第五章機率分配

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1 第五章機率分配授課教師 : 更新 1

2 本章重點認識隨機變數瞭解期望值與變異數的定義與意義認識二項分配與常態分配的各種性質瞭解標準常態分配如何查表與其應用 2

3 大綱隨機變數與機率分配機率分配的重要參數二項分配百努力試驗常態分配標準常態分配 3

4 5-1 隨機變數與機率分配並非所有的事件發生機率都是定值機率也是一個變數在本節中將介紹隨機變數與其對應的機率分配 4

5 5.1.1 隨機變數的意義隨機變數定義於樣本空間的實數函數, 一般可解釋為樣本出像的分類標準, 也可視作一個樣本空間的總代表例如用變數 X 來表示隨機從前程大學中抽出 100 人的性別用變數 Y 來表示這 100 人中的血型此處 X Y 即代表樣本出像的分類標準 5

6 若 X 表示性別, 那麼可用 x=1 表示男生, x=2 表示女生 Y 表示血型, 那麼 y=1 表示 A 型血, y=2 表 B 型血, y=3 表 O 型血, y=4 表 AB 型血 6

7 隨機變數的種類離散型隨機變數離散型隨機變數最大的特性是可數可以一筆一筆資料逐項進行計數例如隨機抽出 100 人中男性的人數連續型隨機變數連續型隨機變數最大的特性是不可數不能夠一筆一筆的將資料逐項進行計數例如 : 連續發生兩次地震所需時間 7

8 例 1 隨機抽樣 100 人記錄這 100 人的性別居住地 ( 北中南 ) 家庭背景 ( 雙親單親他人扶養 ) 以及出生月份請你以隨機變數的方式來描述這些變數與其對應的變量 8

9 5.1.2 機率分配指值某個隨機變數各變量所對應的機率隨機變數與其機率分配的對應關為一對一對應或多對一對應 9

10 機率分配表示法機率分配表 x f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 機率函數 f ( x) 1, x = 0,3 8 = 3, x = 1,2 8 10

11 機率分配圖 11

12 例 2 同時投擲四枚硬幣, 假設隨機變數 X 表示出現人頭像的硬幣數, 試求隨機變數 X 的機率分配請你分別使用機率分配表機率分配圖與機率函數三種方式表示 (3) 機率函數 12

13 5-2 機率分配的重要參數想要描述一組資料的分佈情形, 最重要的兩個參數分別為平均數與變異數常態分配, 只要知道平均數與標準差, 整個機率函數的圖形就可以描繪出來 13

14 5.2.1 期望值期望值其實就是平均數期望值的定義為 E( x) = xf ( x) x 期望值等於隨機變數值與對應機率乘積的總和 14

15 例 3 詢問全班 16 位修高等統計學的學生, 從住處到學校需花費時間為何, 假設隨機變數 X 為學生回答之花費時間 ( 單位 : 分鐘 ), 將調查所得到的資料製作成機率分配表如下所示 : 求隨機變數 X 的期望值 ( 即求學生到校平均花費時間 ) E( x) = xf ( x) = = x 15

16 例 4 某人向保險公司投保 1 千萬的意外險, 保費一年 4000 元根據契約書的規定, 若被保險人在保險期間意外死亡, 保險公司需理賠 1 千萬元已知此人一年內發生意外死亡的機率為 10-10, 試求保險公司獲利的期望值多少元? 16

17 5.2.2 變異數與標準差變異數的定義 2 2 Var( x) = E[( x E( x)) ] = E( x ) E( x) E 這個符號具有下列性質表任意的式子 E( = ) f ( x) 標準差的定義標準差則等於變異數開根號 [ ] 2 17

18 例 5 承例題 3, 求隨機變數 X 的變異數與標準差 ( 即求到校花費時間的變異數與標準差 ) 18

19 5-3 二項分配凡是調查的結果只有兩種情況成功或失敗 ; 是或否 ; 對或錯.. 等, 都屬於二項分配 19

20 5.3.1 二項試驗二項試驗必須滿足下列四個條件重複進行 n 次相同的試驗每一次試驗皆僅有兩種結果成功或失敗每一次試驗, 成功與失敗的機率永遠固定不變, 且成功機率加失敗機率等於 1 每一次試驗均為獨立事件 20

21 例 6 請舉出至少 3 個二項試驗的例子第一個例子是 : 生 10 位小孩小孩子的性別只有男女兩種情況, 且重複相同的試驗, 生男生女的機率永遠固定都是 0.5, 相加等於 1, 同時滿足獨立事件第二個例子是 : 買樂透 10 期且每期只買一張樂透只有中獎 ( 不考慮獎項 ) 或不中獎兩種情況, 且重複相同的試驗, 中獎與不中獎的機率永遠固定不變, 兩者機率和等於 1, 同時滿足獨立事件第三個例子是 : 從 0 到 9 十個數字中, 任選一個數字, 連續選 10 次, 選出數字 1 選出的數字只有兩種情況, 1 或不是 1, 且重複相同的試驗, 選出 1 的機率永遠等於 0.1, 不是 1 的機率等於 0.9, 相加等於 1, 同時滿足獨立事件 21

22 5.2.3 二項分配進行二項試驗, 所得到的機率函數二項分配的機率函數 f n x n x ( x) = Cx p q, x = 0,1,2,, n 其中 p 為成功機率, q 為失敗機率 22

23 例 7 假設某保險業務員向客戶推銷保險, 成功的機率永遠固定等於 0.2 現在他連續向 6 個人推銷保險, 請問這 6 個人恰有 4 個人向他買保險的機率為何? 23

24 5.3.3 二項分配的期望值與變異數期望值 E( x) = np 變異數 V ( x) = npq 24

25 例 8 已知某袋中共有 10 個球, 其中有 8 個黑球 2 個白球現在隨機從這個袋中任取 4 球, 試分別求取出黑球與白球的期望值個數與變異數 25

26 5.3.4 二項分配圖形的製作用一個實際例子來說明 26

27 例 9 n x n x 已知二項分配的機率函數為 f x) = C p q, 令 n=10,p=0.3, 請用 Excel 做出二項分配的圖形 Excel 指令說明 n COMBIN(n, r) : 等於組合公式 ( x, x = 0,1,2,, n C r Excel 指令說明 BINOMDIST( 成功次數, 試驗次數, 成功機率, 邏輯值 ) : 邏輯值 =FALSE 傳回機率函數值 ; 邏輯值 =TRUE 傳回累積分配函數值例如 : BINOMDIST(3,10,0.3,FALSE) (0.3) (0.7) 打開檔案 = C 3 27

28 5.3.5 二項分配圖形的性質下列圖形為試驗次數 n=10, 在不同成功機率下的二項分配成功機率 p= 成功機率 p=0.5 成功機率 p= 成功機率 p=0.7 28

29 成功機率 p=0.9 成功機率 0.5 時圖形為對稱分配, 成功機率小於 0.5 時, 圖形為左偏分配, 大於 0.5 時圖形為右偏分配 29

30 下列圖形為成功機率固定 p=0.1 的條件下, 不同試驗次數的二項分配 n=5 n= n=20 n=30 30

31 n=40 n=50 試驗次數增加, 二項分配的圖形會趨近於對稱分配 31

32 5-4 百努力試驗百努力試驗 (Bernoulli trial) 是二項試驗的一個特例進行二項試驗時, 不論成功或失敗, 只做一次時, 就稱為百努力試驗也有人稱為點二項試驗 32

33 百努力分配的機率函數期望值變異數 f x C p q x 1 x 1 x ( ) = x, = 0,1 E( x) = p Var( x) = pq 33

34 5-5 常態分配常態分配在人文社會學的研究中扮演十分重要的角色只要求出平均數與標準差, 那麼整個分配的圖形就可以畫出來因此在人文社會學的研究中平均數與標準差 ( 或變異數 ) 是最重要的兩個統計量 34

35 5.5.1 常態分配的簡介常態分配的機率函數曲線稱為常態曲線常態分配之機率函數 1 x µ ( ) σ f ( x) = e, < x < 2πσ 為母體平均數, 為母體標準差記作 : X 2 ~ N ( µ, σ ) 35

36 5.5.2 常態曲線的繪製繪製常態曲線必須給定母體平均數與母體變異數的數值, 然後再利用描點的方式畫出 36

37 例 10 已知常態分配機率函數為現假設母體平 1 x µ ( ) σ f ( x) = e, < x < 2πσ 均數 =10, 母體變異數 2=2, 試利用 Excel 繪製常態曲線打開檔案常態曲線的繪製 37

38 5.3.3 常態曲線的特性曲線下方與 x 軸所圍面積等於 1 對稱於直線 x= µ 由開始向左向右各一個標準差之處為常態曲線的兩個反曲點以 x 軸為漸近線常態分配曲線為單峰對稱分配, 平均數中位數眾數三個數值相等 38

39 39

40 5.5.4 常態分配機率的求法採用面積的方式來定義機率大小 b 1 x µ ( ) σ P( a x b) = e dx 2πσ a 40

41 下列式子所求出來的答案是相同的 P( a x b) = P( a x < b) = P( a < x b) = P( a < x < b) 41

42 例 11 已知前程大學一共有 1 萬名學生, 已知學生的身高服從常態分配, 全體平均身高為 172 公分, 標準差 5 公分請你估計前程大學學生的身高在公分大約有幾人? 42

43 5-6 標準常態分配沒有學過數值分析的人而言, 想要計算常態分配的機率值, 幾乎是不可能的事情為了讓非數學背景的人也能夠順利求出常態分配的機率值, 數學家想到透過查表的方式 43

44 常態分配的查表法是利用積分技巧中的變數變換法, 讓所有的常態分配都能對應到相同的積分函數, 如此便可以用單一的表查出所有的常態分配機率值 44

45 1 x µ ( ) σ f ( x) = e, < x < 2πσ z = x µ σ 標準常態分配 z 2 f ( z) = e, < z < 2π 45

46 5.6.1 標準常態分配的特性標準常態分配的平均數等於 0, 標準差為 1 46

47 5.6.2 標準常態分配的查表 P( z 1.23) = z =

48 例 12 試利用標準常態分配表求下列各小題之機率 : (1) P(z>1.13) (2) P(z<2.06) (3) P(z>-1) (4) P(z<-1.96) (5) P(-1<z<2.14) 48

49 49

50 (1) a = 1.74 (2) a =

51 (3) a = 0.63 (4) a = 0.75 (5) a = 1.96 (6) a =

52 5.6.3 標準常態分配的應用解題步驟列式 ( 或畫圖 ) P( a x b) 標準化查表 a µ b µ P( z ) σ σ 52

53 例 14 每年台灣地區都會舉辦大學聯考, 許多考生對於自己的落點十分關心, 因為能夠的預測落點的話, 可以當作選填自願的參考已知某次大學聯考一共有 15 萬名考生, 已知均標 ( 全體平均數 ) 等於 300 分, 標準差 20 分假設全體考生的成績分配為常態分配, 某人考了 338 分, 請問這位考生的分數落在前百分之多少? 順便請你幫他預估大約有多少考生的分數超越他? 53

54 例 15 一般購買產品都有保固期, 對消費者來說保固期越長越好, 但對製造商而言不希望有太多的產品在保固期內做免費的維修, 因此如何定保固期是一門很大的學問前程汽車股份有限公司是一家全球化的汽車製造商, 根據他們自己內部的資料統計, 他們所製造的汽車平均壽命 20 年, 標準差 10 年, 而且汽車的壽命服從常態分配前程汽車公司於保固期內會免費修理任何的毛病, 如果前程汽車公司對賣出的汽車只願意免費修理 5%, 請問保固期應該定多久? 54

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0

第五章 機率分配

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