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1 統計學題庫一 緒論 1.1 下列調查結果何者屬於敘述統計? (a) 由於香蕉生產過剩, 預計今年香蕉的平均價格將跌到每台斤不到 5 元台幣 (b) 由於政府施行禁煙規定, 今年二月份的香煙銷售量較去年同期減少了 5 (c) 由於全球金融風暴, 紐約地區今年失業率將上升 6% (d) 由於近年少子化的影響, 預計自 010 年開始, 台灣的人口將呈現負成長 1. 下列調查結果何者屬於推論統計? (a) 因應政府拯救房市方案, 今年初各大銀行紛紛調降房屋貸款利率, 平均利率下降了 個百分點 (b) 由於政府去年鐵腕施行掃毒行動, 今年上半年的犯罪率較去年同期減少了 5 個百分點 (c) 由於台灣地區鰻魚生產過剩, 我們預計今年外銷鰻魚的平均價格將跌到每台斤不到 100 元台幣 (d) 於全球金融風暴, 台灣地區今年一月份的失業率較去年同期上升了 0.6 個百分點 1.3 母體之標準差即為母體的? (a) 參數 (b) 標準誤 (c) 統計量 (d) 變異數 1.4 抽查明新奶粉在全省四家商店的售價為 00,195,195,10( 元 ) 下列敘述何者屬於敘述統計學? (a) 這四家商店所售明新奶粉的平均售價為 00 元 (b) 全省所有商店所售明新牌奶粉的平均售價為 00 元 (c ) 全省有一半商店所售明新甲牌奶粉的售價低於 00 元 (d) 全省有一半商店所售明新甲牌奶粉的售價是 195 元 1.5 下列何者為母體參數 (a) 有五萬名網友參加的網路民調結果 (b) 內政部每年公佈的台灣地區新生兒出生數 (c ) 行政院主計處調查顯示, 上個月台灣地區失業率為 4.91% (d) 衛生局抽查冰店紅豆冰的不合格率 解答 1 B C 3 A 4 A 5 B 1

2 二 資料蒐集與整理.1 下列何種抽樣方法能得到不偏的民意調查? (a) 叩應 (call-in, 觀眾 聽眾自主電話回應調查問題 ) (b) 寫應 (write-in, 讀者自主寫信回應調查問題 ) (c ) 白天在車站每 10 人取 1 人的調查訪談 (d) 簡單隨機抽樣. 上學時使用的交通工具的可選擇搭公車 =1, 騎機車 =, 其他 =3, 這是何種量度尺度? (a) 順序尺度 (b) 區間尺度 (c) 名目尺度 (d) 以上皆非.3 下列何者為抽樣調查優於普查的不正確敘述? (a) 抽樣蒐集資料的速度較快 (b) 抽樣蒐集資料的成本較低 (c) 在某些狀況下, 抽樣的價值僅止於蒐集樣本 (d) 只要抽到足夠的樣本數, 抽樣調查所取得的資料都呈常態分配.4 下列何者不是電話調查的優點? (a) 省時 (b) 省錢 (c ) 所得樣本一定是簡單隨機抽樣 (d) 電話調查可利用電腦輔助, 通話中可直接輸入資料, 可即刻檢查輸入資料的明顯錯誤.5 統計學上有四種測量尺度 : 名目尺度 等級尺度 等比尺度, 以及何種尺度? (a) 標準尺度 (b) 有效尺度 (c ) 區間尺度 (d) 類別尺度.6 就統計推論的合理性而言, 下列何種抽樣方法較佳? (a) 非機率抽樣 (b) 簡單隨機抽樣 (c ) 立意抽樣 (d) 配額抽樣.7 大隊接力賽跑中甲班得到冠軍, 丁班得到亞軍 句中的 冠軍 亞軍, 是何種量度尺度? (a) 順序尺度 (b) 區間尺度 (c ) 名目尺度 (d) 以上皆非.8 阿丁體重 75 公斤 句中的 75 公斤, 是何種量度尺度? (a) 順序尺度 (b) 區間尺度 (c ) 名目尺度 (d) 以上皆非.9 下列那種圖形是屬性資料可畫的圖形? (a) 直方圖 (b) 肩形圖 (c ) 長條圖 (d) 莖葉圖.10 因郵寄問卷回收率過低所成的偏估, 可藉由下列何者方式避免?

3 (a) 郵寄更多問卷 (b) 對於樣本中未回答者, 進行進一步調查 (c ) 對於樣本中回答者, 進行進一步調查 (d) 放棄未回答者的意見, 把它當成無效樣本.11 對同一資料集編製幾種不同組距的次數分配表, 則組距為最寬的次數分配表 : (a) 組數最多 (b) 組數最少 (c ) 各組發生的次數都變小 (d) 與其他表的分組結果一樣各組發生次數一樣多. 1 比較屬量成對樣本 (X,Y) 資料中, 兩變數資料的分配是否一致, 下列何種圖形最為恰當? (a) 兩直方圖 (b)x 與 Y 的散佈圖 (c ) 莖葉圖 (d) 圓餅圖.13 溫度 在量度尺度分類中屬於下列那一種? (a) 名目尺度 (nominal scale) (b) 順序尺度 (ordinal scale) (c ) 區間尺度 (interval scale) (d) 比率尺度 (ratio scale).14 王建民的球衣號碼 在量度尺度分類中屬於下列那一種? (a) 名目尺度 (nominal scale) (b) 順序尺度 (ordinal scale) (c ) 區間尺度 (interval scale) (d) 比率尺度 (ratio scale).15 某汽車公司想比較在去年與今年, 公司銷售的輕型卡車及轎車的數目 下列何種圖形最為恰當?, (a) 兩直方圖 (b) 兩長條圖 (c ) 莖葉圖 (d) 圓餅圖.16 下列何者不是莖葉圖的優點 : (a) 提供原始數值及其取得條件 (b) 較容易製作, 就算有數值遺漏或重複, 可立即補足或刪除, 不必重新繪製 (c ) 便利閱讀 (d). 容易讀出各分組的百分比.17 下列何者不是長條圖的特性 : (a) 各長條依其長度而區別, 與其寬度無關 (b) 各長條間應留空隙, 勿連接在一起, 以利區分 (c) 各長條依某一變數特性的順序排列, 使其易於分析, 並求美觀 (d) 各長條間連接在一起, 以求美觀.18 調查化妝品市場消費者職業別, 可用下列何種尺度來衡量? (a) 名目尺度 (nominal scale) (b) 順序尺度 (ordinal scale) (c) 區間尺度 (interval scale) (d) 無法判斷 3

4 .19 友愛有線電視公司為預測晚間新聞節目的收視率, 在收視戶中加裝收視率監控器, 這種資料蒐集的方法是屬 : (a) 派員調查 (b) 郵寄問卷調查 (c ) 實驗性資料 (d) 觀察性資料.0 要將累積次數用圖表示, 下列何種圖形最為恰當? (a). 肩形圖 (b) 圓餅圖 (c ) 直方圖 (d) 次數多邊形圖 解答 1 D C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B 11 B 1 A 13 C 14 A 15 B 16 D 17 D 18 A 19 D 0 A 三 敘述統計 3.1 下列那個統計量無法顯示資料變異的程度? (a) 四分位距 (b) 標準差 (c) 中位數 (d) 全距 3. 若某組資料之標準差為 0, 則下列敘述何者為真? (a) 資料分配成對稱 (b) 平均數大於中位數 (c) 資料中所有觀察值都相同 (d) 資料中觀察值的數值, 正負各佔一半 3.3 一隨機樣本數據為 :, 4, 6, 8, 10,1, 則 : (a) 中位數為 7 (b) 全距為 7 (c) 眾數為 7 (d) 平均數為 下列那一個配對可以提供關於次數分配之偏態方面的情報 : (a) 眾數 平均數 (b) 標準差 中位數 (c ) 中位數 平均數 (d) 以上皆非 3.5 分配的第三級動差是在衡量分配的 : (a) 離散程度 (Degree of dispersion) (b) 中央趨勢 (Central tendency) (c ) 峰度 (Peakedness) (d) 偏態 (Skewness) 3.6 吾人觀測了一組資料 :3,5,,4,6,5,9,5,7,8, 下列何者正確? (a) 平均數 > 中位數 (b) 中位數 > 眾數 (c) 平均數 > 眾數 (d) 以上皆非 題解 : 資料為,3,4,5, 5, 5, 6, 7,8,9, 故眾數 =5, 中位數 =5, 平均數 = 四群學生, 人數是 人, 平均體重分別是 公斤, 4

5 則全部學生的平均體重是 ( 四捨五入 ): (a)55 (b)57 (c )60 (d) 資料不足, 不能計算 題解 : (10*50+0*55+30*60+40*65)/( )= 下列那一個統計量較可能同時表示一組樣本中, 體重的變異程度高於身高的變異程度 : (a) 四分位距 (b) 標準差 (c) 全距 (d) 變異係數 3.9 何種測量離散程度的測度量最易受到極端值的影響? (a) 標準差 (b) 四分位距 (c ) 變異數 (d) 全距 3.10 飲料工廠有兩條生產線,A 生產線產出 50c.c. 的飲料且產品容量的標準差為 c.c.,b 生產線產出 500c.c. 的飲料且產品容量的標準差為 3c.c., 就產品容量的觀點 而言 : (a) 生產線的品質較佳 (b) 生產線的品質較佳 (c) 兩條生產線品質一樣 (d) 難以斷論 題解 : A 生產線的變異係數 =/50=0.008 大於 B 生產線的變異係數 =3/500=0.006, 故 B 生產線的品質較佳 3.11 阿美班上期中考的會計學與統計學成績統計如下 ; 全班會計學的平均分數為 65 分, 標準差為 5 分, 統計學的平均分數為 70 分, 標準差為 7 分 阿美會計學得 78 分, 統計學得 84 分, 相較於全班同學, 阿美 : (a) 會計學成績較佳 (b) 統計學成績較佳 (c ) 會計學與統計學一樣好 (d) 平均數與標準差皆不同, 兩科成績無法比較 題解 : 阿美會計學在全班 (78-65)/5=.6 個標準差位置 阿美統計學在全班 (84-70)/7= 個標準差位置, 故其會計學成績相對較佳 3.1 下列敘述何者恆為正確? (a) 一組資料的最大值為 100, 最小值為 0, 其中位數為 50, 則此資料為對稱資料 (b) 以算術平均數為中心的標準差, 較以任何其他平均數為中心的標準差小 (c ) 若二組資料有相同平均數且皆為正數, 則標準差愈大者, 變異係數 (C.V.) 愈小 (d) 兩組不同單位的資料可藉全距比較資料之離散程度 3.13 下列敘述何者可能不正確? (a) 一組資料的最大值為 100, 最小值為 0, 其中位數為 60, 則此資料右偏 (b) 一組資料的所有數值與其算術平均數的差, 其總和為 0 (c ) 若二組資料有相同標準差, 且平均數皆為正數, 則平均數愈大者, 變異係數 (C.V.) 愈小 (d) 兩組不同單位的資料可藉變異係數 (C.V.) 比較資料之離散程度 5

6 3.14 一組數據資料中, 若平均數減去中位數的值是很大的正數時, 則下列敘述何者正確? (a) 中位數必須小於零 (b) 平均數必須是大的正數 (c ) 中位數必須小於零同時平均數必須大於零 (d) 資料分佈呈右偏 3.15 某一國際大公司招考員工時, 初試必須先考滿分為 00 分之英語測驗, 再以其分數高低決定面試與否 過去經驗顯示測驗分數為鐘形分配 假設今年公司預定 錄取分數最好的 16 人面試, 而報考人數有 100 人, 計算其平均成績為 150 分和標準 差為 15 分 該公司面試前錄取分數會 : (a) 比 150 分高 (b) 比 165 分高 (c ) 比 180 分高 (d) 比 195 分高 題解 :: 依經驗法則, 鐘形分配下, 與平均數距離一個標準差內的範圍占全體資料的 68%, 故比平均數大一個標準差的範圍占全體資料的 16%, 平均成績 150 分加一個標準差 15 分, 得 165 分 3.16 一組樣本的觀察值為 3, 5,7, 5, 6, 7, 則 樣本眾數 為 : (a) 5 (b)5.5 (c )7 (d)5 與 位學生每人投籃 8 次, 而投中球數分別為 4, 4, 5,5,6, 則投中次數的第一個四分 位數是 : (a)4 (b) 5 (c)5.5 (d) 位學生每人投籃 8 次, 而投中球數分別為 4, 4, 5,5,6, 則投中次數的標準差為何? (a).8/4 (b).8/5 (c) 3/4 (d) 3/ 一組數據中, 介於第一個四分位數和第六十百分位數之間的數據比例為 : (a)0% (b)35% (c )40% (d)65% 題解 :60-5=35% 3.0 下列何者不是算術平均數的特性? (a) 位於中央位置的資料值 (b) 是整個資料的平衡點 (c ) 與資料差異的總和為 0 (d) 與資料差異的平方和是最小的 3.1 一組資料如右 :1,,3,5,8,10,1,17,,6,9,30, 其第 3 個四分位數為 : (a) 17 (b) (c ) 4 (d) 6 題解 :n=1, 第 3 個四分位數位於 3*(1/4)=9, 故為第 9 個與第 10 個數字的平均 =(+6)/=4 3. 某班 50 名學生之統計學平均成績為 68 分, 若已知一名學生成績登記錯誤,40 分更正為 65 分, 試求更正後之全班平均成績 = 6

7 題解 [68*50-(65-40)]/50= 某班 50 名學生之統計學成績平均數為 68 分, 標準差為 10 分, 若已知一名學生成績登記錯誤,40 分更正為 65 分, 試求更正後之全班成績的標準差 = 題解原平方和 =( 變異數 + 均值平方 )*50=(100+68*68)*50=3600 新平方和 = 原平方和 -40*40+65*65= =3885 新均值平方 =[68*50-(65-40)]/50=68.5 新變異數 = 新平方和 /50- 新均值平方 =3885/ *68.5=84.5 標準差 = 一班級男生 0 人, 女生 30 人, 已知某次統計學測驗成績, 男生的平均數為 65 分, 標準差為 1 分, 女生的平均數為 70 分, 標準差為 10 分, 則此次統計學測驗, 全班 50 人成績的平均數 = 68 題解平均數 =(0*65+30*70)/(0+30)= 一班級男生 0 人, 女生 30 人, 已知某次統計學測驗成績, 男生的平均數為 65 分, 標準差為 1 分, 女生的平均數為 70 分, 標準差為 10 分, 則此次統計學測驗, 全班 50 人成績的, 標準差 = 題解變異數 =[0*1*1+30*10*10+0*(65-68)*(65-68)+30*(70-68)*(70-68)]/(0+30) =6180/50=13.6 標準差 = 某班學生之統計學成績平均數為 45 分, 標準差為 15 分, 老師決定調整成績, 試求以下列方式調整成績後的平均數和標準差 ; 每人加 0 分, 則平均數 =, 標準差 = 題解平均數 =45+0=65 分標準差 = 某班學生之統計學成績平均數為 45 分, 標準差為 15 分, 老師決定調整成績, 試求以下列方式調整成績後的平均數和標準差 ; 每人成績乘以 1.5 倍, 則平均數 =, 標準差 = 題解平均數 =45*1.5=67.5 標準差 =15*1.5= 某班學生之統計學成績平均數為 45 分, 標準差為 15 分, 老師決定調整成績, 試求以下列方式調整成績後的平均數和標準差 ; 每人成績乘以 1.5 倍後, 再加 5 分, 則平均數 =, 標準差 = 題解平均數 =45*1.5+5=7.5 標準差 =15*1.5=.5 7

8 解答 1 C C 3 A,D 4 D 5 D 6 A,C 7 C 8 D 9 D 10 B 11 A 1 B 13 A 14 D 15 B 16 D 17 A 18 A 19 B 0 A 1 C ; ; ;.5 四 機率概論 4.1 若王先生得到甲工作的機率為 0.5, 得到乙工作的機率為 0.6, 在得到甲工作的條件下, 王先生會得到乙工作的機率為 0.5, 請問王先生同時會得到甲工作及乙工作的機率為何? (a)1.1 (b)0.6 (c)0.3 (d)0.5 題解 : P(A)=0.5 P(B)=0.6 P(B A)=0.5 P(A B)= P(B A) P(A)=0.5*0.5= 若李先生得到甲工作的機率為 0.5, 得到乙工作的機率為 0.6, 在得到甲工作的條件下, 李先生會得到乙工作的機率為 0.5, 請問李先生會得到甲工作或乙工作的機率為何? (a)1.1 (b)0.85 (c)0.75 (d)0.6 題解 : P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= = 彩券的中獎號碼是由四個箱中各抽一個號碼球, 而每個箱內有 0 到 9 的號碼球各一顆, 則樣本空間中有多少樣本點? (a)40 (b)79 (c )1000 (d)10000 題解 : 10*10*10*10= 二個互斥事件 A B, 機率分別是 , 則 Pr{A c B c }=?( 註 :A c,b c 分別 表示 A B 的餘集合 ) (a)0.7 (b)0.8 (c )0.9 (d)1.0 題解 : 二個互斥事件 A B 得 P(A B)=0, 而 Pr{A c B c }=1-P(A B)=1-0=0 8

9 4.5 二個獨立事件 A B, 機率分別是 , 則 Pr{A B}=? (a)0.9 (b)0.8 (c )0.7 (d)0.6 題解 : 二個獨立事件 A B 得 P(A B)=P(A)*P(B)=0.5*0.6=0.3 則 Pr{A B}=P(A)+P(B)- P(A B)= = 設 5 位助理的薪水分別是 ( 單位 : 千元 )5, 7, 30, 3,36, 平均是 30, 現在隨機抽出 3 人, 則其中 人的薪水大於平均 30 的機率是 : (a)0.3 (b)0.4 (c )0.5 (d)0.6 題解 : 3C1*C/5C3=[3*1]/[5*4*3/3!]=3/ 擲一枚公正的骰子 8 次結果 8 次均出現奇數點, 則擲第 9 次時 : (a) 出現奇數點的機率比較出現偶數點的機率大 (b) 出現偶數點的機率比較出現奇數點的機率大 (c ) 出現偶數點的機率與出現奇數點的機率一樣大 (d) 應該會出現偶數點 4.8 某公司生產鬧鐘, 有 10% 的不良率 此公司為了商譽, 對每一個鬧鐘做品質檢驗以區分產品是否不良, 並分類為 通過 或 不通過, 若檢驗員有 5% 的機會分類錯誤, 則被分類為 通過 的百分比, 最接近下列那一項? (a)80% (b)85% (c)90% (d)95% 題解 : 已知 P( 不良 )=0.1, 分類錯誤,P( 通過 不良 )=0.05,P( 不通過 良 )=0.05 則 P( 通過 )= P( 通過 不良 ) P( 不良 )+ P( 通過 良 ) P( 良 )=0.05*0.1+(1-0.05)*(1-0.1)= 某公司生產鬧鐘, 有 10% 的不良率 此公司為了商譽, 對每一個鬧鐘做品質檢驗以區分產品是否不良, 並分類為 通過 或 不通過, 若檢驗員有 5% 的機會分類錯誤, 如果只有被分類為 通過 的鬧鐘, 可對外販賣 ; 被分類為 不通過 的, 則被鬧鐘報廢丟棄 問可對外販賣的燈泡中, 是良品的百分比, 最接近下列那一項? (a)90% (b)93% (c)96% (d)99% 題解 : P( 良 通過 )= P( 良 通過 )/P( 通過 )= (1-0.05)*(1-0.1)/0.86=0.855/0.86= 某公司生產的零件來自甲 乙兩工廠, 甲工廠生產其中 70 %, 不良率是 0.5 %, 乙工廠生產其餘 30 %, 不良率是 1 %, 則該公司螺絲不良率是 : (a)0.3% (b)0.38% (c)0.5% (d)0.65% 題解 : 0.7* *0.01=0.0065=0.65% 4.11 投一公正骰子一次 ( 有 6 面, 分別是 1,,3,4,5,6 點 ), 則出現點數的期望值是 : (a)3 (b)3.5 (c) 4 (d) 依出現點數而定 4.1 假定 9

10 P(A1)0., P(A )0.8,P(B A1)0.,P(B A )0.4, 那麼 P(A1 B)? (a)0.10 (b)0.111 (c )0.18 (d)0.50 題解 : P(A1 B)P(A1 B)/P(B)=P(B A1)*P(A1)/[ P(B A1)*P(A1)+P(B A)P(A)] =0.*0./[]0.*0.+0.4*0.8)=1/ 袋中有相同大小的 1 個黑球與 1 個白球 事件 A 表示第 1 球取到白球, 事件 B 表示第 球取到白球 一次取 1 球, 而且取出不放回, 則下列敘述何者正確 : (a)a 與 B 是互斥事件且 A 與 B 是獨立事件 (b) A 與 B 是互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (c ) A 與 B 不互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (d)a 與 B 不互斥且 A 與 B 是獨立事件 題解 : 因取出不放回, 第 1 球取到白球後第 球取不到白球, 故 A 與 B 是互斥事件,P(A)=1/,P(B)=P( 第一球取到黑球 )*P( 第 球取到白球 第一球取到黑球 )+ P( 第一球取到白球 )*P( 第 球取到白球 第一球取到白球 )=1/*1+1/*0=1/, P(A B)=0 P(A)*P(B)=1/*1/, 故 A 與 B 是相依事件 4.14 袋中有相同大小的 1 個黑球與 1 個白球 事件 A 代表第 1 球取到白球, 事件 B 代表第 球取到白球 一次取 1 球, 而且取出放回, 則下列敘述何者正確 : (a)a 與 B 是互斥事件且 A 與 B 是獨立事件 (b)a 與 B 是互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (c ) A 與 B 不互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (d)a 與 B 不互斥且 A 與 B 是獨立事件 題解 : 因取出放回, 第 1 球取到白球後, 放回, 故袋中恢復原狀, 第 球取到白球的機率與第 1 球相同, P(A)= P(B)=1/, 故 A 與 B 可以同時發生, 不互斥, 且 P(A B)=P(A)*P(B)=1/*1/, 故 A 與 B 是獨立事件 4.15 袋中有相同大小的 1 個黑球與 個白球 事件 A 表示第 1 球取到白球, 事件 B 表示第 球取到白球 一次取 1 球, 而且取出不放回, 則下列敘述何者正確 : (a)a 與 B 是互斥事件且 A 與 B 是獨立事件 (b)a 與 B 是互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (c ) A 與 B 不互斥且事件 A 與 B 是相依事件 (d)a 與 B 不互斥且 A 與 B 是獨立事件 題解 : 因取出不放回, 第 1 球取到白球後, 袋中仍有一個白球, 故第 球可取到白球, 故 A 與 B 可以同時發生, 不互斥,P(A)=/3,P(B)=P( 第一球取到黑球 )*P( 第 10

11 球取到白球 第一球取到黑球 )+ P( 第一球取到白球 )*P( 第 球取到白球 第一球取到白球 )=1/3*1+/3*1/=/3,P(A B)= P( 第一球取到白球 )*P( 第 球取到白球 第一球取到白球 )= /3 P(A)*P(B)=/3*1/, 故 A 與 B 是相依事件 4.16 連續丟二個公平銅板, 丟第四次才發生一正一反的機率是 : (a)1/16 (b)1/8 (c)3/16 (d) 1/4 題解 : 每次丟二個公平銅板出現一正一反的機率是 1/, 丟第四次才發生一正一反的機率是 1/*1/*1/*1/=1/ 設生男生女之機率各為 1/, 且互相獨立 某夫婦生了 3 個小孩, 則恰是 1 男 女的 機率是 : (a)1/8 (b)1/4 (c)3/8 (d) 1/ 4.18 投一公正骰子一次, 定義 A,B,C 三事件如下 :A={ 出現數字是偶數 },B={ 出現 數字是小於 4},C={ 出現數字是大於 4} 那麼 Pr(A (B C)) 為何?( 即 A (B C) 之 機率 ) (a)1/6 (b)1/3 (c)=1/ (d)/3 題解 : B C= { 出現數字是 1,,3,5,6},A (B C)={,6},Pr(A (B C))=/6=1/ 某疾病的發生率為 1%, 而某藥廠宣稱他們發展出一種很準確的檢測藥劑 : 若有病則檢測結果為陽性 ( 有病 ) 的機率是 99%, 若無病則檢測結果為陰性 ( 沒病 ) 的機 率也是 99% 現隨機選一人, 則檢測結果為陽性的機率最接近 : (a)1% (b)% (c )50% (d)99% 題解 : 已知 P( 有病 )=0.01, P( 陽性反應 有病 )=0.99,P( 陰性反應 無病 )=0.99 則 P( 陽性反應 )= P( 陽性反應 有病 ) P( 有病 )+ P( 陽性反應 無病 ) P( 無病 ) =0.99*0.01+(1-0.99)*(1-0.01)= 某疾病的發生率為 1%, 而某藥廠宣稱他們發展出一種很準確的檢測藥劑 : 若 有病則檢測結果為陽性 ( 有病 ) 的機率是 99%, 若無病則檢測結果為陰性 ( 沒病 ) 的機率 也是 99% 現某人檢驗結果為陽性 ( 顯示帶病 ), 則他真的帶病的機率最接近 : (a)1% (b)% (c )50% (d)99% 題解 : 已知 P( 有病 )=0.01, P( 陽性反應 有病 )=0.99,P( 陰性反應 無病 )=0.99 則 P( 陽性反應 )= P( 陽性反應 有病 ) P( 有病 )+ P( 陽性反應 無病 ) P( 無病 ) =0.99*0.01+(1-0.99)*(1-0.01)=

12 P( 有病 陽性反應 )= P( 陽性反應 有病 )/ P( 陽性反應 )= P( 陽性反應 有病 ) P( 有病 ) / P( 陽性反應 ) =0.99*0.01/[0.99*0.01+(1-0.99)*(1-0.01)]=1/ 4.1 假設台灣地區婦女就業調查中發現,40% 在上班,60% 為家庭主婦 若已知在 上班工作的婦女中, 大學畢業者佔 50%; 在家庭工作的家庭主婦中, 大學畢業者佔 60%. 從所有婦女中隨機抽取一人, 其為大學畢業者的機率是多少? (a)0.45 (b)0.56 (c)0.67 (d)0.78 題解 : P( 大學畢業者 )=P( 大學畢業者 在上班工作 )*P( 在上班工作 )+P( 大學畢業者 家庭主婦 )*P( 家庭主婦 )=0.5* *0.6= 假設台灣地區婦女就業調查中發現,40% 在上班,60% 為家庭主婦 若已知在 上班工作的婦女中, 大學畢業者佔 50%; 在家庭工作的家庭主婦中, 大學畢業者佔 60% 從所有婦女中隨機抽取一人, 若被抽中者是大學畢業者, 則其在上班工作的 機率是多少? (a) (b)0.46 (c) (d)0.468 題解 : P( 大學畢業者 )=P( 大學畢業者 在上班工作 )*P( 在上班工作 )+P( 大學畢業者 家庭主婦 )*P( 家庭主婦 )=0.5* *0.6=0.56. P( 在上班工作 大學畢業者 )= P( 大學畢業者 在上班工作 )*P( 在上班工作 )/ P( 大學畢業者 )=0.5*0.4/0.56= 從台灣全省抽樣 1,000 家公司, 調查其去年的業績, 發現結果如下 : 業績成長 的有 150 家, 業績衰退的有 550 家, 業績不變的有 300 家, 而其中服務業所佔的比 例分別為 45%,30%,50% 若從中選取一家公司, 其為服務業的機率為若干? (a) (b) (c ) (d) 題解 P( 服務業 )= P( 服務業 業績成長 )*P( 業績成長 )+P( 服務業 業績衰退 )*P( 業績衰退 )+ P( 服務業 業績不變 )*P( 業績不 變 )=0.15* * *0.50= = 從台灣全省抽樣 1,000 家公司, 調查其去年的業績, 發現結果如下 : 業績成長的有 150 家, 業績衰退的有 550 家, 業績不變的有 300 家, 而其中服務業所佔的比例分別為 45%,30%,50% 若從中選取一家公司, 已知其為服務業, 則其去年業績成長的機率為若干? (a) (b) (c ) (d)0.07 題解 :P( 業績成長 服務業 )= P( 業績成長 服務業 )/P( 服務業 ) 1

13 P( 服務業 )= P( 服務業 業績成長 )*P( 業績成長 )+P( 服務業 業績衰退 )*P( 業績衰退 )+ P( 服務業 業績不變 )*P( 業績不變 )=0.15* * *0.50= =0.385 P( 業績成長 服務業 ) )= P( 業績成長 服務業 )/P( 服務業 )= P( 服務業 業績成長 )*P( 業績成長 )/ P( 服務業 )=0.0675/0.385= 從台灣全省抽樣 1,000 家公司, 調查其去年的業績, 發現結果如下 : 業績成長 的有 10 家, 業績衰退的有 580 家, 業績不變的有 300 家, 而其中服務業所佔的比 例分別為 45%,30%,50% 若從中選取一家公司, 所選取的公司不為服務業的機 率為若干? (a) (b) (c) (d) 題解 : P( 非服務業 )= P( 非服務業 業績成長 )*P( 業績成長 )+P( 非服務業 業績衰退 )*P( 業績衰 退 )+P( 非服務業 業績不變 )*P( 業績不 變 )=0.15* * *0.50= = 若 P(A) = 0.8, P(B) =0.7 且 P(A B) =0.90, 則 P(A B) = (a) 0.5 (b) 0.6 (c ) 0.7 (d) 0.8 題解 : P(A B) = P(A) + P(B) -P(A B)= = 若 P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 且 P(A B) =0.5, 則 P(A B) = (a) (b) 0.65 (c ) (d) 題解 : P(A B) = P(A B)/P(B)=0.5/0.4= 若 P(A) = 0.30, P(B) = 0.40, P(A B) = 0.06, 則 A 與 B 為 : (a) 獨立事件 (b) 相依事件 (c ) 互斥事件 (d) 互補事件 題解 : P(A B) = 0.06 P(A)* P(B) = 0.30*0.40=0.1, 故 A 與 B 為相依事件 4.9 若 A 與 B 為獨立事件,P(A) = 0.7 且 P(A B) = 0.7, 則 P(B) = (a) 1.00 (b) 0.7 (c ) 0.49 (d) 資料不足無法決定 4.30 若 P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, 且 P(A B) = 0.4, 則 P(A B) =: (a) 0.6 (b)0.7 (c )0.8 (d) 0.9 題解 : P(A B) = =0.7 13

14 解答 1 D B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 D 11 B 1 B 13 B 14 A 15 C 16 A 17 C 18 B 19 B 0 C 1 B C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 B 9 D 30 B 五 間斷型機率分配 ( 一 ) 選擇題: 1. 以投擲一枚六面骰子一次的隨機試驗, 下列那一個隨機變數的定義是正確的? (A) X = 1, 如出現偶數, 如出現奇數 3, 如出現 1,,3 (B) X = 1, 如出現 1,,3, 如出現 4 3, 如出現 5 4, 如出現 4,5,6 (C) X = 1, 如出現 1,6 0, 如出現,3,4,5 (D) X = 贏, 如出現 6 輸, 如出現 1,,3,4,5. 一個不公正六面骰子, 號碼 ( 5) 每面出現的機率都是 1/4 1/4, 號碼 ( ) 每面出現的機率都是 1/8 令 X 為擲這個骰子兩次的點數和 請問 X 等於 9 的機率為何? (A) 5/64 (B) 7/64 (C) 3/3 (D) 1/9 3. 一個不公正六面骰子, 號碼 ( 5) 每面出現的機率都是 1/4 1/4, 號碼 ( ) 每面出現的機率都是 1/8 令 X 為擲這個骰子兩次的點數和, 請問 X 大於或等於 4 且小於或等於 10 的機率為何? (A) 5/6 (B) 7/3 (C) 5/36 (D) 53/64 4. 盒中有 10 個球, 其中 4 個紅球,6 個黑球 ; 以不放回抽樣方式隨機選取 4 球 令隨機變數 X 表示黑球數, 請問機率 P(X ) 之值為何? (A) (B) (C) (D)

15 5. 假設一上市股票依過去股價分析可知隔天上升 1 元的機率為 0.4, 維持相同股價的機率為 0.4, 而隔天下降 1 元的機率為 0., 當某日的成交價格為 80 元時, 問明日的期望價格為何? (A) 79.8 元 (B) 80. 元 (C)81 元 (D) 78 元 6. 假定 X 為一隨機變數, 且其 E(X )=100,σ (X)= 60 變數 Y 為 X 的線性函數, Y=X+150 那麼 E(Y),σ (Y) 各為多少 : (A) 00;10 (B)350;10 (C) 350;40 (D) 50;60 7. 某私立高中應屆畢業生有 60% 會考進國立大學 令 X 為隨機選出 100 人考進國立 大學的人數 請問 X 的標準差為何? (A) 4.90 (B) 3.4 (C) (D) 在一個班級共有 30 位男生與 0 位女生, 隨機抽出 5 人參加演講比賽, 設隨機變數 X 是抽出的女生人數, 則隨機變數 X 的機率分配是 : (A) 常態分配 (B) 二項分配 (C) 幾何分配 (D) 超幾何分配 9. 假設在太平洋捕鮭作業中捕獲畸形鮭魚的機率為 0.%, 今欲求從該處捕獲的 1000 條鮭魚中最多有兩條魚為畸形魚的機率, 應該用何種統計方法較適宜? (A) 常態 (normal) 分配 (B) 超幾何分配 (C) 卜瓦松 (Poisson) 分配 (D) F 分配 10. 已知一錄音室 180 分鐘之光碟片的錯誤數服從平均數為 6 的卜瓦松 (Poisson) 分配, 隨機抽取一片 180 分鐘之光碟片, 已播放前 30 分鐘, 未出現錯誤, 則接著的 60 分鐘不會出現錯誤的機率為 : (A) (B) (C) (D) 長榮航空 747 班機預售了 300 個座位, 但此班機只有 98 個可供乘客使用, 假設平均有 % 旅客取消其班機, 試求無人取消班機之機率為 : (A) e -6 (B) e -4 (C) e - (D) e 1. 設產品不良率為 0.0, 隨機從產品中取出 00 件檢查 令 00 件中不良品個 數為 X, 則機率 P(X 3) 之近似值為何? (A) (B) (C) (D) 盒中有 10 個球, 其中 3 個紅球,5 個黑球, 個白球 ; 以歸還方式隨機選取 3 球 令 X 表示紅球數, 令 Y 表示黑球數, 請問機率 P(X=1,Y=) 之值為何? 15

16 (A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/9 (D) 1/6 14. 假設有兩個離散型隨機變數 X 和 Y, 其聯合機率分配是 f (x, y) =k(x+y),x =1,, 3; y =0,1, 試問 k =? (A) 1/1 (B) 1/18 (C) 1/1 (D) 1/7 15. 假設有兩個離散型隨機變數 X 和 Y, 其聯合機率分配是 f (x, y) =k(x+y),x =1,, 3; y =0,1, Pr (Y = ) =? (A) 1/ (B) 1/5 (C) 4/9 (D) / 設隨機變數 X 與 Y 為獨立變數, 則下列何者為正確?( 其中 E(X),E(Y) 為 X 與 Y 的期望值,VAR(X),VAR(Y) 為 X 與 Y 的變異數 ) (A) E(X/Y)=E(X)/E(Y) (B) E(X Y)=E(Y X) (C) VAR(Y X)=VAR(X Y) (D) VAR(X+Y)=VAR(X)+VAR(Y) 17. 有關波松隨機變數 (Poisson random variable) 的陳述下列何者正確? (A) 具無限多個可能值的離散隨機變數 (B) 具有限多個可能值的離散隨機變數 (C) 具無限多個可能值的連續隨機變數 (D) 具有限多個可能值的連續隨機變數 18. 假設鑽探 1 口井會發現天然氣之機率為 0.36, 而且每次鑽探之結果互為 獨 立 今欲求算鑽探少於 10 次就會發現第 1 口天然氣井的機率 這個問題中的 隨機變數具有什麼機率分配? (A) 二項分配 (B) 負二項分配 (C) 幾何分配 (D) 卜瓦 松分配 19. 一個養鵝場中體重超過 4 公斤的豬隻占 0.5 的機率, 求算隨機抓取 0 隻鵝, 會 發現 5 隻超過 4 公斤的機率 這個問題中的隨機變數具有什麼機率分配? (A) 二項分配 (B) 負二項分配 (C) 幾何分配 (D) 卜瓦 松分配 0. 袋中共有 10 個球, 其中有 個紅球 一次取 1 球, 取出不放回, 則第 球會取 到紅球之機率為 : (A) /10 (B) /9 (C) 1/9 (D) 不一定 16

17 ( 二 ) 填充題 : 1. 有一個隨機變數 X, 其機率分配如下 : ax f ( x) x1,,3,4 x! 0 其它值則常數 a 等於 Ans 6/31 題解 4 x1 a 4a 9a 16a 31a f ( x) 1 1!! 3! 4! 6 6 a 31. 有一個隨機變數 X, 其機率分配如下 : 6 x f ( x) x1,,3,4 31x! 0 其它值則 P(X>1) = 和 P(X>1 X<4)= 又 E(x)= Var(x)= Ans: 5/31, 7/9,.355, 題解 6 5 () P( X1) 1 P( X1) 1 P( X1) P( X1, X4)) P( X ) P( X3) 1/31 9/ P( X1 X 4) P( X4) 1 P ( X4) 14/ (3) E( X ) xf ( x).355 x E( X ) x f ( x) x1 3. 有一個隨機變數 X, 其機率分配如下 : a x x f ( x) P ( Xx ) 0 其它值則常數 a 等於 Ans 0.11 題解 4 x1 (1 ) 1, 0,1, (1) f ( x) a a a5 a10 a1 a0.1 17

18 4. 有一個隨機變數 X, 其機率分配如下 : a x x f ( x) P ( Xx ) 0 其它值令隨機變數 Y=X +, 則 P(Y>)= (1 ) 1, 0,1, 又 E(Y)= 和 Var(Y)= Ans 0.9, 56.8, 題解 隨機變數 Y 的機率分配為 : y 4 10 合計 f(y) P( Y) 1 P( Y) 1 P( Y) (3) E( Y) yf ( y) ; y1 Var Y E Y E Y E Y ( ) ( ) ( ) 56.8 (6.8) ( ) y f ( y) 一盒內有 5 個紅球及 5 個藍球, 自其中任取 球 若 球是相同顏色, 則得 10 元 ; 若 球不是相同顏色, 則得 -8 元 ( 即, 輸 8 元 ), 令隨機變數 X 為某一次賭局中所 贏得之金額 ; (1) 則隨機變數 X 的機率分配 = () 隨機變數 X 的平均數 = 及變異數 = Ans:f(-8)=4/9,f(10)=5/9: : 80 題解 : (1) P( ) 兩球同色 和 P( 兩球不同色 ) X 的機率分配為 : x 合計 f(x) 4/9 5/9 1.0 () E( X ) xf ( x) 8 10 x E( X ) x f ( x) x Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 84 () 80 y 18

19 6. 假如你投資 $ 萬元於某風險很高的創投基金, 有 40% 的機會可以拿回 $5 萬元 ; 有 5% 的機會可以將投資的錢拿回來, 有 35% 的機會一毛錢都拿不回來 令隨機變 數 X 為你可能的淨回收 (net payoff), (1) 隨機變數 X 的平均數 = 與變異數 = () 若你改變心意, 想加碼投資到 $10 萬元, 則你可能的淨回收 (net payoff) 的平均數 = 與變異數 = Ans: 0.5, 4.75,.5, 題解 : (1) X 的機率分配為 : 淨回收 x( 萬元 ) 合計 f(x) E( X ) xf ( x) ( ) E X x ( ) x f ( x) ( ) x Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 5 (0.5) 4.75 () 令 Y=5X,E(Y)=5 0.5=.5,Var(Y)=5 4.75= 設 10 個小孩的家庭中, 男生之機率為 0.3, 則 : (1) 此家庭中恰有 位男生之機率 = () 此家庭中至少有 位男生之機率 = Ans : 0.335, 題解 : 10 8 (1) X~N(10,0.3), P( X) x 10x (1) X~N(10,0.3), P( X) x x 8. 有 5% 的學生在某一特定必修科目中會被當掉, 現有 0 個學生修課, 令隨機變 數 X 代表被當掉的學生人數 : 則 (1) 隨機變數 X 的平均數 = 及變異數 = ; () P(X =0)= 和 P(X )= Ans : 5, 3.75, 0.003, 題解 : (1) ~ (0,0.5), ( ) 0.5 x x X B f x 0.75, x0,1,...,0 x E( X) np 和 Var ( X) npq () P( X0) P( X) 1 P( X1)

20 9. 某一考試有 10 題選擇題, 每一題均有 4 個可能答案, 而每一題都只有一個是正榷 的 若某學生純粹以猜答案的方式來答題, 今隨機變數丫代表此學生猜對的題 數 則 (1) 隨機變數 Y 的機率分配為 () 隨機變數 Y 的平均數 = 及變異數 = (3) P(Y 3)= Ans : B(10,1/4),.5, 15/8, 題解 : (1) Y ~ B(10,1/ 4), y0,1,,..., () E( Y) np 101/ 4.5 和 Var( Y) npq 10 15/ (3) P( Y3) 1 P( X0) P ( X1) P ( X) 若有一個非正常硬幣, 出現反面的機率為出現正面的三倍, 擲這個非正常硬幣 10 次, 令隨機變數 X 代表出現反面的次數, 則 : (1) 隨機變數 X 的平均數 = 及變異數 = () P(<X 4)= 和 P(X>1)= Ans :.5, 1.875, , 題解 : (1) ~ (10,0.5), ( ) 0.5 x x X B f x 0.75, x0,1,...,10 x () E( X) np 和 Var ( X) npq (3) P(X 4) P ( X3) P ( X4) P( X1) 1 P( X1) = 一盒中置有黑球 5 個 紅球 4 個, 自其中連續抽取 4 球, 令隨機變數 X 代表抽出黑 球的個數, 試求 : (1) P(3 X 5)= 和 P(X)= () E(x)= 和 Var(X)= Ans : 0.357, 0.753,., 題解 : 隨機變數 X 為在一個裝有 9 個球的盒子中取出 4 個球來檢查, 其中黑球的個數,X~H(N=9, S=5, n=4) 5 4 x 4x f ( x) P ( Xx ), x0,1,,3,

21 () P(3X 5) P ( X3) P ( x4) P( X) 1 P( X0) P ( X 1) Nn (3) E( X ) np 4. 和 Var( X ) npq N 某公司在電子產品運出之前對所製造的產品進行可用性測試, 並以二階段進行 其計劃 裝有 5 個電子產品的盒子準備運送時, 每盒取 個產品來做不良品試 驗 如果找到任何不良品, 則整盒送回廠內進行 100% 的篩選 如果沒有找到任 何不良品, 則此盒就運出 (1) 裝有 3 個瑕疵品的盒子被運出的機率 = () 只有 1 個瑕疵品的盒子卻回廠做 100% 篩選的機率 = Ans : 0.77, 0.08 題解 : 令隨機變數 X 代表在一個裝有 5 個產品的盒子中取出 個產品來檢查, 其中不良品的個數,X~H(N=5, S, n=) (1) 在 S=3( 盒裝有 3 個不良品 ) 中, 盒子被運出的機率為 : 3 0 P( X0) () 在 S=1( 盒裝有 1 個不良品 ) 中, 盒子被送回廠的機率為 : P( X1) 一個袋子裝有 4 張彩卷, 其中有 5 張有獎, 由袋子中隨機抽出 5 張, 隨機變數 X 代表有獎彩卷之張數, 則 : E(X)=, Var(X)= ; P( X1)? Ans : 1.5, 0.74, 題解 : 隨機變數 X 服從一個超幾何分配 : 5 15 x 5x P( Xx ) ; x0,1,,3, 4,

22 (3) 5 Nn () E( X ) np 和 Var( X ) npq N P( X1) 1 P( X0) 假定每天在大千路與萬全路之交叉路口發生的車禍件數符合 Poisson 分配, 而且 每天平均有 次車禍發生 問某天在此交叉路口 : (1) 至多只會發生一次車禍的機率 =? () 不會有車禍發生的機率 =? (3) 至少有 3 件車禍會發生的機率 =? Ans : 0.406, , 0.33 題解 : 令隨機變數 X 代表某天在此交叉路口發生的車禍件數,x=0,1,, ; X~P(λ=) (1) () 0 1 P( X1) P ( X0) P ( X1) e e ! 1! 0 P( X0) e ! (3) P( X3) 1 P( X) H 牌汽車業者關心 Q-PLUS 車型煞車系統的一種故障 此故障發生率不高, 但在高速行駛時會引起嚴重的事故 假定每年有過此故障的汽車數目 X 為一個 λ=4 的卜瓦松機率分配 : (1) 每年最多 3 輛汽車造成嚴重事故的機率 = () 每年超過 輛汽車會造成嚴重事故的機率 = (3) E(X)= 和 Var(X)= 各為何? Ans : 0.433, 0.76, 4, x e 題解 :(1) X ~ P( 4); P( X3) e ( ) e x! 0! 1!! 3! 6 x0 4 x e 4 () P( X) 1 P( X) x0 x! (3) E( X ) 4, Var( X ) 已知一個池塘中的一種泰國蝦有 % 的蝦有病, 假設病蝦在池水中呈隨機分布, 則在一網含有 100 隻蝦中剛好有 隻病蝦的機率是多少?

23 (1) 用二項分布 (Binomial Distribution) 解所問的機率 = () 用卜瓦松分布 (Poisson Distribution) 解所問的機率 = ( 註 : = ;e =.7188) Ans : 0.183, 題解 : (1) Y ~ B(100, 0.0), y0,1,,...,100; P( Y) e () YP ( ), y0,1,,...; P( Y3) ! 間斷型機率分配 ( 解答 ) ( 一 ) 選擇題: 1 C D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 11 A 1 B 13 B 14 D 15 C 16 D 17 A 18 C A A 1. ( 題解 ): 4 a 4a 9a 16a 31a 6 (1) f ( x) 1 a x1 1!! 3! 4! 6 31.( 題解 ): 6 5 () P( X1) 1 P( X1) 1 P( X1) P( X1, X4)) P( X ) P( X3) 1/31 9/ P( X1 X 4) P( X4) 1 P ( X4) 14/ (3) E( X ) xf ( x).355 x E( X ) x f ( x) x1 Var X E X E X 3.( 題解 ): ( ) ( ) ( ) (.335)

24 4 (1) f ( x) a a a5 a10 a1 a0.1 x1 4.( 題解 ): () 隨機變數 Y 的機率分配為 : y 4 10 合計 f(y) P( Y) 1 P( Y) 1 P( Y) (3) E( Y) yf ( y) ; y1 Var Y E Y E Y E Y ( ) ( ) ( ) 56.8 (6.8) ( ) y f ( y) ( 題解 ): (1) P( ) 兩球同色 和 P( 兩球不同色 ) X 的機率分配為 : x 合計 f(x) 4/9 5/9 1.0 () E( X ) xf ( x) 8 10 x E( X ) x f ( x) x Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 84 () 80 6.( 題解 ): (1) X 的機率分配為 : 淨回收 x( 萬元 ) 合計 f(x) E( X ) xf ( x) ( ) E X x ( ) x f ( x) ( ) x Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 5 (0.5) 4.75 (3) 令 Y=5X,E(Y)=5 0.5=.5,Var(Y)=5 4.75= ( 題解 ): 10 8 (1) X~N(10,0.3), P( X) x 10x (1) X~N(10,0.3), P( X) x x y 4

25 8.( 題解 ): 0 x E( X) np 和 Var ( X) npq () P( X0) P( X) 1 P( X1) (1) ~ (0,0.5), ( ) 0.5 x x X B f x 0.75, x0,1,...,0 9.( 題解 ): (1) Y ~ B(10,1/ 4), y0,1,,...,10 () 1 3 E( Y) np 101/ 4.5 和 Var( Y) npq 10 15/ (3) P( Y3) 1 P( X0) P ( X1) P ( X) ( 題解 ): (1) ~ (10,0.5), ( ) 0.5 x x X B f x 0.75, x0,1,...,10 x () E( X) np 和 Var ( X) npq (3) P(X 4) P ( X3) P ( X4) P( X1) 1 P( X1) = ( 題解 ): (1) 隨機變數 X 為在一個裝有 9 個球的盒子中取出 4 個球來檢查, 其中黑球的個數,X~H(N=9, S=5, n=4) 5 4 x 4x f ( x) P ( Xx ), x0,1,,3, () P(3X 5) P ( X3) P ( x4) P( X) 1 P( X0) P ( X 1)

26 5 Nn (3) E( X ) np 4. 和 Var( X ) npq N ( 題解 ): 令隨機變數 X 代表在一個裝有 5 個產品的盒子中取出 個產品來檢查, 其中不良品的個數,X~H(N=5, S, n=) (3) 在 S=3( 盒裝有 3 個不良品 ) 中, 盒子被運出的機率為 : 3 0 P( X0) (4) 在 S=1( 盒裝有 1 個不良品 ) 中, 盒子被送回廠的機率為 : P( X1) ( 題解 ): 5 15 (1) 隨機變數 X 服從一個超幾何分配 : x 5x P( Xx ) ; x0,1,,3, 4, Nn () E( X ) np 和 Var( X ) npq N (3) P( X1) 1 P( X0) ( 題解 ): 令隨機變數 X 代表某天在此交叉路口發生的車禍件數,x=0,1,, ;X~P(λ=) (1) () 0 1 P( X1) P ( X0) P ( X1) e e ! 1! 0 P( X0) e ! (3) P( X3) 1 P( X) ( 題解 ): 3 4 x e (1) X ~ P( 4); P( X3) e ( ) e x! 0! 1!! 3! 6 x0 4 x e 4 () P( X) 1 P( X) x0 x! (3) E( X ) 4, Var( X ) 4 6

27 36.( 題解 ): (1) Y ~ B(100, 0.0), y0,1,,...,100; P( Y) e () YP ( ), y0,1,,...; P( Y3) ! 一 選擇題 : 連續型隨機變數 1. 給定一連續隨機變數下, 其機率密度函數下的面積為 : (A) 等於此連續隨機變數的平均數 (B) 依不同機率密度函數而定 (C) 等於 1.00 (D) 不能判斷. 兩次地震間隔時間的隨機變數, 最適合下列何種分配? (A) 常態分配 (B) 指數分配 (c) 二項分配 (D) 幾何分配 3. 某電腦執行程式的時間 ( 以秒計 ) 為一連續隨機變數, 其機率密度函數如下 : x10 f (x) 0 其他其執行程式時間 (X) 的期望值與變異數為 : (A) 3.6;16.67 (B) 5.00;8.33 (C) 7.5;33.33 (D) 9.31; 下列對常態分配的敘述, 何者為錯誤? (A) 對稱的分配 (B) 單峰 (unimodal) 的分配 (C) 有相同的平均數與標準差 (D) 在機率密度函數下的面積永遠等於 標準常態分配與常態分配差異之處為何? (A) 標準常態分配為對稱於零的分配, 然而常態分配卻不一定對稱於零 (B) 標準常態分配的標準差為 0, 而常態分配的標準差永遠大於 0 (C) 標準常態分配是間斷型分配, 而常態分配為連續型分配 (D) 標準常態分配在密度函數下的面積永遠等於 1.00, 而常態分配在密度函數下的面積永遠大於 在一個常態分配中, 觀測值落在平均數左右一個標準差範圍所佔的機率約為何? (A) 95.45% (B) 5.5% (C) 99.73% (D) 68.7% 7. 標準化常態分配之標準差為何? (A) 0.5 (B) 1 (C) 1.5 (D) 7

28 8. 下列何者為真 : (A) 常態分布的算術平均值在眾量的右邊 (B) 偏斜分布的中位數與眾數在同一位置 (C) 自由度為 1 時, 卡方分布近似常態分布 (D) Z=(x-μ)/ σ 是標準化常態分布轉換公式 9. 設 X~N(μ,σ )( 亦即隨機變數 X 服從一個常態分配, 平均數 μ, 變異數 σ ), 若 ax+b 具標準常態分布, 則下述何者正確? (A) a = 1/σ;b= -μ/σ (B) a = 1/σ,b= -μ/σ (C) a = -μ/σ,b = -μ (D) a = -μ/σ,b = -μ 10. 設標準常態分配下,95 百分位數落於標準化值 Z=? (A) (B)1.96 (C).054 (D) 隨機抽出 00 位某高中一年級新生, 其身高 ( 單位公分 ) 資料的部分敘述性統計如下 : 樣本平均數 =164.4, 樣本中位數 =165.00, 樣本標準差 =9.7, 假設這些身高資料服從常態 請問身高 179 公分以上的同學應該有多少人?( 解答請四捨五入到整數 ) (A)11 (B) 13 (C) 15 (D) 隨機抽出 00 位某高中一年級新生, 其身高 ( 單位公分 ) 資料的部分敘述性統計如下 : 樣本平均數 =164.4, 樣本中位數 =165.00, 樣本標準差 =9.7, 假設這些身高資料服從常態 請問最矮的 10 個人身高應該在多少公分以下? (A)148 (B) 150 (C) 15 (D) 假設滅火器壽命是常態分布 N(3,1), 單位是年 則一滅火器在放置五整年之後還有作用的機率是 : (A) 0.03 (B) (C) (D) 假設滅火器壽命是常態分布 N(3,1), 單位是年, 若二支滅火器放置五整年之後, 至少有一支有作用的機率約是 : (A) 0.9 (B) (C) (D) 某一跨國商務公司在招考員工時, 必須先考初試 ( 滿分為 00 分之性向測驗 ), 再以其分數高低決定面試與否 過去經驗顯示測驗分數為常態分配 假設今年公司預定錄取分數最好的 30 人面試, 而報考人數有 150 人, 計算其平均成績為 10 分和標準差分數為 15 分 該公司面試前錄取分數會 : (A) 比 19 分高 (B) 比 13 分高 (C) 比 135 分高 (D) 比 138 分高 16. 設隨機變數 X 服從一個二項分配 B(n,p), 請問在什麼條件下最適合利用常態分配 求其二項機率的近似值? (A) n 30 (B) np>5 (C) n(1-p)>5 (D) np>5 且 n(1-p)>5 17. 若某校學生之經濟學分數為常態分配, 該校學生經濟學平均分數為 68 分, 標準差為 8, 若 70 分以上為 B, 而 B 以上成績的學生有 10 人, 則該校修習生物統計 8

29 學之學生共約多少人? (A) 30 人 (B) 300 人 (C) 480 人 (D) 600 人 18. 青山農場所出產的蘋果的重量分配布是 N (μ, σ ),μ= 300( 公克 ),σ= 10( 公克 ), 現在 36 粒裝一箱, 設其總重量是 X 公克, 則 X 在 ± 70 公克之間的機率最接近的數字是 : (A) (B) (C) (D) 假設隨機變數 X 的分配為二項分配 B (5,0.5), 若要計算 P(10<X 15) 的機率, 我們採取常態分配逼近, 而且使用連續性修正 (continuity correction), 下列何者正確? (A) Φ(1.)-Φ(-0.8) (B) Φ(1.0)-Φ(-1.0) (C) Φ(0.1)-Φ(-0.08) (D) Φ(0.10)-Φ(-0.10) 0. 某加油站的洗車服務包括機器自動沖洗和人工擦乾兩階段 若此兩階段的服務時間皆服從常態分配且彼此互相獨立, 其平均數分別為 10, 8 分鐘, 標準差分別為 4, 3 分鐘, 則洗一部車費時超過 3 分鐘的機率為何? (A) (B) (C) (D) 設隨機變數 X 代表為某商品之售價服從一個常態分配, 平均數為 30, 變異數為 5, 設隨機變數 Y 代表此商品的進貨成本, 也是一個常態分配, 平均數為 5, 變異數為 4, 若可假設售價與成本互為獨立, 則不虧本 ( 即為 X-Y>0) 之機率為何? (A) (B) (c) (D) 設 X 1, X 是互相獨立的隨機變數, 且其分配分別是 N(1,3) 和 N(3,4) ( 亦即 X 1 是常態分配, 期望值為 1, 變異數為 3,X 具常態分配, 期望值為 3, 變異數為 4) 令 Y=4X 1 -X 則下列敘述何者正確? E(Y)=,E(Y)=0,V(Y)=4, V(Y)=3, 其中 E(.) 表示期望值,V(.) 表示變異數 (A) (B) (C) (D) 四者皆錯 3. 設某大學有一萬名男學生, 其身高分布是常態 N(170,100), 單位是公分, 若超過 190 公分是高個子, 則高個子人數最接近的數字是 : (A) 500 人 (B) 50 人 (C)) 3 人 (D) 5 人 4. 企管系二年級共有 100 個學生, 若統計學成績分布呈常態分配, 且平均分數為 70 分, 標準差為 10 分, 則約略有幾個人的成績在 60 分以下?( 根據 P( Z > ) 5 %,P( Z > 1) 3 %, 其中 Z 為 標準常態分配 ) (A)16 人 (B) 3 人 (C) 84 人 (D) 90 人 5. 若 Z 是一個標準常態隨機變數, 則 P(-1<Z<0) 將會比 P(1.5<Z<.5): (A) 相等 (B) 大 (C) 小 (D) 以上都不正確 9

30 二 計算題 : 6. X 為一隨機變數, 服從均勻分配 (Uniform distribution), 其機率密度函數如下, 1/ 0 0x40 f (x) 0 其他 (1) 則 X 之平均數 = 與變異數 = () P(5<X<3)= Ans : 30, 100/3, 0.35 題解 40 x x E( X ) dx x x E( X ) dx ; V ( X ) E ( X ) () 3 1 x 7 P(5X 3) dx 製成後的型號 A101 之螺母內徑是平均值 5 公分及標準差 0.01 公分的一個常態分配 (1) 內徑超過 5.05 公分之螺母的機率 = () 活塞環內徑在 公分和 5.01 公分之間的機率為何 = (3) 15% 的活塞環其內徑會低於 Ans : 0.006, 0.703, 題解 (1) X ~ N(10, 0.03 ), X P(X>10.075)=P( ) P ( Z.5) X () P(9.965<X>10.03)=P( < ) = P( 1.17 Z 1) P ( 1.17 Z 0) P (0Z 1)= (3) X ~ N(5,0.01 ), X - a5 a5 a5 a5 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) P ( Z ) 0.5 P (0 Z ) a5 a5 P(0 Z ) 0.35 ; 因為查表得 P (0Z 1.04) 0.35 ; 所以, 1.04 a 台灣年輕人喜歡紅色的手機的比例為 0%, 則在某一個手機直營店未來二個月所出售的 800 支手機中, 試求下列機率 : 30

31 (1) 介於 140 支到 170 支是紅色的手機 ( 含兩端 ) 的機率 = () 至少 180 支是紅色的手機的機率 = Ans : 0.767, 題解 (1) X ~ B(800, 0.), 但因 np160 5 且 n(1 p ) 640 5, 所以, 可用常態分配近似二項分配 XN (160,144) P(140X 170) P (139.5X 170.5) P ( Z ) P ( 1.71 Z.0.88)= = () P( X180) P ( X179.5) P ( Z ) P ( Z1.63) P (0Z 1.63) = 若已知 P(X>116)= 和 P(X<114)=0.8413, 且 X 服從一個常態分配 N(μ, σ), 則 (1) 隨機變數 X 的平均數 = 和標準差 = () P(11<X<118)= 和 P(X<103)= Ans : 110, 4, 0.857, 題解 (1) X ~ N (, ), X P( X114) P ( ) P ( Z ) 查表得知 : P( Z1.0) X P( X114) P ( ) P ( Z ) 查表得知 : P( Z1.5) 解聯立方程式 110, X () P(11X 118) P ( ) 4 4 P (0.5Z ) P ( Z) P ( Z0.5) X P( X103) P ( ) 4 P ( Z 1.75) P ( Z1.75) 1 P( Z1.75) 青山農場生產蘋果, 其重量為一常態分配, 平均數為 560 公克, 標準差為 0 公克, 試求下列各小題 : (1) 某一個水梨重量大於 580 公克的機率 = () 抽取 5 個水梨, 恰有 3 個水梨重量大於 580 公克的機率 = (3) 抽取 5 個水梨, 至少有 個水梨重量大於 580 公克的機率 = 31

32 Ans : , 0.083, 題解 (1) X ~ N (560, 0 ), X P(X>580)=P( ) P ( Z1)=1 P ( Z1) () Y代表 5個水梨中, 其重量大於 580 公克的個數, 所以 Y B(5,0.1587) ; 5 3 P( Y3) (3) P( Y) 1 P( X) 1 P( X 0) P ( X 1) 已知大千企業所生產之 AQ03 零件, 其長度符合常態分配, 平均數為 118 公分, 標準差為 3. 公分 則 (1) 任取一個 AQ03 零件, 其長度超過 1 公分之機率 = () 任取四個 AQ03 零件, 最多只有一個長度超過 10 公分之機率 = Ans : , 題解 X (1) X ~ N (118, 3. ), P(X>1)=P( ) ( 1.5)= P Z () Y代表 4 個 AQ03 零件中, 長度高於 1 公分的個數, 所以 Y B(4,0.1056) ; P( Y1) P ( X 0) P ( X 1) 某一大廣告公司招考相關廣告設計人員時, 初試為總分 180 分之 設計概念與創意 測驗, 第二階段面試是以分數高低來決定試 假設 設計概念與創意 測驗分數為一個常態分配, 且今年公司預定選分數最好的二十四人面試, 而報考人數有 150 人計算其平均成績為 10 分和標準差分 15 分 (1) 該公司第二階段面試的最低分數為 () 若某位先生考試得 140 分時, 估計他的分數至少名列第 名 Ans : 134.9, 14 題解 (1) ~ (10,15 ), X N 令 a為第二階段面試最低分數 X - a10 a10 a0 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) 4/ a10 P( Z ) 0.84 ; 15 a10 因為查表得 P ( Z0.9945) 0.84 ; 所以, a134.9( 分 ) 15 3

33 X () P( X140) P ( ) P ( Z1.33) , 這位先生至少名列第 14名 33. 設某私立大學共有 6000 位學生, 其學生之年齡服從一個常態分配 N(0.8,1.8), 則 : (1) 年齡低於 0 歲之學生人數 = () 若全體學生中隨機抽問 10 位學生的年齡, 正好有 位同學高於 0 歲的機率為 Ans : 0.33, X (1) X ~ N (0.8,1.8 ), P(X<0)=P( ) ( 0.44)= P Z () Y代表 10 個學生中, 年齡高於 0 歲的人, 所以 Y B(10,0.67) ; P Y ( 4) 某醫院會計部門為了解病患應收帳款天數之情形, 整理了所有病患應收帳款之天數資料, 發現應收帳款天數呈現是一個常態分配 N(0, 8), 則 : (1) 帳款介於 0 天至 40 天之機率 = () 若醫院想寄給欠帳款最久的.5% 催繳信函, 則欠 天以上的病患將會 收到信函? (3) Ans : , 題解 0-0 X (1) X ~ N (0,8 ), P(0<X<40)=P( < ) (0.5)= P Z () X ~ N(0,8 ), X - a0 a0 a0 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) a0 a0 P( Z ) ; 因為查表得 P ( Z1.96) ; 所以, 1.96 a35.68( 天 ) 一產品之重量分配為常態分配 N(00, 4), 單位 : 公克 33

34 (1) 今客戶要求之規格為 199±4 公克, 過重或過 6 輕均為不合格, 試問在目前 之機 6 器設備下, 不合格的比例為 () 若該產品的標準差仍維持 4 公克, 欲使其重量超過 10 公克之機率等於 5%, 則平均重量應訂為 Ans : 0.333, 03.4 題解 X X (1) P( 不合格 ) P ( X195) P (X>03)=P( ) P( ) 4 4 P ( Z 1.5) P ( Z0.75)= X () P( X10) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) P( Z ) 0.95 ; 因為查表得 P ( Z1.645) 0.95 ; 4 10 所以, 應設定平均重量在 03.4( 公克 ) 4 連續型隨機變數 ( 解答 ) 一 選擇題 : 1 C B 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 A 10 A 11 B 1 C 13 A 14 C 15 B 16 D 17 B 18 C 19 A 0 B 1 B D 3 C 4 A 5 B 二 計算題 : 6.( 解答 ): (1) () 40 x x E( X ) dx x x E( X ) dx ; V ( X ) E ( X ) x 7 P(5X 3) dx

35 7.( 解答 ): (1) X ~ N(10, 0.03 ), X P(X>10.075)=P( ) P ( Z.5) X () P(9.965<X>10.03)=P( < ) = P( 1.17 Z 1) P ( 1.17 Z 0) P (0Z 1)= (3) X ~ N(5,0.01 ), X - a5 a5 a5 a5 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) P ( Z ) 0.5 P (0 Z ) a5 a5 P(0 Z ) 0.35 ; 因為查表得 P (0Z 1.04) 0.35 ; 所以, 1.04 a ( 解答 ): (1) X ~ B(800, 0.), 但因 np160 5 且 n(1 p ) 640 5, 所以, 可用常態分配近似二項分配 XN (160,144) P(140X 170) P (139.5X 170.5) P ( Z ) P ( 1.71 Z.0.88)= = () P( X180) P ( X179.5) P ( Z ) P ( Z1.63) P (0Z 1.63) = ( 解答 ): (1) X ~ N (, ), X P( X114) P ( ) P ( Z ) 查表得知 : P( Z1.0) X P( X114) P ( ) P ( Z ) 查表得知 : P( Z1.5) 解聯立方程式 110, X () P(11X 118) P ( ) 4 4 P (0.5Z ) P ( Z) P ( Z0.5) X P( X103) P ( ) 4 P ( Z 1.75) P ( Z1.75) 1 P( Z1.75) ( 解答 ): 35

36 (1) X ~ N (560, 0 ), X P(X>580)=P( ) P ( Z1)=1 P ( Z1) () Y代表 5個水梨中, 其重量大於 580 公克的個數, 所以 Y B(5,0.1587) ; 5 3 P( Y3) (3) P( Y) 1 P( X) 1 P( X 0) P ( X 1) ( 解答 ): X (1) X ~ N (118, 3. ), P(X>1)=P( ) ( 1.5)= P Z () Y代表 4 個 AQ03 零件中, 長度高於 1 公分的個數, 所以 Y B(4,0.1056) ; P( Y1) P ( X 0) P ( X 1) ( 解答 ): (1) ~ (10,15 ), X N 令 a為第二階段面試最低分數 X - a10 a10 a0 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) 4/ a10 P( Z ) 0.84 ; 15 a10 因為查表得 P ( Z0.9945) 0.84 ; 所以, a134.9( 分 ) 15 X () P( X140) P ( ) P ( Z1.33) , 這位先生至少名列第 14名 33.( 解答 ): X (1) X ~ N (0.8,1.8 ), P(X<0)=P( ) ( 0.44)= P Z () Y代表 10 個學生中, 年齡高於 0 歲的人, 所以 Y B(10,0.67) ; P Y ( 4) ( 解答 ): 0-0 X (1) X ~ N (0,8 ), P(0<X<40)=P( < ) (0.5)= P Z 36

37 () X ~ N(0,8 ), X - a0 a0 a0 P( Xa ) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) a0 a0 P( Z ) ; 因為查表得 P ( Z1.96) ; 所以, 1.96 a35.68( 天 ) ( 解答 ): X X (1) P( 不合格 ) P ( X195) P (X>03)=P( ) P( ) 4 4 P ( Z 1.5) P ( Z0.75)= X () P( X10) P ( ) P ( Z ) 1 P( Z ) P( Z ) 0.95 ; 因為查表得 P ( Z1.645) 0.95 ; 4 10 所以, 應設定平均重量在 03.4( 公克 ) 4 抽樣分配 ( 一 ) 選擇題: 1. 抽樣分配係指下列何者的機率分配? (A) 樣本統計量 (B) 母體統計量 (C) 樣本參數 (D) 母 體參數. 統計學上的 參數 一詞, 是指 : (A) 樣本所計算的數量值 (B) 母體中某種未知特性值 (C) 推論中引用的某種統計量 (D) 計算中所得的有效數量 3. 統計學上的 統計量 一詞, 概要而言是指? (A) 母體中的某種未知特性值 (B) 母體中的某些部分集合 (C) 研究者所要探討的未知特徵數 (D) 由樣本所計算的數量 4. 根據中央極限定理, 樣本平均數的抽樣分配, 在什麼情況下趨近於常態 分配 : (A) 母體平均數為 0 (B) 樣本平均數為 0 37

38 (C) 母體變異數為 1 (D) 趨近於常態分配的速度與樣本數大小 有關 5. 在做抽樣調查時, 試問下列何者是正確的敘述?: (A) 樣本大小與變異數大小成正比 (B) 樣本大小與所能接受的誤差大小成正比 (C) 樣本大小與所需之信心水準高低成反比 (D) 樣本大小與母體大小成反比 6. 若說 普查優於抽樣調查, 試問下列何者是正確的敘述? (A) 普查所取得的資料都呈常態分配 (B) 普查可提供較正確的資訊 (C) 普查可消除抽樣調查因對母體資訊不完整所產生的錯誤 (D) 普查花費較少 7. 就統計學上的公正而言, 下列何種抽樣方法較佳? (A) 非機率抽樣 (B) 簡單隨機抽樣 (C) 立意抽樣 (D) 配 額抽樣 8. 若每一個可能的樣本被抽的機會相等, 此抽樣方法稱為 : (A) 簡單隨機抽樣 (B) 分層隨機抽樣 (C) 集體抽樣 (D) 系 統抽樣 9. 一個母體含有 100 個個體, 由 1 號編到 100 號, 然後利用亂數表 (Random number tables), 選出一個介於 1 到 10 的號碼, 例如 8, 然後抽出 8,18, 8,.,98 等 10 個對應的母體個體, 當作樣本, 此種抽樣法為何種抽 樣? (A) 單純隨機抽樣 (B) 分層隨機抽樣 (C) 叢式抽樣 (D) 系統 抽樣 10. 台中市市政府的調查員從該市之 13 個里中, 隨機抽出 5 個里, 然後以 這 5 個里的全部成年人作為調查對象 請問這位調查員是採用那種抽樣方 法? (A) 集體抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 簡單隨機抽樣 (D) 分層隨 機抽樣 11. 下列敘述何者為正確? 所謂 簡單隨機樣本 必須符合以下條件 : 樣本 中的觀察值必須符合常態分配的假設 ; 樣本中的觀察值間必須是統計 獨立 ; 樣本中的觀察值必須來自同一機率分配 (A) (B) (C) (D) 1. 設 X1, X,, Xn 為由母體平均數為 μ, 變異數 σ 中, 取出之隨機樣 n 本, 且 X X n, 下列敘述何者不正確? i1 i n (A) 樣本變異數 S ( X ix ) ( n1), 則 E ( S ) i1 (B) 令 m( X X ) 及 m ( X X X ) 3, 則 Var( m ) Var( m )

39 (C) X1 可用來估計 μ (D) 當 n 愈大時, ( X ) / n 愈接近標準常態分配 13. 假設樣本大小為 100, 樣本平均數 16.5, 母體標準差 10, 母體平均數 15, 選出檢定統計量之 Z 值 : (A) 0.14 (B) (C) 1.5 (D) 從標準常態分配的母體中, 隨機抽取一組樣本大小為 n 的隨機樣本, 令 X 表示樣本平均數, 且 P( X c )=0.99, 試求 c 值? (A) 1.96 n (B) 1.96 / n (C).58 n (D).58 / n 15. 設 M 牌手機的市場佔有率為 1% 若隨機調查 400 位手機持有人, 令 P 表 此 400 人中持用該廠牌手機的樣本比率 求 P 的抽樣誤差不超過 3% 的近 似機率 (A) (B)0.905 (C) (D) 假設在上次的民意調查中得知, 設立腳踏車專用道的贊成比率是 6% 假 設民意無改變, 若現在重新隨機抽樣調查 400 人, 則在此 400 人中贊成的 比率在 64.5% 以上的機率, 最接近數字是 : (A) (B) (C) (D) 設 X 1,X,...,X n 是 N(μ,σ )( 常態分配 ) 的一組隨機樣本 (random sample) 若 n=0 時, X 的標準誤是, 則 n 是多少時, 才會使 X 的變異數為 0.? (A) 00 (B) 400 (C) 600 (D) 大小分別為 40 與 50 之兩獨立樣本分別隨機抽自任兩個母體以檢定兩個母 體均數差 (A) 常態分配 1, 其樣本均數差 (C) 自由度 88 之 t 分配 X X 之抽樣分配為 : 1 (B) 近似於常態分配 (D) 自由度 90 之卡方分配 (chi-square distribution) 19. 某公司所生產 10 公斤裝的洗衣粉, 其標準差為 0.4 公斤, 欲估計母體平均 數, 在 95% 信賴水準下並使估計誤差不超過 0.08 公斤, 至少應抽多少包洗 衣粉來秤重? (A) 6 (B) 75 (C) 97 (D) 目前想要估計一養鴉場鴉隻之平均體重 μ 假設養鴉場鴉隻體重具有標 準差 σ =0.5 公斤之常態分配 若要求具有 95 % 的信心使得所觀察之樣 本平均體重 X 與 μ 之距離小於 0.1 公斤, 則至少應抓取幾隻鴉出來稱重?( 根據 P( Z > ) 5 %, P( Z > 1) 3 %, 其中 Z 具有 標準常 態分配 ) (A) 6 (B) 67 (C) 8 (D) 90 39

40 1. 某民調公司想了解民眾對於立法院通過 離島博奕法案 的支持度, 採 用電話訪問 在 95% 的信賴度之下, 請問有效樣本應該在多少以上才能使 抽樣誤差控制在 3% 之下? (A)43 (B) 75 (C) 1068 (D) 169. 某民調公司想了解民眾對於立法院通過 離島博奕法案 的支持度, 採 用電話訪問 成功訪問 400 人, 調查結果顯示該議題的支持度為 70% 在 95% 的信賴度之下, 抽樣誤差有多少? (A) (B) (C) (D) 母體平均數為 μ, 變異數為 σ, 假設 X 1,, X 10 為該母體的隨機樣本, 則 X 的變異數為 : (A)σ /100 (B) σ /10 (C) σ / (D) σ 4. 若已知母體平均數 μ=50, 變異數為 σ =5, 若欲達到 P( X 1) 0.99 的準確度, 需抽樣多少個樣本數? (A)91 (B) 144 (C) 167 (D) 4 5. 令 ( X 1, X, X 3 ) 為由常態母體 N(μ,σ ) 抽出的一組隨機樣本,T 1,T,T 3,T 4 均為 μ 的估計量, T (3 X 3 X 4 X ) /10; T ( X X X ) / 3; T ( X X 3 X ) / 6; T ( X 3 X 4 X ) / 9, 問下列何者為 μ 的不偏估計量中變異數最小者? (A) T1 (B) T (C) T3 (D) T4 ( 二 ) 計算題 : 6. 設有一母體之機率分配如下, X f(x) 若自母體以抽出放回之方式隨機抽二個樣本, 表為 ( X 1, X ): (1) X( X1 X ) 之期望值 = 及變異數 =, 與母體之平均數 μ 及 變異數 σ 間的關係為 X 的期望值 = *μ? X 的變異數 = *σ Ans : 9.3, 4.605, 1, 1/ 題解 () E( X ) xf ( x) ; E( X ) x f ( x)

41 Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 95.7 (9.3) 9.1 E( X) xf ( x) 9.3 x ( ) ( ) ( ) (9.3) E( X ) Var X E X E X 7. 一常態母體之平均數 50, 標準差 5, 由其中任取 16 個樣本, 並得樣本空間, 則 : (1) X 的抽樣分配為 () 樣本平均數大於 5 的機率 = (3) 樣本平均數介於 48 與 51 的機率 = Ans : N(50, 5/16), , 題解 5 X50 (1) 母體為常態分配, 5,n=16( 小樣本 ), 可得知 X N (50, ) Z N (0,1) () P(X5) P ( Z ) P ( Z1.6) (3) P(48X 51) P ( 1.6 Z 0.8) 桃園機場的行李中心處理一批旅客行李, 旅客行李的重量假設服從一個 常態分配, 其平均數 μ=8 公斤, 而其標準差 σ 未知, 如果由其中隨機抽出 36 件行李, 並稱其重量, 得到樣本標準差 s=4 公斤 (1%) (1) 旅客行李之樣本平均重量 X 之抽樣分配為? () 以 μ=8 公斤為中心, 而機率為 0.95 之 X 的區間為 (3) 樣本平均重量 X 落在 [6.8, 9.] 之間的機率為 Ans : N(8, 16/36), [6.69, 9.31], 0.98 題解 16 X8 (1) 母體為常態分配, 未知, 但為大樣本, 可得知 X N (8, ) Z N (0,1) X8 () P( 1.96 Z 1.96) P ( ) 0.95 P(6.69X 9.31) 0.95, 4 36 所以, 以 8 為中心, 機率為 95% 的 X區間為 6.69, 9.31 (3) X N (8,16/36), P(6.8 X9.) P ( Z ) P ( 1.8 Z 1.8) /6 4/6 41

42 9. 已知某一 0-60 歲成年人族群的收縮壓分布呈雙峰分布, 一個高峰在 10 mmhg 處, 另一個高峰在 170 mmhg 處, 而此分布的平均值與標準差則分別為 18 mmhg 與 4 mmhg 今從此成年人族群中隨機抽出 36 人, 此 36 人的平均收縮壓為 X, 而 X 為一隨機變數, X 介於 10 到 13 的機率 = Ans : 題解 4 X18 母體為非常態分配, 未知, 但為大樣本, 可得知 X N (18, ) Z N (0,1) P(10 X13) P ( Z ) P ( Z1) /6 4/6 30. 自具有常態母體 N(100, ) 抽出一組 n=16 的隨機樣本, 並得到 s 9, 則 (1) P( X ) = () 以 μ=100 為中心, 而機率為 0.95 之 X 的區間為 Ans : 0.95, [95.1, ] 題解 X (1) 母體為常態分配, 小樣本, 但母體標準差 未知, 所以, t t ( n1) s n P( X96.056) P ( t ) P ( t 1.753) 1 P( t 1.753) X () P(.131 t.131) P ( ) 0.95 P(95.1X ) 0.95, 9 16 所以, 以 100為中心, 機率為 95% 的 X區間為 95.1, 高雄市的市民中, 習慣以捷運系統來當做交通工具的人佔總市民人數的 36% (1) 若隨機抽選 5 名高雄市民, 其中習慣以捷運系統來當做交通工具的比例 P 的分配趨近的分配為 其變異數 = () 樣本比例 P 介於 [0.3, 0.4] 之間的機率為 4

43 (3) 以 P 0.36 為中心, 而機率為 0.90 之 P 的區間為 Ans : N(0.36, ), 0.864, [0.3074, 0.416] 題解 P0.36 (1) 大樣本時, 利用中央極限定理可得知, PN (0.36, ) Z N (0,1) p(1 p ) E( P) p 0.36, Var( P) n () P(0.3 P0.4) P ( Z ) P ( Z 1.5) p0.36 (3) P( Z 1.645) P ( ) 0.90 P(0.3074P 0.416) 0.90, 0.03 所以, 以 p0.36 為中心, 機率為 90% 的 X 區間為 , 青山農場生產蘋果, 其重量為一常態分配, 平均數為 460 公克, 標準差為 18 公克, 則 : (1) 抽取 5 個蘋果,5 個蘋果平均重量大於 470 公克的機率 = () 將 9 個蘋果裝成一盒, 則一盒蘋果重量 ( 只計算蘋果重量 ) 的平均數 = 與變異數 = (3) 若要求一盒的蘋果重量要在 455~4675 之間時, 則有 % 盒的蘋果不符 合規定? Ans : 0.007, 4140, 916, 6.44 題解 34 X460 (1) 母體為常態分配, 18( 已知 ), 小樣本, 可得知 X N (460, ) Z N (0,1) P( X470) P ( Z ) P ( Z.78) () 一盒蘋果 ( 不含箱子 ) 的重量也是服從常態分配, 也就是說, X N (4140,916) E( X ) 4140 Var( X ) 916 i i (3) P( 符合規定 ) P (4500 X i4700) P ( Z ) P ( 1.85 Z 1.85) P( 不符合規定 ) % i 43

44 33. 隨機變數 X 代表草莓點心中的草莓個數, 有下列非常態分配 : x P(X=x) (1) 抽出 36 塊草莓點心為一組隨機樣本, 則利用中央極限定理, 則樣本平均數 X 的平均數 = 和變異數 = X X () P ( X5.5 ) = 和 P( X >5.1) = Ans : 5.3, 0.05, 0.908, 題解 7 (1) E( X ) xf ( x) x4 7 E( X ) x f ( x) Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 8.9 (5.3) () 母體為非常態分配, 大樣本, 利用中央極限定理得知, X N (5.3, ) 36 X5.3 Z N (0,1) E( X ) 5.3, V ( X ) X (3) XN (5.3,0.05), P( X5.5) P ( Z ) P ( Z1.33) P( X5.1) P ( Z ) P ( Z 1.) P ( Z1.) 設 X 1,X,...,X n 是一組隨機樣本, P( X 1) 0.65, P( X0) 0.35 對 i1,,3,.., n. i (1) 當 n=10 時, P( P0.8)? i () 當 n=100 時, P( X0.8)? Ans : 0.616, 題解 44

45 (1) PB (10,0.8) P( P8) P ( P8) P ( P9) P ( P10) 1- P( P7) () n100( 大樣本 ), 可用中央極限定理, 所以, PN (0.65,0.0477), P( P0.8) P ( Z ) P ( Z3.14) 哈林企業所生產的花式磁杯, 其重量為一常態分配, 平均數為 公克, 標準差為 3.51 公克, 現抽出 5 個花式磁杯, 其中 X 和 S 代表此組樣本的平均重量及其重量的變異數, 則 : (1) 此組樣本的變異數大於 公克的機率 = () P(5.578S.063)? Ans : 0.05, 0.98 題解 (1) 由於母體為常態分配,( n -1) S (4), ( n1) S ( 18.69) ( ) ( ) 0.05 P S P P ( n1) S () P(5.578S.063) P ( ) P P P ( ) ( 4.98) ( ) ( 一 ) 選擇題 : 抽樣分配 ( 解答 ) 1 A B 3 D 4 D 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10 A 11 C 1 B 13 C 14 C 15 C 16 A 17 B 18 B 19 C 0 B 1 C D 3 B 4 C 5 B ( 二 ) 計算題 : 6.( 解答 ): (1) 45

46 x1 x (,) x 5 (,6) x 7 (,9) x8.5 9 (6,) x 7 (6,6) x 9 (6,9) x (9,) x 8.5 (9,6) x 10.5 (9,9) x1 X 1 X 所以, X 之抽樣分配為 : x 合計 f ( x) () E( X ) xf ( x) ; Var X E X E X E X ( ) ( ) ( ) 95.7 (9.3) 9.1 E( X) xf ( x) 9.3 x ( ) ( ) ( ) (9.3) ( ) x f ( x) E( X ) Var X E X E X 7.( 解答 ): 5 X50 (1) 母體為常態分配, 5,n=16( 小樣本 ), 可得知 X N (50, ) Z N (0,1) () P(X5) P ( Z ) P ( Z1.6) (3) P(48X 51) P ( 1.6 Z 0.8) ( 解答 ): 16 X8 (1) 母體為常態分配, 未知, 但為大樣本, 可得知 X N (8, ) Z N (0,1) X8 () P( 1.96 Z 1.96) P ( ) 0.95 P(6.69X 9.31) 0.95, 4 36 所以, 以 8 為中心, 機率為 95% 的 X區間為 6.69, 9.31 (3) X N (8,16/36), P(6.8 X9.) P ( Z ) P ( 1.8 Z 1.8) /6 4/6 9.( 解答 ): 46

47 4 X18 母體為非常態分配, 未知, 但為大樣本, 可得知 X N (18, ) Z N (0,1) P(10 X13) P ( Z ) P ( Z1) /6 4/6 30.( 解答 ): X (1) 母體為常態分配, 小樣本, 但母體標準差 未知, 所以, t t ( n1) s n P( X96.056) P ( t ) P ( t 1.753) 1 P( t 1.753) X () P(.131 t.131) P ( ) 0.95 P(95.1X ) 0.95, 9 16 所以, 以 100為中心, 機率為 95% 的 X區間為 95.1, ( 解答 ): P0.36 (1) 大樣本時, 利用中央極限定理可得知, PN (0.36, ) Z N (0,1) p(1 p ) E( P) p 0.36, Var( P) n () P(0.3 P0.4) P ( Z ) P ( Z 1.5) p0.36 (3) P( Z 1.645) P ( ) 0.90 P(0.3074P 0.416) 0.90, 0.03 所以, 以 p0.36 為中心, 機率為 90% 的 X 區間為 , ( 解答 ): 34 X460 (1) 母體為常態分配, 18( 已知 ), 小樣本, 可得知 X N (460, ) Z N (0,1) P( X470) P ( Z ) P ( Z.78) () 一盒蘋果 ( 不含箱子 ) 的重量也是服從常態分配, 也就是說, X N (4140,916) E( X ) 4140 Var( X ) 916 i i i 47

48 (3) P( 符合規定 ) P (4500 X i4700) P ( Z ) P ( 1.85 Z 1.85) P( 不符合規定 ) % 33.( 解答 ): 7 (1) E( X ) xf ( x) x4 7 E( X ) x f ( x) Var X E X E X ( ) ( ) ( ) 8.9 (5.3) () 母體為非常態分配, 大樣本, 利用中央極限定理得知, X N (5.3, ) 36 X5.3 Z N (0,1) E( X ) 5.3, V ( X ) X (3) XN (5.3,0.05), P( X5.5) P ( Z ) P ( Z1.33) P( X5.1) P ( Z ) P ( Z 1.) P ( Z1.) ( 解答 ): (1) PB (10,0.8) P( P8) P ( P8) P ( P9) P ( P10) 1- P( P7) () n100( 大樣本 ), 可用中央極限定理, 所以, PN (0.65,0.0477), P( P0.8) P ( Z ) P ( Z3.14) ( 解答 ): (1) 由於母體為常態分配,( n -1) S (4), ( n1) S ( 18.69) ( ) ( ) 0.05 P S P P ( n1) S () P(5.578S.063) P ( ) P P P ( ) ( 4.98) ( )