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勤樊
5 years ago
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1 Topic 1: 進位法 1. 十進位 : 生活中大多是使用十進位法如 : 1 = = 六十進位 : 六十進位可能是古代最早的進位系統 1 0 如 : 時分 0 秒 = 秒 =740 秒. 二進位 : 二進位是現在計算機使用的進位系統如 : = = 18 例題 1: 將下列單位換算 : (1) 14 秒 = 時分秒 ( 六十進位 ) () 時 1 分 7 秒 = 秒 () 6 兩 4 錢分 = 分 ( 十進位法 ) (4) 78 分 = 兩錢分 (5) 斤 5 兩 = 兩 ( 十六進位 ) (6) 8 兩 = 斤兩 1

2 例題 : 請將你的出生日期對照下表有出現請在表下方寫 1; 沒出現寫 0 表格一表格二表格三表格四表格五表 1 表表表 4 表 5 例題 : 將下列各數化成十進位數 : (1) 14 1 () 4 0 () 7 (4) 1 1

3 Topic : 有理數 1. 有理數 : 可以表成的數, 就稱有理數 ( mn, 都是整數, 且 n 不等於 0) 有理數即化成十進位數後是. 分數化有限小數 : 最簡分數說明 a 可以化有限小數分母 b 的質因數只有或 b 例題 1: 將下列各數化成分數 : (1)1. () 0.4 () 0.4 例題 : 選出下列正確的選項 : 1 (1) 0.5 不是有理數 () 0.4 > ()1> 0.9 (4) 0.4 > 0.4 (5) 0.4 = 0.4

4 例題 : 設 a 且 a 18 若 1 不可化為整數化有限小數, 求 a 的可能值有幾個 a 例題 4: 已知 1 ab, 9且 ab,, 若 a4b7 180 可以化成有限小數, 求 a+ b的值. 有理數的性質 : (1) 封閉性 : 任意兩個有理數的都是有理數 a 即 ab, a+ ba, ba, b, ( b 0) b () 稠密性 : 任意兩個相異的有理數之間至少有一個有理數說明即 ab, 且 a< b 存在 c 且 a< c< b 4

5 <c.f.> 整數的離散性 : 例題 5: 任意兩相異的整數之間的距離至少大於或等於 1 即 ab, 且 a b, 則 a b 1 設 abc,,, 且 a + 5 b + 7 c 4 =, 求數對 ( abc,, ) Key: 解題時, 就係數先討論例題 6: 設 abc,,, 且 5 a+ 1 + b+ + c+ = 4, 求數對 ( abc,, ) 有幾組解 ( 思考題 ) 數線上的數佈滿了有理數, 是否所有數線上的數均為有理數? 5

6 Topic : 無理數 1. 無理數 : 正整數 ( ) 整數 ( ) 0 負整數有理數 ( ) 有限小數實數 ( ) 循環小數無理數 ( 無限不循環小數 ) 數線上不是有理數的數就是無理數, 即 (1) 化成十進位數後是的數, 就稱為無理數 () 不可化成的數, 就稱為無理數如 : = = π =.14 等都是無理數. 實數 : 從幾何上解釋, 對於任意一個實數, 在數線上都有一個代表此數的點 ; 反之, 數線上的每一個點, 也都代表一個實數. 型如 n 的無理數 : 若自然數 n 不是完全平方數, 則 n 是無理數 ( 思考題 ) 無理數可以在數線上找到嗎? 怎麼找到這個數? 6

7 Topic 4: 根式運算 1. 平方根與立方根 : (1) 平方根 : 若 a > 0, x = a x =± a 每個正數 a 都有兩個平方根 ± a, a 稱為二次根號 a 或簡稱根號 a () 立方根 : 若 ax,, x = a x = a 當實數 a 為某個實數 x 的三次方時, 我們就稱 x 為 a 的立方根, 記作 a a 稱為三次根號 a << 立即練習 >> (1) 61 () 7 () 4 81 (4) 最簡根式 : p 將一個正有理數的平方根寫成 q p a 的形式, 其中為最簡分數, q 其中 (1) a 為大於 1 的整數 () a 不能被任何大於 1 的整數的平方整除, p 則這種形式的根式 a 稱為最簡根式 q q n n 次方根的最簡根式也類同平方根的最簡根式寫成 a p 例題 1: 求下列各值 : (1) ( ) () ( ) () ( 4) (4) + a+ ( 0 a 1 ( a 1) ( 1) < < ) 7

8 例題 : 將下列各題化為最簡根式 : (1) 1 () 45 () 56 (4) 81 例題 : 將下列各題根式化簡 : (1) () () 6( 18 15) (4)( + )( 6 + ) (5)( 7+ )( 7 ) (6) 15 (7) (8)( + )( )

9 . 有理化分母 : 1 a + b = 1 a + ab + b = 4. 雙根號 : ( ) ± = a ± b ( a> b) 說明例題 4: 將下列各題化為最簡根式 : 1 (1) () () 1 9

10 例題 5: 將下列各題化為最簡根式 : (1) + () 4 7 例題 6: 求的整數部分例題 7: 設 a = +, a 的整數部分是 b, 求 a a b 10

11 << 回家作業 >> 下列何者為有限小數?(A) (B) (C) (D) (E) 將化為小數後, 小數點後第 000 位數字是多少? 1. 將下列循環小數化分數 :(1) 0.4 () 設 abc,,, 且 a+ + ( b ) + ( c 6) =, 求數對 ( abc,, ) 有幾組解 5. 先將下列各題化為最簡根式, 並指出哪些是同次根式 1 (1) 6 () 7 () 5 (4) 8 (5) 5 1 (6) 6. 將下列各題化為最簡根式 : (1) 50 () 6 ()( )( 67 7) (4) (5) 7 5 (6) (7) 將下列各題化為最簡根式 :(1) 8 1 () 設的整數部分是 a, 小數部分是 b, 求 a+ b b 1. ABCD. 8.(1) 14 () (4) (5) (6)+ (7)ACE 6.(1)5 10 () (1) () () 5 ()18 18 (4) 6 7 (5) (6)+ 11 (7) (1) 6 ()

12 Topic 5: 反證法想證 p q, 但是去證 ~ q ~ p 1. 反證法的步驟 : (1) 反設 : 假設結論不成立換句話說, 將結論的反面當作新的假設 () 歸謬 : 從結論的反面出法, 進行一系列的推論, 得出矛盾的結果 () 總結 : 說明反設不成立, 從而肯定結論是正確的. 認識符號 : 例題 1: (1) 若 p 則 q 為真命題時, 記作 p q 稱 p 為 q 的充分條件 ; q 為 p 的必要條件 () 若 p 則 q 與若 q 則 p 均為真命題, 記作 p q 稱 p 與 q 互為充要條件 ( 充分且必要 ) 請在下列內填入或或 (1) ABC 是正三角形 B = C () ABC 是銳角三角形 ABC 是正三角形 () 在 Δ ABC 中, AB= AC B = C (4) 在 Δ ABC 中, AB= AC B 是銳角 (5) 三角形的三邊等長三角形的三內角相等 (6) 四邊形是菱形四邊形的對角線互相垂直 (7) 四邊形對角線互相垂直平分四邊形是正方形 1

13 例題 : 證明 : 有 8 隻鴿子, 棲息在 7 個鴿籠裡, 則一定有 1 個鴿籠裡至少有隻鴿子例題 : 證明 : N 是偶數, 則 N 是偶數例題 4: 證明 : 是無理數 Key: c 是有理數, 設 1

14 例題 5: 證明 :+ 是無理數例題 6: 當 a 和 b 都是有理數且 α 是無理數證明 : 若 a+ bα = 0, 則 a= b= 0 例題 7: 設 mn, 都是有理數, (1) 若 m+ n = 0, 求數對 ( mn, ) () 若 m+ n =, 求數對 ( mn, ) 例題 8: 設, xy 為有理數且 ( ) x ( ) y = 7, 求數對 ( x, y ) 14

15 例題 9:( 無理數的四則運算 ) 猜測並說明下列各運算的結果為無理數或有理數或無理數或有理數 : a b a± b a b a b 有理數無理數有理數無理數有理數有理數無理數無理數 ( 思考題 ) 0 到 1 之間有無限多個有理數也有無限多個無理數, 如果有理數往左邊排隊, 無理數往右邊排隊結果會是? (1) 中間剛好是有理數和無理數的交界 () 無理數太多了, 排隊排到 0 這邊 () 有理數太多了, 排隊排到 1 這邊 (4) 其他 15

16 Topic 6: 實數的性質 1. 實數的運算性質 : 設 abc,, 是實數, 則 (1) 封閉性 : a+ b與 ab 都是實數 () 結合性 :( a+ b) + c= a+ ( b+ c) ;( ab) c = a( bc) () 交換律 : a+ b= b+ a; ab = ba (4) 分配律 : ab ( + c) = ab+ ac (5) 加法消去律 : a+ c = b+ c a = b (6) 乘法消去律 : ac = bc a = b, c 0. 實數的次序關係 : (1) 三一律 : 設 ab, R, 則 a > b,a = b,a< b 三式中恰有一式成立 () 減法比大小 : a b> 0 a> b a () 除法比大小 : 若, 1 a b > > 例題 1: (4) 平方比大小 : 若, a > b a > b 比較下列各數的大小 : b 17 (1) a =, b = 19, 0 19 c = () d =, e = () f =, g =

17 例題 : 比較下列各數的大小 : (1) a = 7 +, b = 6+ 4, c = 5 () d = 1 7, e = 1 6. 分點公式 : 若 P 在 AB 上且 AP: PB= m: n, 則 P 點坐標為 m n A P B 例題 : 已知 a > b, 求下列哪一個數最大? a+ b (1) a+ b () () a+ b (4) a+ b 5 17

18 Topic 7: 算幾不等式 1. 算幾不等式 :( 使用條件 ) a+ b 設 ab>, 0, 則 ab ( 算術平均數幾何平均數 ) a+ b 當 = 成立時( = ab ) a= b 證明. 推廣 : a+ b+ c (1) 設 abc>,, 0, 則 abc 當 = 成立時 a1+ a + + a () 設 a1, a, a n > 0, 則 n n n aa 1 a 例題 1: (1) 設 x > 0, y > 0, xy = 8, 求 x+ y之最小值 () 設 x > 0, y > 0, x+ y = 5, 求 xy 之最大值並求此時數對 ( x, y ) n 18

19 例題 : b a 設 ab>, 0, 試求 + 的最小值 a b 例題 : 一條繩長 100cm, 求所圍出最大長方形面積為何? 例題 4: 小華想用鐵絲圍成面積 18 平方公分的目字形區域 ( 如下圖所示的灰色區域 ), 則他至少要準備多少的鐵絲? y x 19

20 << 回家作業 >> 7 n 7 1. 設正整數 n 滿足 < <, 且分數的 n 共有個. 比較 a = 5 與 b = 7 的大小. 已知 xy, 是有理數, 若 x y 4y 下列何者為真?( 多選 ) n 不是最簡分數, 則滿足條件 =, 則數對 (, ) (1) 存在有兩個無理數, 使得 a b為無理數且 a+ b為有理數 () 若 a+ b, b+ c,c+ a均為有理數, 則 abc,, 也必均為有理數 () 有理數與無理數均具有稠密性 (4) 若 ab,, a 均為無理數, 則 a+ b或 ab 必為無理數 b x y = (5) 設 ab, 是實數, 且 a+ b = 0, 則 a = b= 0 5. 用總長度 80 公尺的鐵絲網要在河岸圍出一塊長方形土地, 若沿河岸的一邊不圍, 求所圍成土地的最大面積 6. 在一半徑為 10 公尺的半圓形草皮上, 欲圍一矩形做為花圃 ( 如圖 ), 而花圃一邊在圓的直徑上, 求此矩形花圃的最大面積是多少? 又此時矩形花圃的長與寬分別為多少公尺? a b >. ( 1, 1) 4.(1)()() 5.(A) 平方公尺平方公尺, 長為 10 公尺, 寬為 5 公尺 0

21 T 1 To.. opi 可 ( ( 尺 ( ic 可尺 1) 任 ) 任尺規 1) 除說 c 8 尺規給任意任意規作除法說明 8: 規作給定意意作圖法明 : 尺作圖長度可的方尺的數度可以方法規數 1, 以尺法規作 :, 則規作作圖則均作圖圖均可圖的可尺的數尺規數規作經作圖經過 1 圖 ( 說 1 ) 說明均 O 均可尺規作圖

22 例題 1: 利用尺規作圖在數線上描出下列各點的位置 (1) 5 () () (4) 1+ 例題 : 下列哪些數可以尺規作圖 : (1) () 6 () 6 (4) 4 6 (5) 4+ 7 (6)π ( 小常識 ) 歷史三大作圖難題 (1) 倍立方 () 畫圓為方 () 三等分任意角

23 Topic 9: 乘法公式 1. 二項式相乘 : ( a + b)( c + d) = ac + ad + bc + bd. 完全平方 : ( a+ b) = ( a b c) + + =. 平方和與平方差 : a + b = ( a + b) ab = ( a b) + ab a b = a b a+ b ( )( ) 4. 完全立方 : ( a+ b) = = ( a b) = = 5. 立方和與立方差 : a + b = = a b = = 6. a b c abc + + = 1 其中 a + b + c ab bc ca = ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 若 a + b + c ab bc ca = 0 例題 1: 計算下列各值 : (1) ( + )( ) () (000.5) () (10.1) (0.1) (4) ( a b c)

24 例題 : (1) 已知 a () 已知 a + b = 5 且 ab =, 求 a+ b + b = 5 且 ab =, 求 a + b 例題 : (1) 已知 ( x + a)( x x+ a) 的展開式中, x 的係數為 9, 求 a 的值 () 已知 x = 5, 求 ( x + 1)( x x + 1) 的值例題 4: Δ ABC 的三邊邊長為 abc,,, 若此三邊滿足種三角形 a b c abc + + =, 則此三角形為何 4

25 Topic 10: 絕對值 1. 絕對值 : 在數線上, 點 a 到原點 O 之距離記作 a, 讀作 a 的絕對值 a a 0 (1) 運算意義 : a = a a < 0 () 幾何意義 : a = a 0, 就是 a 到原點 O 的距離 a = a a = a O a a O. 絕對值與距離 : 在數線上, 點 a 到點 b 之距離記作 a b a b a b (1) 運算意義 : a b = b a b < a () 幾何意義 : 點 a 到點 b 之距離 a b = b a a b = a b a b b a. 絕對值的性質 : x < b x > b x a < b x a > b 說明 5

26 例題 1: 解下列不等式 : (1) x 1 () x 1 < 5 () x > 7 (4) 4x + 5 例題 : 若 x m n的解為 x 6, 求 mn, 的值例題 : 若 ax b 4的解為 1 x 5, 求 ab, 的值 6

27 Topic 11: 絕對值函數 1. 函數 : 在規定的範圍內, 若給定一個 x 值, 都恰有一個 y 值與它對應像這種 x 與 y 的對應關係, 在數學上稱為 y 是 x 的函數或簡稱為函數我們常將 x 的函數記作 f ( x ), 且以 y = f( x) 表示此一函數或對應關係. 絕對值函數 : a a a 且 f( x) = x a1 + x a + + x a n, 則設 1 n (1) 當 x = 時, f ( x ) 有最小值 () f ( x ) 的函數圖形為, 且折點發生在 x = a1, a,, an 上例題 1: 一般絕對值函數作圖 : 討論絕對值內的正負試畫出下列各函數的圖形並求最小值 : (1) f( x) = x 1 + x () f( x) = x 1 + x + x 7

28 () f( x) = x 1 + x + x + x 4 (4) f( x) = x 1 + x x 例題 : 設 f( x) = x + x 1 + x + + x 10, 試求 f ( x ) 的最小值 8

29 例題 4: 解滿足下列條件之 x 值 : (1) x = x+ 1 = () x 1 + x = 5 () x 1 x 4 = 範例 5: 解下列絕對值不等式 : (1) x 1 x+ () x+ + x 1 4 9

30 Topic 1: 不等式運算 1. 不等式的運算設 abcdr,,,, 均為常數, 且 a x b, c y d, 則 (1) 等量加法 : x + r () 係數積 : 若 c > 0, 則 rx 若 c < 0, 則 rx () 加法 : x + y (4) 減法 : x + y (5) 乘法 : xy (6) 平方 : 若 a > 0, 則 x 例題 1: 若 a < 0 且 b > 0, 則 x 若 b < 0, x 若 x,1 y 4, 試求下列各式之值所在範圍 : (1) x + 5 () y 6 () x+ y (4) x y (5) xy (6) x + y 0

31 << 回家作業 >> 1. 回答下列各題 : (1) 求 ( + )( ) 的值 () 計算 (000.5) 的值 () 求 (10.1) (0.1) 的值 (4) 將 ( a b c) 展開 (5) 已知 a + b = 5 且 ab =, 求 a+ b (6) 已知 a + b = 5 且 ab =, 求 a (7) 已知 ( x + a)( x x+ a) 的展開式中, x 的係數為 9, 求 a 的值 (8) 已知 x = 5, 求 ( x + 1)( x x + 1) 的值. 設 xy, 為實數, 且 x + 1, y 1, 若則數對 ( M, N ) =. 解下列不等式 : (1) x 1 < 5 () 4x > 6 () 4x 若 ax 1 b 的解為 6 x, 求 ab, 的值 5. 解下列不等式 : (1) x 1 x+ () x 1 + x < x + b y 的最大值為 M, 最小值為 N, 6. 滿足 < x 的整數 x 共有幾個? (1)1 ()1 ()14 (4)15 (5)16 1. (1)1 () ()100. (4) a + 4b + 4c 4ab 4ac + 8bc (5) ± (6) ± 9 (7) 9 (10)6. ( 19, 6) 9 () x>, x< () x, x (1) 4 x () 0< x < (1) < x < 1 ( ab, ) = (,) 1

32 1-1 練習題 ( 南一講義 ) A 部分 1. 將循環小數.16 化成最簡分數為. 試將 8 1 化為小數, 則小數點後第 010 位數字是. 下列哪些是有理數? (A) 64 (B) (C) + 5 (D) 1. 5 (E) 設 a,b 是有理數, 且 a>b, 若 x= a+b 試比較 x,y,z 的大小,y= a+4b 5,z= 6a+b 7 5. 設 a,b 為兩個正數, 且 ab=5, 則 4a+b 的最小值為 6. 設 a 為有理數,b 為無理數, 則下列哪些選項為無理數?, (A) a+ b (B) a-b (C) ab (D) a b (E) a + b 7. 在數線上, 若 A, B 兩點的坐標分別為 -5 與 6, 則 A 與 B 兩點間的距離是 8. 試解下列各式 : (1) x-1 > 答 : () 若 a 為整數, 則滿足 1< 5-a <15 的 a 值有個 B 部分 9. 設有一個五位數 1a45, 若 1a45 44 可化為有限小數, 則整數 a= 循環小數之最簡分數為

33 11. 試選出正確的選項 (A) 0. 4 不是有理數 (B) 0. 4 > 1 (C) 0.4>0.4 (D) 0. 4 <0.5 (E) 0.4= 有一個最簡分數, 其分子分母之和為 70, 將其化成十進位數並四捨五入後為 0.6, 則此分數為 1. 試比較與的大小答 : 14. 已知 a,b 為正實數, 且 a+b=4, 求 ( a+ ) ( b+ ) 的最大值為 15. 若 ax+ b 的解為 - x 11, 則數對 ( a, b )= 16. 設 x,y 為實數, 且 x+1, y-1, 若 x -y 的最大值為 M, 最小值為 N, 則數對 ( M, N )= 大考題 17. 若實數 a,b,c 滿足 abc>0,ab+bc+ca<0,a+b+c>0,a>b>c, 則下列選項何者為真? (A) a>0 (B) b>0 (C) c>0 (D) a > b (E) a >c 18. 設 a,b 滿足 0<a<1,0<b<1, 則下列何者為真? (A) 0<a+b< (B) 0<ab<1 (C) -1<b-a<0 (D) 0< a b <1 (E) a-b < (A)(B)(D) 4. z>x>y (A)(B) (1) x> 或 x<-1 () > (19, 6) 17. (A)(D)(E) 18. (A)(B)(E) (B)(C)(D)(E) 1 7 (, )

34 1- 練習題 ( 南一講義 ) A 部分 1. 展開 ( x+ ) 得. 設 x 0, 若 x- 1 x =, 求 x + 1 x 之值為. 設 a+b=4,ab=1, 求下列各值 : (1) 1 a + 1 b = () a +b = () a +b = (4) a 4 -a b +b 4 = 4. 設 m 為整數, 若 9x +0x+m 為完全平方式, 則 m= 5. 計算 = 6. 設 a= -1 +1,b= +1-1, 試求下列各值 : (1) a+b= () ab= () a +b = 7. 分解因式 : (1) x 4 +64= () x 4-64= 8. 化簡 = 9. 化簡 =m+ n 15 15,m,n 均為整數, 則 m+n= 10. 設 A ( ),B ( ),C ( x ) 為數線上三點, 且 C 在 AB 上, 若 AC : CB = :, 求 x= 4

35 B 部分 11. 設 8-00 =a+b, 其中 a 為整數,0<b<1, 試求 1. 設 11-7 =x+y, 其中 x 為整數,0<y<1, 則 1. 化簡 = b a-b+1 = 1 x-y +y= 14. 試求 x-7 + x+6 = x+1 的解為 15. 化簡 = 16. 設 x,y 為實數,x+y=6,xy=4, 求 x y + y x 之值 = 17. 若 a= 4+ 1,b= +1, 求介在 a 和 b 之間的整數有個 18. 設 a= 7+ 47, 則 a 在哪兩個連續整數之間? (A) 0 與 1 (B) 1 與 (C) 與 (D) 與 4 (E) 4 與解方程式 x- + x+ =1,x= 0. 若 x-5 + x+6 =k 有實數解, 求實數 k 的範圍 1. 4x +1x (1)4 ()14 ()5 (4) (1)6 ()1 ()198 7.(1) ( x +4x+8 ) ( x -4x+8 ) () ( x +8 ) ( x -8 ) ( ) x (D) 19. 或 - 0. k 11 5

36 第一章複習 ( 南一講義 ) 1. 下列敘述何者正確? (A) 若 a,b 均為有理數, 且 b 0, 則 a+b,a-b,ab, a b (B) 若 a 為有理數,b 為無理數, 則 a+b,a-b 均為無理數 (C) 若 a 為有理數,b 為無理數, 則 ab, a b 均為無理數 (D) 若 a,b 均為無理數, 則 a+b,a-b,ab, a b 均為無理數 (E) 若 ab, b a 均為有理數, 則 a,b 均為有理數. 下列哪些選項是正確的? (A) > (B) 若 p 為質數, 則 p 為無理數 (C) 若 a+b < a + b, 則 ab<0 均為有理數 (D) 若 a,b,c 為非零實數, 滿足 a + b + c > a+b+c, 且 a<b<c, 則 ac<0 (E) x-1 + x+ 有實數解. 設 a 為整數, 滿足 1 a+1 11, 則 a 的個數有個 4. 設 ax+ b 之解為 - 5 x, 則數對 ( a, b )= 5. 設 A (-5 ),B ( 9 ),P ( x ) 為數線上三點, 若 AP : BP =:4, 求 x 之值 = 6. 設 =a+b, 其中 a 是正整數,0<b<1, 則 1 a+b b 之值 = 7. 設 a= 5-5 +,b= , 則 a +ab+b 之值 = 6

37 8. 設 x,y 為正整數, 若 xy+x-y=5, 則數對 ( x, y )= 9. 設 ABC 的三邊長為 a,b,c, 且其周長為 18, 求 ( a-b-c ) + ( b-c-a ) + ( c-a-b ) 之值 10. 設 x,y 為實數, 且 x+4 5, y- 6, 則 xy 的範圍為 11. 設 a= 6 7,b= 7 844,c= , 試比較 a,b,c 的大小為 1. 解不等式 x+ x-1 1. 解不等式 x- + x 設 a,b,c,d 是實數, 若 a +b +c +d +1 a+b+c+d, 試證 a=b=c=d 1. AB. BCD (,7) 5. 1 或 (4,7) xy a< b< c x 略 x 1 6 7

4

練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos