高職數學B重點公式整理集

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1 013 年 4 月 v.0 版 高職數學 B 重點公式 整理集 [99 課綱版 ] 雲淡風清 Fu-Sheg Fu-Sheg 高雄高商進修學校

2 高職數學 B 重點整理 目錄 Ch0 銜接教材... 1 [ 公式 0-1] 乘法公式... 1 Ch1 直線方程式 [ 定義 1-1] 直角坐標 [ 公式 1-] 兩點距離公式 [ 公式 1-3] 中點公式 [ 公式 1-4] 內分點公式 [ 公式 1-5] 重心公式 ( 三中線交點 ) [ 公式 1-6] 平行四邊形頂點性質 [ 定義 1-7] 直線的斜角與斜率 [ 公式 1-8] 兩直線平行與垂直的斜率關係 [ 公式 1-9] 直線方程式的求法 [ 公式 1-10] 直線一般式 [ 公式 1-11] 點到直線距離公式 [ 公式 1-1] 兩平行線距離公式 [ 定義 1-13] 函數與圖形 [ 定義 1-14] 線性函數 [ 公式 1-15] 二次函數 ( 拋物線 ) Ch 三角函數 P.

3 高職數學 B 重點整理 3 [ 定義 -1] 角的度量 [ 公式 -] 扇形弧長面積公式 [ 定義 -3] 同界角 [ 定義 -4] 標準位置角 [ 定義 -5] 銳角三角函數 : 三角形之任兩邊長比值... 0 [ 公式 -6] 特別角 30,45, [ 公式 -7] 三角函數基本關係式... 0 [ 定義 -8] 廣義三角函數... 1 [ 公式 -9] 廣義三角函數象限正負與象界角... [ 公式 -10] 廣義三角函數化為銳角三角函數... [ 圖形 -11] 廣義三角函數週期... 3 Ch3 向量... 4 [ 定義 3-1] 向量的意義... 4 [ 公式 3-] 向量坐標表示... 4 [ 公式 3-3] 向量加減法... 5 [ 公式 3-4] 向量加減法的基本性質... 5 [ 公式 3-5] 向量實數積... 5 [ 公式 3-6] 向量內積... 6 [ 公式 3-7] 向量內積性質... 6 P.3

4 4 高職數學 B 重點整理 [ 公式 3-8] 向量的平行與垂直... 6 Ch4 指數與對數及其運算... 7 [ 定義 4-1] 指數函數... 7 [ 公式 4-] 指數公式... 7 [ 公式 4-3] 指數律... 7 [ 圖形 4-4] 指數圖形... 8 [ 定義 4-5] 對數函數... 8 [ 公式 4-6] 對數公式... 9 [ 圖形 4-7] 對數圖形... 9 [ 定義 4-8] 對數首數與尾數 Ch5 數列與級數 [ 定義 5-1] 數列與級數 [ 公式 5-] 運算性質與公式 [ 公式 5-3] 等差數列... 3 [ 公式 5-4] 等差級數... 3 [ 公式 5-5] 等差中項... 3 [ 公式 5-6] 等比數列... 3 [ 公式 5-7] 等比級數 [ 公式 5-8] 等比中項 P.4

5 高職數學 B 重點整理 5 [ 公式 5-9] 無窮等比級數 Ch6 式的運算 [ 定義 6-1] 多項式的定義 [ 公式 6-] 多項式的係數 [ 定義 6-3] 除法原理 [ 公式 6-4] 綜合除法 [ 公式 6-5] 餘式定理 [ 定義 6-6] 因式 倍式 [ 公式 6-7] 因式定理 [ 公式 6-8] 一次因式檢驗法則 [ 公式 6-9] 根與係數的關係 [ 定義 6-10] 多項式分式的定義 [ 公式 6-11] 多項式分式的四則運算 [ 公式 6-1] 多項式的部分分式 [ 公式 6-13] 雙重根號的化簡 Ch7 方程式 [ 定義 7-1] 多項方程式 [ 公式 7-] 一元一次方程式求解 [ 公式 7-3] 一元二次方程式求解 P.5

6 6 高職數學 B 重點整理 [ 公式 7-4] 一元高次方程式求解 [ 公式 7-5] 根與係數的關係... 4 [ 定義 7-6] 二階行列式... 4 [ 定義 7-7] 三階行列式 [ 公式 7-8] 三階行列式降階法 [ 公式 7-9] 克拉瑪公式 ( 直線 平面方程組公式解 ) Ch8 不等式及其應用 [ 定義 8-1] 多項式不等式 [ 公式 8-] 不等式基本性質 [ 公式 8-3] 一元一次不等式 [ 公式 8-4] 絕對值不等式 [ 公式 8-5] 一元二次不等式 [ 公式 8-6] 算幾不等式 [ 公式 8-7] 柯西不等式 [ 公式 8-8] 三角不等式 [ 公式 8-9] 二元一次不等式 [ 公式 8-10] 判別兩點在直線的同側或異側 [ 公式 8-11] 線性規劃 Ch9 排列組合 P.6

7 高職數學 B 重點整理 7 [ 定義 9-1] 階乘定義 [ 定義 9-] 加法原理 [ 定義 9-3] 乘法原理 [ 公式 9-4] 相異物的直線排列 [ 公式 9-5] 相同物的直線排列 [ 公式 9-6] 重覆排列 [ 公式 9-7] 環狀排列 [ 公式 9-8] 項圈排列 [ 公式 9-9] 不重覆的組合 [ 公式 9-10] 重覆的組合 [ 公式 9-11] 巴斯卡定理... 5 [ 公式 9-1] 二項式定理... 5 Ch10 機率 [ 定義 10-1] 集合定義 [ 公式 10-] 笛摩根定律 [ 公式 10-3] 集合常用公式 [ 定義 10-4] 古典機率 [ 公式 10-5] 機率常用公式 [ 定義 10-6] 互斥事件 P.7

8 8 高職數學 B 重點整理 [ 公式 10-7] 條件機率 [ 公式 10-8] 獨立事件 [ 公式 10-9] 期望值 Ch11 統計 [ 定義 11-1] 母群體 樣本 抽樣的定義 [ 公式 11-] 抽樣方法 [ 定義 11-3] 資料整理與圖表編製 [ 公式 11-4] 算術平均數 [ 公式 11-5] 加權平均數 (W ) M e [ 公式 11-6] 中位數 ( ) [ 公式 11-7] 眾數 (Mo) [ 公式 11-8] 百分等級 (Percetile Rk: PR 值 ) [ 公式 11-9] 全距 (R) [ 公式 11-10] 四分位差 (Q.D.) [ 公式 11-11] 標準差與變異數 [ 公式 11-1] 數值調整 (y i = x i + b) [ 公式 11-13] 常態分布 [ ] [ 公式 11-14] 信賴區間與信心水準... 6 Ch1 三角函數的應用 P.8

9 高職數學 B 重點整理 9 [ 公式 1-1] 和差角公式 [ 公式 1-] 二倍角公式 [ 公式 1-3] 直線交角公式 [ 公式 1-4] 正弦定理 [ 公式 1-5] 餘弦定理 [ 公式 1-6] 三角形面積公式 Ch13 二次曲線 [ 定義 13-1] 圓的定義 [ 公式 13-] 圓的方程式 [ 公式 13-3] 圓的判別式 [ 公式 13-4] 點與圓的關係 [ 公式 13-5] 直線與圓的關係 [ 公式 13-6] 點在圓上做切線 [ 公式 13-7] 圓的切線段長 [ 定義 13-8] 拋物線的定義 [ 定義 13-9] 拋物線的專有名詞 [ 公式 13-10] 拋物線的標準式 [ 公式 13-11] 拋物線的基本性質 [ 定義 13-1] 橢圓的定義 P.9

10 10 高職數學 B 重點整理 [ 定義 13-13] 橢圓的專有名詞 [ 公式 13-14] 橢圓的標準式 [ 公式 13-15] 橢圓的基本性質 [ 定義 13-16] 雙曲線的定義... 7 [ 定義 13-17] 雙曲線的專有名詞... 7 [ 公式 13-18] 雙曲線的標準式 [ 公式 13-19] 雙曲線的基本性質 Ch14 微積分及其應用 [ 定義 14-1] 無窮數列的極限 [ 公式 14-] 極限的運算性質 [ 公式 14-3] 無窮等比數列的收斂與發散 [ 定義 14-4] 函數極限 [ 公式 14-5] 函數極限的四則運算 [ 定義 14-6] 連續函數的意義 [ 定義 14-7] 導數的意義 [ 定義 14-8] 導函數的意義 [ 公式 14-9] 微分公式 [ 公式 14-10] 微分的應用 [ 定義 14-11] 反導函數 P.10

11 高職數學 B 重點整理 11 [ 定義 14-1] 不定積分 [ 公式 14-13] 不定積分公式 [ 定義 14-14] 定積分的幾何意義 [ 公式 14-15] 定積分的公式 [ 公式 14-16] 微積分基本定理 P.11

12 1 高職數學 B 重點整理 Ch0 銜接教材 [ 公式 0-1] 乘法公式 (1). ( b) b b (). ( b) b b (3). ( b)( b) b (4) ( b) 3 b 3b b (5) ( b) 3 b 3b b (6) 3 3. ( b)( b b ) b (7) (8) 3 3. ( b)( b b ) b ( b c) b c b bc c 例 0-1. 利用乘法公式展開下列式子 (1) (5) (7) ( x ) () (3x ) 3 y (6) (3x y)(9x 6xy 4 y ) ( x ) (3) (3x y)(3x y) (4) (3x y)(9x 6xy 4 y ) (8) As: (1) x (5) ( x y 3 z) 4x 4 () x 3 7x 18x 1x 8 (6) (3x y) (8) x 4y 9z 4xy 1yz 6xz 3 3 4x 4 (3) 9x 4y (4) 7x 18x 1x (3 x) ( y) (7) (3 x) ( y) 3 3 P.1

13 高職數學 B 重點整理 13 Ch1 直線方程式 [ 定義 1-1] 直角坐標 [ 公式 1-] 兩點距離公式 (1) 設數線上上兩點 A ( ) Bb (), 則 AB b () 設直角坐標系上兩點 A( x1, y 1) B( x, y ), 則 AB ( x x ) ( y y ) 1 1 [ 公式 1-3] 中點公式 x1 x y1 y 設 A( x1, y 1) B( x, y ), M 為 AB 之中點, 則 M ( x, y) (, ) [ 公式 1-4] 內分點公式 設 A( x1, y 1) B( x, y ), P 為 AB 上之一點, 使得 x1 mx y1 my AP : PB m:, 則 P( x, y) (, ) m m P.13

14 14 高職數學 B 重點整理 [ 公式 1-5] 重心公式 ( 三中線交點 ) 設 A( x1, y 1) B( x, y ) C( x 3, y 3 ), x1 x x3 y1 y y3 則 ABC 重心 G( x, y) (, ) 3 3 [ 公式 1-6] 平行四邊形頂點性質 x1 x3 y1 y3 x x4 y y4 設 A( x1, y 1) B( x, y ) C( x 3, y 3 ) D( x 4, y 4 ), 則 M ( x, y) (, ) (, ) [ 定義 1-7] 直線的斜角與斜率 斜角 : 直線與 x 軸正向的逆時針夾角 稱為斜角, 且 0 <180 斜率 : 利用直線 L 上任兩點 A( x1, y 1), B( x, y ) 描述直線 L 傾斜的情況, 則 y y1 y (1) x 1 x 時, 斜率 m t x x x 1 () x 1 x 時, 斜率 m 不存在, 直線 L 為鉛直線 (3) 當 L 平行 x 軸時, L 的斜率 m 0 P.14

15 高職數學 B 重點整理 15 [ 公式 1-8] 兩直線平行與垂直的斜率關係 設兩直線 L 1 L 且斜率分別為 m 1 m (1) 兩直線平行 L1 // L m1 m () 兩直線垂直 L1 L m1 m 1 [ 公式 1-9] 直線方程式的求法 (1) 點斜式 : 過點 P( x0, y 0), 斜率 m 的直線 L : y y0 m( x x0) () 斜截式 : 斜率 m, y 截距 b 的直線 L: y mx b x y (3) 截距式 : x 截距, y 截距 b 的直線 L : 1 b Ps: 課綱中的兩點式太少用也不好背, 由其他公式可補齊 [ 公式 1-10] 直線一般式 利用公式 1-9 直線方程式的求法都可以化簡整理為直線的一般式, 若以 L: x by c 0表示之, 則 (1) 當 b 0 時, 直線 L 的斜率為 c () 當 b 0時, 直線 L 與 x 軸垂直交於 (, 0) < 延伸公式 >: b (1) 與 L: x by c 0平行的直線方程式可設為 x by k 0 ( k c, k 為實數 ) () 與 L: x by c 0垂直的直線方程式可設為 bx y k 0 P.15

16 16 高職數學 B 重點整理 [ 公式 1-11] 點到直線距離公式 點 P( x0, y 0) 到直線 L: x by c 0的距離 d( P, L) x by c 0 0 b [ 公式 1-1] 兩平行線距離公式 L1: x by c1 0 兩平行直線, 則兩線距離 d( L1, L) L: x by c 0 c c 1 b [ 定義 1-13] 函數與圖形 設 x, y 兩變數, 對每個 x 值, 都只有一個對應的 y 值, 則稱 y 是 x 的函 數, 記為 y f () x, 此時 x 稱為 自變數, x 值的集合為 定義域, y 稱為 應變數, y 值的集合為 值域 [ 定義 1-14] 線性函數 設 b, 為實數, 滿足 y f () x x b 的函數即稱為線性函數 (1) 0 時, f () x x b 稱為一次函數, 圖形為斜直線 如 : f 1 ( x) x 1 () 0 時, f () x b 稱為常數函數, 圖形為水平線 如 : f ( x) 1 P.16

17 高職數學 B 重點整理 17 [ 公式 1-15] 二次函數 ( 拋物線 ) 設 bc,, 為實數且 0, 滿足 y f ( x) x bx c 的函數即稱為二次函數 (1) 0 時, 圖形為開口向上的拋物線 () 0 時, 圖形為開口向下的拋物線 (3) 利用配方法, b b 4c b b 4c f ( x) x bx c ( x ), 此時頂點為 (, ), 代表 4 4 b b 4c x 時, 函數 f() x 有極大或極小值 4 b b 4c (4) 當 f ( x) x bx c 0 x, 則利用判別式 D b 4c,. D 0, f() x 有兩相異實根, 與 x 軸交兩點. D 0, f() x 只有一實根, 與 x 軸交一點. D 0, f() x 無實根 ( 即兩共軛虛根 ), 與 x 軸無交點 P.17

18 18 高職數學 B 重點整理 Ch 三角函數 [ 定義 -1] 角的度量 1. 有向角 : 以水平線為始邊, 至終邊的夾角稱為有向角 逆時針為正向角 ; 順時針為負向角 (1) 度度量 : 六十分制 1 度 = 60 分 1 60',1 分 = 60 秒 1' 60'' () 弧度量 : 在圓周上取 AB r, 此時對應的圓心角即 1 弧度. 角度轉換 :1 ( 弧度 ), 1( 弧度 ) 圓周角 =360 = ( 弧度 ),1 平角 =180 = ( 弧度 ), 1 直角 =90 = ( 弧度 ) [ 公式 -] 扇形弧長面積公式 1. 弧長 S 弧度 半徑 r, 即 S r, 此時 為弧度角 1 1. 扇形面積 A r rs 3. 圓形面積 = r, 圓周長 = r P.18

19 高職數學 B 重點整理 19 [ 定義 -3] 同界角 兩角度擁有相同始邊與終邊, 即 1 360, 為整數 (1) 最小正同界 : 在所有正同界角中最小的角度 () 最大負同界 : 在所有負同界角中最大的角度 < 注意 > 最大負同界與最小正同界剛好差 360 [ 定義 -4] 標準位置角 將有向角 頂點置於原點上, 始邊置於 x 軸的正向上, 則稱 為標準位置角 (1) 為第一象限角 : 當 0 90 () 為第二象限角 : 當 (3) 為第三象限角 : 當 (4) 為第四象限角 : 當 (5) 當 90 時, 其中 為整數, 則 稱為象限角 P.19

20 0 高職數學 B 重點整理 [ 定義 -5] 銳角三角函數 : 三角形之任兩邊長比值 (1) 正弦 si c b () 餘弦 cos c 對邊 斜邊 鄰邊 斜邊 對邊 (3) 正切 t b 鄰邊 b 鄰邊 (4) 餘切 cot 對邊 c 斜邊 (5) 正割 sec b 鄰邊 c 斜邊 (6) 餘割 csc 對邊 [ 公式 -6] 特別角 30,45,60 [ 公式 -7] 三角函數基本關係式. 餘角關係式 :( 正 餘, 餘 正 ) (1) si(90 ) cos, cos(90 ) si () t(90 ) cot, cot(90 ) t (3) sec(90 ) csc, csc(90 ) sec P.0

21 高職數學 B 重點整理 1. 倒數關係式 :( 對面呈倒數 ) (1) 1 si () csc 1 cos (3) sec 1 t cot. 平方和關係 :( 以三點, 箭頭放等號 ) (1) () (3) si cos 1 t 1 sec 1cot csc. 商數關係式 :( 任一頂點函數 = 相鄰頂點兩函數相乘 ) (1) si t cos 即 () cos si cot 即 si t cos cos cot si [ 定義 -8] 廣義三角函數 以半徑 r 的圓, 搭配有向角 終邊上點 P( x, y ), 此時 r 必為正值, 而 x, y 則是坐標值有正有負 配合 一般三角函數的定義套用為廣義三角函數 y x (1) si () cos (3) t r r x r r (4) cot (5)sec (6) csc y x y y x P.1

22 高職數學 B 重點整理 [ 公式 -9] 廣義三角函數象限正負與象界角 [ 公式 -10] 廣義三角函數化為銳角三角函數 設 為銳角 0 360, 且 90 (1) 當 為偶數時 : 原本三角函數不變, 不論, 角度直接改為, 正負值由原三角函數決定 如 :si(10 ) si(90 30 ) si 30 ( 註 : 正負可參考公式 -9 的圖形 ) () 當 為奇數時 : 原本三角函數變為餘函數, 不論, 角度直接改為, 正負值由原三角函數決定 如 :si(10 ) si( ) cos60 P.

23 高職數學 B 重點整理 3 [ 圖形 -11] 廣義三角函數週期 (1) si週期, 1 si 1 () cos週期, 1 cos 1 (3) t週期, t P.3

24 4 高職數學 B 重點整理 Ch3 向量 [ 定義 3-1] 向量的意義 有方向性的量值稱為 向量, 如力量 ; 而身高 體重這類量值稱為 純量 向量會以線段加上方 向性的有向線段來表示, 如 AB 當向量 AB 加上絕對值 AB 時, 代表純量線段的長度, 即 AB AB (1) 零向量 : 有方向而無量值的向量記為 0 () 等向量 : 兩向量方向相同, 量值一樣 如 : AD BC (3) 逆向量 ( 負向量 ): 兩向量方向相反, 量值一樣 如 : AB CD AB DC (4) 單位向量 : 長度為 1 的向量, 常表示為 u 任意向量 除以自己的長度 時即為單位向量 u [ 公式 3-] 向量坐標表示 任意向量 均可以坐標表示, 即 ( x, y), 此時, x, y 分別代表 x 分量與 y 分量 對於 A( x1, y 1), B( x, y ) 兩點形成的向量 AB 坐標表示可記為 AB ( x x1, y y1), 則 AB ( x x ) ( y y ) 1 1 P.4

25 高職數學 B 重點整理 5 [ 公式 3-3] 向量加減法 (1) 一般向量加法 : 對任意向量都只考慮始點與終點, 則 AC AB BC () 一般向量減法 : 可搭配任一點 O, 用 終點減起點 分解向量, 則 AC OC OA (3) 向量坐標加法 : 令 ( x1, y1), b ( x, y) b ( x1 x, y1 y) (4) 向量坐標減法 : 令 ( x1, y1), b ( x, y) b ( x1 x, y1 y) [ 公式 3-4] 向量加減法的基本性質 設, b, c 為任意三向量, 則 (1) b b () ( b ) c ( b c ) (3) b 0 0 b b (4) ( ) 0 [ 公式 3-5] 向量實數積 1. 設 ( x, y) 0, r R則 r ( rx, ry) (1) 當 r 0 時, r 的方向與 相同,其長度為 r () 當 r 0 時, r 的方向與 相反,其長度為 r (3) 當 r 0 時,即 r 0. 設 r, s 為實數,, b 為任意向量 (1) r b r r b r s rs () r s r s (3) P.5

26 6 高職數學 B 重點整理 [ 公式 3-6] 向量內積 向量內積即向量的乘法, 內積的結果會是一個無方向性的純量 令 AB ( x1, y1) AC ( x, y), 為 AB 與 AC 的夾角, 則 AB AC AB AC cos x1 x y1 y, 式子中的. 稱為 dot, 並記得兩向 量一定要始點對始點的夾角才是 角 [ 公式 3-7] 向量內積性質 設 r 為實數,, b, c 為任意向量 (1). () b b. (3) r b r b. (4) b c b c. (5) 若 b b 0 [ 公式 3-8] 向量的平行與垂直 設兩非零向量 ( 1, ), b ( b1, b ), t 為實數,則 (1) 若 b, 則 b 1 b 1 b 0 1 () 若 // b, 則 t b b b, 其中 ( b 0且 b 0) 1 1 P.6

27 高職數學 B 重點整理 7 Ch4 指數與對數及其運算 [ 定義 4-1] 指數函數 x 設 0 且 1, x R, 則函數 f ( x) 稱為以 為底的指數函數 x 個 x [ 公式 4-] 指數公式 1. 設 R 且 0, N 0 (1) 1 () 1. 設 R 且 0, m, N (1) 1 m m () m ( ) [ 公式 4-3] 指數律 設, b, m, R, m m (1) () ( ) (3) ( b) b m m P.7

28 8 高職數學 B 重點整理 [ 圖形 4-4] 指數圖形 x 設 0 且 1, 則 y f ( x) 的指數圖形 性質 :(1) 必過 (0,1) 點 () 以 x 軸為漸近線 (3) f() x 恆大於 0, 即圖形恆在 x 軸之上 圖形 : 分 1與 0 1兩種, 彼此對稱於 y 軸 (1) 1時 () 0 1時 [ 定義 4-5] 對數函數 當 0, 1, b 0時, 指數 x x b, 此時 x 值也可以 log b 表示, 即 b log b x 則 log b 稱 以 為底 b 的對數, 稱為底數, b 稱為真數, 而且底數 真數 b, 仍滿足 0, 1, b 0的 條件 (1) 以 10 為底數的對數 log10 x 可省略為 log x, 也稱為常用對數 10 () log 0.301, log , log 5 log 1 log P.8

29 高職數學 B 重點整理 9 [ 公式 4-6] 對數公式 (1) log 1 0, log 1, log x x, log x x () log MN log M log N M (3) log log M log N s s (4) log r M log r (5) log M N logc M M ( 換底公式, 此時 c 可為任意實數 ) log c (6) log b logb c logc 1 ( 連鎖公式 ) (7) (8) log log M b 1 M log M M log b [ 圖形 4-7] 對數圖形 設 0 且 1, 則 y f ( x) log x 的對數圖形 : 性質 :(1) 過 (1,0) () 以 y 軸為漸近線 (3) 圖形恆在 x 軸之正向 圖形 : (1) 1時 () 0 1時 P.9

30 30 高職數學 B 重點整理 [ 定義 4-8] 對數首數與尾數 對任意實數 x 0 皆可以科學記號表為 x 10, 其中 1 10, 為整數, 則兩邊同取 log 可以得 到 log x log, 此時稱 為 log x 的首數, 稱 log 為 log x 的尾數, 且 0 log 1 ( 切記 : 首數 必為整數, 尾數 log 必為正值 ) (1) 當 0 時 實數 x 1, 且實數 x 的整數部份為 1位數 () 當 0 時 實數 0x 1, 且實數 x 在小數點後第 位才開始不為 0 P.30

31 高職數學 B 重點整理 31 Ch5 數列與級數 [ 定義 5-1] 數列與級數 數列 : 將數字列出來, 數列也可以 表示, 如 : 1,, 3,, 級數 : 將數列 的各項數字加起來, 如 : 1 3 [ 公式 5-] 運算性質與公式 令 k 1 3 k1» 性質 (1) ( b ) b (3) ()» 公式 k k k k k1 k1 k1 k 1 c c, c 為常數 m ck c k, c 為常數 (4) k k k k1 k1 k1 k1 km,1 m (1) () ( 1) k (3) k1 ( 1)( 1) k (4) k1 6 k 1 k 3 ( 1) ( ) k( k 1) k k 1 k1 k1 P.31

32 3 高職數學 B 重點整理 [ 公式 5-3] 等差數列 令首項 1, 公差 d 的等差數列,,,..., 1 3, d, d,..., ( 1) d (1) 任意第 m 項 1 ( m 1) d m () 由第 m 項 m 為首項, 則第 項 m ( m) d, 且 1m [ 公式 5-4] 等差級數 一等差數列 首項 1 公差為 d, 其所有數字之和 S 稱為等差級數, ( ) [ ( 1) d] 1 1 則 S [ 公式 5-5] 等差中項 若 bc,, 為公差 d 的三個等差數列, 則稱 b 為 bc,, 三數的等差中項 (1) 等差中項假設方法 : 三數, b, c b d, b, b d c () 等差中項性質 : b (b 又稱為 c, 的算術平均數 ) [ 公式 5-6] 等比數列 令首項 1, 公比 r 的等比數列 1,, 3,...,, r, r,..., r (1) 任意第 m 項 m r m 1 1 () 由第 m 項 m 為首項, 則第 項 m mr, 且 1m P.3

33 高職數學 B 重點整理 33 [ 公式 5-7] 等比級數 一等比數列 首項 1 公比為 r, 其所有數字之和 S 稱為等比級數, 1 則當 r 1時, S r r r S ( r 1) 1(1 r ) r1 1r [ 公式 5-8] 等比中項 若 bc,, 為公比 r 的三個等比數列, 則稱 b 為 bc,, 三數的等比中項 b (1) 等比中項假設方法 : 三數, b, c, b, br r () 等比中項性質 :b c ( c 又稱為 c, 的幾何平均數 ) [ 公式 5-9] 無窮等比級數 首項為 ( 0), 公比為 r 的無窮等比級數可寫為 k1 k1 1 r r r r 則 (1) 當 r 1時, r k 1 k 1 1, 此時該數列為收斂級數 r () 當 r 1時, 該數列為發散級數, 數列之和不存在 P.33

34 34 高職數學 B 重點整理 Ch6 式的運算 [ 定義 6-1] 多項式的定義 設 x 的多項式 i f ( x) x x x x, 每項 x 的係數為 i, 次方 i 均為非負整數 i (1) 單項式 : 每個 x 均為單項式, 如 x 為 次項, x 1 為 1 次項 i () 領導係數 : 當 0 時, 則稱 為 f() x 的領導係數 (3) 最高次方 : 當 0 時, 則 f() x 的最高次方為 次, 又以 deg f ( x) 表示, 此時也稱 f() x 為 次 多項式 (4) 常數多項式 ( 零次多項式 ): 設 0 0, 且當 f ( x) 0 時, 則稱為常數多項式或零次多項式 (5) 零多項式 : 當 f( x) 0 時, 則稱為零多項式 (6) 實係數多項式 : 當 i R時, 稱 f() x 為實係數多項式 (7) 多項式相等 : 若 f ( x) g( x), 則 deg f ( x) deg g( x), 且每一項的係數相等 例 f ( x) x 6x 11x 6, 求 (1) deg f( x)? () f() x 的領導係數? Sol: (1) 因為最高次方為 3 次方, 所以 deg f( x) 3 () 即最高次方的係數為 1 As: (1) 3 () 1 練 6-1 f ( x) x 5x 6, 求 (1) deg f( x)? () f() x 的常數項? As: (1) () 6 P.34

35 高職數學 B 重點整理 35 [ 公式 6-] 多項式的係數 設 f () x x x x x, 則 (1) 常數項 0 f(0) () 各項係數和 = f (1) (3) 偶次項係數和 0 = (4) 奇次項係數和 = 例 6- f(1) f( 1) f(1) f( 1),( 設 為偶數 ),( 設 為偶數 ) 3 f ( x) x 6x 11x 6, 求 (1) f (0)? () f() x 的各項係數和? (3) 偶次項係數和? Sol: (1) f (0) 6 () f (1) (3) As: (1) 6 () 0 (3) 1 f(1) f( 1) 0 ( 4) 1 練 6- f ( x) x 5x 6, 求 (1) f (0)? () f() x 的各項係數和? (3) 奇次項係數和? As: (1) () 5 [ 定義 6-3] 除法原理 設 f ( x), g( x ) 為兩多項式, 且 gx ( ) 0, 則必滿足 f ( x) g( x) Q( x) r( x), 且 rx ( ) 0 或 deg r( x) deg g( x) 其中 f() x 為被除式, gx ( ) 為除式, Qx () 為商式, rx ( ) 為餘式 P.35

36 36 高職數學 B 重點整理 3 例 6-3 若 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 求 f ( x) g( x) 的商式跟餘式 As: (1) x 5x6 Sol: (1) 3 商式 = x 5x 6, 餘式 =0 x 1 x 6x 11x 6 x x 3 5x 11 5x 5 x x 6x 6 6x 練 6-3 若 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 求 f ( x) g( x) 的商式跟餘式 As: (1) x x 5x 6 () 0 7x 18 () 4 [ 公式 6-4] 綜合除法 可以快速求得多項式除法之商式與餘式的方法 例 6-4 求 (1) (3x x 1) ( x ) 與 () (3x x 1) (x 1) 的商式跟餘式 As: (1) 商式 3x 4, 餘式 7 () 商式 x, 餘式 4 4 (1) () P.36

37 高職數學 B 重點整理 練 6-4 求 (1) (3x x 1) ( x 3) 與 () (3x x 1) (x 1) 的商式跟餘式 As: (1) 商式 3x 7, 餘式 0 () 商式 x, 餘式 [ 公式 6-5] 餘式定理 設 f ( x) g( x) Q( x) r( x), (1) 當除式 g() x x 時, 則 f ( ) r( ) b b () 當除式 g() x x b 時, 且 0, 則 f( ) r( ) 3 例 6-5 若 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 用餘式定理求 f ( x) g( x) 的餘式 Sol: 餘式 = f (1) As: 0 練 6-5 若 3 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 用餘式定理求 f ( x) g( x) 的餘式 As: 4 P.37

38 38 高職數學 B 重點整理 [ 定義 6-6] 因式 倍式 若 gx ( ) 為 f() x 的因式, 可寫為 g( x) f ( x ), 稱為 g( x) 整除 f ( x), 此時 f() x 也為 gx ( ) 的倍式, 即 f ( x) g( x) Q( x) [ 公式 6-7] 因式定理 若 f ( x) g( x) Q( x), (1) 當除式 g() x x 為 f() x 的因式時 f( ) 0 () 當除式 g() x x b 為 f() x 的因式時 f ( b ) 0 (3) 若 deg f( x), f( ) 0, f( b) 0 可假設 f ( x) k( x )( x b), k R 3 例 6-7 若 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 用因式定理求 gx ( ) 是否為 f() x 的因式 Sol: 餘式 = f (1) , 代表 f() x 剛好被 gx ( ) 整除 是因式 As: 是 練 6-7 若 3 f ( x) x 6x 11x 6, g( x) x 1, 用因式定理求 gx ( ) 是否為 f() x 的因式 As: 否 [ 公式 6-8] 一次因式檢驗法則 設整係數多項式 f ( x) x x x x 與 b, 兩實數, 若 b, 互質, 且 g() x x b 為 f() x 的一次因式, 則 且 b 0 因此如果要尋找 f() x 的一次因式, 只要找 與 0 的因數 b, 並組合出所有可能的一次因式 gx, ( ) 再用綜合除法檢驗 gx ( ) 是否為 f() x 的一次因式即可 P.38

39 高職數學 B 重點整理 3 例 6-8 試用一次因式檢驗法則找出 f ( x) x 6x 11x 6 的所有一次因式? Sol: 能整除領導係數 1 的值只有 1, 而整除 6的值有 1,, 3, 6 可能的一次因式有 x 1, x 1, x, x,, x 6共 8 組, 再利用綜合除法 先得到 x 1為其一次因式, 則 f ( x) ( x 1)( x 5x 6) 剩二次式時, 就用 十字交乘法即可確認 f() x 的一次因式有 x 1, x, x 3 3 練 6-8 試用一次因式檢驗法則找出 f ( x) x 5x 4x 3 的所有一次因式? 39 As: x 1, x, x 3 As: x 1, x 3, x 1 [ 公式 6-9] 根與係數的關係 設, 為 f ( x) x bx c 的兩根 ( 兩解 ), 即 f() x 也可以寫為 f ( x) ( x )( x ), 則 (1) 兩根之和 () 兩根之積 c b [ 定義 6-10] 多項式分式的定義 f 兩多項式 f, g 相除成為即稱為分式, 可分為 g (1) 真分式 : deg f deg g的分式 例 : 1 x 1 x () 假分式 : deg f deg g的分式 例 : 3x4 x 1 x (3) 帶分式 : 可化成一個多項式與另一個分式之和的型式 例 : x x 1 P.39

40 40 高職數學 B 重點整理 [ 公式 6-11] 多項式分式的四則運算 多項式的分式與一般分數四則運算原則均無差異 設 f, g, h, k 為四個多項式, 則 f h fk gh (1) 加減法 :, ( gk 0) g k gk () 乘法 : f h fh, ( gk 0) g k gk (3) 除法 : f h fk, ( ghk 0) g k gh [ 公式 6-1] 多項式的部分分式 多項式的部分分式是將一個最簡式化成若干個最簡分式的和, 如 : ( ) (1) f x A B ( x )( x b) x x b, 其中 0 deg f( x) 1 解法 : 同乘 ( x )( x b) 再代 x 與 x b求出 AB, ( ) () f x A B C ( x )( x b)( x c) x x b x c, 其中 0 deg f( x) 解法 : 同乘 ( x )( x b)( x c) 再代 x x b與 x c求出 A, B, C f ( x) A Bx C (3) ( x )( bx cx d) x bx cx d 解法 : 同乘 ( x )( bx cx d) 再代 x 0,1, 1解聯立, 求出 A, B, C f( x) A1 A A (4) ( x ) x ( x ) ( x ) 解法 : 連續綜合除法 [ 公式 6-13] 雙重根號的化簡 設 b 0, 則 b b b 如 : ( 4 3) 4 3 P.40

41 高職數學 B 重點整理 41 Ch7 方程式 [ 定義 7-1] 多項方程式 設 f() x 為 x 的多項式, 則 f( x) 0 稱為 x 的多項方程式 [ 公式 7-] 一元一次方程式求解 設 b, 為實數, 則一元一次方程式 x b 0 的解情況為 b (1) 當 0 時, x () 當 b 0 時, x 為任意實數 (3) 當 0, b 0 時, x 無解 [ 公式 7-3] 一元二次方程式求解 設 bc,, 為實數, 則一元二次方程式 x bx c 0的解情況為 (1) 當 b () 當 b (3) 當 b b b 4c 4c 0時, x 有兩相異實根, 且 x b 4c 0時, x 有兩相同實根, 且 x 4c 0時, x 無實根, 即 x 無解 [ 公式 7-4] 一元高次方程式求解 高次方程式解法先以一次因式檢驗法則 [ 公式 6-8] 做因式分解, 之後再求其解 P.41

42 4 高職數學 B 重點整理 [ 公式 7-5] 根與係數的關係 設, 為 f ( x) x bx c 的兩根 ( 兩解 ), 即 f() x 也可以寫為 f ( x) ( x )( x ), 則 (1) 兩根之和 () 兩根之積 c b [ 定義 7-6] 二階行列式» 二階行列式 : b d bc c d» 二階行列式性質 ( 性質皆與三階行列式相通 ) (1) 行列互換,其值不變. b c d = c b d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號. b d c = b c d (3) 任一行 ( 列 ) 可提出同一數. b kc kd =k b c d 例 : = (4) 兩行 ( 列 ) 成比例時,其值為 0. k c kc =0, b k kb =0 例 : = (5) 將一行 ( 列 ) 的 k 倍加到另一行 ( 列 ),其值不變. b c d = b + k c d+kc + b (6) 行列式的加法性質 : = b c+ c d c d + b c d 例 : P.4

43 高職數學 B 重點整理 43 [ 定義 7-7] 三階行列式 三階行列式 : b c d e f ei dhc gfb ceg idb fh g h i ( 用加的, 用減的 ) [ 公式 7-8] 三階行列式降階法 搭配 的正負號經由任一行 ( 列 ) 三個數字挑選為係數, 再以該係數為中心畫十字做二階 行列式降階 如 P.43

44 44 高職數學 B 重點整理 [ 公式 7-9] 克拉瑪公式 ( 直線 平面方程組公式解 ) 1. 二元一次方程組 ( 直線方程組 ) 1x b1 y c1 令 x b y c 1 b1 的 b, c1 b1 x c b, 1 c1 y c,. 當 0, 有一組 ( xy, ) 解, 兩線交於一點, 則 x y x, y. 當 x y 0, 有無限多解, 兩線重合. 當 0而 x 0 或 y 0 時, 無解, 兩線平行. 三元一次方程組 ( 平面方程組 ) 1x b1 y c1z d1 令 x b y c z d x b y c z d 若 b c 的 b c, x d b c, y d c, z b d, b c x y z, 則 x, y, z d b c d b c d c d c b d b d P.44

45 高職數學 B 重點整理 45 Ch8 不等式及其應用 [ 定義 8-1] 多項式不等式 定義 : 將多項式方程式的等號改為 f( x) 0 f( x) 0 f( x) 0 f( x) 0的式子, 即為多項式不等式 不等式基本運算 : (1) 多項式的四則運算中, 只有乘除負數才會改變不等式的方向 如 : () 多項式不等式倒數也會改變不等式的方向 若 b b 如 : 倒數 同乘 -1 [ 公式 8-] 不等式基本性質 設 bc,, 為任意實數 (1) 三一律 : b b b, 三個關係式中, 恰有一式會成立 () 遞移律 : 若 b, 且 b c, 則 c (3) 加法律 : 若 b, 則 c b c (4) 乘法律 : 若 b且 c 0, 則 c bc 若 b且 c 0, 則 c bc [ 乘除負數, 不等式方向要改變 ] b (5) 0 時, 若 0 b 0 ; b 若 0 b (6) 若 0, b 0, 且 b, 則 [ 兩邊倒數, 不等式方向要改變 ] b (7) 若 b 0, 則 (8) b b b ; 若 b 0, 則 b P.45

46 46 高職數學 B 重點整理 [ 公式 8-3] 一元一次不等式 設,b 為實數, 0, 則型如 f ( x) x b 0 的形式即為一元一次不等式 b b 0 時, 若 x b 0 x 0時, 若 x b 0 x [ 公式 8-4] 絕對值不等式 設 0,(1) 若 x 時, 則 x () 若 x 時, 則 x 或 x [ 公式 8-5] 一元二次不等式 設,b,c 為實數, 0, 則型如 f ( x) x bx c 0的形式即為一元二次不等式» 求解的方法 : 找出 f ( x) x bx c 0的根, 再結合不等式的大小情況各別討論即可 例如 : 若 b 4c 0 0, 且 x bx c ( x )( x ), (1) 若 x bx c 0 ( x )( x ) 0 x P.46

47 高職數學 B 重點整理 47 () 若 x bx c 0 ( x )( x ) 0 x x (3) 若 x bx c 0 ( x )( x ) 0 x x (4) 若 x bx c 0 ( x )( x ) 0 x 同理, 若 b 4c 0與 b 4c 0的情況也可以由圖形判別之 [ 公式 8-6] 算幾不等式 b 任兩正數 b,, 滿足算數平均數 幾何平均數 b, 當等號成立時, 則 b [ 公式 8-7] 柯西不等式 設兩向量 v1 ( 1, b1 ) 與 v (, b ), 則 ( b )( b ) ( bb ) 等號成立於兩向量 v 1, v 平行成比例的時候 記法 :( 長度積 ) ( 內積 ) P.47

48 48 高職數學 B 重點整理 [ 公式 8-8] 三角不等式 設 b, 為實數, 則 b b 當 b 0 時, 等號成立 [ 公式 8-9] 二元一次不等式設 0, 且 L: x by c 0, 則不等式圖形判別方式可以 x 搭配大於 小於的情況來決定 x 正向 ( 右邊 ) x 負向 ( 左邊 ), 且等號成立時將包含直線 L (1) x by c 0 () x by c 0 (3) x by c 0 (4) x by c 0 P.48

49 高職數學 B 重點整理 49 [ 公式 8-10] 判別兩點在直線的同側或異側 設兩點 A( x1, y 1) B( x, y ) 與直線 L: x by c 0, 則 (1) AB, 兩點在 L 同側 ( x1 by1 c)( x by c) 0 () AB, 兩點在 L 異側 ( x1 by1 c)( x by c) 0 [ 公式 8-11] 線性規劃 將 x, y 兩變數所有二元一次不等式的條件繪出圖形, 圖形的共同區域即為所有 x, y 的可能解 區域, 再由可能解中尋找對於目標函數 f ( x, y ) 的最大值 最小值 如下圖例, L 1, L, L 3 與 x, y 共 5 個條件式形成灰色區域 (1) f ( x, y ) 的最大 最小值必落在頂點上 A, B, C, D, E 五頂點即為最大 最小值的可能解 () 由題目要求的目標函式 f ( x, y ) 掃過可能解區域, 則 最先與最後遇到的頂點必為最大或最小值 A, C 為最大或最小值的兩解 P.49

50 50 高職數學 B 重點整理 Ch9 排列組合 [ 定義 9-1] 階乘定義 N,! 唸法 階乘, 且! ( 1)( ) 3 1, 規定 0! 1 [ 定義 9-] 加法原理 完成 A 事情的方法有 m1, m, m3, m k 種, 則能夠完成 A 事情的方法即為 m1 m m3 mk 種 用事情 已完成 的概念即可知道該運用加法原理 [ 定義 9-3] 乘法原理 處理 A 事情的方法需要經過 k 個步驟, 每個步驟均有 m1, m, m3, m k 種方法可供選擇, 則完成 A 事 情的方法即為 m1 m m3 mk 種 用事情 未完成 的概念即可知道該運用乘法原理 [ 公式 9-4] 相異物的直線排列 從 個相異物中, 挑選 m 個做排列記為 P, 且 0 m m! P m ( 1) ( ) ( m 1) ( m)!, 即從 開始往下每次減 1 連乘 m 個數字 排列有先 後順序的差別 [ 公式 9-5] 相同物的直線排列 若 個物件中, 可分為 k 類物件, 第一類有 m 1 個相同物件, 第二類有 m 個相同物件, 第 k 類有 m 個相同物件, 且 m1 m m3 mk, 則挑選此全部 個物件做排列的方法數有! m! m! m! 1 k k P.50

51 高職數學 B 重點整理 51 [ 公式 9-6] 重覆排列 從 個相異物中, 重覆挑選 m 次做排列的方法數為 m [ 公式 9-7] 環狀排列 P 從 個相異物中, 任取 m 個 ( m 0, m ) 物件做環狀排列, 其排列數為 m m 若全取做環狀排列, 其排列數為 ( 1)! [ 公式 9-8] 項圈排列 排列數等於 1 ( 環狀排列方法數 ) [ 公式 9-9] 不重覆的組合 從 個相異物中, 任取 m 個 ( m 0, m ) 物件的組合數為 C m Pm! 組合無先後順序的差別, 因此組合就是先做排列, 再除去先後順序的排列數 m! ( m)! m! 組合性質 : (1) C m, 0 m ( 即從 物取 m 個的組合 = 從 物淘汰 m個的組合 ) C m () C C0 1 (3) 若 C C b或 b ( b, 皆為不大於 的自然數 ) b [ 公式 9-10] 重覆的組合 從 類相異物件中, 每類的物件皆不少於 m 個, 選取 m 個物件做重覆組合 ( 同類的相同物件可以重 m 覆選取 ), 其組合數為 H C m m 1 P.51

52 5 高職數學 B 重點整理 [ 公式 9-11] 巴斯卡定理 C C C,1 m m m1 m 用例子說明 : 位同學選 m 人參加比賽 ( 即 C ), 1 (i) 若確定主持人小明一定要入選, 則再選 m 1人 ( 即 C ), 1 (ii) 若確定主持人小明不能參選, 則再選 m 人 ( 即 C ) m m m 1 C C C 1 1 m m1 m [ 公式 9-1] 二項式定理 為自然數, ( x y) C x y C x y C x y C x y C x y 延伸性質 : (1) C0 C1 C () C 0 C 1 ( 1) C 0 1 (3) C0 C C4 C, ( 設 為偶數時 ) (4) C C C C 擴充性質 :( 統測 94 年補考 )! ( x x x ) x x x m, m 其中 且 1 m 1,,, m 為非 1 1 m 1 1!! m! 負整數 P.5

53 高職數學 B 重點整理 53 Ch10 機率 [ 定義 10-1] 集合定義 集合是由各種元素所組合而成的群體» 集合表示方法 (1) 列舉法 : 如 {1,, 3, 4, 5 } () 描述法 : 如 { x 1 x 5, x N}» 集合與集合的關係 (1) 子集合 : 若集合 A 中的每個元素皆為集合 B 中的元素, 則 A 為 B 的子集合, 以 A B表示, 稱為 A 包含於 B () 相等集合 : 若 A B且 B A, 則 A B (3) 空集合 : 不含任何元素的集合, 以 或 {} 表示» 集合的運算 (1) 聯集 : 由集合 A 與集合 B 的所有元素所形成的新集合, 稱為 A 聯集 B, 記為 A B () 交集 : 由集合 A 與集合 B 的共同元素所形成的新集合, 稱為 A 交集 B, 記為 A B (3) 差集 : 集合 A 中不包含集合 B 的元素所形成的新集合, 稱為 A 差集 B, 記為 A B (4) 宇集 餘集 : 宇集 : 在問題中包含全部元素的最大集合, 稱為 宇集, 記為 U 餘集 : 對於不包含集合 A 的所有元素所形成的新集合, 稱為 A 的餘集, 也有一稱為 A 的 補集, 並記為 A ' P.53

54 54 高職數學 B 重點整理 [ 公式 10-] 笛摩根定律 (1) ( A B)' A' B' ()( A B)' A' B' [ 公式 10-3] 集合常用公式 設 A ( ) 表示集合 A 的元素個數 (1) ( A B) ( A) ( B) ( A B) () ( A B) ( A) ( A B) ( A B') (3) ( A B C) ( A) ( B) ( C) ( A B) ( B C) ( A C) ( A B C) [ 定義 10-4] 古典機率 設一隨機試驗的樣本空間 S 為有限集合, 且 S 中的每一個樣本 ( 即 S 集合中的元素 ) 出現的機會均等, 而 A 為一個包含於 S 的事件, 即 A S, 則事件 A 發生的機率為 ( A) 事件 A的個數 PA ( ) ( S) 樣本空間 S 的個數 [ 公式 10-5] 機率常用公式 設 A, B, C 為樣本空間 S 的三個事件, 則 (1) 全事件機率 : 一定會發生的事件稱為 全事件, 則 PS ( ) 1 () 空事件機率 : 一定不會發生的事件稱為 空事件, 則 P( ) 0 (3) A 事件的機率 : 0 PA ( ) 1 (4) 餘事件機率 :. P( A') 1 P( A). P( A' B') P(( A B)') 1 P( A B) P.54

55 高職數學 B 重點整理 55 (5) 和事件機率 :. P( A B) P( A) P( B) P( A B). P( A B C) P( A) P( B) P( C) P( A B) P( B C) P( A C) P( A B C) [ 定義 10-6] 互斥事件 設 AB, 為二集合, 且二者的交集為空集合, 即 A B, 則稱為互斥事件 [ 公式 10-7] 條件機率 設 AB, 為樣本空間 S 的二個事件, 且 PA ( ) 0, 則在事件 A 先發生的條件之下, 再發生事件 B 的機 ( A B) P( A B) 率為 P( B A) ( A) P( A)» 條件機率的乘法公式. P( A B) P( A) P( B A). P( A B C) P( A) P( B A) P( C A B) [ 公式 10-8] 獨立事件 若事件 A 與事件 B 彼此發生與否互不影響, 則稱 AB, 為獨立事件, 且 P( A B) P( A) P( B) [ 公式 10-9] 期望值 { A, A,, A } 為樣本空間 S 中事件 A 的所有情況, 且事件 A i 發生的機率為 P i ( 其中 設 1 i 1,,, ), 發生事件 A i 的報酬為 m i ( 其中 i 1,,, ), 則事件 A 的期望值記為 EA ( ) E( A) P m P m P m P m i1 i i 1 1 P.55

56 56 高職數學 B 重點整理 Ch11 統計 [ 定義 11-1] 母群體 樣本 抽樣的定義 母群體 : 對某一問題,研究所涉及的所有 對象 所成的集合,稱為母群體或母體 樣本 : 由母體中所選出的一個部分集合 抽樣 : 針對母體中的部分對象進行調查 [ 公式 11-] 抽樣方法 因應研究問題與對象的特性, 常用的抽樣方法有四種 (1) 簡單隨機抽樣 : 母體中每一對象被抽中機會相等, 隨機抽出 () 系統抽樣 : 將母體的全部樣本編號, 以固定間隔抽取樣本 有週期特性的母體不適用 (3) 分層抽樣 : 將母體依據不同特性分層 分類, 再依比例從各層抽樣 (4) 部落抽樣 : 將母體分成數個差異性極小的部落, 再由這些部落隨機抽取部落進行調查 P.56

57 高職數學 B 重點整理 57 [ 定義 11-3] 資料整理與圖表編製 1. 資料整理的步驟 :(1) 分類 () 歸類 (3) 列表 (4) 繪圖. 圖表編製 : (1) 編製次數分配表 1 求全距 求組數 3 定組距 4 定組限 5 歸類劃記 6 計算次數 () 次數分配直方圖與曲線圖 ( 以全班 45 人數學成績為例 ) (3) 累積次數分配圖表 1 以下累積次數分配曲線圖 以上累積次數分配曲線圖 P.57

58 58 高職數學 B 重點整理 [ 公式 11-4] 算術平均數 (1) 未分組算術平均數 x : 設有 個數值 x1, x, x3,, x, 則其算術平均數 x 為 一般法 : x ( x1 x x3 x) xi i 1 1 平移法 : 任取一數 A 平移 x A ( x A) i 1 i () 已分組算術平均數 x : 假設將 個數值資料分為 k 組, 每組的個數分別為 f1, f, f3,, f k, 且 f1 f f3 fk, 每組的組中點為 x1, x, x3,, x k, 則已分組的算術平均數為 k 一般法 : x ( f1x1 fx f3x3 fk xk ) fixi i 1 k 1 平移法 : 任取一數 A 平移 x A f ( x A) i 1 i i [ 公式 11-5] 加權平均數 (W ) 設 w1, w, w3,, w 為 個數值資料 x1, x, x3,, x 的權重數, 則所有數值的加權平均數為 W ( w x w x w x w x ) i1 w1 w w3 w i1 wx i w i i M e [ 公式 11-6] 中位數 ( ) 設有 個已排序的數列 x1, x, x3,, x, M e e x1 (1) 當 為奇數時, 中位數為數列正中間的數值, 即 M 1 () 當 為偶數時, 中位數 M e 為數列正中間的兩個數值平均, 即 M e ( x x 1 ) P.58

59 高職數學 B 重點整理 59 [ 公式 11-7] 眾數 (Mo) 在一群數值資料中, 出現最多的數值稱為 眾數 [ 公式 11-8] 百分等級 (Percetile Rk: PR 值 ) 設某學生在 人中排名第 k 名, 則贏過的人數 k 百分等級 PR 100% 100%, 無條件捨去取整數總人數 [ 公式 11-9] 全距 (R) 設在一群數值資料中, 最大值 x, 最小值 x, 則全距 = 最大值 x 最小值 x i j i j [ 公式 11-10] 四分位差 (Q.D.) 設有 個已排序的數列, 第 1 四分位 Q : 取小於中位數 M 的所有數值求中位數, 稱為第 1 四分位 1 第 3 四分位 Q : 取大於中位數 M 的所有數值求中位數, 稱為第 3 四分位 3 則四分位距 IQR Q3 Q1; 四分位差 Q. D. 1 ( Q3 Q1) e e P.59

60 60 高職數學 B 重點整理 [ 公式 11-11] 標準差與變異數 標準差是用來分析數值資料離散程度的公式, 變異數只是標準差的平方 若資料數量不多就可以 全部取樣來計算, 此時用的是母體標準差 母體變異數公式 ; 若資料數量太多就需抽樣部份資料來計 算, 此時用的則是樣本標準差 樣本變異數公式 ( 註 : 母體標準差與樣本標準差公式, 概念上只有 分母減 1 與否的差別 ) 設有一群母體資料 x1, x, x3,, xn, 其算術平均數為, 即 x, 則 N ( xi ) xi N i1 i1. 母體標準差 (PS: 標準差口訣 方均根 ) N N. 母體變異數 設取出的樣本資料為 x1, x, x3,, x, 其算術平均數為 x, 即 x x, 則 ( xi x) xi x i1 i1. 樣本標準差 S (PS: 標準差口訣 方均根 ) 1 1. 樣本變異數 S N 1 N i PS: 口訣的方 均 根, 即是先做減平均數的平方和 做平均 開根號 N N N ( xi ) xi N i1 i1 N ( i ) i i1 i1 N x x x x 1 1 i1 1 i i 1 P.60

61 高職數學 B 重點整理 61 [ 公式 11-1] 數值調整 (y i = x i + b) 設在一群數值資料中進行數值調整時, (1) 一般性的數值會隨著放大 縮小 倍, 平移 b, 例如 : 新算術平均數 x' x b ; 新中位數 M ' M b e e () 差距性的數值只會隨著放大 縮小 倍, 例如 : 新全距 R ' R ; 新樣本標準差 S ' S [ 公式 11-13] 常態分布 [ ] 生活中許多資訊統計後都擁有相似的曲線, 如全民身高 體重 智商等, 這類的曲線被稱為常態分 布曲線 常態分布曲線特性 : 假設母體算術平均數為, 母體標準差為 (1) 68% 的數值落在距平均數 左右 1 個標準差 的範圍內. () 95% 的數值落在距平均數 左右 個標準差 的範圍內. (3) 99.7% 的數值落在距平均數 左右 3 個標準差 的範圍內. P.61

62 6 高職數學 B 重點整理 [ 公式 11-14] 信賴區間與信心水準 舉例說明之, 例如 : 下面是某雜誌針對台灣人 睡眠品質 的滿意度調查 四成九民眾滿意,三成八不滿意,本次調查以台灣地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣, 成功訪問了 103 位成年人,在 95% 的信心水準下,抽樣誤差在正負 3. 個百分點以內 (100 年 3 月 ). 在這項調查結果中 : (1) 信賴區間 : 將滿意比例加減抽樣誤差, 即 , , 0.5 代表台灣人對 於睡眠品質滿意度 p 值的信賴區間在 與 0.5 之間 () 95% 的信心水準 的意義 : 由於母體資料很大, 所以除非我們做了全台灣人的普查才能得知確 切的睡眠品質滿意度 p 值, 因此 95% 的信心水準 即代表假如我們對母體做了 100 次的抽樣, 而每一次抽樣結果都會得到一個信賴區間,那麼這 100 個信賴區間中,約有 95 個會涵蓋母體真 正的 p 值. P.6

63 高職數學 B 重點整理 63 Ch1 三角函數的應用 [ 公式 1-1] 和差角公式 (1) si ( ) si cos cos si () si ( ) si cos cos si (3) cos ( ) cos cos si si (4) cos ( ) cos cos si si (5) (6) t t t ( ) 1 tt t t t ( ) 1 tt [ 公式 1-] 二倍角公式 t (1) si si cos 1 t () 1 t cos cos si 1 si cos 1 1 t t (3) t 1 t [ 公式 1-3] 直線交角公式 兩條直線 L 1 與 L 皆不為鉛直線, 且不互相垂直, 斜率各為 m1, m, 若 為兩條直線的所交之銳 m1 m 角, 則 t, 另一組交角為 mm 1 [ 公式 1-4] 正弦定理 ABC 中, bc,, 為三邊長, R 為 ABC 的外接圓半徑, 則 b c R, 且 : b: c si A:si B:si C si A si B si C P.63

64 64 高職數學 B 重點整理 [ 公式 1-5] 餘弦定理 ABC 中, bc,, 為三邊長, 則任一角的餘弦值 = 兩鄰邊平方和 - 對邊平方 兩鄰邊相乘 b c (1) cos A bc c b () cos B c b c (3) cos C b [ 公式 1-6] 三角形面積公式 bc 令 s ( 即三邊長和一半 ), r 內接圓半徑, R 外接圓半徑 (1) () 1 底 高 bcsi A csi B bsi C (3) s( s )( s b)( s c) ( 又稱為海龍公式 ) (4) rs (5) bc 4R (6) 1 AB AC ( AB AC) (7) (8) x x y y x x y y (9) x1 y1 1 1 x y 1 x y P.64

65 高職數學 B 重點整理 65 Ch13 二次曲線 [ 定義 13-1] 圓的定義在平面上的動點 P 與固定點 O 恆保持固定距離 r 所形成的動點 P 軌跡即為圓形 此時圓心為 O 點, 半徑為 r 例如 : 每個動點都與 (3, 4) 座標點保持固定距離 5, 此時 P 軌跡就形成圓心為 (3, 4) 半徑 = 5 的圓 [ 公式 13-] 圓的方程式 (1) 標準式 : ( x h) ( y k) r 以點 ( h, k ) 為圓心, 半徑為 r 的圓方程式為 ( x h) ( y k) r () 一般式 : x y dx ey f 0 將標準式展開, 整理即可得到一般式 x y dx ey f 0, 其中 d e f 為化簡後的 係數 [ 公式 13-3] 圓的判別式 將圓一般式 x y dx ey f 0 配方後得 d e 1, 其中 r 4 ( x ) ( y ) ( d e 4 f ) 令 D d e 4 f, 此式稱為圓的判別式, 則 d e 4 f 4 d e f r, 4 d e (1) D 0 時, 方程式之圖形表一圓, 其圓心為 (, ) d e () D 0 時, 方程式之圖形表一點, 此點即為坐標 (, ) (3) D 0 時, 方程式沒有圖形 P.65

66 66 高職數學 B 重點整理 [ 公式 13-4] 點與圓的關係 (1) 由標準式 ( x h) ( y k) r 判別 對動點 P ( x 0, y 0 ) 而言, 可透過 OP 與半徑 r 的關係, 而有 P 點在 圓內 圓上與圓外的三種關係 1 3 OP r, 1 P 1 點在圓內 OP r, P 點在圓上 OP r, 3 P 3 點在圓外 () 由一般式 x y dx ey f 0 判別 對動點 P ( x 0, y 0 ) 而言, 直接代入方程式的大小關係, 可決定 P 點在圓內 圓上與 圓外的三種關係 x y dx ey f 點 P ( x 0, y 0 ) 在圓 C 內 x y dx ey f 點 P ( x 0, y 0 ) 在圓 C 上 x y dx ey f 點 P ( x 0, y 0 ) 在圓 C 外 [ 公式 13-5] 直線與圓的關係 一直線與圓, 有交兩點 交一點 不相交的三種不同關係» 利用圓心到直線距離 d 判別 : [ 參考公式 1-11] (1) d O M r, 圓與直線交兩點 A B, 此時為割線 () d O M r, 圓與直線交一點 M, 此時為切線 (3) d O M r, 不相交, 此時為相離 P.66

67 高職數學 B 重點整理 67 L : x by c 0» 利用直線與圓的方程式求聯立解判別 : C : x y dx ey f 0 將第 1 式代入第 式形成 x 的二次方程式 x x 0, 並用判別式 D 求 x 解, (1) D 0 x 有二個解, 即圓與直線交兩點 A B, 此時為割線 () D 0 x 有一個解, 即圓與直線交一點 M, 此時為切線 (3) D 0 x 無實數解, 不相交, 此時為相離 [ 公式 13-6] 點在圓上做切線 (1) 點 P( x0, y 0) 在圓 C : ( x h) ( y k) r 上做切線, 切線 ( x h)( x h) ( y k)( y k) r 0 0 將 x, y 平方項寫兩次, 其中一個寫 P( x0, y 0) 點的 x 0 跟 y 0 座標 () 點 P( x0, y 0) 在圓 C : x y dx ey f 0上做切線, x x y y x0x y0 y d( ) e( ) f 0 切線 0 0 將 x, y 平方項相乘寫兩次, 其中一個寫 P( x0, y 0) 點的 x 0 跟 y 0 座標, 將 x, y 一次項相加分兩半, 其中一半寫 P( x0, y 0) 點的 x 0 跟 y 0 座標 P.67

68 68 高職數學 B 重點整理 [ 公式 13-7] 圓的切線段長 (1) 圓外一點 P( x0, y 0) 做圓 C : x y dx ey f 0的切線, 則切線段長 PB x0 y0 dx0 ey0 f, 將 P( x0, y 0) 座標代入圓方程式 開根號就對了 () 圓外一點 P( x0, y 0) 做圓 C : ( x h) ( y k) r 的切線, 則切線段長 PB ( x0 h) ( y0 k) r, 也是將 P( x0, y 0) 座標代入圓方程式 開根號就對了 [ 定義 13-8] 拋物線的定義平面上有一定直線 L 及不在 L 上的一定點 F, 一切滿足 PF d( P, L) 之所有動點 P 點所成之圖形稱為拋物線, 其中 L 稱為準線,F 稱為焦點, PF d( P, L) P.68

69 高職數學 B 重點整理 69 [ 定義 13-9] 拋物線的專有名詞 (1) 對稱軸 : 過拋物線之焦點而與準線垂直之直線稱為拋物線的軸, 亦即拋物線之對稱軸 () 頂點 : 拋物線與其軸的相交點 V 稱為拋物線的頂點 (3) 焦距 : 焦點 F 到頂點 V 之距離 VF 稱為拋物線的焦距, VF d( V, L), 焦距也常以符號 c 表示 (4) 弦 : 拋物線上任意兩相異點所連之線段 (5) 焦半徑 : 拋物線上任一點 P 與焦點 F 的連線段 PF, 稱為焦半徑 (6) 焦弦 : 通過焦點的弦 如 PP ' (7) 正焦弦 : 與軸垂直的焦弦 AB, 而正焦弦長 AB 4VF 4 c, c 為焦距 [ 公式 13-10] 拋物線的標準式 標準式焦點準線圖形正焦弦長 y 4cx 左右拋物線 Fc (,0) L: x c 4 c 焦距 c 0 焦距 c 0 開口向右 開口向左 x 4cy 上下拋物線 F(0, c ) L: y c 4 c 焦距 c 0 焦距 c 0 開口向上 開口向下 P.69

70 70 高職數學 B 重點整理 [ 公式 13-11] 拋物線的基本性質 (1) 正焦弦長 4 c () 若將拋物線的頂點由 (0, 0) 平移到 ( h, k ) 時, 可得標準式為 1 左右拋物線 : ( y k) 4 c( x h) ( 記法 : y 有平方就交 y 軸兩點 左右型 ) 上下拋物線 : ( x h) 4 c( y k) ( 記法 : x 有平方就交 x 軸兩點 上下型 ) [ 定義 13-1] 橢圓的定義 設 F 1, F 是平面上相異兩點, 則平面上所有滿足 PF1 PF, 其中 0 且 F1F 的點 P 所形成的圖形 O 為一橢圓 [ 定義 13-13] 橢圓的專有名詞 (1) 焦點 : 兩定點 F 1 F () 中心 : FF 1 的中點, (3) 頂點 : A, A, B, B 四點 (4) 長軸 : AA 稱為長軸, 且長軸長 AA ; 短軸 : BB 稱為短軸, 且短軸長 BB b (5) 焦半徑 : 橢圓上的點與焦點之連接線段, 如 BF 1 PF 1 (6) 焦弦 : 通過焦點的弦 b (7) 正焦弦 : 通過焦點且與長軸垂直的弦, 如 PQ 且正焦弦長 PQ P.70

71 高職數學 B 重點整理 71 [ 公式 13-14] 橢圓的標準式 設 b 0, c 為焦距 x 標準式焦點圖形正焦弦長 y b 1 左右型橢圓 F( c,0) 1 F ( c,0) b x b y 1 上下型橢圓 F(0, c ) 1 F (0, c) b [ 公式 13-15] 橢圓的基本性質 (1) 中心 同時是兩焦點 FF 1 長軸 AA 短軸 BB 的中點 () 橢圓的半長軸, 半短軸 b, 焦距 c 滿足 b c (3) 正焦弦長度 = b (4) 若將橢圓的頂點由 (0, 0) 平移到 ( h, k ) 時, 可得標準式為 ( x h) ( y k) 1 左右型橢圓 : 1 ( 記法 : 較長的 配在 x 左右型 ) b ( x h) ( y k) 上下型橢圓 : 1 ( 記法 : 較長的 配在 y 上下型 ) b P.71

72 7 高職數學 B 重點整理 [ 定義 13-16] 雙曲線的定義 平面上, 給予相異兩定點 F 1 及 F 且 F1F c, 滿足 PF1PF, 其中 c 的所有點 P 所形 成的圖形就稱為雙曲線, 而 F 1 F 稱為雙曲線的焦點 [ 定義 13-17] 雙曲線的專有名詞 (1) 焦點 : 兩定點 F 1, F () 中心 : FF 1 的中點, (3) 頂點 : A, A 二點 (4) 貫軸 : AA 稱為貫軸, 且貫軸長 AA 共軛軸 : BB 稱為共軛軸, 且共軛軸長 BB b (5) 漸近線 : 兩漸近線交點即為中心點, 從雙曲線兩端 逐漸靠近, 使距離趨近於 0 的兩條線 (6) 焦弦 : 通過焦點的弦 (7) 正焦弦 : 通過焦點且與貫軸垂直的弦 P.7

73 高職數學 B 重點整理 73 [ 公式 13-18] 雙曲線的標準式 標準式焦點圖形漸近線正焦弦長 x y 1 F( c,0) bx y 0 1 b b F ( c,0) bx y 0 左右型雙曲線 x y b 1 上下型雙曲線 F(0, c ) 1 x by 0 F (0, c) x by 0 b [ 公式 13-19] 雙曲線的基本性質 (1) 中心 同時是兩焦點 FF 1 貫軸 AA 的中點 () 雙曲線的半貫軸, 半共軛軸 b, 焦距 c 滿足 c b ( 注意 : 雙曲線的 不一定大於 b ) (3) 正焦弦長度 = b (4) 若將雙曲線的頂點由 (0, 0) 平移到 ( h, k ) 時, 可得標準式為 ( x h) ( y k) 1 左右型雙曲線 : 1 ( 記法 : x 變數為正係數 左右型 ) b 左右型雙曲線的漸近線 : b( x h) ( y k) 0 ( x h) ( y k) 上下型雙曲線 : 1 ( 記法 : y 變數為正係數 上下型 ) b 上下型雙曲線的漸近線 : ( x h) b( y k) 0 P.73

74 74 高職數學 B 重點整理 Ch14 微積分及其應用 [ 定義 14-1] 無窮數列的極限 無窮數列 中, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值, 則稱數列 收斂於, 並稱 為 數列 的極限值, 記作 lim [ 公式 14-] 極限的運算性質 設無窮數列 b 皆為收斂數列, 而且極限分別為,, 即 lim limb, 則 (1) lim( b ) () lim( b ) (3) lim( b ) (4) lim( ) ( 其中 b 0 且 0 ) b (5) lim c c ( c 為常數 ) (6) lim k k ( k 為正整數且 0 ) [ 公式 14-3] 無窮等比數列的收斂與發散 設無窮等比數列 r, 則 (1) 當 1 r 1時, r 為收斂數列, 得 lim r 0 () 當 r 1或 r 1時, r 為發散數列, 得 lim r 不存在 [ 定義 14-4] 函數極限 設函數 f 定義在某一 ( 開 ) 區間上, 當函數 f 定義區間中的 x 逐漸趨 近於定數 時 ( x P.74 ), 則對應的函數值 f() x 也逐漸趨近於 b, 即 x ( x ) 時, f () x b, 稱之為 x 趨近於 時, f() x 的極限 為 b, 記為 lim f ( x ) b x

75 高職數學 B 重點整理 75 [ 公式 14-5] 函數極限的四則運算 設 lim f ( x ) A lim g ( x ) B, k 為一常數, 則 x x (1) lim( f ( x) g( x)) lim f ( x) lim g( x) A B x x x () lim( f ( x) g( x)) lim f ( x) lim g( x) A B x x x (3) lim kf ( x) k lim f ( x) ka x x (4) lim f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) A B x x x f ( x) lim f( x) x A (5) 若 B 0, lim x g ( x ) lim g ( x ) B x 簡單而言, 函數極限的四則運算可以直接用極限值 AB, 來做四則運算 [ 定義 14-6] 連續函數的意義 函數 f 若滿足下列三個條件, 則稱 f 在點 x (1) f( ) 有意義, 即 f( ) 有定義 () lim f ( x ) 存在 x (3) lim f ( x ) f ( ) x 處連續 : P.75

76 76 高職數學 B 重點整理 [ 定義 14-7] 導數的意義 f ( x) f ( ) 令 y f () x 為一函數, 為定義域中一個定數, 稱極限值 lim x x 為函數 f() x 在 x 處的導 數, 以 f d f ( x) d y '( ),, dx dx x x 或 f '( x) x 表示 (1) 導數 f '( ) 可以視為在 x 點處時 f() x 函數的切線斜率 f ( x) f ( ) 過曲線 y f () x 上一點 P(, f ( )) 的切線斜率為 m lim f '( ), 且以點斜式來 x x 表示此時的切線方程式為 y f ( ) f '( )( x ) () 以物理學來看, 若 f() x 表物體直線運動的位移函數時, 則 f '( ) 表此物體在某一特定時刻 的瞬時速度 f ( x) f ( ) (3) 極限值也可以有多種表示, 如 : lim lim x x f ( h) f ( ) f ( x) f ( ) lim h x h0 x0 [ 定義 14-8] 導函數的意義 (1) 如果函數 f 在定義域中的每一個點 之導數 f '( ) 都存在, 則 對應 f '( )( 即 f '( ) ), 形成 一種新的函數關係, 稱 f '( ) 為 f() x 的導函數 求導函數的過程即稱為微分, 常以 d f ( x) dy d f '( x) y ' f ( x) 來表示 dx dx dx () 在定義域中, 若 f '( x ) 的導函數存在時, 稱 f '( x ) 是 f() x 的第一階導函數, 而 d f '( x) d f ''( x) f ( x) dx 是 f dx () x 的第二階導函數 (3) 可微分 : 1 若函數 f 在 x 處的導數存在, 稱 f 在 x 處可微分, 否則稱 f 在 x 若函數 f() x 在 x 處可微分, 則 f() x 在 x 處連續 處不可微分 ( 備註 : 導數 導函數都是相同的表示, 可以看成名詞 動詞的差異而已 微分就是指求出導函數的過程 ) P.76

77 高職數學 B 重點整理 77 [ 公式 14-9] 微分公式 (1) 若函數 f ( x) x, 為正整數, 則 f '( x) x 1 例 : f ( x) x f '( x) 3x 3 () 若函數 f () x c, c 為常數, 則 f '( x) 0 例 : f ( x) 3 f '( x) 0 (3) 若 f ( x) c g( x), c 為常數, 且 gx ( ) 為可微分函數, 則 f '( x) c g '( x) 例 : f ( x) 3 x f '( x) 3 (3 x ) 9x 3 (4) 若 f ( x) g( x) h( x) 且 gx ( ) hx () 皆為可微分函數, 則 f '( x) g '( x) h'( x) 例 : f x x x f x x x ( ) 3 '( ) ( ) (5) 若 f ( x) g( x) h( x) 且 gx ( ) hx () 皆為可微分函數, 則 f '( x) g '( x) h( x) g( x) h'( x) 例 : f x x x f x x x x x x ( ) ( 1)( 3) '( ) ( 3) ( 1)( ) 6 6 (6) 若 gx ( ) g '( x) h( x) g( x) h'( x) f( x), hx ( ) 0 且 gx ( ) hx () 皆為可微分函數, 則 f '( x) hx ( ) [ hx ( )] 例 : x 1 ( x 3) (x 1)( x) x x 6 f ( x) f '( x) x 3 ( x 3) ( x 3) (7) 若有一合成函數 f ( x) g( h( x)), 且 gx ( ) hx () 皆為可微分函數, 則 f '( x) g '( h( x)) h'( x) 例 : f x x x f x x x x ( ) ( 3 1) '( ) ( 3 1) ( 3) [ 公式 14-10] 微分的應用 若函數 f() x 可以微分, 則 (1) f '( x ) 為第一階導函數, 可以求切線斜率 () f ''( x ) 為第二階導函數, 將函數 f '( x ) 再微分得到 f ''( x ), 可以求開口的凹口向上或凹口向下 (3) 嚴格遞增 : 在 [, c ] 區間中任取兩點 x1, x 且 x1 x, 滿足所有的 f ( x1) f ( x) 即為嚴格遞增 (4) 嚴格遞減 : 在 [ e, b ] 區間中任取兩點 x1, x 且 x1 x, 滿足所有的 f ( x1) f ( x) 即為嚴格遞增 (5) 絕對極大值 : 在 [, b ] 區間中任取一點 x 與 c 點, 皆滿足 f ( c) f ( x), 則 f() c 即為絕對極大值 (6) 絕對極大值 : 在 [, b ] 區間中任取一點 x 與 點, 皆滿足 f ( ) f ( x), 則 f( ) 即為絕對極小值 P.77

78 78 高職數學 B 重點整理 f (7) 相對極大值 : 在 (, d ) 區間中, 取兩點 x1, x 且 x1 c, c x d, 若滿足 f f '( x ) 0 1 '( x ) 0, '( c) 0 即為相對極大值, 如局部放大圖 (1) f (8) 相對極小值 : 在 ( c, e ) 區間中, 取兩點 x1, x 且 c x 1 d, d x e, 若滿足 f f '( x ) 0 1 '( x ) 0, '( d) 0 即為相對極小值, 如局部放大圖 () 局部放大圖 (1) 局部放大圖 () P.78

79 高職數學 B 重點整理 79 (9) 凹口判斷 : 1 在 (, d ) 區間中, 若 x d, 滿足 f ''( x) 0即為凹口向下 在 (, d ) 區間中, 若 c x e, 滿足 f ''( x) 0即為凹口向上 (10) 反曲點 : 函數圖形凹向發生變化的點, 稱為函數 f 的反曲點 若點 ( p, f ( p )) 為函數 f 的一個反曲點, 則在 x p的 附近, 函數 f 的凹向改變, 即 f ''( x ) 的值由正變負或 由負變正, 此時 f ''( p) 0 或 f ''( p ) 不存在 [ 定義 14-11] 反導函數 設 Fx () 的導函數為 f() x, 即 F '( x) f ( x), 則稱 Fx () 為 f() x 的反導函數 f() x 的反導函數並不 唯一 [ 定義 14-1] 不定積分 若 Fx () 是 f() x 的一個反導函數, 則稱 Fx () 為 f() x 的不定積分, 以 f ( x) dx F( x) c 表之, 其中 c R, 為積分符號, f() x 為被積分函數, dx 中的 x 為積分變數 因為所有含常數 F() x c型式 的式子都可以是 f() x 的反導函數, 因此被稱為不定積分 ( 註 : 不定積分的答案一定要 + c 哦 ) [ 公式 14-13] 不定積分公式 (1) 1 x x dx c ( 其中 1, c 為常數 ) [ 口訣 : 分子次方加 1, 分母除以分子的次方 ] 1 ( k 為固定數字 ) () k f ( x) dx k f ( x) dx c (3) ( f ( x) g( x)) dx f ( x) dx g( x) dx c (4) ( f ( x) g( x)) dx f ( x) dx g( x) dx c P.79

80 80 高職數學 B 重點整理 [ 定義 14-14] 定積分的幾何意義 設 f() x 在閉區間 [, b ] 上恆有 f( x) 0,R 表示 y f () x 的圖形與 x 軸 x, x b 所圍成的區域, b 則 (1) f ( x ) dx R 的面積 () 若 c b, 且直線 x c將 R 區域分成 R1, R 兩部份, 可得 b c b f ( x) dx R 的面積 R 的面積 R 的面積 f ( x) dx f ( x) dx 1 c [ 公式 14-15] 定積分的公式 若 f 與 g 是定義在閉區間 [, b ] 上的函數, 且在 [, b ] 上皆可積分, 則 (1) f ( x ) dx 0 b () f ( x) dx f ( x) dx b b b b (3) f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx b (4) k f ( x) dx k f ( x) dx b ( 其中 k 為任意實數 ) b c b (5) 若 c b, 則 f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx c P.80

81 高職數學 B 重點整理 81 [ 公式 14-16] 微積分基本定理 (1) 若函數 f 在區間 [ b, ] 上為連續函數, 且令 g( x) f ( t) dt, x b, 則 gx ( ) 為可微分函數且 d x g '( x) f ( x), 即 f ( t) dt f ( x) dx () 設函數 f 在區間 [, b ] 上為連續函數, 而 gx ( ) 為 f() x 的任意一個反導函數, b b 則 f ( x ) dx g ( x ) g ( b ) g ( ) x [ 最後更新日期 013/4/18 11:31 PM,Ed..] P.81