1 目次銜接教材的導讀 i 一乘法公式與多項式 - 平方公式. - 立方公式. 7 - 多項式的除法.. 二因式分解提公因式十字交乘法利用乘法公式.. 0 三平方根與立方根平方根立方根. 4 四一元二次方程式一元二次方程式的解法根的判別一元二次方程式的根與係數的關係. 49

2 銜接教材的導讀在國中的課程中, 同學們學過數與量代數圖形與空間和統計與機率等主題的題材由於暫行綱要能力指標和各版本課程設計的緣故, 使得在銜接高中一年級數學課程中的某些單元上, 或許有不順暢之處因此, 我們歸納出乘法公式與多項式因式分解平方根與立方根一元二次方程式線型函數與二次函數不等式和數列與級數等七個單元, 並在附錄中列出集合的概念平面幾何的基本性質與三角函數的基本概念三個單元, 來協助同學們順利銜接高中課程的學習這份教材除了提供給高中做為銜接教學的參考依據之外, 我們希望同學們也能自我學習因此, 在每一個單元中, 我們會複習或說明國中階段的學習經驗, 再進入銜接的主要內容此外, 我們也將立方根一元二次不等式一元二次方程式根與係數關係和二次函數的圖形等高一課程的子題納入教材中, 我們鼓勵同學們能按部就班的學習, 勇於接受挑戰進入銜接單元之前, 我們將先介紹高中課程常用的數學概念或名詞數系的發展在國中的課程裡, 數的學習由正整數正分數正小數和零, 擴展至負整數負分數和負小數在數學上, 凡是能寫成兩個整數相除的數稱為有理數 (Rational Number), 其中除數不為零我們知道整數分數和有限小數當然都是有理數此外, 在小數中, 可分為有限小數和無限小數, 而且無限小數又分成循環的無限小數 ( 簡稱循環小數 ), 如 : 0. ( 記作 0. ). 55 ( 記作.5) 等, 和不循環的無限小數兩種類型在高中課程的等比級數單元中, 會藉由無窮等比級數來說明循環 0 小數也可用分數來表示, 例如 : 0. 0.,.. 9 因此, 循環小數也是有理數 i

3 那麼, 不循環的無限小數應歸在數系裡的那一類呢? 在數學裡, 將不為有理數的數統稱為無理數 (Irrational Number) 也就是說, 不循環的無限小數是無理數此外, 在高中的課程中, 同學們將要學習如何證明等平方根為無理數此外, 圓周率 π.459 也是無理數再者, 在數學上, 將有理數和無理數統稱為實數 (Real Number), 並常以英文大寫字母 R 來代表實數, Q 代表有理數, Z 代表整數, 而以 N 代表正整數, 或稱自然數在銜接教材中, 我們會使用整數分數有理數和實數這些名詞, 來協助同學們提早適應此外, 我們會用非負數來表示大於零, 或等於零的數 ; 同樣的, 用非正數來表示小於零, 或等於零的數除了實數, 高中的課程再將數系的學習擴展到複數 (Comple Number) 在數學上, 以 a+ bi(a b 皆為實數 ) 來表示複數, 其中 i 由於複數的引進, 使得國中階段所討論的一元二次方程式都會有解也就是說, 以前我們說某些一元二次方程式沒有解, 應該是說沒有實數解方根的認識與計算在國中的課程裡, 方根的學習侷限在平方根的認識為主, 較少觸及平方根的計算事實上, 以 a b ab a b a b a 為例, 上述 b 的算式已將國中階段指數律中的指數由整數擴展到, 也就是說, a b ( a b) a a b ( ) b 在高中的課程裡, 方根的學習將由平方根擴展到立方根 a 或 a, 乃 n 至於 n 次方根 n a 或 a 因此, 可將指數律的指數擴展至任意的有理數 a p q a p q a + ; a p b p p ( a b) 此外, 根式的化簡及有理化也是根式計算的重要項目 ii

4 推理過程與符號的使用數學是一個深具知識結構的科學, 在推論的過程中講求有因方有果的邏輯也就是說, 我們會在給定的條件下, 嘗試去做分析與推論例如, 若 >, 則 > 這樣的推論, 也常用假設 ( 已知如果或因為 ) >, 所以 ( 或因此 ) > 等形式來表徵有時候, 我們會用一些特殊的符號來簡化這些推論的表徵例如, 以代表若假設已知如果或因為, 並以代表所以或因此因此, 以因為 >, 所以 > 為例, 我們也可以用 >, > 來表徵事實上, 因為 >, 所以 > 應有以下推論過程: 由 >, 若對 > 兩邊同乘以, 可得 > 因此, 由遞移律, 可得 > > 我們也常用箭頭符號來表徵由左向右或由上向下推論的順序因此, 上述的推論過程可寫成 : > >>0 > 或 > > > 這樣的寫法常用在代數式的推論中, 例如解時, 我們可用下列的方式來解題 : ( + )( + ) + 0, 或 + 0, 或因此, 在本教材中的某些範例中, 我們會在有些推論的過程中使用這些符號的表徵 0 iii

5 一乘法公式與多項式多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式分解在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 - 平方公式二項式相乘公式我們可利用分配律來展開 ( a+ b)( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + b)( c + d) ac + ad + bc + bd 公式 a c ac d ad b bc bd 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式如上圖, 一個邊長分別為 ( a+ b) 和 ( c+ d) 的長方形, 可由四個面積分別為 ac ad bc 和 bd 的長方形所組成我們可從大長方形的面積為四個較小的長方形的面積總和而得到這個公式在應用上,a b c 及 d 可為數字或任何文字符號範例利用公式展開下列各式 : () ( + a)( + b) () ( + )( + ) () ( + y)( y) 解 () ( + a)( + b) + b+ a + a b + a+ b+ ab () ( + )( + ) () ( + y)( y) ( + y)[ + ( y)] + ( y) + y + y ( y)

6 6 y + y y 6 + y y 在上例的第 () 題中, 的項 ( 或稱二次項 ) 係數為, 項 ( 或稱一次項 ) 係數為 5, 常數項為 6, 其中最高次項為二次, 所以稱的二次多項式, 並簡稱為一元二次式為在第 () 題中, 6 + y y 有 y 兩個變數, 其中 6 y 和 y 都是二次項因此, 它的最高次項為二次, 所以稱它為和 y 的二次多項式, 並簡稱為二元二次式類題練習展開下列各式 : () (5+ )( ) () ( + y)( 4 y) 二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程, 例如 : 求的值在上面的算式中, 我們觀察到 79 與有公因數,7 與 7 79 有公因數 7, 所以 (79 + ) + 7 (79 + ) (79 + ) ( + 7) 完全平方公式將公式中的 c d 分別以 a b 代入, 即可得 ( a+ b)( a+ b) a a+ a b+ b a+ b b a + ab+ b,

7 因而得到和的平方公式 : a + ab+ b ( a+ b) 公式範例利用公式展開下列各式 : () ( + ) () 解 () ( + ) ( + y) () ( + y) ( ) + ( ) ( y) + ( y) 4 + y + 9y 同樣的, 若將公式中的 b c d 分別以 b a b 代入, 即可得 ( a b)( a b) a a+ a ( b) + ( b) a+ ( b) ( b) a ab+ b, 因而得到差的平方公式 : ( a b) a ab+ b 公式其實, 只要將公式中的 b 改為 b, 也可得到公式範例利用公式展開下列各式 : () ( ) a () ( y) 解 () ( a) a+ a a + a () ( ) y ( ) ( ) ( y) + ( y) 4 y + 9y 我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算, 例如 : 在求 09 時, 可將 09 寫成 , 再利用公式即可求得 : 09 (00 + 9)

8 我們知道 a+ b+ c (a + b) + c, 所以利用和的完全平方公式, 即可得到 : ( a+ b+ c) [( a+ b) + c] ( a+ b) + ( a+ b) c+ c a + ab + b + ac + bc + c a b c ab bc a c 因此, 得到三項和的完全平方公式 : ( a+ b+ c) a + b + c + ab+ bc+ ac 公式 4 範例 4 利用公式 4 展開下列各式 : () (+ y+ ) () ( a+ b c) 解 () ( + y+ ) + y + + y+ y + + y + 9+ y+ 6y+ 6 y y y () ( a+ b c) [ a+ ( b) + ( c)] a + () b + () c + () a b + ()() b c + () c a a + 4b + 9c + 4ab bc 6ca 類題練習利用公式 4 展開 ( y z) 若將公式中的 c d 分別以 a b 取代, 即可得 : ( a+ b)( a b) a a+ a ( b) + b a+ b ( b ) 因而得到平方差公式 : a b ( a+ b)( a b) a b 公式 5 範例 5 利用公式 5 展開下列各式 : 4

9 () ( + 4 y)( 4 y) () ( a+ b c)( a b+ c) 解 () ( + 4 y)( 4 y) ( ) (4 y) 9 6y () 因為 a + b c a + (b c) 和 a b + c a (b c), 所以可以得到 : ( a+ b c)( a b+ c) [ a+ ( b c)][ a ( b c)] a ( b c) a ( b bc+ c ) a b + bc c 如同完全平方公式, 我們也常利用平方差公式來簡化數的計算例如 : 求 7 7 的值時, 我們可得到下列算式 : 7 7 (7 + 7)(7 7) 又如求 07 9 的值時, 我們觀察到 , 所以可得到下列算式 : 07 9 (00 + 7)(00 7) 類題練習求下列各式的展開式 : () ( + y+ )( y ) () ( + y) ( y) 5

10 家庭作業. 展開下列各式 : ( )( ) + a b ( + 5 y)( y) ( a+ b) 4 ( y+ ) 5 ( a b c)( a+ b+ c) 6 ( a + ab+ 4 b )( a ab+ 4 b ) 7 ( )( )( ) 8 ( + )( + )( + )( + 4) 9 0 ( )( + )( + 4) ( + )( )( + )( ). 回答下列各題 : 76 求的值求的值已知 8 8 (685.5) 685 +, 求的值 4 若 ( + a + )( a) 的展開式中, 的係數為 9, 求 a 的值 6

11 - 立方公式在國中時期同學們較少接觸到立方的乘法運算, 事實上, 在多項式的乘法和因式分解的過程中, 立方公式也經常被引用立方和與立方差我們可利用分配律來展開一次式與二次式的乘積例如, 展開 ( a+ b)( a ab+ b ) 即可得到 : ( a+ b)( a ab+ b ) 因此, 得到立方和公式 : a a b+ ab + a b ab + b a + b ( a+ b)( a ab+ b ) a + b 公式 6 範例利用公式 6 展開下列各式 : () ( + )( + 4) () (a+ 5 b)(4a 0ab+ 5 b ) 解 () ( + )( + 4) ( + )( + ) () (a+ 5 b)(4a 0ab+ 5 b ) (a+ 5 b)[( a) ( a)(5 b) + (5 b) ] ( a) + (5 b) 8a + 5b 同樣的, 我們可以展開 ( a b)( a + ab+ b ) 並經合併化簡後, 而得到立方差公式 : ( a b)( a + ab+ b 其實, 只要把公式 6 中的 b 以 b 代入, 即可得公式 7 ) a b 公式 7 7

12 範例利用公式 7 展開下列各式 : () ( )(4 + + ) () a b a ab b ( )( + + ) 解 () ( )(4 + + ) ( )[( ) + ( ) + ] a b a ab b () ( )( + + ) ( ) 8 a b a a b b a b ( ) ( ) a b 7 8 ( )[( ) + + ( ) ] b 5ab b 類題練習 () 展開 (5 a )(5 a + + ) 4 () 展開 ( y 6 y )( y 4 y )( y 9 y ) () 已知, 求 ( )( ) 的值完全立方公式在展開 (a+ b) 時, 可先將 (a+ b) 寫成 ( a b)( a b) + +, 再利用和的平方公式與分配律展開即可, 也就是說 : ( a ) + b ( a+ b)( a+ b) ( a+ b)( a + ab+ b a + a b+ ab + a b+ ab + b a + a b+ ab + b ) 由此, 我們可得到和的完全立方公式 : ( a ) + b a a b ab b 公式 8 8

13 同樣的, 展開 (a b) 的乘積, 並經化簡後即可得到差的完全立方公式 : ( a ) b a a b+ ab b 公式 9 其實, 只要將公式 8 中的 b 以 b 代入, 同樣可得上式範例展開下列各式 : () ( + ) () ( ) + y () (4a 5 b) 解 () ( + ) () ( + y) () (4a 5 b) ( ) + ( ) ( y) + ( )( y) + ( y) y y y (4 a) (4 a) (5 b) + (4 a)(5 b) (5 b) 64a 40a b+ 00ab 5b 類題練習展開下列各式 : () + y) () ( (4 a b) 5 9

14 家庭作業. 展開下列各式 : ( ) (a b) y y y ( + )( ) 4 b b a a + ab+ 4 ( )(4 ) 5 ( + )( )( + )( + + ) 6 ( a 9)( a + a+ 9)( a a+ 9). 回答下列各題 : 求 (5 ) + (4 ) 的值已知 a+b 且 ab, 求 a + b 的值已知 a b 且 a + b 5, 求 a b 的值 4 4 已知, 求 ( )( + + ) 的值 0

15 - 多項式的除法在小學時, 我們會以下列的長除法 ( 直式計算法 ) 來求出 58 除以得到商數 4, 餘數 6: 4 ) 同時, 我們也知道 : 事實上, 在自然數的除法中, 我們有下列的規則 : 被除數除數商數 + 餘數, 其中, 商數和餘數為非負整數, 且餘數小於除數同樣的, 在多項式的除法中, 我們也有類似的規則 : 被除式除式商式 + 餘式, 其中, 商式的次數等於被除式的次數減去除式的次數, 且餘式的次數要小於除式的次數類似於自然數的除法, 多項式的除法運算也有直式計算法 ( 長除法 ); 為了簡化計算, 也常使用分離係數法事實上, 這兩種方法的差別在於計算過程中, 有沒有將文字符號寫出來而已範例求( + 4+ ) ( +) 的商式及餘式解方法一 : 直式計算法方法二 : 分離係數法 ( + ) ( + ) + + ) 商式為 +, 餘式為 + + )

16 在完成多項式的除法後, 為了驗證所得結果是否正確, 除了重新檢視運算過程外, 也常用上述被除式除式商式 + 餘式的概念來驗算例如 : ( + )( + ) + ( ) + 4+ ( 除式商式 + 餘式 ) ( 被除式 ) 範例求( ) ( + ) 的商式及餘式解 + + ) 商式為 +, 餘式為 7 做分離係數法時, 當除式或被除式缺項時, 需要補 0 範例求( + ) ( ) 的商式及餘式解因為 , 所以用來表示 )

17 商式為 +, 餘式為 4 4 範例 4 求( ) ( + ) 的商式及餘式解 + ) 商式為, 餘式為 + 範例 5 求( ) ( + + ) 的商式及餘式解 ) 商式為 +, 餘式為 0 當餘式為 0 時, 我們稱除式整除被除式, 例如 : 在上例中, + + 整除類題練習求下列各除法運算的商式及餘式 : () ( + + 5) ( + ) () ( ) ( ) 4 () ( ) ( ) (4) ( + 5) ( + 5)

18 家庭作業. 求下列各除法運算的商式及餘式 : ( ) (+ 4) (7 + ) (+ ) ( + ) ( ) 4 ( + ) ( 5) ( + + 4) ( + ) 4 ( + ) ( ). 已知 6 + ( a + b)( + ) +, 求 a b 的值. 已知某多項式除以 ( ), 可得商式 ( + ), 餘式, 求此多項式 4. 已知 4 + k 可被 ( + ) 整除, 求 k 的值 5. 已知一長方體的體積為長為 + 且寬為 +, 求此長方體的高 4

19 二因式分解在第一章中, 我們知道兩個的一次式乘積展開後成為的二次多項式反過來說, 如果能將一個的二次式寫成兩個的一次式的乘積, 我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解此時, 這兩個一次式都稱為二次多項式的因式, 而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式在高中的課程中, 我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積, 這種過程也稱為這個多項式的因式分解例如 : 因式分解 ( + )( ) 乘積展開因式分解 ( )( )( ) 乘積展開在國中階段做因式分解時, 我們只考慮因式的係數為有理數 ( 整數或分數 ) 的情形但從此以後, 我們將不再要求因式的係數一定是有理數現在來介紹幾個常用的方法 : 提公因式分組分解十字交乘和利用乘法公式 - 提公因式從各項提公因式如果發現每一項都有共同的因式時, 我們可先將此公因式提出範例因式分解下列多項式 : () () + 5 () ( a b) ( a b) ( y) + ( y ) 5

20 解 () ( + 5) () ( a b) ( a b) (a b)( a b) ( a b) (a b)[(a b) ] (a b)(a b ) () ( y) ( y ) + ( y) ( y) ( y) [ ( y)] ( y) ( + y ) 分組提公因式當各項沒有公因式時, 可嘗試分組或去括號重新分組, 使得每組之間有公因式範例因式分解下列多項式 : () 解 () () y+ 5+ 4y+ 0 () a + a (4) () 方法一 : ( + ) + ( + ) ( + )( + ) y+ 5+ 4y+ 0 (y + 5 ) + (4y + 0) 方法二 : (y+ 5) + (y+ 5) (y+ 5)( + ) y z z y ( + ) + ( + ) y+ 5+ 4y+ 0 (y + 4 y) + (5 + 0) ( 交換律 ) () 方法一 : a + a y ( + ) + 5( + ) ( + )(y + 5) (a ) + (a ) (a ) + (a ) (a )( + ) 6

21 方法二 : a + a (a + a) ( + ) a( + ) ( + ) ( + )(a ) (4) 可嘗試去括號展開後, 再重新分組 y( + z ) + z( + y ) y + yz + z + zy ( ) ( y+ z + yz + zy ) ( y+ z) + yz( z+ y) ( y+ z) + yz( y+ z) ( y+ z)( + yz) 從上面的例子我們可以看出, 某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解拆項後分組提公因式有時候, 可嘗試先將多項式中某一項拆開後, 再利用分組提公因式範例因式分解下列多項式 : () () 解 () ( + + ) + ( + + ) ( + + )( +) ( + ) () ( + + ) ( + + ) ( + + )( ) ( + )( + )( )( + ) ( + ) ( + )( ) ( ) 7

22 事實上, 範例的第 () 題也可用分組的方式來因式分解 : ( 4 + ) + ( ) ( )( + ) + ( ) ( )( + + ) ( + )( )( + )( + ) ( + ) ( + )( ) 類題練習因式分解下列多項式 : () () 家庭作業因式分解下列多項式 :. ab+ 6ab. ( a )( b+ ) + 4( a)(+ b). ( a ) ( a a) 4. ab a + 6b 5. y( z ) + z( y ) ( a b) ( b a ) 9. ( ) + ( )( 4 + )

23 - 十字交乘法因為大家都已熟悉十字交乘法, 所以在這裡只舉例, 而不做文字說明二次三項式範例因式分解下列多項式 : () 90 () 6 + y y 5 解 () 90 ( + 9)( 0) () 6y + y 5 (y + 5)(y ) y + 5 y 類題練習因式分解下列多項式 : () () 80 家庭作業因式分解下列多項式 : a ( a b) b. ( y) + ( y ) a 4ab b 4 ) 7. ( a+ b)( a+ b 4) 8. ( + ( ) 7 9. ( 4y)( + 4y) + 6y 9

24 - 利用乘法公式對於某些多項式, 我們可直接利用乘法公式來做因式分解完全平方 ( ) a+ b a + ab+ b ( ) a b a ab+ b 範例因式分解下列各式 : () a + 6a+ 9 () 4 y+ 9y () ( + y) + 6( + y)( y ) + 9( y) 解 () a + 6a+9 a + a + ( a + ) () 4 y + 9y ( ) ( ) ( y) + ( y) ( y) () ( + y) + 6( + y)( y ) + 9( y) ( + y) ( + y) [( y)] + [( y)] [( + y) ( y)] ( 5 ) + y ( 或寫成 ( 5 ) y ) 平方差 a b ( a+ b)( a b) 範例因式分解下列各式 : () ( + y) () 9 ( a + ) () y + yz z 解 () ( + y) [ + ( + y)][ ( + y)] ( + + y)( y) ( + y)( y) ( + y)( y) 4 y ( + y) 0

25 ( ) 9 ( a + ) ( a + ) [ + ( a+ )][ ( a+ )] ( + a+ )( a ) ( a+ 5)( a ) () y yz z + ( y yz+ z ) ( y z) [ + ( y z)][ ( y z)] ( + y z)( y+ z) 立方差立方和 ( a b)( a ab b + + ) ( a b)( a ab b + + ) a a + b b 範例因式分解下列各式 : () () a + 8b () 6 6 y 解 () ( )( + + ) ( )( + + ) () a + 8b a + ( b) [ a+ ( b)][ a a ( b) + ( b) ] ( a+ b)( a ab+ 4b ) () y 6 6 ( ) ( y ) ( + y )( y ) ( )( )( )( + y y+ y y + y+ y ) 類題練習因式分解下列各式 : () + () a 64b 6 6

26 在範例的第 () 題中, 也可以將 y 寫成 ( ) ( y ), 因此得到 : 6 6 y 6 6 ( ) ( y ) ( )[( ) ( y + y + y ) ] 4 4 ( y )( + y + y ) 顯然的, 4 + y + y 4 可以再分解, 我們將在下一個單元裡, 介紹它的分解方法配方法利用完全平方公式或完全立方公式, 再配合平方差公式或前面介紹的方法, 可以處理一些特殊多項式的因式分解, 這裡需要一些拆項 ( 分項 ) 或補項 ( 加減項 ) 的技巧, 要多練習範例 4 因式分解下列多項式: 4 () a + a + () 解 () a + a + a + a a + 4 a + a + a ( ) a + a ( )( a + + a a + a) ( a + a+ )( a a+ ) 4 () ( + ) ( + + )( + ) ( + + )( + ) 事實上, 在範例 4 的第 () 題中, 所見到的也是一個常見的乘法公式 4 ( a + a+ )( a a+ ) a + a +

27 類題練習因式分解下列各式 : 4 () a + a b + b 4 4 () 範例 5 因式分解下列多項式 : () y () 解 () 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解以用補項的概念來因式分解 y y + y y + y y ( y) + y( y ) ( y)[( y) + y] ( y)( y+ y + y) ( y)( + y+ y ) y, 我們也可 4 () 很顯然, + 4無法直接使用平方差公式來分解所以, 我們嘗試用補項的方法來克服困難 ( + ) () ( + + )( + ) ( + + )( + ) 在國中時期, 因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數, 所以有些二次式無法分解如果允許因式的係數可為任意實數, 那麼我們就可以用配方法來分解它範例 6 因式分解解 ( + ) ( + ) ( ) ( + + )( + )

28 類題練習利用配方法的技巧, 來因式分解下列各式 : () 4 + y () + 64 () 家庭作業因式分解下列各式 :. 8. ( ) + a 4. 4 b ( a) + 4( a b) y a + 6a a 8a b + 6b 8. y + 6yz 9z 4 9. ( a )( b ) 4ab

29 三平方根與立方根除了平方根以外, 三次方根 ( 也稱立方根 ) 及其它的高次方根也常出現在高中數學課程中, 如指數與三角函數等單元在國中階段, 方根的學習是以認識及計算平方根為主, 在本章中, 我們將學習平方根與立方根的四則運算與根式中分母的有理化, 並介紹雙重根式的化簡 - 平方根我們知道每一個正數 a 都有兩個平方根, 其中正的平方根記作 a, 讀作二次根號 a, 並簡稱為根號 a ; 而負的平方根記作 a, 例如 :4 的平方根記作 ± 4, 即 4 及 4 當 a0 時,a 的兩個平方根都為 0 在這裡,a 稱為被開方數在本節中, 除了在雙重根式的情形外, 所有的被開方數均為非負的有理數平方根的乘法與除法我們首先看如何做平方根之間的乘法及除法運算因為 ( a ) b ( a b) ( a b) ( a a) ( b b) ( a) ( b) ab, 由定義我們知道 ( ab) ab, 所以同樣的, 我們知道 a b ab, 其中 a b 0 a a a b, 其中 a 0 b > 0 b b 在數學上, 我們稱含有根號的算式為根式例如 : + 5

30 和都是根式事實上, 形如 a 的數也稱為根式範例計算下列根式 : () () 8 () (4) 解 () 6 6 () () (4) 類題練習計算下列根式 : () 5 0 () 75 () (4) 最簡根式當一個整數 a 為某個整數的平方時, 我們就稱 a 為完全平方數, 也叫做平方數, 例如 :8 9, 所以 8 為完全平方數, 因此 8 9 另外, 當被開方數是整數, 且不是一個完全平方數時, 我們可利用數的標準分解式及平方根的乘法, 來化簡根式例如 : 化簡成標準分解式 : 60 時, 我們先把 60 寫 6

31 再化簡得到 60 5 ( ) 5, 60 ( ) 當被開方數為有理數時, 通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式例如 : 我們會將平方根 8 改寫成下列的形式 : 6 6 ( ) ( 或 6 ) p 也就是說, 習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成 q 形式, 其中 n 或 p n q p 為最簡分數,n 為大於的整數, 並且不能被任何大於 q p 的整數的平方整除, 我們稱這種形式的根式 ( q n 或 p n q 的 ) 為最簡根式 8 例如 : 6 0 和 6 都是最簡根式 ; 但 60 和就不是最簡根式我們稱將平方根化成最簡根式的過程為平方根化簡範例將下列根式化為最簡根式 : () () 6 () 45 解 () 4 4 () () 類題練習將下列根式化為最簡根式 : 7 () 4 () 80 () (4)

32 當兩個根式經過化簡後, 如果在它們的最簡根式的根號內有相同的被開方數時, 我們就稱這兩個平方根為同類方根例如 : ( 可化簡為 ) 和都是同類方根, 但與 6 就不是同類方根做根式的計算時, 我們通常會將式中的同類方根合併, 並且將結果的每一項化為最簡根式往後我們所稱的根式化簡是指將結果以最簡根式的形式表示範例化簡下列根式 : () () () 解 () ( + 7) + ( 6) 4 4 () () 類題練習化簡下列根式 : () () () 現在來看看如何做根式的乘積展開事實上, 我們常利用乘法公式 ( a + b)( c + d) ac + ad + bc + bd 8

33 來展開形如 ( a + b)( c + d) 根式乘積的算式範例 4 化簡下列根式 : () ( + )( 6 + ) () ( 7 + )( 7 ) 解 () ( + )( 6 + ) () 利用平方差公式, 可得 ( 7+ )( 7 ) ( 7) ( ) 7 5 類題練習 4 化簡下列根式 : () ( + 5)( + 75) () ( + )( ) 根式分母的有理化如同方根, 一般來說, 我們會把根式化為分母不含根號的形式現在以下面的例子做說明範例 5 將下列各式化為分母不含根號的根式: () () + 解 () 我們利用等值分數的特性及平方差公式, 使分母不含根號 9

34 + ( ) ( + )( ) ( ) () ( + ) ( )( + ) + ( ) ( ) + + 利用上述的方法, 將根式化為分母不含根號的形式的過程稱為分母的有理化類題練習 5 有理化下列各式的分母: () () 5+ 5 範例 6 有理化的分母 ( )(+ 解因為 ) ( ), 4 + ( + ) 所以 ( + ) + ( )( + ) 0

35 類題練習 6 有理化的分母雙重根式的化簡假設 a b 為兩個非負的數, 而且 a b 因為所以因此得到 : ± b ( ) ( ) ( a ) a + b ± ab a+ b± ab, a+ b± ab a± b 如果 ± y a± b ( 其中 a b), 則 a + b yab 範例 7 化簡下列各式 : () + () 8 8 解 () () 想想看為何需要在 a+ b ab a b 這個公式中, 要求 a b? 類題練習 7 化簡下列各式: () 7+ () 4 5

36 範例 8 化簡 4 7 解 ( 7 ) 4 類題練習 8 化簡 + 5

37 家庭作業. 化簡下列各式 : 化簡下列根式 : 化簡下列各式 : 6( 8 5) ( 95+ 5)( 95 5) 5 ( )( 67 7) 6 ( 5 + )( 5 ) 4. 化簡下列各式 :

38 - 立方根在本單元裡, 我們將討論立方根的性質和運算規則不同於平方根的被開方數必須是非負的數, 立方根的被開方數可以是任意實數當實數 a 為某個實數 b 的三次方時, 我們就稱 b 為 a 的立方根, 並記作 a b, 其中 a 讀作三次根號 a, 並稱 a 為被開方數例如 :7 及, 所以 8 ( ) 7 及 8 顯然的, 被開方數與它的立方根同號我們只討論被開方數為有理數的立方根立方根的乘法與除法兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形, 有下列的規則 : () a b ab a () a b, 其中 b 0 b a b 範例計算下列各式 : () 5 () () 4 (4) 解 () () 4 4 () 4 4 (4)

39 類題練習計算下列各式 : () 5 5 () () 5 5 (4) 5 6 ( ) 由規則 () 知道, 5 5 ( ) 5 5 因此, 習慣上, 我們常將 a 改寫成 a, 其中 a 為正數最簡根式當被開方數為整數且不是一個完全立方數時, 如同平方根的情形, 我們可以利用數的標準分解式及立方根的乘法, 來化簡根式例如 : 化簡 70 4 時, 我們先將 70 寫成 5 5, 再利用乘法公式求得當被開方數為有理數時, 通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式例如, 我們會將 8 改寫成 ( 或 5 5 ) p n p 類似平方根的化簡, 我們將立方根寫成最簡根式 n ( 或 ) q q 的形式, 其中 p 為最簡分數,n 為大於的整數, 並且不能被任何大於 q 的整數的立方整除, 我們稱這樣的過程為立方根化簡例如 : 90 及 5 5 都是最簡根式 5

40 範例化簡下列各式 : () 70 () 5 () 解 () () 因為 5 4 ( ), 所以 5 ( ) 6 () 我們可先將的分子分母同乘於後再做化簡, 即 8 8 類題練習化簡下列各式 : () 5 () 000 () 5 當兩個立方根化為最簡根式後, 如果在它們的最簡根式的立方根號內有相同的被開方數時, 我們就稱這兩個立方根為同類方根例如, 4 ( 可化為 ) 和 - 都是同類方根, 但是與 ( 可化為 ) 就不是 4 同類方根 4 在化簡根式時, 我們可以利用同類方根的合併來簡化數學式範例化簡下列各式: () () 解 () ( + 6) + ( 5) 4 6

41 () 註 : 7 和 7 不是同類方根類題練習化簡下列各式: () () 對於某些較為特殊的根式乘積, 可嘗試利用乘法公式我們先複習兩個常用的立方公式 : ( a+ b)( a ab+ b ) a + b ( a b)( a + ab+ b ) a b 範例 4 利用立方公式化簡( + )( ) 解我們可以利用第一個公式來化簡, 令 a b ( )( 9 6 4) + + ( ) + ( ) + 5 類題練習 4 利用立方公式化簡( 5 )( ) 7

42 根式分母的有理化如同平方根的有理化技巧, 我們也可利用立方乘法公式來做分母含有立方根的根式的有理化範例 5 有理化下列各根式的分母: () () 解 () 由立方公式, 我們知道 ( + )( 4 + ) ( ) + + 所以, 若想將分母的根號去掉, 可對分子與分母同乘以 ( 4 + ) 即可因此得到 : + ( 4 + ) ( )( 4 ) () 我們對分子與分母同乘以, 即得 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 類題練習 5 有理化下列各根式的分母 : () ()

43 家庭作業. 求下列各數的立方根 : 64. 將下列各數化簡成最簡根式 : 化簡下列各式 : 化簡化簡下列各式 : 化簡 ( )( ) 7. 有理化下列各根式的分母 :

44 四一元二次方程式就一般而言, 凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解 ; 而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的根因此, 一元二次方程式的解就是所對應的二次多項式的根所以, 我們也稱此類方程式的解為根我們將首先介紹常見的一元二次方程式的三種解法 : 因式分解法配方法和公式解然後, 利用判別式來探討兩根的特性, 最後再討論根與係數之間的關係 4- 一元二次方程式的解法因式分解法因為一元二次方程式 a b c + + 0(a b 和 c 為實數且 a 0) 的左式為二次多項式, 如果我們能將這個多項式因式分解成兩個一次多項式的乘積, 就很容易求得方程式的解我們以下面的例子來說明這種解法範例求 + 5 的解解利用移項可把原方程式改寫為 5+ 0 由因式分解, 可得 5 + ( )( ) 因此, 原方程式改寫為 ( )( ) 0 所以, 可得 0或 0 即或類題練習求的解 40

45 配方法我們也可以利用平方根的概念來解方程式, 例如將 4+ 0 改寫為 ( ) 的形式, 進而解得 ± 其過程如下 : 兩邊同加 + + 左式可寫成完全平方式 ( ) 右式為正, 兩邊開平方 ± ± 上面的例子是利用配成完全平方式的方法, 先將方程式改寫成 (-h) k 的形式當 k 0時, 我們就可以利用平方根的概念來解題 : 即兩邊同時開方 ( ) h k 0 h ± k 移項 h± k 註 : h± k 表示 h+ k 或 h k 我們將這個方法稱為配方法, 也就是配成完全平方的意思以下的例題繼續來說明這種解法範例求下列各方程式的解 : () () 解 () ( ) ± 或或 4 4

46 () ( ) ± + 或 + 或在上例中, 我們當然也可用十字交乘法來做因式分解但下面的例題, 因不易做因式分解, 所以配方法會成為一個很好用的解法範例求下列各方程式的根 : () 6+ 0 () 解 () ( ) 7 ± 7 7或 7 7或 + 7 註 : 我們常以 ± 7 來表示 + 7 或 7 () ( ) + ( ) ( ) ± 5±

47 觀察 : 在範例第 () 題中, 兩個根的和為 ( + 7) + ( 7) 6, 兩個根的積為 ( 7) ( 7) + 在範例第 () 題中, 9 7 ( 7) 兩個根的和為 +, ( 5) ( 7) 48 兩個根的積為同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係數之間有著某種關係嗎? 類題練習利用配方法求下列各式的解 : () 0 () 4 0 公式解將配方法運用在一般式方程式兩邊同除以 a 常數項移到右邊 b 在左右二式同加 ( ) a 左式可化為完全平方 a b c (a 0) 的求解時, 其步驟如下 : a b c (a 0) b c + 0 a + a b c + a a b b c b + + ( ) + ( ) a a a a ( + ) a 4a b b 4a 這個結果與前面 (-h) k 的形式相同, 因為 ( + 0, 所以當 b 4ac 0 時, 我們得到 c b a ) 恆為正數或 b b 4ac + ±, a 4a 4

48 即 b b 4ac b± b 4ac ± ( 或寫成 ) a a a 也就是說, 當 b 4ac 0時, 方程式 a + b + c 0 的解為 : + b b 4a a c 或 b b 4a a c 雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜, 但觀察其過程, 每一步驟都有跡可循若避開繁複的運算過程, 直接將方程式的係數代入這個解的通式, 即可得到方程式的解因此, 我們利用上面的通式求解, 稱為公式解雖然我們將在下一節中, 才會完整的討論如何由 b 4ac的符號來了解方程式 a + b + c 0 兩個根的特性, 在這裡仍先稱 b 4ac為根的判別式範例 4 用公式解求 6+ 0的解解先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0 因為 b 以方程式有實數解由公式解得知 : 4ac 8>0, 所 ( 6) ± 8 6± 7 ± 7 類題練習利用根的公式解下列方程式: () 0 () 4 0 我們可以利用一元二次方程式的解法, 來解某些類型的方程式, 現在來看下面的例子 44

49 範例 5 已知一個正數比其倒數的兩倍多, 求此數解設此正數為依題意列式兩邊同乘以, 得移項得一元二次方程式 ( + )( ) 0 或 ( 不合題意 ) 所以, 此正數為 0 類題練習 4 解方程式 + 6 b a b 範例 6 一個長為 a, 寬為 b 的矩形, 如果它的長與寬滿足的 a b 關係, 我們稱之為黃金矩形求黃金矩形的長與寬的比值為何? 解 a 令 b b a b a b a a b b b b b a a b 再來解兩邊同乘以, 得移項得利用根的公式, 可得 0 ± ( ) ( ) 4 ( ) 所以, 或 ( 負的不合 ) 45

50 + 5 因此, 長與寬的比值為 ( 約為.6) 類題練習 5 解方程式 + 6 家庭作業. 解下列各方程式 : ( ) ( ) 已知為 a + a 0的一根, 求 a 的值及另一根 +. 設為方程式 c 0的一根, 求 c 的值 4. 已知 6 可化為 ( + p) + q 的形式, 求 p q 的值利用求方程式 6 0 的兩根 5. 解下列各方程式 : 若滿足 + 4, 求的值 7. 已知某水果商人以 6000 元買進芒果一批淘汰賣相不佳的芒果 0 公斤, 其餘的以每公斤按成本價加 0 元賣出, 商人共得款 800 元問此商人原先買進芒果多少公斤? 46

51 4- 根的判別在前一節中, 我們利用配方法將方程式 a + b + c 0 (a 0) 改寫為 b b 4ac b b 4ac ( + ) 因為 ( + ) 恆為正數或 0, 所以右式中的 a 4a a 4a 分子 b 4ac必須為正數或 0, 方程式才會有實數解當 b 4ac<0 時, b b 4ac 我們不可能找到一個實數使得 ( + ) 等於, 所以 a 4a a b c 沒有實數解因此, 一個一元二次方程式有沒有實數解, 便可由 b 4ac 0, 或 b 4ac< 0來判別, 故稱 b 4ac為根的判別式或簡稱為判別式現在將方程式 a + b + c 0 根的判別規則整理如下 : () 若 b 4ac> 0, 則方程式的兩根為 : b+ b 4ac 或 a b b 4ac 因為兩根均為實數且不相等, 所以稱此方程式有兩個相異實根 () 若 b 4ac0, 則兩根為相等實數所以稱此方程式有兩個相等 b 實根, 並常以 ( 重根 ) 來表示 a () 若 b 4ac<0, 則此方程式無實根註 : 當數系由實數擴充到複數時, 此方程式就會有兩個複數根 a 範例判別下列方程式兩根的性質 : () () () 解 () 判別式 b 4ac 4 ( 5) 9> 0 方程式有兩個相異實根 : () 判別式 b 4 ( 5) ± ± 4 ac ( 5) 4 6 < 0 方程式沒有實數解 () 判別式 ( ) ( 9) 0 b ac 9 47

52 方程式有一個二重根 : ± ( ) ( 9 ( ) ) 6± 0 ( 重根 ) 範例已知一元二次方程式 a 解原方程式有一個二重根判別式等於 0 即 a 4 a 0 aa ( 8) 0 a 0 或 a 8 因為二次項係數 a 不能為 0, 所以 a 8 + a + 0有一個二重根, 求 a 的值類題練習已知 a 為正整數且方程式的最小值 a+ 0有兩個相異根, 求 a 家庭作業. 判別下列方程式兩根的性質 : 設 a 為任意實數, 請問 + a + a 兩根的性質為何?. 已知 + ( k 4) + k 0有一個二重根, 求 k 的值 4. 設 m n 為相異兩數, 請判別 ( m + n ) + ( m+ n) + 0兩根的性質 48

53 4- 一元二次方程式的根與係數的關係現在來探討在 4- 的範例中所提到的, 兩根的和兩根的積與係數之間的關係設 α β 為方程式 a + b + c 0 的兩根, 因此 a + b + c 0 可化成 a ( α)( β ) 0 我們知道 a + b + c a( α)( β ) b a c a a ( + + ) a ( α)( β ) b c + + ( α)( β ) a a b c + + a a ( α + β) + αβ b 經由比較係數, 得到 α + β 及 α β a 程式的根與係數間有以下的關係 : c a 因此, 我們發現一元二次方 b c 若 a + b + c 0 的兩根為 α β, 則 α + β 及 α β a a 事實上, 直接由公式解也可得到 : 和 + α + β + a a b a b b 4ac b b 4ac b a + α β a a b b 4ac b b 4a ( b) ( b 4 ac) 4ac c 4a a 4a c 49

54 範例設 α β 為 + 80的兩根, 求下列各式的值 : 解 () () α + β () + () α β α β α β 為 + 8 0的兩根 8 α + β αβ α β α αβ β αβ ( α + β) αβ ( ) ( 8) 5 () () β + α + α β αβ 8 8 ( α ) β α αβ + β ( + ) 4 α β αβ ( ) 4( 8) 4 所以 α β ± 4 若知道某一元二次方程式的兩根, 我們能不能反推而求得這個一元二次方程式呢? 設 α β 為所求方程式等號兩邊同除以 a, 得 a b c 的兩根 + b c 0 a + a b c 由根與係數的關係得知 : α + β αβ a a 因此, 方程式可以改寫成 ( α + β) + αβ 0 範例設 α β 為解以及為兩根的方程式可寫為 : α β 的兩根求以 α 為兩根的方程式 β ( + ) + 0 () α β α β 50

55 α β 為的兩根 α + β 0 αβ 50 β + α 0 + () α β αβ 50 5 () α β αβ 將 () () 的結果代入 () 中得到因此, 該方程式可表為 0, 或類題練習. 設 α β 為的兩根, 求下列各式的值 : () α + β () αβ () α + β (4) β α + α β. 設 α β 為的兩根, 求以 α β 為兩根的方程式範例甲乙兩生同解一個一元二次方程式因為甲看錯一次項係數, 而解得兩根為與 7; 因為乙看錯常數項, 而解得兩根為與 0; 除此以外無其它錯誤試求正確的兩根為何? 解我們可設此一元二次方程式為 + b + c 0 以與 7 為兩根的一元二次方程式為 ( + 7) 因為甲只看錯一次項係數, 所以常數項 c 4 是正確的以與 0 為兩根的一元二次方程式為 ( 0 + ) + ( 0) 因為乙只看錯常數項, 所以一次項係數 b 9 是正確的綜合以上的討論得知, 原方程式可表為 , 也就是 ( + )( + 7) 0, 所以正確的兩根為或 7 5

56 家庭作業. 設 α β 為 70的兩根, 求下列各式的值 : α β α + β β α + α β 4 ( α )( β ) 5 αβ+ αβ. 甲乙兩生同解一元二次方程式甲看錯常數項而得到兩根和, 而乙看錯一次項係數得到兩根 4 和, 求正確的兩根 ± 5. 已知方程式的兩根為 4, 求此方程式 5

一、乘法公式與多項式

一、乘法公式與多項式一乘法公式與多項式多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外, 還可運用於因式分解在本章中, 我們首先來複習已經學過的平方公式, 然後再延伸到立方公式 1-1 平方公式二項式相乘公式我們可利用分配律來展開 ( a+ )( c+ d) 的乘積而得到下列的公式 : ( a + )( c + d) ac + ad + c + d 公式 1 a c ac d ad c d 另一方面, 也可利用幾何圖形來解釋這個公式

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