-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =

-1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) () (3) ( k + k )= k = 1 + + + ( k - k )= c k k k + k - k k (4) c=c 057 等差數列 : 設數列 { }: 1,, 3 k, 若數列中任意相鄰的兩項, 後項減去前項的 差值皆為一個定值 d, 則稱此數列為等差數列, 其中 d 稱為公差, 1 稱為首項, 稱為項 數, 稱為末項, S 稱為前 項總和 (1) k = 1 +(k-1)d () S = ( 1 + )= [ 1 +(-1)d] 058 等差中項 c 若 c 是一等差數列, 則必滿足 =, 我們稱 為 和 c 的等差中項 -1- 等比數列與級數 059 等比數列 : 設數列 { } : 1,, 3, k, 其中各項均不為 0, 若數列中任意相鄰的兩 項, 後項除以前項皆等於一個定值 r, 則稱此數列為等比數列, 其中 r 稱為公比, 1 稱為 首項, 稱為項數, 稱為末項, S 稱為前 項總和 (1) k = 1 r k 1 () S 1, r 1 = 1(1 r ) 1( r 1), r 1 1r r1 060 等比中項 : 若 c 是一等比數列, 則必滿足 = c, 我們稱 為 和 c 的等比中項 - 9 -

-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r = 1-10 -

--0 式的運算 --1 多項式的四則運算 063 多項式的定義設 為正整數或 0, 且, 1,, 1, 0 皆為實數, 則不定元 的多項式為 f 1 4 3 1 4 3 1 0 (1) 稱為不定元或變數 () 若 0, 則 稱為次數, 規定其為 0 或自然數, 通常記為 deg f (3), 1,, 1, 0 稱為係數, 若 0, 則 又稱為領導係數, 0 亦稱為常數 (4) 若 1 1 0, 但 0 0 f 為零次多項式, 則稱, 則稱 f (5) 若 1 1 0 0 為零多項式 (6) 零次多項式與零多項式均稱為常數多項式 064 多項式的相等設有兩個多項式的次數相同, 同次項的係數也相同, 則我們稱這兩個多項式相等 065 多項式的加法 & 減法兩個多項式 g 相加時, 只要將同次項的係數相加 & 相減即可, f 與 若遇缺項則補 0, 記為 f()+g() 記為 f g 066 多項式的乘法兩單項式相乘時, 可將係數相乘, 相同不定元的指數相加即可 設兩多項式分別為 : f 1 4 3 1 4 3 1 0 m m1 4 3 則 f ; 與 g m m1 4 3 1 0 m m1 g 的乘積定義如下 : f g ( )... ( ) ( ) m 1 m m1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 由於多項式的不定元具有和數相同的性質, 可證明一樣會滿足實數的結合律 交換律 分配律 若是兩個多項式 g 相乘時, 則先利用分配律展開後, 再利用結合律及 f 與 交換律將同次項相加整理而成, 記作 f g 067 多項式的除法設有兩個多項式 餘式 r, 此時 f g q r 其中, 餘式 f 與 g 且 g 0, 若 f 除以 f 稱為被除式, g 稱為除式, 如下列所示 : ; 其中 r ( ) 0 或 deg r( ) deg g( ) r 必須為 0 或其次數小於除式 g 的次數 同樣地, 如果餘式為 0, 則稱 g 整除 f -- 餘式與因式定理 068 餘式定理 : 多項式 f 除以 的餘式為 f ( ) 且 0 069 因式定理 : 若多項式 f 滿足 f ( ) 0 且 0, 則 g, 就會得到一個商式 q 及 即為 f 的因式, 反之亦然 - 11 -

--3 分式與根式的運算 070 分式 : 凡形如 f ( ) g ( ) 且 g 0 者稱之 分式的加減法 : 將分母通分後再合併 071 分式的乘法 : 可直接分子相乘及分母相乘 07 分式的除法 : 轉化為被除式乘以除式的倒數 073 根式凡形如 A 者稱為根式, 其中根號內的 A 稱為被開方式, 稱為根號指數 當 為偶數時, 必須 A 0 074 高次根式的運算法則設,, c 為實數且 c 0, m, 皆為大於 1 的正整數, 當 m, 為偶數時,,, c >0 (1) m m () m m m (3) m m m (4) m m m c m m c c 075 雙重根式 : 設 0, 0且 y 0, 若 y, 則 y y - 1 -

-3-0 方程式 -3-1 多項方程式 076 一元二次方程式的解法 (1) 因式分解法 : 若方程式 c 0可因式分解為 ( )( ) 0, 則 或 () 配方法 : 利用配方法將方程式整理為 的完全平方式, 再開根號並移項求 的解 4c (3) 公式法 : 若方程式 c 0, 則 077 根的性質判斷 : 設方程式 c 0, c 為實數且 0, 判別式 D 4c, 則 (1) D 0 方程式有兩實根 () D 0 方程式有兩相異實根 (3) D 0 方程式有兩相等實根 (4) D 0 方程式沒有實根 078 利用兩根找方程式 若已知一元二次方程式的兩根, 則此方程式為 ( ) 0 079 根與係數的關係 若 為一元二次方程式 c 0的兩根, 則 c -3- 二元一次聯立方程式與二階行列式 080 二元一次聯立方程式 1 1y c 1 設二元一次聯立方程式 且 c 0, 其滿足下表 : y c 序條件代數意義幾何意義特別名稱 1 1 1 方程式恰有一組解坐標平面上為兩相交直線相容方程組 c 方程式有無限多組解坐標平面上為兩重疊直線相依方程組 c 1 1 1 c 方程式無解坐標平面上為兩平行直線矛盾方程組 c 3 1 1 1 081 二階行列式 設 c d 為實數, 則規定符號 c d - 13 - 稱為二階行列式, 其值為 d d c c d, 其中 c d 稱為元素, 列與行的個數稱為階 08 二階行列式的性質 (1) 行列式中行列互換, 其值不變 () 行列式中兩行互換, 其值變號 (3) 行列式中兩列互換, 其值變號 (4) 行列式中任一列 ( 行 ) 可提出公因數 (5) 行列式中兩列 ( 兩行 ) 成比例時, 其值為零 (6) 行列式中某一列 ( 行 ) 皆為零時, 其值為零 c, 即

(7) 行列式中將某一列的 k 倍加到另一列時, 其值不變 (8) 行列式中將某一行的 k 倍加到另一行時, 其值不變 (9) 行列式任一列 ( 行 ) 的各項均為兩項之和, 則行列式可分解為兩個行列式之和 -3-3 三階行列式與 Crmer 公式 083 三階行列式 11 33 1 331 13 13 13 31 11 33 1 133 其中, ij 稱為第 i 列第 j 行的元素, 行列的個數稱為階 084 三階行列式的基本性質 (1) 行列互換, 其值不變 () 行列式中兩行互換, 其值變號 (3) 行列式中兩列互換, 其值變號 (4) 行列式中任一列 ( 行 ) 可提出公因數 (5) 行列式中任兩列 ( 行 ) 的元素成比例時, 行列式值為零 (6) 行列式中任一列 ( 行 ) 的元素均為零時, 行列式值為零 (7) 行列式中將某一列的 k 倍加到另一列時, 其值不變 (8) 行列式中將某一行的 k 倍加到另一行時, 其值不變 (9) 當兩個行列式有任兩列 ( 行 ) 的元素相同時, 則行列式可相加 085 克拉瑪 (Crmer) 公式 (1) 二元一次聯立方程式的公式解 : 1 1y c1 設, 令 y c 1 1, c1 1 c, 1 c1 y c y 若 0, 則聯立方程式恰有一解, y 若 0, 且 0 或 0, 則聯立方程式無解 y 若 0, 且 0, 則聯立方程式有無限多組解 y z () 三元一次聯立方程式的公式解 : 1 1 y c1 z d1 設 y cz d 3 3 y c3z d3 c d c 1 1 1 令 c, d c, d c, c 3 3 3 1 1 1 d c 3 3 3 y d c 1 1 1 d c 3 3 3 z d 1 1 1 d d 3 3 3 y z 若 0, 則聯立方程式恰有一解, 即, y, z - 14 -

-4-0 不等式及其運用 -4-1 一元二次不等式 086 一元一次不等式 : 設 0, 若 為正數, 則 ; 若 為負數, 則 087 一元二次不等式設, 則 (1) ( )( ) 0 或 () ( )( ) 0 或 (3) ( )( ) 0 (4) ( )( ) 0 088 絕對值不等式設 為正數, 我們將絕對值不等式的求解概念整理如下 : (1) 若, 則其解為 ; 反之亦然 () 若, 則其解為 或 ; 反之亦然 (3) 若, 則其解為 ; 反之亦然 (4) 若, 則其解為 或 ; 反之亦然 -4- 絕對不等式 089 算幾不等式 (1) 設有兩個正實數, 必定滿足 當等號成立時, 則 c d () 設有四個正實數 c d, 必定滿足 4 cd 4 當等號成立時, 則 c d c (3) 設有三個正實數 c, 必定滿足 3 c 3 當等號成立時, 則 c 1... (4) 設有 個正實數 1, 必定滿足 1 當等號成立時, 則 1 090 柯西不等式 (1) 設四個實數 y, 則必定滿足 ( )( y ) ( y), 當等號成立時, 則必定存在一實數 t, 使得 t ty, 反之亦然 () 設六個實數 c y z, 則必定滿足 ( c )( y z ) ( y cz), 當等號成立時, 則必定存在一實數 t, 使得 t ty c tz, 反之亦然 (3) 若 1 1 為實數, 則必定滿足 (... )(... ) (... ), 當等號成立時, 1 1 1 1 則必定存在一實數 t, 使得 1 t1 t t, 反之亦然 - 15 -

-4-3 二元一次不等式的圖形 091 設直線 L 為 y c 0且 0 (1) 若 y c 0 () 若 y c 0 (3) 若 y c 0, 則表示直線 L : y c 0的右半平面, 則表示直線 L : y c 0的左半平面, 則表示直線 L : y c 0的右半平面及直線 L 本身, 則表示直線 L : y c 0的左半平面及直線 L 本身 (4) 若 y c 0-4-4 線性規劃 09 線性規劃問題求解的一般步驟 : (1) 列式 : 利用題意, 設未知數為 y, 列出聯立不等式 () 作圖 : 將聯立不等式的圖形畫出, 其圖形即數對 ( 0, y 0) 的可行解區域, 並求出各頂點坐標 (3) 目標函數 : 依據題意, 將題目所求列出目標函數 (4) 找最佳解 : 將可行解區域的頂點坐標代入目標函數中, 即可求出最佳解 - 16 -