群體的平均數? 2 如果不準, 那到底差多少? 誤差可能有多大? 3 如果我們用樣本平均數去推估一個較大的區間 ( 信賴區間 ) 來推測母群體的平均數, 雖不中亦不遠矣?

4 元件 6: 以 PPT 呈現 1 [ 信賴區間 ] 的定義 : 在母群體不確定的情況下, 以樣本推估母群體時, 通常會以一個區間來表示估計結果, 這樣的區間就稱為信賴區間 2 [ 信心水準 ] 的定義 : 如果我們收集了許多組不同的樣本, 並且每組樣本都得到了一個信賴區間, 若這些信賴區間其中有 95% 的機會包含母群體之真正值, 則 95% 這個值就被稱為信心水準 3 若這些信賴區間其中有 90% 的機會包含母群體之真正值, 則 90% 這個值就被稱為信心水準 4 即 : 若重複進行一百次民調,則得出的一百個信賴區間當中約有 95%(95 個 ) 包含真實的候選人支持率之母體平均數 例 : 一項民調內容提到 95% 信心水準的信賴區間位於 1 及 2 之間, 意思就是說,[ 有 95% 的機會, 真正的數值會落在 1 到 2 之間 ]

5 1 信賴區間模擬抽樣實驗 2 利用隨機數字表 ( 如附件 1, 請建立超連結 ), 請每位同學, 以 3 個數字為一組, 模擬從母體抽樣, 抽出 n = 25 人, 算出樣本中對於學校滿意的比例, 並找出 95% 信賴區間 3 起始點之選擇 : (1) 身分證最後二碼 ab 在 01~50 之間, 從列 1ab 第 b 行開始. ( 若 b=0, 從第 10 行始.) (2) 身分證最後二碼 ab 在 51~99 之間, 從列 (50+ab) 第 b 行開始. ( 若 b=0, 從第 10 行始.) (3) 身分證最後二碼 00, 從任何地方開始. 4 請每位同學寫出 3 個數為一組的號碼, 計算對於學校滿意的比例 ( 如附件 2, 圈代表滿意, 叉表示不滿意, 請建立超連結 ), 以及由附表 ( 如附件 3, 請建立超連結 ) 找出信賴區間 元件 7: 以 PPT 呈現 5. [ 樣本比例 ] 與 [ 母體比率 ] 的區別 ( 請依 1 ~ 5 順序逐步呈現 1 (1) 樣本比例 : 所抽取樣本贊成的比例 2 例 : 由台北市全部 200 萬市民中, 隨機抽取 500 人, 詢問是否贊成彈性放假, 結果有 312 人贊成 3 則樣本比例 P (2) 母體比率 P: 母體中贊成的比例 5 例 : 承上題, 母體比率 = 全台北市市民中贊成的比例 元件 8: 以 PPT 呈現 6.[ 抽樣誤差 ] 的意義以 PPT 呈現 ( 請依 1~ 5 順序逐步呈現 ) 1 樣本比率差 e] 與母體比率 P( 真正比率 ) 的誤差, 即為 [ 抽樣誤

6 2 而 95% 信心水準下的抽樣誤差 : P- = 3 母體比率 P 的 95% 信賴區間 = (1 ) (1 ) [ 2 p p p, p 2 p p ] n n 4 註 :(1)[ 抽樣誤差 e] 愈小愈好 5(2) 當樣本愈大則 [ 抽樣誤差 e] 則愈小 ( 丁村成,2009) 綜合活動 ( 以下提醒對老師, 以釐清學生觀念 ) 常犯錯誤 (1) 誤以為 95% 的信心水準是母體的比率案例 5: 某候選人支持率的百分比為 57.4%, 在 95 信心水準下, 抽樣誤差為 1.6%, 部份學生解讀為, 此次調查有 95% 的人認為該某候選人支持率為 55.8% ~ 59.0% 中 20 分鐘 55-P6 55-P7 元件 9: 以 PPT 呈現 7. 以信賴區間與信心水準的定義來解讀調查數據以 PPT 呈現 ( 請依 1 ~2 順序逐步呈現 ) 1 例 : 一項民調結果 : 有 41% 選民支持甲候選人,39% 支持乙候選人 在 95% 信心水準下, 誤差為正負 3% 2 解讀 : 有 95% 信心認為, 支持甲的選民比例在 (38%~44%) 之間, 而支持乙的選民比例在 (36%~42%) 之範圍內 這兩個範圍是信賴區間 元件 10: 以 PPT 呈現 8. 通盤了解 [ 民意調查 ] 的概念練習 1. 下列何敘述是正確的? 設母體平均數 95% 信心水準的信賴區間為 (52,75) 試解釋 95% 信心水準 的意思是下列哪一項? a) 當重複抽樣時, 母體的平均數有 95% 的機會落在這個區間 b) 有 95% 的母體觀察值會落在這個區間 c) 有 95% 的樣本觀察值會落在這個區間 d) 當重複抽樣時, 所計算的區間有 95% 的機會包含母體的平均數 解答 : (D) 常犯錯誤 (2) 誤以為有 95% 的機會母體平均數會落於信賴區間之間 練習 2. 下列敘述何者是最正確的? 我們希望估計台北市從事服務業的經理每月的平均收入, 現在隨機抽台北市從事服務業的 50 位經理, 在 97% 的信心水準下信賴區間為

7 常犯錯誤 (3) 誤以為 95% 的資料會落於區間中 正確觀念 : 指若重複進行多次民調,則得出的一百個信賴區間當中會有 95%(95 個 ) 包含真實的候選人支持率之母體平均數 ($90,000,$120,000), 則 97% 信心水準 的意思是下列哪一項? a) 97% 所抽到的經理每月的平均收入介於 $90,000 與 $120,000 之間 b) 我們有 97% 信心相信所抽到的經理每月的平均收入介於 $90,000 與 $120,000 之間 c) 台北市 97% 從事服務業的經理每月的平均收入介於 $90,000 與 $120,000 之間 d) 我們有 97% 信心相信台北市從事服務業的經理每月的平均收入的總平均介於 $90,000 與 $120,000 之間 解答 : (D) 信賴區間與信心水準 ] 重要概念 1. 當信心水準愈大, 則信賴區間也愈大 ( 因為要適用於解釋更大的範圍 ) 2. 當樣本愈大, 則 [ 抽樣誤差 e] 愈小, 故信賴區間愈小 ( 越精確 ) 練習 3. 民調解讀 :TVBS 民意調查中心發佈關於高鐵通車營運的民意調查 訪問時間 :96 年 1 月 2 日晚間 18:30~22:00 調查方法 : 電話後四碼電腦隨機抽樣, 人員電話訪問 有效樣本 :854 位 20 歲以上臺灣民眾 抽樣誤差 :95% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負 3.4 個百分點 經費來源 :TVBS 調查結果 : 七成民眾擔心高鐵安全, 但四成願意搭乘 試求這份民調關於擔心高鐵安全的信賴區間 解讀民調 解答 : 由民調中得知,95% 的信心水準,(1) 願意搭乘坐高鐵之比例的信賴區間, 介於 [ , ],(2) 擔心高鐵安全之比例的信賴區間, 介於 [ , ] 練習 4. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查, 在 95% 的信心水準之下, 依性別區分, 所得結果如下表 : 贊成此議題的比例 抽樣誤差 女性 男性

8 合計 : 50 分鐘 請問從此次抽樣結果, 可以得知下列何者為正確的推論? (1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例 (2) 在 95% 的信心水準之下, 全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為 0.48, 0.56 ( 計算到小數點後第二位, 以下四捨五入 ) 解答 : (2) 練習題某民調機構在甲 乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比 ( 以下簡稱為 知名度 ) 結果如下 : 在 95% 信心水準之下, 該產品在甲 乙兩地的知名度之信賴區間分別為 0.50, ,0.16 試問哪些個選項是正確的? (1) 此次調查結果可解讀為 : 甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95% (2) 若在乙地以同樣方式進行多次民調, 所得知名度有 95% 的機會落在區間 0.08,0.16 (3) 經密集廣告宣傳後, 在乙地再次進行民調, 並增加參訪人數達原人數的四倍, 則在 95% 信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半 ( 0.04 ) 解答 :(3)

章節

章節 試題在調查某市成年民眾對於 贊成實施路平專案 這個議題的支持度中,回收有效問卷 400 份,支持度在 95% 的信心水準下的信賴區間為 [0.75,0.775],設此市的成年民眾真正支持此議題的比例為 p,則下列敘述何者正確? () 回收問卷中,贊成的有 300 張 () p 約有 95% 的機率落在信賴區間 [0.75,0.775] 中 (3) 如果重複做此抽樣 調查 ( 每次皆回收 400 份

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