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靡丕翁
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利用線性的數學式來加以描述, 在線性等式及不等式組的條件下, 使用特定的方法, 以求得最符合決策者要求的解而數學式中變數或式子的數目,

2 在數學的三一律中, 就有兩個不等符號, 所以在一般的運算過程中, 經常會碰到不等式解任何不等式都要用到求方程式的根, 所以要特別留意不等式與方程式之間的關係, 一次不等式的重要應用就是線性規劃應用線性規劃的基本假設是 : 將決策上所面臨的問題, 利用線性的數學式來加以描述, 在線性等式及不等式組的條件下, 使用特定的方法, 以求得最符合決策者要求的解而數學式中變數或式子的數目, 端視問題的複雜性而定, 限於篇幅, 本書所討論的為兩個變數 ( 二元 ) 的式子線性規劃雖然為較新的題材, 但已迅速地變成應用數學的一個重要部分線性規劃的方法是在物資分配和各種類型之計畫表的管理領域內, 作出管理決策的一種工具 171

3 4-1 二元一次不等式的圖形 4-1 二元一次不等式的圖形二元一次不等式的圖形在第一冊時, 我們曾學過二元一次方程式 ax+by+c=0 的圖形為一條直線, 此直線將平面分割成兩個半平面直線上的任一點 (x 0 y 0 ) 代入皆使 ax 0 +by 0 +c=0 的等式成立, 直線外的點代入則會使 ax+by+c 0, 根據三一律知, 整個平面包含三個部分 : 直線與兩個半平面至於 ax+by+c > 0 或 ax+by+c < 0 代表哪一個半平面呢? 接下來我們就針對此問題討論圖解 x+2y-2 0 令 x+2y-2=0 y=1-1 2 x 在坐標平面上畫直線 L:y=1-1 2 x 如圖所示 : 在直線 L 外任取一點 P(x 0 y 0 ) 過 P 作 x 軸的垂線交 L 於 Q 點, 得 Q ( x x 0) 若 P(x 0 y 0 ) 在 L 的上方則 P 點的縱坐標 y 0 大於 Q 點的縱坐標 x 0 172

4 不等式及其應用 4 即 y 0 > x 0 故 x 0 +2y 0-2 > 0 若 P(x 0 y 0 ) 在 L 的下方 P 點的縱坐標 y 0 小於 Q 點的縱坐標 x 0 即 y 0 < x 0 故 x 0 +2y 0-2 < 0 由以上的說明, 我們得知 x+2y-2 上方, 且包含直線 L, 如右圖所示 0 的圖形是在直線 L 的右滿足二元一次不等式的解有無限多個, 無法一一列出, 所以我們通常以圖解的方式來表示二元一次不等式的解圖解二元一次不等式時, 在直線同側的點會滿足相同的不等式, 故只需代入一個不在直線上的點, 若能使不等式成立, 即可得到我們所要求的半平面例如在上圖中, 如果我們用點 (21) 代入不等式 x+2y-2 0 中, 得 , 不等式成立, 則點 (21) 所在的半平面 ( 直線 x+2y-2=0 的右上方 ) 就是不等式 x+2y-2 0 的解, 當然也包含直線本身為了便於計算, 在解二元一次不等式時, 通常以 (00) (10) 或 (01) 代入不等式測試說明不等號或, 指直線包含在所求的解中, 圖解時直線部分以實線繪出不等號 > 或 <, 指直線不包含在所求的解中, 圖解時直線部分以虛線繪出 173

5 4-1 二元一次不等式的圖形圖解 2x-3y 6 圖解下列不等式 : x 2 x <-1 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 x=2 的右側, 且包含直線 x=2, 如圖所示利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 x=-1 的左側, 且不包含直線 x=-1, 如圖所示圖解 x+3 > 0 見解析 174

6 不等式及其應用 4 圖解 : y -1 y < 2 利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 y=-1 的上方, 且包含直線 y=- 1, 如圖所示利用原點代入不等式中測試, 得知所求的解在直線 y=2 的下方, 且不包含直線 y=2, 如圖所示圖解 y-3 > 0 見解析 175

7 4-1 二元一次不等式的圖形圖解 2x-3y < 6 在坐標平面上, 以虛線畫直線 2x-3y=6 的圖形以原點 (00) 代入不等式中 < 6 0 < 6 此不等式成立故原點所在的半平面即為所求, 如圖所示圖解 x+y+1 0 圖解 3y-4x 12 因為不等式中有等號, 故在坐標平面上, 以實線畫直線 3y-4x=12 以原點 (00) 代入不等式中此不等式不成立故原點所在的半平面不為所求, 亦即不包含原點的半平面即為所求, 如圖所示圖解 x-3y

8 不等式及其應用 4 x y 為自然數, 滿足 x+2y 5 的 (xy) 共有幾組解? 滿足 x+2y 5 的解逐一找出, 如下表 x y 故所求的解有 (11) (12) (21) (31) 共 4 組在平面坐標上, 圖解不等式 x+2y 5 如右圖, 因為 x y 為自然數, 故只需在三角形區域中找整數的點 ( 稱為格子點 ) 即可, 解如右圖 x y 為自然數, 滿足 2x+y < 6 的 (xy) 共有幾組解? 4 組設 A(51) B(-2-2), 直線 AB 將坐標平面分成兩部分, 試寫出包含直線 AB 及原點部分所表示的不等式利用直線的兩點式先求得直線 AB 的方程式 y-1 = (x-5) 得方程式為 3x-7y-8=0 將原點 (00) 代入多項式 3x-7y-8 兩點式 y-y 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 (x-x 1 ) (x 1 x 2 ) 177

10 不等式及其應用 4 作直線 L 2 :x+y-3=0 在不等式 x+y-3 0 中以 (00) 代入得知不等式 x -y+3 的圖解區域在直線 L 2 的左側, 如圖圖與圖的重疊區域即為聯立圖不等式如圖 x-y-1 0 x+y-3 0 的圖解, 圖解聯立不等式 x-2y-4 < 0 2x+y+2 > 0 圖 179

11 4-1 二元一次不等式的圖形圖解聯立不等式 2x-y+2 < 0 2x-y-4 > 0 作直線 L 1 :2x-y+2=0( 虛線 ) 不等式 2x-y+2 < 0 中, 就 x 項而論, 不等式 x < 1 2 (y-2) 之圖解區域在直線 L 1 的左側作直線 L 2 :2x-y-4=0( 虛線 ) 不等式 2x-y-4 > 0 中, 就 x 項而論, 不等式 x > 1 2 (y+4) 之圖解區域在直線 L 2 的右側由右圖我們發現 L 1 //L 2, 且兩不等式的圖解沒有重疊區域, 故此聯立不等式無解圖解下列聯立不等式 : 見解析 x 0 y 0 y 1 y 4 180

12 不等式及其應用 4 圖解聯立不等式 x -1 x-2y-2 0 x+y-2 0 作直線 L 1 :x=-1 不等式 x -1 的解在直線 L 1 的右側作直線 L 2 :x-2y-2=0 不等式 x-2y-2 0 的解在直線 L 2 的左上側作直線 L 3 :x+y-2=0 不等式 x+y-2 0 的解在直線 L 3 的左側圖解的重疊區域 ( 三角形 ) 即為此聯立不等式的圖解, 如圖所示圖解聯立不等式見解析 y 3 x-y 0 x+y

13 4-1 二元一次不等式的圖形試將右圖藍色斜線部分以聯立不等式表示之利用直線的兩點式分別求得直線 AB 與 AC 的方程式 AB:y-2 = (x-0) 得 2x+3y-6=0 AC:y-2 = (x-0) 得 2x-y+2=0 將原點 (00) 代入多項式 2x+3y-6 得 < 0 故藍色區域在直線 AB 的左下方, 其不等式為 2x+3y-6 0 將原點 (00) 代入多項式 2x-y+2 得 > 0 故藍色區域在直線 AC 的右下方, 其不等式為 2x-y+2 0 藍色區域的聯立不等式為 2x+3y-6 0 2x-y+2 0 試將右圖藍色區域部分以聯立不等式表示之 2x+3y-4 > 0 x+1 > 0 182

14 不等式及其應用 4 一基礎型 x y 為自然數, 滿足 2x+3y < 10 的 (xy) 共有幾組解? k 為實數, 若 4x-3y-k+3 0 的圖形包含原點, 求 k 的範圍提示 : 包含原點, 則原點代入滿足此不等式圖解下列不等式 : 3x > 2y -x+2y-3 > 0 圖解下列聯立不等式 : x 2 - y 1 3 y -2x+5 x-y-1 0 y-x-2 0 x < 3 y < 2 x > y 二研究型設 A(-12) B(3-2), 直線 AB 將坐標平面分成兩部分, 試寫出包含直線 AB 及原點部分所表示的不等式試將下圖之三角形區域以聯立不等式表示之 183

15 4-2 線性規劃 4-2 線性規劃在某些限制條件下, 列出二元一次聯立不等式, 在此聯立不等式的解之中, 找一個能使某一次函數達到最大值或最小值的解, 此類問題稱為線性規劃線性規劃所研究的問題主要有兩類 : 一是一項任務確定後, 如何統籌安排, 儘量做到用最少的資源完成這一任務 ( 求最小值 ); 二是在一定數量的資源下, 如何利用它們, 使得完成的任務最多 ( 求最大值 ) 在 x 0 y 0 x+2y 8 3x+y 9 的條件下, 試求 x+y 的最大值聯立不等式的圖解如圖在圖中, 四邊形 OABC( 包含四邊 ) 中, 我們要如何找到一組 x y 值使得 x+y 有最大值呢? 令 f(xy)=x+y, 則方程式 x+y=k 的圖形為一直線, 當 k 值變動時, 我們可得到一組斜率為 -1 的平行線, 如圖中的虛線圖圖 184

16 不等式及其應用 4 在四邊形 OABC 中, 任取若干點代入函數 f(xy)=x+y f(11)=1+1=2 f(22)=2+2=4 f(13)=1+3=4 f(23)=2+3=5 由以上所得出函數值, 我們會發現 (22) 與 (13) 兩點在同一條直線上, 所以函數值一樣, 且離原點愈遠的直線 (x+y=k), 由其上的點所求得的函數值愈大, 所以 f(xy) 的最大值必發生在四邊形 OABC 區域的頂點上, 即圖中的 B 點, 故當 x=2 y=3 時, x+y 有最大值 5 在例題 1 中, 目的在求函數 f(xy)=x+y 的最大值, 我們稱此函數為目標函數滿足聯立不等式解的區域, 即四邊形 OABC, 稱為可行解區域, 在可行解區域中能使目標函數達成目標的解, 如例題 1 中的 B 點, 稱為最佳解一般而言我們可簡化線性規劃解題的步驟 : 解題步驟畫出可行解區域, 並求各個頂點由於目標值必發生在可行解區域的頂點, 故將各頂點坐標代入目標函數中, 即可求得目標值及最佳解 x 0 在 y 0 x+2y 6 的條件下, 求 2x+3y 的最大值 2x+y

17 4-2 線性規劃在 x 0 y 0 x+y 10 x+3y 18 的條件下, 求 2x+3y 的最大值圖解聯立不等式, 並將可行解區域 ( 四邊形 OABC) 的頂點一一求出, 如圖所示令 f(xy)=2x+3y f(00)=0+0=0 f(100)=210+30=20 f(64)=26+34=24( 最大 ) f(06)=20+36=18 故當 x=6 y=4 時, 得 2x+3y 的最大值為 24 x 0 在 y 0 x+2y 39 的條件下, 求 39x+23y 的最大值 2x+y

18 不等式及其應用 4 在 x 0 y 0 3x+y 12 x+y 8 x+3y 12 的條件下, 求 4x+3y 的最小值圖解聯立不等式, 並將可行解區域的頂點一一求出, 如圖所示令 f(xy)=4x+3y f(012)=40+312=36 f(26)=42+36=26( 最小 ) f(62)=46+32=30 f(120)=412+30=48 故當 x=2 y=6 時, 得 4x+3y 的最小值為 26 x 0 在 y 0 3x+4y 12 的條件下, 求 7x+8y 的最小值 2x+y 任何生產業或企業都是希望花費最少, 而能獲得最大利潤, 而線性規劃就是為達此目的的一種方法, 現以實例說明如下 187

19 4-2 線性規劃一農夫有地 6 甲, 若種水稻, 則每甲每期產量為 8000 公斤 ; 若種花生, 則每甲每期產量為 2000 公斤但水稻每甲每期成本需元, 花生只要元 ; 花生每公斤可賣 70 元, 稻米只賣 30 元現在農夫只有元, 假設他只種稻米與花生, 試問稻米與花生應各種若干甲, 才能賺得最多的錢? 此類問題的文字敘述都很長, 所以我們先予以列表, 簡化題目的條件 : 條件種類產量 ( 甲 ) 成本 ( 甲 ) 售價 ( 公斤 ) 種植面積稻米 8000 公斤元 30 元 x 甲花生 2000 公斤元 70 元 y 甲設水稻種 x 甲, 花生種 y 甲, 依題意列出二元一次不等式 : x 0 y x+20000y x+y 6 化簡得 x 0 y 0 4x+y 12 x+y 6 圖解聯立不等式, 並求可行解區域的頂點, 如圖所示 : 希望賺得最多的錢, 故目標函數為總售價減成本, 即 f(xy)=( )x+( )y =160000x y 188

20 不等式及其應用 4 f(00)= =0 f(06)= = f(24)= = f(30)= = 故 6 甲地中水稻種 2 甲, 花生種 4 甲時, 可賺得元利潤最多某工廠用兩種不同原料, 均可生產同一產品, 若採用甲種原料, 每公斤成本 1000 元, 運費 500 元, 可得產品 7 公斤若採用乙種原料, 每公斤成本 1500 元, 運費 400 元, 可得產品 14 公斤若預算要求成本不得超過 6000 元, 運費不得超過 2000 元, 則此工廠每日最大生產量為多少公斤? 56 公斤某工廠欲購買甲乙兩種機器以生產某一樣物品, 甲機器每台價值 30 萬元, 只需 1 人操作, 每天產生的利潤為 250 元乙機器每台價值 10 萬元, 需 2 人操作, 每天產生的利潤為 200 元此工廠的資本額為 300 萬元, 且最多只能僱用 20 個工人問甲乙兩機器要各買幾台才能獲得最大利潤? 先列表分析題意, 下表中之 x y 皆為整數 : 種類條件每台買價操作人員利潤數目甲機器 30 萬元 1 人 250 元 x 台乙機器 10 萬元 2 人 200 元 y 台資本 300 萬元最多僱用 20 人 189

21 4-2 線性規劃依題意列出二元一次不等式為 x 0 y 0 x+2y x y 簡化得 x 0 y 0 x+2y 20 3x+y 30 圖解聯立不等式, 並求可行解區域的頂點, 如圖所示 : 目標函數 f(xy)=250x+200y f(00)= =0 f(010)= =2000 f(86)= =3200( 最大 ) f(100)= =2500 故買甲機器 8 台, 乙機器 6 台, 可獲得最大利潤在面積 3000 坪的建築用地上, 以總經費不超過 2000 萬元的建築經費建造 A B 兩種不同形式的住宅, 已知 A 種每戶占地 200 坪, 每戶造價 400 萬元可獲利 200 萬元,B 種每戶占地 300 坪, 每戶造價 100 萬元可獲利 250 萬元, 則在此建地建築 A B 兩種住宅, 總共最多可獲利多少元? 2600 萬元 190

22 不等式及其應用 4 一基礎型 0 x 4 在 0 y 6 的條件下, 求 f(xy)=3x+4y 的最大值 2x+y 10 x 0 在 y 0 3x+y 3 的條件下, 求 f(xy)=x+5y 的最大值 2x+3y 6 x 0 y 0 在 x+y 5 的條件下, 求 3x+2y 的最小值 4x+y 8 2x+7y 20 二研究型 1 公克的麵包含蛋白質 0.08 公克脂肪 0.01 公克 ;1 公克的黃油含蛋白質 0.02 公克脂肪 0.8 公克如果一個人每天最少需要蛋白質 82 公克脂肪 90 公克,1 公克的麵包要花費元,1 公克的黃油要花費 0.07 元, 而假設此人除了麵包與黃油外, 不吃其他食物, 問他在最節儉的條件下, 最少應該吃麵包與黃油各多少公克? 191

23 4-3 一元二次不等式 4-3 一元二次不等式一元一次不等式一個不等式若在經過移項後化成 ax+b < 0 ax+b 0 ax+b > 0 或 ax+b 0 的形式, 其中 a b 為實數,a 0, 則這個不等式稱為一元一次不等式所謂解不等式, 意指求滿足不等式之 x 的最大範圍現在我們用下面的例子來討論一般的一元一次不等式的解法解不等式 -2x+3 > 7-2x > 7-3( 常數項 3 移至不等號右邊 ) (-2x)(-2)<4(-2) ( 不等式除以負數, 不等號要改變方向 ) x <-2, 如圖所示 ( 藍色部分為解 ) 解不等式 x+1 > 5 x <-8 192

24 不等式及其應用 4 一元一次不等式的圖解中, 圖中藍線部分所有的點代表不等式解的範圍, 黑線部分上的點, 不是我們所求的解實心圓圈表示的點, 包含在我們所求的解範圍內, 空心圓圈所表示的點不在解的範圍內解不等式 ax+b > 0,a b 為實數,a 0 ax+b > 0 經移項後, 得 ax >-b 若 a > 0, 則 x >- b a 如下圖 ( 藍色部分為解 ) 若 a < 0, 則 x <- b a ( 不等號要改變方向 ) 如下圖 ( 藍色部分為解 ) 解不等式 ax-bx+c > 0,a b 為實數,a b 若 a > b, 則 x > -c a-b ; 若 a < b, 則 x < -c a-b 193

25 4-3 一元二次不等式不等式在乘除負數時, 不等號要改變方向同學在此一步驟易犯錯, 故建議同學如果 x 的係數為負的時候, 移動 x 至不等號另一邊, 使 x 的係數變為正的, 不等式符號就不需改變方向一元二次不等式設 a b c 為實數,a 0, 則經移項化簡形如 ax 2 +bx+c > 0 或 ax 2 +bx+c < 0 的式子都是一元二次不等式而形如 ax 2 +bx+c 0 的不等式是指滿足 ax 2 +bx+c=0 或 ax 2 +bx+c > 0 的實數解都是 ax 2 +bx+c 0 的解 ; 同理,ax 2 +bx+c 0 亦然 ( ) 若 ab > 0, 則 a 與 b 同號, 也就是說 a > 0 且 b > 0 或 a < 0 且 b < 0 解一元二次不等式 x 2-2x-3 > 0 先利用十字交乘法因式分解 x 2-2x-3, 得 (x-3)(x+1)> 0 十字交乘法欲使上列不等式成立,(x-3) 或 (x+1) 必須同為正或同為負, 即 x-3 > 0 x+1 > 0 或 x-3 < 0 x+1 < 0 若 x-3 > 0 x+1 > 0 得 x > 3 x >-1, 如下圖 194

26 不等式及其應用 4 圖形重疊區域 x > 3 即為此部分的解若 x-3 < 0 x+1 < 0 得 x < 3 x <-1, 如下圖圖形重疊區域 x <-1 即為此部分的解將的解合併, 得一元二次不等式 x 2-2x-3 > 0 的解為 x <-1 或 x > 3, 如下圖解不等式 x 2 -x-30 0 x 6 或 x

27 4-3 一元二次不等式解不等式 2x 2 +x-3 0 因式分解 2x 2 +x-3, 得 (2x+3)(x-1) 0 欲使上列不等式成立 (2x+3) 與 (x-1) 必須一式為正, 另一式為負, 即 2x+3 0 x-1 0 或 2x+3 0 x-1 0 若 2x+3 0 x-1 0 得 x - 3 2, 如下圖 x 1 圖形重疊區域 x 1 即為 2x+3 0 的解 x-1 0 若 2x+3 0 x-1 0 得 x - 3 2, 如下圖 x 1 圖形沒有重疊區域, 故 2x+3 0 無解 x-1 0 將的解合併, 得不等式 2x 2 +x-3 0 的解為 x 1, 如下圖 196

28 不等式及其應用 4 解不等式 3x 2-10x+3 < < x < 3 仿照以上兩個例題的說明, 我們可得一元二次不等式較簡捷的解法 : 一元二次不等式的解若一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 的兩實根為且 < : 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為 x < 或 x >, 如下圖不等式 ax 2 +bx+c < 0 之解為 < x <, 如下圖不等式若為或, 其解類似, 圖解中空心圓圈改為實心圓圈即可解不等式 20+x-x 2 0 解不等式時, 最高次項的係數為正的時候, 較便於討論, 故將原不等式同乘以 -1, 使得二次項係數為正 ( 用移項的方式亦可 ) x 2 -x-20 0( 不等號要改變方向 ) 方程式 x 2 -x-20=0 的兩根為 x=-4 或 x=5 故 x 2 -x-20 0 的解為 -4 x 5 如圖所示 197

29 4-3 一元二次不等式解不等式 2x 2-5x-3 < < x < 3 解不等式 3x 2 +13x-10 > 0 3x 2 +13x-10 因式分解得 (3x-2)(x+5) 所以方程式 3x 2 +13x-10=0 的兩根為 x=-5 或 x = 2 3 故不等式 3x 2 +13x-10 > 0 的解為 x <-5 或 x > 2 3 如圖所示試解下列不等式 : x 2 -x-12 > 0 x 2 +x-1 < 0 x <-3 或 x > < x <

30 不等式及其應用 4 若不等式 2x 2 +ax+b < 0 的解為因為 1 2 < x < 2, 試求 a b 的值 1 2 < x < 2, 所以 ( x ) (x-2)< 0 展開後得 x x+1 < 0 將不等式改成整數係數 2x 2-5 x+2 < 0 與 2x 2 +ax+b < 0 比較係數得 a=-5 b=2 若不等式 x 2 +ax+b > 0 的解為 x < 1 或 x > 5, 試求 a b 的值 a=-6,b=5 解不等式 x 2 +4x+4 0 因為 x 2 +4x+4=(x+2) 2 所以方程式 x 2 +4x+4=0 有兩等根 -2-2 即根的判別式 =16-16=0 當 x 為任一實數時,x 2 +4x+4=(x+2) 2 的值恆大於或等於 0, 故以任意實數代入不等式 x 2 +4x+4 0 恆成立, 即不等式 x 2 +4x+4 0 的解為所有實數解不等式 x 2-6x+9 > 0 199

31 4-3 一元二次不等式若將例題 8 改為 x 2 +4x+4 < 0, 則 (x+2) 2 < 0, 此與實數的平方恆為正或零的性質互相矛盾, 即在實數內找不到一個數能滿足不等式 x 2 +4x+4 < 0, 故不等式 x 2 +4x+4 < 0 無實數解解不等式 x 2 +x+1 > 0 方程式 x 2 +x+1=0 根的判別式為 =-3 < 0, 沒有實根判別式 D=b 2-4ac 又由配方得 x 2 +x+1= ( x 2 +x ) = ( x ) > 0 所以當 x 為任一實數時,x 2 +x+1 的值恆大於 0, 故 x 2 +x+1 > 0 的解為所有實數解不等式 2x 2 -x+3 > 0 所有實數 200

32 不等式及其應用 4 解不等式 x 2-2x+15 0 方程式 x 2-2x+15=0 根的判別式為 (-2) =-56 < 0, 沒有實根又由配方得 x 2-2x+15=(x 2-2x+1)+14 =(x-1) > 0 所以當 x 為任一實數時,x 2-2x+15 的值理應恆大於 0, 任一實數皆不符題設, 故 x 2-2x+15 0 無實數解解不等式 x 2-3x+9 < 0 無實數解 ( ) 不等式 x 2 +1 > 0 的解為所有實數, 不等式 (x+1) 2 > 0 的解亦為所有實數 201

33 4-3 一元二次不等式一般而言可得 : 結論設 a > 0, 多項式 ax 2 +bx+c 中, 令 D=b 2-4ac 若 D=0 不等式 ax 2 +bx+c > 0 的解為所有實數, 但 x - b 2a 不等式 ax 2 +bx+c 0 的解為所有實數不等式 ax 2 +bx+c < 0 無實數解不等式 ax 2 +bx+c 0 的解為 x=- b 2a 若 D < 0 不等式 ax 2 +bx+c > 0 的解為所有實數不等式 ax 2 +bx+c 0 無實數解 ( ) 不等式 x 2-6x+9 0 的解為 x=3 設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 x 2 +kx+4 的值恆為正, 試求 k 的範圍因為任意實數 x 均能使 x 2 +kx+4 的值恆為正即不等式 x 2 +kx+4 > 0 的解為所有實數故 k < 0 因式分解得 (k+4)(k-4)< 0 k 的範圍為 -4 < k < 4 202

34 不等式及其應用 4 設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 2x 2-5x+k 的值恆為正, 試求 k 的範圍不等式中出現有絕對值符號的稱為絕對值不等式, 如 2x+1 3, x+1 x-1, 2x+1 + x-1 10 等, 其解法是先將絕對值符號去除, 再按照前述的不等式解法繼續運算解不等式 2x-1 x+1 ( 提示 : 利用 a 2 =a 2 來去除絕對值符號 ) 因為不等號兩邊皆大於或等於零, 所以先把不等號的兩邊平方 2x-1 2 x+1 2 展開 4x 2-4x+1 x 2 +2x+1 移項整理 3x 2-6x 0 因式分解 3x(x-2) 0 得 0 x 2 解不等式 2x x 3 203

35 4-3 一元二次不等式一基礎型解下列一元一次不等式 : 1 2 x+1 < x (x+1) 1 2 (1-x) 2(1-x)-3(2x+1) 4(x-3) 解下列一元二次不等式 : 2x 2-5x-12 0 x 2-21x+80 > 0 (x+1)(x-1) x+1 x 2 +6x+9 > 0 x 2-4x-1 < 0 3-x-x 2 < 0 x 2 +3x+10 > 0 x 2-4x+5 0 二研究型設 k 為實數, 任意實數 x 均能使 x 2 -kx+3 的值恆為正, 試求 k 的範圍若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 -3 < x < 5, 試求 a b 的值若 ax+5 4x-7 的解為 x 2, 試求實數 a 值 204

36 不等式及其應用絕對不等式不論用任何數值代入一個不等式的不定元, 它都成立, 這樣的不等式叫作絕對不等式, 例如 :x (x 為實數 ); 如果一個不等式中的不定元需要取某些特定的值不等式才成立, 而對另外一些值不成立, 這樣的不等式叫作條件不等式例如 :2x+1>0 x 2-3x+2 < 0 x+2 2x-3 在本節中, 我們將要介紹兩個重要的絕對不等式 : 柯西不等式與算幾不等式算幾不等式我們先說明兩個新的名詞 : 算術平均數與幾何平均數設 a 1 a 2 a 3 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 a 2 a 3 a n 的算術平均數 A = a 1 +a 2 +a 3 + +a n n 例如 : 二正數 a 與 b 的算術平均數 A = a+b 2 三正數 a b 與 c 的算術平均數 A = a+b+c 3 a 1 a 2 a 3 a n 的幾何平均數 G= n a 1 a 2 a 3 a n 例如 : 二正數 a 與 b 的幾何平均數 G = ab 三正數 a b 與 c 的幾何平均數 G = 3 abc 所謂算幾不等式, 就是算術平均數不小於幾何平均數的簡稱, 接下來我們來說明算幾不等式 : 205

37 4-4 絕對不等式算幾不等式設 a 1 a 2 a 3 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 +a 2 +a 3 + +a n n n a 1 a 2 a 3 a n ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 = =a n ) 說明 : n=2 時因為 a 1 與 a 2 為正實數所以 ( a 1 - a 2 ) 2 0( 等號成立 a 1 =a 2 ) a 1-2 a 1 a 2 +a 2 0 a 1 +a 2 2 a 1 a 2 n=4 時由知 a 1 +a 2 2 a 1 a 2 且 a 3 +a 4 2 a 3 a 4 a 1 +a 2 + a 3 +a a 1 a 2 + a 3 a 4 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 +a 2 +a 3 +a a 1 a 2 a 3 a 4 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 =a 4 ) 依此方式類推得知 n= m 時, 算幾不等式皆成立 n=3 時令由 a 1 +a 2 +a 3 =k 3 知 206

38 不等式及其應用 4 a 1 +a 2 +a 3 +k 4 4 a 1 a 2 a 3 k 3k+k 4 4 a 1 a 2 a 3 k k k 4 4 a 1 a 2 a 3 k a 1 a 2 a 3 k k 3 a 1 a 2 a 3 k n=5 時 3 a 1 a 2 a 3 即 a 1 +a 2 +a a 1 a 2 a 3 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 ) 令 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 5 = k a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +k+k+k 8 由的模式, 我們可推得 8 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 kkk a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ( 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 =a 4 =a 5 ) 同理 n=6 7 時, 亦可用 8 個正數的平均數推得又 n= 時, 可用 16 個正數的平均數推得 n= 時, 可用 32 個正數的平均數推得由以上說明得知對任意自然數 n a 1 +a 2 +a 3 + +a n n 其中等號成立 n a 1 a 2 a 3 a n 恆成立 a 1 =a 2 =a 3 = =a n 一般解題時, 利用算幾不等式常用 n=2 或 n=3 的情形 : 207

39 4-4 絕對不等式 n=2 時 a 1 +a 2 2 a 1 a 2, 等號成立 a 1 =a 2 n=3 時 a 1 +a 2 +a a 1 a 2 a 3, 等號成立 a 1 =a 2 =a 3 設 a > 0 b > 0 c > 0 且 a+b+c=6, 試求 abc 的最大值, 並求此時的 a b c 之值由算幾不等式知 a+b+c 3 3 abc abc 8 abc 當 a=b=c 時,abc 有最大值 8, 又已知 a+b+c=6 故得 a=2 b=2 c=2 已知兩正數的和為 10, 試求此兩正數的乘積之最大值, 並求此時兩正數各為多少? 最大值為 25, 且 a=5,b=5 208

40 不等式及其應用 4 設 a > 0 b > 0, 且 a+b=6, 試求 a 2 b 的最大值, 並求此時的 a b 之值因為 a 2 b=aab 中有 2 個 a 與 1 個 b 所以我們要在已知的 a+b=6 中找出 2 個 a 故將 a+b=6 改寫成由算幾不等式知 a 2 + a 2 + b 3 a 2 + a 2 + b=6 3 a 2 a 2 b 帶入得 a 2 b 4 整理得 8 當 a 2 b 4 故 32 a 2 b a 2 = a 2 = b 時, a 2 b 有最大值 32, 又已知 a+b=6 故得 a=4 b=2 設 a > 0 b > 0 且 a+b=30, 試求 ab 2 的最大值, 並求此時的 a b 之值最大值為 4000, 且 a=10,b=20 209

41 4-4 絕對不等式設 a > 0 b > 0 c > 0, 試證 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 由算幾不等式知 a+b 2 ab b+c 2 bc c+a 2 ca 將三式相乘, 得 ( a+b 2 )( b+c 2 )( c+a 2 ) ab bc ca (a+b)(b+c)(c+a) 8 故 (a+b)(b+c)(c+a) a 2 b 2 c 2 =abc 8abc 設 a > 0 b > 0 c > 0 且 a+b+c=1, 試利用例題 3 推得下列不等式 (1-a)(1-b)(1-c) 8abc 見解析 ( ) 設 a b c 為正數, 由算幾不等式 a b + b c + c a 3 3 a b b c c a = 3, 所以當 a=b=c 時, a b + b c + c a 有最小值 3 210

42 不等式及其應用柯西不等式我們先說明二次函數 f(x)=ax 2 +bx+c(a > 0) 的一個性質 : f(x)=ax 2 +bx+c=a ( x ( b 2a ) x + b 2 4a 2 ) - b 2 4a 2 + c a =a ( x + b 2a ) 2 - b 2-4ac 4a 2 對任意實數 x, 欲使 f(x) 0 成立需要有何條件呢? 因為 a > 0, ( x + b 2a ) 2 0,4a 2 > 0 故 b 2-4ac 0 因此, 我們可得如下的結論 : 設 a > 0 且 a b c 均為實數, 若 f(x)=ax 2 +bx+c 0 對任意實數 x 恆成立, 則判別式 D=b 2-4ac 0, 反之亦然 ( ) 若 b 2-4ac 0, 則二次函數 f(x)=ax 2 +bx+c(a > 0) 的圖形為開口向上的拋物線, 且與 x 軸至多有一個交點接下來我們來說明柯西不等式 : 柯西不等式設 a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n 是 2n 個實數, 則 (a 1 2 +a a n 2 )(b 1 2 +b b n2 ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 設 a 1 a 2 a n 不全為 0; 柯西不等式的等號成立存在有一實數 t, 使得 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 211

43 4-4 絕對不等式說明 : 若 a 1 =a 2 = =a n =0 或 b 1 =b 2 = =b n =0, 柯西不等式的等號顯然成立若 a 1 a 2 a n 不全為 0 時, 則考慮二次函數 f(x)=(a 1 x-b 1 ) 2 +(a 2 x-b 2 ) 2 + +(a n x-b n ) 2 很明顯當 x 為實數時,f(x) 0 將 f(x) 展開整理後得 f(x)=(a 2 1 +a a n )x 2-2(a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n )x +(b 2 1 +b b n ) 0 因為二次項係數 a 2 1 +a a 2 n > 0, 又 f(x) 恆 0 所以 f(x) 的判別式 D 0 即 4(a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2-4(a a a n )(b 2 1 +b b n ) 0 故 (a a a n )(b b b n ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 柯西不等式中的等號成立二次函數 f(x) 的圖形與 x 軸相切, 也就是說有一實根 t 使得 f(t)=(a 1 t-b 1 ) 2 +(a 2 t-b 2 ) 2 + +(a n t-b n ) 2 =0 此時 a 1 t-b 1 =a 2 t-b 2 = =a n t-b n =0 亦即 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 212

44 不等式及其應用 4 一般在利用柯西不等式時, 常用到 n=2 或 n=3 的情形, 因此整理如下 : n=2 時 (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) (ax+by) 2 等號成立 at=x bt=y;ab 0 時 n=3 時 a=b=0 或有一實數 t 使得 x a = y b = t (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) (ax+by+cz) 2 等號成立 at=x bt=y ct=z; abc 0 時 a=b=c=0 或有一實數 t 使得 x a = y b = z c = t 設 x y 為實數, 且 x 2 +y 2 =1, 試求 3x+4y 的最大值及最小值在柯西不等式中指數部分有很多是 2 因此利用柯西不等式時要留意指數 2 的位置由柯西不等式知 ( )(x 2 +y 2 ) (3x+4y) (3x+4y) 2-5 3x+4y 5 上列不等式等號成立時有最大值與最小值, 且有一實數 t 使得 x=3t y=4t 代入 x 2 +y 2 =1 得 t 2 = 1 25 t = 1 或

45 4-4 絕對不等式若 t = 1 5 則 x = 3 5 y = 4 5 3x+4y= = 5 若 t=- 1 5 則 x=- 3 5 y = x+4y=3 ( ) +4 ( ) =-5 故當 x = 3 5,y = 4 5 時 3x+4y 有最大值 5 當 x =- 3 5,y=- 4 5 時 3x+4y 有最小值 -5 利用柯西不等式, 求 3 +4 的最大值與最小值最大值為 5, 最小值為

47 4-4 絕對不等式設 a > 0 b > 0 c > 0, 證明 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 由柯西不等式知 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) = ( a) 2 +( b) 2 +( c) 2 ( 1 a ) 2 + ( 1 b ) 2 + ( 1 c ) 2 ( a 1 a + b 1 b + c 1 c ) 2 所以 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) (1+1+1) 2 故 (a+b+c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 a b 為二正實數, 試求 (a+4b) ( 9 a + 1 b ) 的最小值 25 ( ) 設 x y z 為正數, 若 x+ y+ z= 15, 根據柯西不等式 (1+1+1)(x+y+z) ( x+ y+ z) 2 得 x+y+z 15 3 = 5, 故 x+y+z 的最大值為 5 216

48 不等式及其應用 4 一基礎型設 a b 為二正數, 若 3a+b=12, 試求 ab 的最大值, 並求此時的 a b 之值設 x y z 為三正實數, 且 xyz=4, 試求 x+2y+z 的最小值 x y 二實數滿足 x 2 +4y 2 =8, 試求 3x+6y 的最大值與最小值 a b c 三實數滿足 4a 2 +9b 2 +16c 2 =61, 試求 a+b+c 的最大值與最小值 a b c 三實數滿足 a+b+c=1, 試求 a 2 +b 2 +c 2 的最小值二研究型有一長方體其所有稜線的長度和為 60, 試求此長方體最大體積為何? 並求此時各稜線的長度 217

49 4 1 重點摘要根據三一律, 一直線分平面成三個部分 : 一條直線 (ax+by+c=0) 與兩個半平面 (ax+by+c > 0 或 ax+by+c < 0) 決定二元一次不等式代表哪一個半平面, 找直線外的任一點測試即可得, 通常以 (00) (10) 或 (01) 代入不等式中測試不等式中的不等號, 若為或, 圖解時直線部分以實線繪出不等式中的不等號, 若為 > 或 <, 圖解時直線部分以虛線繪出二元一次聯立不等式的圖解區域為各個不等式圖解的重疊區域 ; 若無重疊區域, 則此聯立不等式無解 4 2 重點摘要線性規劃 : 在某些限制條件下, 列出二元一次聯立不等式, 在此聯立不等式的解之中, 找一個能使某一次函數達到最大值或最小值的解, 此類問題稱為線性規劃線性規劃中, 一次函數稱為目標函數 ; 聯立不等式的圖解區域稱為可行解區域 ; 在可行解區域中能使目標函數達成目標的解, 稱為最佳解線性規劃的解題步驟 : 畫出可行解區域, 並求各個頂點坐標將可行解區域的各頂點坐標代入目標函數, 即可求得目標值 218

50 4 3 重點摘要一元一次不等式 :(a b 為實數,a 0) ax+b > 0 ax+b 0 ax+b < 0 ax+b 0 不等式 ax+b > 0 的解 : 若 a > 0 得 x >- b a 若 a < 0 得 x <- b a ( 不等號改變方向 ) 解不等式的過程中, 乘除一個負數, 不等號要改變方向設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 的兩實數根為, 且 < : 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為 x < 或 x > 不等式 ax 2 +bx+c < 0 之解為 < x < 設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 有兩相等實根, 即 b 2-4ac=0, 則不等式 ax 2 +bx+c 0 之解為所有實數不等式 ax 2 +bx+c < 0 無解 219

51 設一元二次方程式 ax 2 +bx+c=0(a > 0) 無實根, 即 b 2-4ac < 0: 不等式 ax 2 +bx+c > 0 之解為所有實數不等式 ax 2 +bx+c 0 無解 4 4 重點摘要設 a > 0, 且 a b c 均為實數若 f(x)=ax 2 +bx+c 0, 對任意實數 x 恆成立則判別式 D=b 2-4ac 0 算幾不等式 a 1 a 2 a n 表示 n 個正實數, 則 a 1 +a 2 + +a n n n a 1 a 2 a n 等號成立時,a 1 =a 2 = =a n 柯西不等式設 a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n 是 2n 個實數, 則 (a 1 2 +a a n 2 )(b 1 2 +b b n2 ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 若 a 1 a 2 a n 不全為 0, 等號成立時, 必有一實數 t 存在使得 a 1 t=b 1 a 2 t=b 2 a n t=b n 220

52 ( ) 不等式 2x-3y > 2 的圖形不通過第一二三四二和三象限 4 1 ( ) 若 (2k) 為 x-2y > 8 的圖形內一點, 則 k 的範圍為 k > 3 k <-3 k <-6 k > 6 k > ( ) 下列何點不在不等式 3x-4y < 1 的圖形內? (00) (15) (0-1) (-10) (100100) 4 1 ( ) 圖所示的斜線部分, 是下列哪一個不等式的圖形? 2x-y-2 < 0 2x+y+2 0 x-2y-2 0 x+2y-2 > 0 2x-y+2 < 圖圖 ( ) 圖斜線區域所表示的不等式為 3x 2y x 3 + y 2 1 x 2 + y 3 0 x 2 + y 3 1 2x+3y

53 ( ) 不等式 x-y+1 < 0 的圖形不含哪個象限的點? 一二三四三和四象限 4 1 ( ) 若 P(k-1) 不在 x+3y-5 < 0 的圖形內, 則 k 的範圍為 k > 8 k < 8 k < 2 k 2 k ( ) 在坐標平面上, 不等式組 -3 x 2-2 y 5 所圍之區域面積為 ( ) 在 x 0 y 0 x+2y-2 0 2x+y-2 0 之條件下,2x+3y 的最大值為 ( ) 在 x 0 y 0 3x+4y 12 2x+y 6 的條件下, f(xy)=5x+3y 的最大值為 ( ) 在 x 0 y 0 x+2y-2 0 2x+y-2 0 之條件下,2x+3y 的最小值為 ( ) 在不等式組 x 0 y 0 2x+y-6 0 x+2y-6 0 的圖解區域中, 若 x y 為整數, 則點 (xy) 共有多少個? 無限多

54 ( ) 不等式 3-3x > 2(4+x) 的解為 x >-1 x < 11 x < 11 5 x < 1 x < ( ) 不等式 1 2 (3x-1)- 1 3 (2x-1)< 1 的解為 x < 6 x < 2 5 x < 7 5 x < 1 x < ( ) 不等式 x 2-3x-18 < 0 的解為 -3 < x < 6-6 < x < 3-6 < x <-3 x <-3 或 x > 6 x <-6 或 x > ( ) 滿足不等式 2x 2-3x-35 0 的整數個數有無限多個 4 3 ( ) 若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 2 < x < 5, 則 a+b= ( ) 不等式 x 的解為 0 x 4-4 x 0-2 x 2 x -2 或 x 2 無解 4 3 ( ) 不等式 x 2 -x+1 > 0 的解為 -1 < x < 1 x <-1 或 x > < x< 全部實數無解

55 ( ) 不等式 x 2 +21x+80 0 的解為 5 x 16-5 x x -5 x -16 或 x -5 x 5 或 x ( ) 6-5x-x 2 > 0 的解為 -6 < x < 1 x <-6 或 x > 1-3 < x < 2 x <-2 或 x > 3 無解 4 3 ( ) 若不等式 x 2 +4x+k 0 的解為所有實數, 則 k 的範圍為 k=4 k > 4 k < 4 k 4 k ( ) 不等式 x 2 +x 0 的解為無解所有實數 x 0-1 x 0 x -1 或 x ( ) 若不等式 x 2 +ax+b < 0 的解為 -3 < x < 4, 則 a+b= ( ) 不等式 x 2 +3 > 0 的解為無解所有實數 - 3< x < 3 x <- 3 或 x > 3-3 < x < ( ) 不等式 x 2-6x+9 0 的解為 x > 3 x < 3 x=3 所有實數無解 4 3 ( ) 設 x y z 為正實數, 滿足 x+y+z=2, 則 xyz 的最大值為

56 ( ) 設 a b x y 為實數, 且 a 2 +b 2 =6 x 2 +y 2 =24, 則 ax+by 的最大值為 30 最大值為 12 最小值為 -6 最小值為 -18 最小值為 ( ) 設為任意角, 則 6-8 的最小值為 -2 最小值為 0 最大值為 10 最大值為 14 最大值為 ( ) 設 a > 0 b > 0, 則 (a+2b) ( 1 a + 2 b ) 的最小值為

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<4D F736F F D20BCC6BEC C048B0F3C1BFB871B2C4A57CB3B928B5AAAED7A8F729> 9 4 不等式及其應用 4- 二元一次不等式的圖形重點整理設 L : abyc,a b 不同時為 () a a by c 時, 圖解區域在直線 L 的右側 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的左側或 a b a b () b a by c 時, 圖解區域在直線 L 的上方 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的下方 b a 或 b a 第 4 章不等式及其應用 9 基本練習題老師講解學生練習