第三單元平面座標與直線的斜率

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1 第四十八單元信賴區間與信心水準的解讀 ( 甲常態分布林信安老師編寫許多量測的結果, 像是葡萄酒的評鑑基測作文分數的評定天文資料的觀測等等, 都會有誤差, 這些誤差可能來自個人的偏見儀器的誤差, 但是更關鍵的是, 即使一切流程都很完美, 但是數據本身依然會有誤差, 數據本身就會因隨機誤差而變動, 這是重要的關鍵 1738 年棣美弗 (Abraham De Moivre 在他的 << 機會論 >> (The Doctrie of Chace 再版時, 揭示了數據誤差的分布曲線鐘形曲線之重要性這個鐘形曲線通常稱為常態分布, 有時候也稱為高斯分布高斯在研究行星運動時, 認識到常態分布描述了量測誤差的分布情形誤差定律, 他當年將誤差定律這條法則, 塞在 << 天體依圓錐曲線繞日運動之理論 >> 這本書, 幸好拉普拉斯 (Laplace 在 1810 年偶而讀到這本書, 利用這本書中誤差定律的結果, 他馬上知道可以用來改進他自己正在研究的中央極限定理, 中央極限定理是說 : 大量的獨立隨機因素之和, 可以是任何數值, 其出現的機率呈常態分布這個結果比高斯的發現更能說明常態分布就是誤差定律 (1 常態分布 : 很多資料畫出直方圖後, 將直方圖中各長方形頂邊的中點用平滑曲線相連, 會呈現中間高而往左右兩邊下降近似鐘型當資料的次數分配曲線圖呈現如鐘型一樣, 由中間往兩邊對稱下降的情形時, 就說此組資料的分布是近似常態分布 ( 或稱常態分配, 常態分布是高斯 (Carl F.Gauss 所創, 他發現許多資料的測量誤差經常是依據常態分布, 常態分布是統計最有用的一種分布, 很多社會科學自然科學的資料都近似常態分布對於常態分布的資料, 我們由次數分配呈鐘形知道中間部分佔的比例較大, 愈往兩旁所佔的比例愈小, 但比例大約是多少呢? ~48 1~

2 當一組資料的直方圖呈常態分布, 而且也知道此組資料的平均數 µ, 標準差 σ, 就能利用數學方法估算出大約有 68% 的資料落在區間 [µ σ, µ+σ] 內, 有 95% 的資料落在區間 [µ 2σ, µ+2σ] 內, 有 99.7% 的資料落在區間 [µ 3σ, µ+3σ] 內 (2 標準計分 : 標準分數 (stadard score= 觀測值算術平均數標準差標準分數為 1 的意義是說 : 觀測值在算數平均數之上 1 個標準差的位置 ; 標準分數為 2 的意義是說 : 觀測值在算數平均數之下 2 個標準差的位置標準分數可以用來比較不同分布中的值在使用時, 分布必須至少是大致對稱的, 標準分數才適用 [ 例題 1] 從實驗室的數據證實, 人的睡眠時數呈現常態分布, 其平均數為 7.5 小時, 標準差 1 小時, 根據此睡眠分布, 試估計下列各項所佔的人數比例 (1 睡眠時數超過 7.5 小時者 (2 睡眠時數介於 6.5 到 8.5 小時者 (3 睡眠時間不到 8.5 小時者 As:(150% (2 約 68% (3 約 84% [ 例題 2] 某校有學生 1000 人, 段考成績呈常態分配, 數學平均成績 70 分, 標準差 10 分, 英文平均成績 60 分, 標準差 8 分, 某生數學成績 78 分, 英文成績 68 分, 則以全校排名預估他哪一科考得較好? ( 練習 1 某校有學生 1000 位, 數學段考成績呈常態分布, 平均成績 70 分, 標準差 10 分, 請概估 : (1 此次數學段考不及格的學生約有幾位? (2 成績超過 90 分的有幾位? (3 某生成績 80 分, 他在全校大約排第幾名? As:(1160 位 (225 位 (3 第 160 名 ( 練習 2 某校有學生 1000 人, 數學段考成績呈常態分配, 平均成績 60 分, ~48 2~

3 標準差 10 分, 請概估數學成績 40~ 70 之間的人數大約有多少人? As: 815 人 ( 練習 3 Jae 在 SAT 的語言部份得了 600 分, 她的朋友 Joy 則是參加 ACT 測驗, 在語言部份拿了 24 分根據測驗單位的統計結果,SAT 與 ACT 大致上呈常態分布, 且它們的算術平均數與標準差分別為 500,110;18,6, 請問誰的標準計分比較高 As:Joy ( 練習 4 丟硬幣的試驗中, 硬幣出現正面的比例呈常態分布 ( 平均數 p 時, 標準 p ( 1 p 差為今丟一個公正的硬幣 100 次, 其中出現正面的比例為 pˆ, 依常態分布的規則, 求 pˆ 0.6 的機率 As:2.5% ( 乙信賴區間與信心水準從一個例子談起 : (1 請 100 個同學用隨機號碼表模擬投擲一個質量均勻銅板二十次的試驗, 以擲出正面的比率為橫座標學生人數為縱座標製作次數分配表 (2 請 1000 個同學用隨機號碼表模擬投擲一個質量均勻銅板 100 次的試驗, 以擲出正面的比率為橫座標學生人數為縱座標製作次數分配表 [ 解答 ]: (1 利用隨機號碼表中以代表出現正面, 而代表出現反面, 舉例 : 以第 5k-4 列 ~ 第 5k 列及第 4 l -3 行 ~ 第 4 l 行的小區塊當成一次模擬, 那麼這種選取隨機號碼表的方式, 可以當成 100 個同學同時作投擲銅板二十次的試驗, 因此得到 100 個同學擲出正面的比率值比如右框中即第 1~5 列及第 1~4 行的小區塊, 其中有 7 個偶數, 所以模擬第 1 個同學擲出正面的比率是 0.35 下表是以此方法得到的 100 個模擬正面數 : 再以橫坐標是擲出正面比率, 縱坐標是學生人數作直方圖 : ~48 3~

4 這個隨機模擬的結果有些令人失望,100 個同學投擲ㄧ個公正的銅板 ( 因為你假設偶數是正面奇數是反面, 出現次數最高的並不是期望值 0.5, 而且也沒有出現左右完全對稱的情形同學可以用不同選取號碼的方式做不同的模擬, 情況也不盡相同, 不過有些結果會類似, 我們可以算出這個隨機試驗的期望值是 0.5, 標準差是 0.11, 而我們從前頁的圖表知道, 擲出正面比率在與之間的人數佔全部的 71%, 在與之間的人數佔全部的 95%, 在與之間的人數佔全部的 100% 如果以 100 個同學投擲ㄧ個公正銅板的模擬看來, 即使並非每個同學擲出正面的比率值都是 0.5( 這種情形太困難了吧, 但比率值在期望值前後 1 個 2 個 3 個標準差範圍內的人數約略是佔全部的 68% 95% 99.7% (2100 個學生的模擬試驗的結果或許與理論值有些誤差, 解決方法是提高投擲次數 ( 如每人投擲 100 次及增加參與學生人數 ( 如 1000 個學生參與, 但隨機試驗仍存在不確定性, 下圖是以 1000 人進行投擲一個質量均勻銅板 100 次試驗的結果 : 以橫坐標是擲出正面比率, 縱坐標是學生人數作直方圖 : ~48 4~

5 當我們用 1000 個學生進行投擲一個質量均勻銅板 100 次試驗, 其直方圖就會比較接近常態分布在沒有計算機的年代裡, 我們連續投擲一個質量均勻銅板次, 計算出現正面 4000~6000 次的機率值 C k k = 4000 ( 就不是件容易的事, 數學家想尋找一種模型能夠描繪二項分配或甚至是適用其他的機率分佈, 於是常態分布就廣泛地被大家使用了, 只要上述投擲銅板的試驗次數夠多, 它就能夠用常態分佈來近似其機率分布的狀況 (1 中央極限定理 : 統計學上常假設資料是常態分布, 例如常態分班常模 ; 常態曲線等等都是常聽到的名詞而這些假設的依據是什麼呢? 設某母體平均數是 µ 變異數是 σ 2, 但一般來說 µ σ 2 都是未知的, 若從母體中抽出個樣本 x 1 x 2 x, 我們以樣本平均數 x = x 1+x 2 + +x 來估計 µ, 因為每次抽出的個樣本都不相同, 因此算出的樣本平均數 x 會不相同, 我們稱 x 為隨機變數, 既然每次抽樣算出的 x 不同, 因此有必要了解隨機變數 x 的抽樣分布的長相是如何? 統計學理有個基本定理中央極限定理, 中央極限定理告訴我們當樣本數很大時, 不管母體資料是什麼分布, 也不管母體的資料是連續或離散對稱或不對稱右偏或是左偏, 甚至單峰或是多峰都無所謂, 只要樣本數足夠大 ( 這裡的足夠大並沒有一定的標準, 如果母體的分布愈對稱, 則所需的樣本數愈少, 通常要求 30, 則 ~48 5~

6 (1 隨機變數 x 的分配會接近鐘形的常態分布 (2 隨機變數 x 的平均數與原母體平均數相同都是 µ (3 隨機變數 x 的標準差 ( 稱為標準誤與原母體的標準差不同, 變成只有 σ (2 一份民調的解讀 : 大眾媒體經常報導民調的結果, 而民調的問題多半為是非題 : 對某位候選人支持或不支持, 對某位行政首長滿意或不滿意, 要不要投票給某位候選人等等下面的文字是某民調公司對行政院長施政的滿意度調查 :.. 滿意度 4 成 4 本次調查是以台灣地區住宅電話簿為抽樣清冊, 並以電話的後四碼進行隨機抽樣共成功訪問 1056 位台灣地區 20 歲以上民眾在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負 3.0 百分點上面的文字除了說明某民調公司的抽樣的母體與抽樣的方法外, 對於行政院長施政滿意度結果的呈現應該如何來解讀呢? 我們提出以下兩問題 : 問題一 : 95% 的信心水準和抽樣誤差正負幾個百分點這兩句話總是與民調的結論並陳, 它們代表什麼意義呢? 問題二 : 電話只訪問了 1000 多人, 相對台灣地區一千六百萬的成年民眾, 這 1000 多人具有代表性嗎? 首先我們先解讀文字中的各項涵義 : (a 滿意度 4 成 4 在本次調查中, 母體是台灣地區 20 歲以上的民眾, 樣本則是成功訪問的 1056 人, 滿意度 4 成 4 表示在 1056 位受訪者中, 約有 44% 的人表示滿意 ( 即約有 456 人回答滿意 (b 抽樣誤差正負 3.0 百分點將 44% 分別加減 3.0%, 就可得到一個區間 [ , ]=[0.41,0.47], 假設全台成年民眾經過普查, 真正的滿意度是 p( 也就是真正的滿意度為 p, 那麼這次的調查估計 p 的值可能會落在 0.41 到 0.47 的範圍內而這裡我們樣本中滿意的比例 44% 來推估母體滿意比例 p 可能落在那個區間統計上把這個區間稱為信賴區間信賴區間 :[ 估計值最大誤差, 估計值 + 最大誤差 ] (c 95% 的信心水準在這次調查中, 母體真正的滿意比例 p 是不可知的, 而抽樣都會有誤差, 我們並不能保證真正的比例 p 一定會在我們所推估的區間內, 而 95% 的信心水準的意思是指 : 如果我們抽樣很多次, 每次都會得到一個信賴區間, 那麼這麼多的信賴區間中, 約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值 ~48 6~

7 因此根據 (a(b(c 的解讀, 對於這份民調的結果我們有了比較完整的概念 : 民調中的滿意度是被抽樣訪問者的滿意度, 將它加上正負誤差, 就可以得到一個信賴區間, 而我們有 95% 的信心說, 真正的滿意度會落在我們所得出的區間中通常估計真正的 p 值落在那個範圍是以區間來表示, 稱為信賴區間, 而落在此區間的機率稱為信心水準結論 : (1 信賴區間 :[ 估計值最大誤差, 估計值 + 最大誤差 ] (2 95% 的信心水準的意思是指 : 如果我們抽樣很多次, 每次都會得到一個信賴區間, 那麼這麼多的信賴區間中, 約有 95% 的區間會涵蓋真正的 p 值 [ 例題 3] 某報對於台北市市長施政滿意程度進行民調, 民調結果如下 : 滿意度為六成三, 本次民調共成功訪問 900 位台北市 20 歲以上的成年民眾, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負 3.2 百分點 (1 這項民調的母體是什麼? 樣本數為多少? (2 受訪民眾中對市長施政滿意約有多少人? (3 算出這次調查的信賴區間? (3 如何計算出 95% 的信賴區間 : 我們已經回答了問題一字面上的意義, 對於問題二與 95% 的信心水準的誤差界間是如何算出來的, 接下來我們用中央極限定理來解釋 : 以前面行政院長的施政滿意度為例, 抽樣的個人中, 用 pˆ 表示樣本中的滿意比例, 樣本中滿意的人數即 pˆ =, 假設全台成年民眾經過普查, 真正的滿意度是 p, 那麼 pˆ 樣本數會剛好是 p 嗎? 可能不會那麼準, 但是只要抽出的樣本數夠大, 這個 pˆ 會與 p 相當接近, 有多接近呢? 我們先觀察 pˆ 可能出現的情形 : 因為抽樣結果 pˆ 隨著樣本而改變, 用同樣的方法抽樣得到的 pˆ 也許是 0.43 或是 0.55, 如果真的從同樣的母體中重複抽取很多次, 並將許多的 pˆ 值以直方圖統計, 根據中央極限定理, 當樣本數足夠大, pˆ 的分布近似於常態分布下圖是以電腦模擬母體滿意比例 p=0.4, 隨機抽樣 1000 人, 所得的 pˆ 的分布 : ~48 7~

8 上面的直方圖呈現出常態分布的型態, 由常態分布的經驗法則, 隨機變數 pˆ 離 p 在 2 σ 個標準差內的機率有 95%, 可表成 P( pˆ p 2 σ 0.95 不過一般母體的標準差 σ 也是未知的, 所以改成樣本的標準差 s 來代替 σ, 因此 P( pˆ p 2 s 0.95, 而 pˆ p 2 s 正的滿意度 p 落在區間 [ pˆ 2 s, pˆ +2 s ] 的機率約為 0.95 因此我們將區間 [ pˆ 2 s, pˆ +2 s ] 稱為 95% 的信賴區間 pˆ 2 s p pˆ +2 s 所以我們可以說真對某位候選人支持或不支持, 對某位行政首長滿意或不滿意, 要不要投票給某位候選人等等, 這些都是二分類的資料, 對於每次試驗只有兩種結果 ( 成功以 x i =1 表示, 失敗以 x i =0 表示的資料, 樣本標準差為 pˆ(1 ( 參閱例題 4, 當足夠大時, 樣本 1 標準差 pˆ(1 1 區間為 [ pˆ 2 pˆ (1, 因此當我們面對二分類的資料時,95% 的信賴, pˆ +2 ] ~48 8~

9 這個結果的意思是 : 我們每次抽一次樣本 ( 由個人組成, 就會得到樣本比例 pˆ, 據此就可以算出一個信賴區間假設我們持續的抽樣很多次, 每次得到新的 pˆ 值與信賴區間, 那麼在這些區間中, 大約有 95% 的區間會包含真正的 p 值上圖中共有 21 條線段, 每條線段代表一個抽樣所得的信賴區間, 圓點代表樣本比例 pˆ, 有的線段會並不包含真正的 p 值, 這樣偏差的抽樣結果也許會發生, 但機率不大不過實際的抽樣調查只會進行一次, 也就是只能得出一個信賴區間, 這個信賴區間可能會也可能不會包含真正的 p 值, 但是基於重複抽樣下大約有 95% 的區間會包含真正的 p 值這個特性, 我們遂以對此區間, 我們有 95% 的信心認為它將包含真正的 p 值結論 : 在一個大母體中, 其成員具有某種特質的比例為 p, 若從母體中隨機抽取個樣本 ( 必須夠大, 令 pˆ 代表該樣本中擁有此特質的比例, 則區間其中 2 [pˆ 2, pˆ +2 稱為最大誤差 ( 亦稱誤差界限 ], 稱為 p 的一個 95% 的信賴區間, 或在 95% 的信心水準下的信賴區間根據同樣的想法, 我們也可以得到 68% 99.7% 的信賴區間, 此時最大誤差分別為與 3, 因此我們可以得到以下的結果 : 在一個大母體中, 其成員具有某種特質的比例為 p, 若從母體中隨機抽取個樣本 ( 必須夠大, 令 pˆ 代表該樣本中擁有此特質的比例, 則 p 的信賴區間為 [ pˆ e, pˆ +e], 信心水準 68% 95% 99.7% 所對應的最大誤差 e 分別為 2 3 [ 例題 4] 從母體中抽出個樣本 :x 1, x 2, x 3,, x, 成功用 x i =1, 失敗用 x i =0 表示, 設 pˆ 樣本中的成功數為個樣本中, 成功的比例, 即 pˆ = 證明 : 樣本變異數為 pˆ (1 1 [ 解法 ]: 樣本的平均數 = x 1+x 2 + +x = pˆ ~48 9~

10 樣本變異數 = 樣本標準差 = 1 1.[ 2 x i i= 1 pˆ(1, 1. x 2 ]= 1 1 當很大時, 樣本標準差 = pˆ(1 1.[ pˆ ( pˆ 2 ] = pˆ (1 林信安老師編寫 1. pˆ (1 [ 例題 5] 某次選舉候選人兩名應選 1 名, 民調公司做支持度調查成功訪問了 1070 個合格選民, 其中 642 人表示支持甲候選人, (1 此次民調支持甲候選人的比例為多少? (2 在 95% 的信心水準下, 此次民調的誤差約為多少? (3 請寫出此次民調 95% 的信賴區間 [ 解法 ]: 642 (1 = (1 0.6 ( , 誤差約為 3% 1070 (3 此次民調 95% 的信賴區間約為 [ , ] 即在 95% 的信心水準下, 甲候選人的支持度約在 [0.57, 0.63] 區間內 [ 例題 6] 32 位學生丟硬幣出現正面反面的結果如下 : , 其中 1 代表正面,0 代表反面, 試求此硬幣出現正面的比例 p 的 (195% 信賴區間 (2 68% 信賴區間 (3 99.7% 信賴區間 [ 解法 ]: 32 次試驗中, 出現正面的次數為 19 次, 故比例 pˆ = (1 95% 信賴區間 : 最大誤差 e=2 pˆ ( 故 95% 信賴區間為 [pˆ e, pˆ +e]=[ , ]=[ , ] (2 68% 信賴區間 : 最大誤差 e= pˆ ( 故 68% 信賴區間為 [pˆ e, pˆ +e]=[ , ]=[ , ] (3 99.7% 信賴區間 : 最大誤差 e=3 pˆ ( 故 99.7% 信賴區間為 [pˆ e, pˆ +e]=[ , ]=[ , ] ~48 10~

11 本節討論常態分配的規律值是一近似值, 下表提供了在平均值前後 k 個標準差內所佔全體的比例值 :( 較精確的近似值 k 比例 p (1 p 表中看出, 若是 95% 的信心水準下的信賴區間的最大誤差應改為 1.96 ˆ ˆ, 但為了計算方便本節都是用 2 替代 1.96 [ 例題 7] 不透明的袋中有 4 顆紅球 6 顆白球, 小明從袋中每次取出一球做紀錄後放回, 連續取 20 次得到取出紅球的次數為 10, (1 小明此次試驗取出紅球的比例為多少? (2 寫出此次試驗信心水準為 90% 的信賴區間 (3 寫出此次試驗信心水準為 99% 的信賴區間 (4 若小華將取球次數提高到 50 次, 且知取出紅球的次數為 25, 那麼請幫小華在以 99% 的信心水準下對此試驗作一報告 [ 解法 ]: 10 (1 = (1 0.5 (2 區間半徑為 ,90% 的信賴區間為 20 ] [ (1 0.5, (1 0.5 ] 約是 [0.316, (1 0.5 (3 區間半徑為 ,99% 的信賴區間為 ( (1 0.5 [ , ] 約是 [0.212, ] (4 小華的試驗取出紅球比例也是 0.5, 但取球次數提高到 50 次且要求信心 0.5 (1 0.5 水準 99% 的誤差為 , 誤差約為 18%, 亦即 50 小華試驗 99% 的信賴區間為 [0.318, 0.682] 所以小華可以公佈: 袋中紅球的比例是 50%, 本次試驗成功隨機抽樣 50 次, 在 99% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負 18 個百分點一般而言, 提高信心水準會使信賴區間變寬 ( 比較例題 6 的 (1(2(3, 如此會模糊對於真實 p 值的判讀 ( 試想長度為 1 的區間會有什麼意義呢?; 但此時若增加抽樣的樣本數則可彌補此缺點 ( 比較例題 7 的 (3(4 ~48 11~

12 ( 練習 5 某次選舉候選人兩名應選 1 名, 民調公司做支持度調查成功訪問 100 個合格選民, 其中 60 人表示支持甲候選人, (1 此次民調支持甲候選人的比例為多少? (2 在 95% 的信心水準下, 此次民調的誤差約為多少? (3 請寫出此次民調 95% 的信賴區間 As:(1 0.6(2 誤差約為 9.8% (3 此次民調 95% 的信賴區間約為 [0.502, 0.698] 區間 ( 練習 6 袋中有紅球藍球各若干個, 小安每次從袋中拿一球看完顏色後又放入袋中, 共拿 50 次, 結果有 20 次拿出紅球, 求袋中紅球所佔比例 p 的 95% 信賴區間 As:[ , ] ( 練習 7 由生產線隨機抽樣 400 個產品, 得到樣本不良率為 8%, 求 (1 不良率 p 的 95% 信賴區間 (2 不良率 p 的 99.7% 信賴區間 (3 不良率 p 的 68% 信賴區間 As:(1[0.0529,0.1071] (2[ , ] (3[ , ] ( 丙樣本數的決定一般而言, 調查人數愈多, 成本愈高, 估計也愈準確, 調查人數多寡要考慮到成本與估計的準確性像是選舉期間候選人做民意調查, 想知道自己與對手的得票率約為多少, 不過在考慮成本與民調準確性下, 候選人希望能在開票前就可以預估自己的得票率, 以便調整選舉策略, 那麼得票率的民意調查要調查多少人才合適呢? 從前面信賴區間的意義中, 可以得知某次民調如果有效樣本有位, 可以由這位樣本可以求出得票率 p 的誤差界限及信賴區間反之, 如果要控制得票率 p 的估計誤差在 e 內 ( 即最大誤差為 e 時, 需要調查多少樣本呢? 這樣的問題稱為樣本數的決定當樣本數愈多時, 則資料愈有代表性, 抽樣誤差愈小 ; 但是樣本數愈多, 成本愈高, 因此必須在精確與成本之間曲得平衡在 95% 信心水準之下, 如何控制估計誤差在 e 內時, 需要調查書少樣本呢? 4 pˆ (1 (1 如果得到 pˆ 的估計, 則由 e=2, 可求得 = e 2 (2 但是如果沒得到 pˆ 的資訊時, 可以用較保守的方式來估計 : Q pˆ (1 0.5, e= 也就是說當最大誤差為 e 時, 則樣本數約需要 ( 1 e 2 補充說明 : = 1, 得總數 ( 1 e 2 (a 事實上根據常態分配表, 較精確的說法 95% 的資料落在區間 [ x 1.96s, x +1.96s] ~48 12~

13 內, 所以 95% 的信心水準的最大誤差有 e , 所需的樣本數 ( e 2 例如 :e=0.03, 則由上式可得樣本數約需 ( (b 如果 p 離 0.5 很遠, 則抽樣樣本數可以改為 ( 2 e [ 例題 8] 一項調查想了解大台北地區高中生家中擁有 Wii 的學生比例, 民調公司想在 95% 的信心水準下, 公佈誤差為 ± 3 %, 試問這次民調至少需要多少成功的樣本?As:1112 個 [ 解法 ]: 因為 pˆ (1 0.5, e= = 1 (1 e [ 例題 9] 為了驗證一枚古代硬幣是否為勻稱的硬幣, 某人做了多次的投擲試驗, 並發表推論的結果如下 : 我們有 95% 的信心認為此硬幣出現正面的機率是 36% 到 42% 之間試求此實驗中, 共投擲了幾次硬幣? 其中幾次出現正面? [ 解法 ]: 設共投擲了次因為 95% 信賴區間為 [0.37, 0.43], 所以樣本出現正面的機率 pˆ =0.4, 正負誤差 3%, 因此 2 0.4(1 0.4 =0.03 =1067 ( 練習 8 某銀行於中秋節發行賞月樂透彩, 並宣稱中獎率為 36%( 發行 100 萬張, 計有 36 萬個獎項若想推論這個數據是否屬實, 在 95% 的信心水準及抽樣誤差正負 4 個百分點的條件下, 應隨機採樣多少張樣本? As:576 ( 練習 9 某研究調查發現 : 有 95% 的信心認為中學生近視比例在 55% 到 65% 之間, 試求 : (1 此研究約調查了個樣本 (2 樣本中大約有人近視 As:(1384 (2230 綜合練習 (1 某校學生有 1000 人, 數學段考成績為常態分配, 平均成績為分, 標準差 5.24 分, 試問全校約有多少人數學成績低於 60 分? (A80 (B160 (C240 (D320 (E400 人 (2002 學科 (2 下圖是根據 100 名婦女的體重所作出的直方圖 ( 圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數, 其中各區間不包含左端點而包含右端點該 100 名婦女體重的平均數為 55 公斤, 標準差為 12.5 公斤曲線 N 代表一常態分佈, 其平均數與標準差與樣本值相同在此樣本中, 若定義體重過重的標準為體 ~48 13~

14 重超過樣本平均數 2 個標準差以上 ( 即體重超過 80 公斤以上, 則下列敘述哪些正確? (1 曲線 N( 常態分佈中, 在 55 公斤以上所佔的比例約為 50% (2 曲線 N( 常態分佈中, 在 80 公斤以上所佔的比例約為 2.5% (3 該樣本中, 體重的中位數大於 55 公斤 (4 該樣本中, 體重的第一四分位數大於 45 公斤 (5 該樣本中, 體重過重 ( 體重超過 80 公斤以上的比例大於或等於 5% (2006 學科能力測驗 (3 某廠商委託民調機構在甲乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比 ( 以下簡稱為知名度結果如下: 在 95 % 信心水準之下, 該產品在甲乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50, 0.58 ] [ 0.08, 0.16 ] 試問下列哪些選項是正確的? (1 甲地本次的參訪者中, 54 % 的人聽過該產品 (2 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數 (3 此次調查結果可解讀為 : 甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95 % (4 若在乙地以同樣方式進行多次民調, 所得知名度有 95 % 的機會落在區間 [ 0.08, 0.16 ] (5 經密集廣告宣傳後, 在乙地再次進行民調, 並增加參訪人數達原人數的四倍, 則在 95 % 信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半 ( 即 0.04 (2009 學科能力測驗 (4 下列那些是常態分布曲線的特性? (A 曲線呈對稱的鐘形 ~48 14~

15 (B 平均數與中位數相等 (C 約有 50% 的數值落在平均數左右各 1 個標準差的範圍內 (D 約有 95% 的數值落在平均數左右各 2 個標準差的範圍內 (E 全部的數值都落在平均數左右各 3 個標準差的範圍內林信安老師編寫 (5 假設某品牌家電用品的使用壽命呈現常態分配, 平均值是 4.5 年, 標準差是 1 年若其保證期間為 2 年, 試問退貨比例為多少?( 附註常態分佈的資料對稱於平均數 M 且當標準差為 S 時, 該資料大約有 x % 落在區間 ( M ks, M ks 內 ( 見下表 : (6 人類從受孕到分娩的懷孕期長短不一, 大致呈現平均數 266 天, 標準差 16 天的常態分布 (a 約有多少比例的人會在 266 天以內分娩? (b 根據常態分布的規則, 求中間 95% 的人其懷孕天數的範圍 (7 擲一枚公正的硬幣試驗中, 已知硬幣出現正面的比例呈常態分布現在如果擲一枚公正硬幣 100 次, 其中出現正面的比例為 pˆ, 則 pˆ 0.55 的機率為 (8 某校有學生 1000 位, 數學段考成績為常態分布, 平均成績為 70 分, 標準差為 10 分, 則下列敘述何者正確? (A 數學不及格人數大約有 160 位 (B 超過 90 分的人數大約有 25 位 (C 某生成績為 80 分, 其全校排名約 160 名 (D 將每位學生成績減 70 分, 再除以 10 分, 則此新成績的平均數為 0 分 (E 將每位學生成績減 70 分, 再除以 10 分, 則此新成績的標準差為 1 分 (9 根據數學 SAT 考試規定, 該測驗的總分如果超過 800 分, 一律以 800 分紀錄已知今年 SAT 考試呈常態分布, 其平均 560 分, 標準 120 分試求 : 約有多少比例的考生會收到 800 分的成績單? (10 班聯會以問卷調查全校學生對可以不穿制服議題的支持程度, 回收有效問卷 520 張, 其中贊成有 416 張 (a 求贊成的比例 (b 在 95% 的信心水準下, 這次調查的正負誤差是多少百分點? (c 計算 95% 的信賴區間 (11 某次選舉候選人兩名應選 1 名, 民調公司做支持度調查成功訪問了 1070 個合格選民, 其中 642 人表示支持甲候選人, (a 此次民調支持甲候選人的比例為多少? (b 在 95% 的信心水準下, 此次民調的誤差約為多少? (c 請寫出此次民調 95% 的信賴區間 ~48 15~

16 (12 某市場調查想了解女性消費者對於某品牌化妝品的滿意度, 於是隨機抽樣 300 位使用過此化妝品的女性消費者做調查, 發現對於某品牌化妝品覺得滿意的人有 75 位, 試求 (a95% 信賴區間的最大誤差 (b 使用過此化妝品的女性消費者滿意比例 p 的 95% 信賴區間 (13 若抽樣樣本數 =100, 母體比例 p 的 95% 信賴區間之最大誤差 e=0.02, 假設抽樣樣本數 =400 時, 樣本比例不變 pˆ, 則母體比例 p 的 95% 信賴區間之最大誤差 e 是多少? (14 針對台灣地區的詐騙電話做調查發現 : 有 95% 的信心認為 70% 到 76% 的人曾接到詐騙電話 (a 此次調查約調查多少人? (b 樣本中曾接過詐騙電話的約有多少人? (15 甲民調公司被委託做意見調查, 成功訪問了 1000 個民眾後, 公司宣稱 : 本次民調 XX 的支持度是 42%, 成功隨機抽樣訪問 1000 個民眾後, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為正負 3 個百分點若乙民調公司同時作此議題調查, 且成功訪問了 4000 個民眾, 做出相同的支持度, 則在 95% 的信心水準下, 乙公司可宣稱抽樣誤差為正負幾個百分點? (1 (B (2 (E (3 (1(2 (4 (A(B(D (5 0.6 % (6 (a50% (b234 天 ~298 天 ( [ 提示 :Q 標準差 = 綜合練習解答 0.5 ( (8 (A(B(C(D(E (9 2.5% (10 (a0.8 (b 正負 4 個百分點 (c[0.76, 0.84] = 0.05, 故所求的機率 = ] (11 (a0.6 (b ( (c [0.57, 0.63] 1070 (12 (a0.05 (b[0.2, 0.3] ( (14 (a876 (b639 ~48 16~

17 (15 約 1.5 個百分點林信安老師編寫 ~48 17~

<4D F736F F D20312D332D34AB48BFE0B0CFB6A1BB50AB48A4DFA4F4B7C7AABAB8D1C5AA2E646F6378>

<4D F736F F D20312D332D34AB48BFE0B0CFB6A1BB50AB48A4DFA4F4B7C7AABAB8D1C5AA2E646F6378> 信賴區間與信心水準的解讀建國中學林信安老師 1-3-4 信賴區間與信心水準的解讀民調的解讀大眾媒體經常報導民調的結果, 而民調的問題多半為是非題 : 對某位候選人支持或不支持, 對某位行政首長滿意或不滿意, 要不要投票給某位候選人等等下面的文字是某民調公司對行政院長施政的滿意度調查 : 滿意度 3 成 9 本次調查是以台灣地區住宅電話簿為抽樣清冊, 並以電話的後四碼進行隨機抽樣共成功訪問

第三單元 平面座標與直線的斜率

第三單元平面座標與直線的斜率