指數與對數的應用陳清海老師

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锤士唐
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1 指數與對數的應用陳清海老師

2 p ok5 指數與對數的應用一查對數表查對數表: x 如上表可知: log log5 範例利用常用對數表查出下列各對數的值: () log56 () log56000 () log00056 Ans:() 09() 59() 8069 () log56 09 log56000 log 56 0 log () log00056 log 56 0 log () 演練利用常用對數表查出下列各對數的值: () log77 () log770 () log Ans:() 048() 48() 75 高中數學虛擬教室

3 () log log770 log 77 0 log77 48 () p log log 77 0 log () 範例利用常用對數表查出下列各真數的值: () log x 00 () log x 59 () log x 7496 Ans:() 05() 79() () x 05 () 由表可知: log x059 log00 log79 log79 因此 x 79 () 由表可知: log x 0504 log000 log78 log00078 因此 x 備註計算機: () log x 00 x= () log x 59 x= () log x 7496 x= 演練利用常用對數表查出下列各真數的值: () log x 0004 () log x 75 () log x 7878 Ans:() 6() 65() 006 () x 6 () 由表可知: log x075 log0 log65 log65 因此 x 65 () 由表可知: log x 0 log00 log6 log006 因此 x 006 備註計算機: () log x 0004 x= () log x 75 x= () log x 7878 x= 高中數學虛擬教室

p 二內插法 x x x 且其對應的對數值為 logx logx logx 設由右圖知: ADE 與 ABC 相似當 x 與點 D 可視為同一點因此由相似三角形的性質得 AE DE AC BC xx log xlog x x x log x log x x 相差甚小時點 P 與範例已知 log78 086 log79 0867 求 log7800 的值 (

4 p 二內插法 x x x 且其對應的對數值為 logx logx logx 設由右圖知: ADE 與 ABC 相似當 x 與點 D 可視為同一點因此由相似三角形的性質得 AE DE AC BC xx log xlog x x x log x log x x 相差甚小時點 P 與範例已知 log log 求 log7800 的值 ( 四捨五入求至小數點以下第四位 ) Ans:586 log7800 log log78 因此將 x 與 logx 列表如下: x logx k log k 即得 k 因此 log k 即 log7800 5log 備註 log7800= 演練已知 log log 求 log 的值 ( 四捨五入求至小數點以下第四位 ) 高中數學虛擬教室

5 Ans:098 p4 log log log40575 因此將 x 與 logx 列表如下: x logx k log k 即得 k 因此 log k 即 log log 備註 log040575= 高中數學虛擬教室

6 p5 三首數與尾數設 a 是一個正數且 ab 0 n 其中 b 0 且 n 是整數則 log an log b其中 n 稱為 loga 的首數 logb 稱為 loga 的尾數且尾數 logb 滿足 0log b 對數 loga 之首數 n 的性質: a a 的整數部分為 n 位科學記號 ab 0 n 對數 log an log b 例如: a 45 a log a4 log45 0a loga 的首數為 n a 自小數點後第 n 位開始不為 0 科學記號 ab 0 n 對數 log loga 的首數為 a n log b n loga 的首數為 4 例如: a a45 0 log a log45 loga 的首數為常用對數值: log 000 log 0477 log 運用上面個數據可推得: log4 log 060 log5 log 0699 log6 log log 0778 log8 log 090 log9 log 0954 範例 4 已知 log () log4 () log04 () log x 寫出下列各對數的首數與尾數: Ans:() 首數尾數 0655() 首數尾數 0655() 首數 4 尾數 08 () log4log(00 4)=log00+log 因此 log4 的首數為尾數為 0655 () log04 log 0 4 log0 log 因此 log04 的首數為尾數為 0655 () log x 4 08 因此 logx 的首數為 4 尾數為 08 高中數學虛擬教室

7 演練 4 已知 log 000 () log40 () log0005 () log x p6 寫出下列各對數的首數與尾數: Ans:() 首數尾數 0600() 首數尾數 0699() 首數尾數 077 () log40 log 0 4 log0 log 0600 因此 log40 的首數為尾數為 () log0005 log log5 log 0699 因此 log0005 的首數為尾數為 0699 () log x 077 因此 logx 的首數為尾數為 077 範例 5 已知 log 000 Ans:4 位數最高位數字為 8 60 求將 5 乘開後是幾位數?又其最高位數字為何? log5 60log5 60 log 因為 60 其首數為 4 尾數為 094 所以 5 是 4 位數 60 5 的最高位數字為 8 又因為 log log9 所以演練 5 已知 log 000 log 小數點後第 n 位開始不為 0 求 n 的值及第一個不是 0 的數字 Ans: 第 7 位第一個不是 0 的數字是因為 log06 log log 09 所以 0 log 06 0log 其首數 n 7尾數為 04 因為 log log 所以可知 06 0 自小數點後第 7 位開始高中數學虛擬教室

8 出現不為 0 的數字第一個不是 0 的數字是 p7 四等比數列與級數設 a n 為等比數列 r a a () 公比 () 第 n 項 a n a a an an () 前 n 項和 ar S n n n r a 當 r r na 當 r 範例 6 已知等比數列 () 首項 a 與公比 r () a 4 64 a n 中 a 08 a 6 求: Ans:() a=6r= ;a=6r= () 48 () 因為 aar 08 a 所以當當 () 不論 r ar 4 a 6 a 8 因此 r r 時 08a 解得 a 6; r 時 08 a 解得 a 6 r 或 r a4 ar 高中數學虛擬教室

9 演練 6 已知等比數列 a n 中 a 48 a 6 求: p8 () 首項 a 與公比 r () a 4 Ans:() a= 48 r= ;a= 48 r= () 4 () 因為 a ar 48 所以當當 r a a a ar 4 因此 r r 時 48a 解得 a 48 ; r 時 48 a 解得 a 48 () 不論 r 或 r a 4ar 48 4 範例 7 已知等比級數 Ans:0 因為等比級數所以其和為 n 的和為 0 求 n 的值 n n S n 0 n 解得 0 的首項為公比為演練 7 已知等比級數 Ans:6 n 09 求 n 的值高中數學虛擬教室

10 n 的因為等比級數首項為公比為共有 n 項 n 所以其和為解得 n 6 n 09 S p9 範例 8 一等比數列的首項為 7 末項為 448 總和為 889 求此數列的項數 Ans:7 設此等比數列的公比為 r 共有 n 項由題意知末項為 448 總和為 889 r n 7 r 448 可列得 n 7r 889 推得 n r 64 r64 n rr 7 7 r r n 解得 r 代回 r 64解得 n 7 演練 8 一等比數列的首項為 84 末項為總和為 765 求此數列的項數 Ans:8 設此等比數列的公比為 r 共有 n 項由題意知末項為總和為 765 r n 84 r 可列得 n 84 r 推得 765 n r 8 r 8 55 n rr 55 r 8 r 8 高中數學虛擬教室

11 解得 r 代回 n r 解得 n 8 8 p0 範例 9 49 的和為 S 試問: 設等比級數 S 為幾位正整數?最高位數字為何? Ans:6 位正整數最高位數字為等比級數的和 S 為因為的個位數字為 4 所以不會影響位數即與的位數相同且最高位數字也相同 50 因此將取對數得 50 log 50log 故 log 的首數為 5 尾數為 005 且 log 005 log 為 5 6 位正整數最高位數字為 50 為 6 位正整數最高位數字為因此 50 即演練的和為 S 試問: 設等比級數 S 為幾位正整數?最高位數字為何? Ans:8 位正整數最高位數字為等比級數因為所以 5 6 的和 S 6 為的個位數字為與的位數相同且最高位數字也相同因此將取對數得 4 5 log 6 6log5 log 故 5 6 log 4 的首數為 7 尾數為 057 且 log 057 log4 高中數學虛擬教室

12 因此即為 8 位正整數最高位數字為為 8 位正整數最高位數字為 p 高中數學虛擬教室

13 p 五指數與對數的應用複利本利和的計算公式: 若本金為 P 利率為 r 期數為 n 本利和為 S 採複利計息則 S P r n 半衰期:是指某種放射性物質衰變至原來數量的一半所需的時間若物質原重 0 則經過 x( 時間單位 ) 後剩下的質量為 0 w 半衰期 t ( 時間單位 ) x w t 範例 0 王先生向銀行貸款 00 萬元約定年利率 4% 每年複利一次如果王先生於 0 年後償還本利那麼他應該還給銀行多少錢呢? ( 已知 log log ) Ans:8 萬 7500 元由複利的計算方式可得: 0 年後的本利和為 S ( 萬元 ) 設 a 將 a 取對數得 log alog log 因此 a 875 即 S 875 故他應該還給銀行 8 萬 7500 元演練 0 已知某定期存款約定年利率為 % 每四個月為一期以複利計息一次現清標存入 0000 元 0 年後期滿領回問:屆時清標可以領回多少本利和呢? ( 請使用書末的對數表 ) Ans:460 元因為年利率為 % 每四個月以複利計息一次共計 0 年高中數學虛擬教室

14 所以共計息 0 期每一期的利率為 % 因此由複利的計算方式可得: 0 年後的本利和為 S ( 元 ) 設 a 00 0 將 a 取對數得 p log alog log 經查表得 log4 07 log5 00 由內插法求得 log46 09 因此 a 46 即 S 460 故他可以領回 460 元範例某研究機構發現碘外洩且發現時碘的數量為單位已知碘的半衰期為 8 天且外洩時間為 64 天前求原先外洩的碘有多少單位 Ans:07 因為 64 天是 8 天的 8 倍所以碘已經衰變為原先的設原先外洩的碘有 x 單位則 8 x 得 x 07 8 即原先外洩的碘有 07 單位演練已知某放射性物質經過天後會衰變成原來的現有此放射性物質 400 公克問: 經過多少天後此放射性物質會剩下 5 公克? Ans:6 因為高中數學虛擬教室所以天為個半衰期即一個半衰期為 4 天

15 又因為 5 公克是 400 公克的所以需經過 4 個半衰期 p4 4 6 因此經過 6 天後此放射性物質會剩下 5 公克範例在養分充足的情況下細菌的數量會以指數函數的方式成長假設細菌 A 的數量每兩個小時可以成長為兩倍細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 0? () 4 小時 () 48 小時 () 69 小時 (4) 96 小時 (5) 7 小時 Ans:(5) 假設一開始 A B 兩細菌的數量皆為 N 由題意知 t 小時後細菌 A 的數量為 N t B 的數量為 N 若細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 0 則可列得 t N t N 0 即 t t 0 將此方程式取對數以 0 為底得到 t t 0 t 0 log log 0 t t t t log 0 log 0 log 0 log t t 因此解得 t 79 推得故大約 7 小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 0 故選項 (5) 正確高中數學虛擬教室

16 p5 演練根據統計資料在 A 小鎮當某件訊息發布後 t 小時之內聽到該 kt 訊息的人口是全鎮人口的 00 % 其中 k 是某個大於 0 的常數今有某訊息假設在發布後小時之內已經有 70% 的人口聽到該訊息又設最快要 T 小時後有 99% 的人口已聽到該訊息則 T 最接近下列哪一個選項? () 5 小時 () 75 小時 () 9 小時 (4) 5 小時 (5) 小時 Ans:(4) 由題意知小時之內已經有 70% 的人口聽到該訊息代入得到 k k 00 % 70% 0 又 T 小時後已經有 99% 的人口聽到該訊息代入得到 kt kt 00 % 99% 00 T T k 即 T 兩邊以 0 為底取對數得到 log 推得 T 47 log0 log 059 故選項 (4) 正確高中數學虛擬教室

17 p6 ok5ex 一基礎題已知 logx 的首數與 log45 的首數相同 logx 的尾數與 log0 的尾數相同求 x Ans: log45=log(45 0 )=log45+log0 =+log45 首數為 log0=log(0 )=+log 尾數為 log 故 logx=+log=log00+log=log 得 x= 已知 log () 若 log x 578 () 若 log x 46 則 x 是多少? 則 x 是多少? Ans:() 450() 0045 () logx=578=+0578 =log0 +loglog45=log450 故 x=450 () logx=46=+0578 =log0 +log45=log0045 故 x=0045 數學教科書所附的對數表中 log log 根據 log44 和 log45 的查表值以內插法求 log44 設求得的值為 p 則下列哪一個選項是正確的? () p () p () p (4) p (5) p 指甲 Ans:() 高中數學虛擬教室

18 由內插法知 log44 =0675+( ) 0 = =0677 p7 4 () 40 是幾位數? () 若將表示成小數則從小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字? ( 已知 log 000 log 0477 log ) Ans:() 44 位數 () 第 9 位 () log 40 =40log =40(log+log) =40( ) = 為 44 位數 () log(098) 000 =000log(098)=000log 7 00 =000(log+log7-)=000( ) =000 (00088)=88=9+0 首數為 9 故 (098) 000 從小數點後第 9 位開始出現不為 0 的數字 5 設一等比數列的第項為 6 第 6 項為 8 如果此數列的前 n 項之總和大於 5 0 那麼 n 的最小值為何? Ans:5 設首項為 a 公比為 r a=ar =6 () a6=ar 5 =8 () () () r =8 r= 代入 () 4a=6 a=4 Sn= n n a ( r ) 4( ) n = =4( ) r >0 5 高中數學虛擬教室

19 log(4 n )>log0 5 (n+)log>5 n+> n 5 p8 6 有一個城市的人口每過一年就增加原來人口數的 0% 若依此速度增加下去幾年後此城市的人口會超過原來人口數的倍 ( 已知 log 0477 log 044 ) Ans: () n > log() n >log nlog>log n> n log log 0477 = = log log 求滿足不等式 5 n 0 的最小正整數 n 的值 ( 已知 log 000 ) Ans:7 7 5 n 0 log(5) n >log0 7 nlog5>7 n> 7 = 7 = 7 = 7 = 7 log5 0 log log n 將 40 又第一個不為 0 的數字為何? ( 已知 log 0477 log 000 表為小數時小數點後到第一個不為 0 的數字間共有幾個 0? Ans:() 9 個 0 () 8 ) 高中數學虛擬教室

20 a= 40 p9 loga=40log =40(log)= =9084=0+096 () loga 的首數為 0 故小數點後到第一個不為 0 的數字間共有 9 個 0 () 尾數為 096 而 log9=log=0954log8=log=0900 故第一個不為 0 的數字為 8 備註 40 = e-0 二進階題 9 設 a 為大於的正整數問:使得 log a 64 為正整數的 a 共有幾個? Ans:4 a=4864 共 4 個 0 設 5 99 a 問 a 在小數點後第幾位開始不是零? Ans: 第 75 位 5 99 a 5 99 ( ) = = = = (+99) loga=500log= =755=75+05 loga 的首數為 75 a 在小數點後第 75 位開始不是零設 loga 的首數與尾數恰好是二次方程式求實數 k 的值 Ans: 設 loga=n+logbn 為整數 0 logb< 則 x 5x k 0 的兩根高中數學虛擬教室

21 p0 n+logb=loga= 5 n=logb= k =nlogb= = k= 在密閉的實驗室中開始時有某種細菌千隻並且以每小時增加 8% 的速率繁殖如果依此速率持續繁殖則 00 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項? 99 學測 () 9 千隻 () 08 千隻 () 00 千隻 (4) 00 千隻 (5) 000 千隻 ( 參考數據: log log log log ) Ans:() a=(08) 00 loga=00log(08)=00(log08-log00) =00(log+log-)= loga=+0=log0 +log647=log647 線性插值法 a 65 備註 (08) 00 = log000=00log000=477 故 000<a<000 設定期存款的年利率為 6% 每四個月為一期複利計算老王存進 0000 元言明定期 5 年利用對數表求期滿後的本利和 Ans:460( 元 ) 本利和 S=0000 (0) 5 logs=log log0= =4+09=log0000+log4586=log458 S=458 高中數學虛擬教室

22 p 4 某公司為了響應節能減碳政策決定在五年後將公司該年的二氧化碳排放量降為目前排放量的 75% 公司希望每年依固定的比率 ( 當年和前一年排放量的比 ) 逐年減少二氧化碳的排放量若要達到這項目標則該公司每年至少要比前一年減少多少百分比的二氧化碳? ( 百分比計算到小數點後第一位以下四捨五入本題請利用書末對數表 ) 98 學測 Ans:56% (-x) 5 =075 log(-x) 5 =5 log(-x)=log075=log75-=0875-=049 log(-x)=005=0975-=log944-log0=log0944 -x=0944 x=0056 即每年減少 56% 5 試問: 為幾位正整數? Ans: 位 a= 06 loga=06 log=06 000=906 故 a 為位數 b= 66 logb=66 log= =4886 故 b 為位數而 a 的尾數為 0906b 的尾數為 =946> 故備註首數為為位正整數 = e+ 6 西元 94 年第二次世界大戰還在激烈進行著這時在英國軍營裡流傳著一個用四個 4 來表出整數的數學問題為戰爭的緊張氣氛所繃緊的神經找到了舒緩的機會下面就是用四個 4 來表出整數的方法之一:令 a log log 其中的 4 4 共含 00 層二次根號則 a 的值等於高中數學虛擬教室

23 Ans: = ( ) ( ) ( ) (4 4) =( ) = = p a= 000 log [log ]=log [ ]= 下表為常用對數表 log 0 N 的一部分 : 0 請問 0 最接近下列哪一個選項? () 0 () 0 () 007 (4) 076 (5) 0 [ 學測 0] Ans:(4) 令 x 0 0 log xlog0 00 log0 log0 經查表可知 log07 log0 log08 00 log0 log07 log0 log0 log0 log08 0 log070 log0 log x 080 故選 (4) 高中數學虛擬教室

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形

目次 CONTENTS 1 數列與級數幾何圖形三角形的基本性質平行與四邊形給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1

指數與對數的應用 陳清海 老師

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