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锁韦
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1 更新日期 :07.7. 高中數學講義數與式. 數與數線整數 Z: 包含正整數 ( 可數數 Z + ) 0 負整數三類 ( 自然數 N :,,, 皮亞諾假設自然數定義 : 0,,,, ) 有理數 Q: 若 m,n 均為整數, 且 n 0, 凡可表示成整數比 m n 的數, 稱為有理數整數有限小數 ( 最簡分數後, 分母只含或 5 的質因數 ) 循環小數 ( 最簡分數後, 分母含有或 5 以外的質因數 ) 都可化為整數比有理數的四則運算 :,b,c,d 為有理數 m n, 都是有理數 b. + d c = bc+d c b. d c = bc d c b. d c = bd c b 4. d c = b c d = bc d 有理數運算律 : r,s,t 為有理數. 加法交換律 : r+s = s+r 乘法交換律 : r s = s r. 加法結合律 : (r +s)+t = r+(s+t) 乘法結合律 : (r s) t = r (s t). 分配律 : r (s+t) = r s+r t 有理數次序 : r,s,t 為有理數三一律 : r > s,r = s,r < s 三式中恰有一式成立遞移律 : 若 r > s 且 s > t 則 r > t 若 r > s 則 r +t > s+t r > s,t > 0 則 rt > st r > s,t < 0 則 rt < st 稠密性 : 數線上對應整數的點稱為整數點對應有理數的點稱為有理點數線上的任何區段中, 都有無限多個同樣的對應點, 具有此性質稱為稠密性整數無稠密性 ( 任意兩相異有理數之間, 都可找到一個有理數 ) 有理數具有稠密性 ( 稠密性隱藏無窮的意涵 ) 有理點的尺規作圖 : ( 每個有理點均可尺規作圖 ) 相似三角形 : PMN PQR PM : PQ = PN : PR = MN : QR 若 PB//AD 則 OP : OA = OB : OD. 數線上 OA. 過原點 O 作一直線 L 順伯的窩數與式 [ 第頁 / 共頁 ]

2 高中數學講義數與式 P O P A M N B Q R D L. 在 L 上作 n 等分點 B,D, 使 OB : OD = m : n, 連接 AD, 過 B 點作平行 AD 直線, 交數線於 P 點則 OP = OB OD OA = m n OA 無理數 : 數線上, 不是有理數的數, 稱為無理數 ( 無法化為兩整數比值的數 ) 形如 n 的無理數 : 自然數 n 的標準分解式中, 某一個質因數出現奇數次方時, 則 n 為無理數 n 的無理數的尺規作圖 : 若 n 可表示成兩整數平方和, n = + b 可利用直角三角形畢氏定理斜邊長 = n 或利用直角三角形母子相似定理 : AB = BC BD, AD = BD CD, AC = BC CD 比例中項作圖 : AD = BD CD A F B D C P E Q L 無理數的近似值 : 形如 n 的無理數, 無理數 n = ±b. = ± b 無理數的多樣性 : 除了形如 n 的無理數外, 諸如 = =.7 圓周率 π = 特殊數 e = , 化成十進位數都是不循環的無限小數我們可造成許多無理數, 如 , 它是由 0 與組成, 夾在兩個之間 0 的個數逐漸增加, 是一個不循環的無限小數實數 R : 有理數與無理數合在一起稱為實數任意實數 α, 則 α 0 順伯的窩數與式 [ 第頁 / 共頁 ]

3 高中數學講義 C N Z Q R 數系 N Z Q R C 實數 R,( 平方 0) 複數 C 虛數 i 自然數整數有理數實數複數整數 Z 有理數 Q 正整數 ( 自然數 )N 零負整數分數小數 ( 有限小數無限小數 ) 無理數 ( 不可化為分數 ) : π,e,,, 數線坐標 : 數線上的所有點的集合為實數, 若數線上 A 點對應點為, 稱為 A 點在數線上的坐標記為 A() 實數的四則運算與次序 :. 數線上兩實數,b 則 +b, b,b, b,( 0) 仍為數線上實數點. 實數仍具有運算律中的結合律交換律分配律. 數線上愈右邊的點愈大 b > 0 稱大於 b, 記為 > b 4. 實數次序性質仍具有三一律遞移律加法律乘法律有理數與無理數的和與積 :. 有理數與無理數的和為無理數. 有理數與有理數的和與積仍為有理數. 有理數 ( 不為 0) 與無理數的積為無理數 4. 兩個無理數的和或積可能為有理數, 也有可能為無理數 5. 設,b,c,d 均為有理數,x 為無理數 ; 若 +bx = c+dx 則 = c,b = d 算幾不等式 : ( 算術平均數與幾何平均數的不等關係式 ) +b 若,b 為非負實數, 則 b 且當 = b 時, 等式才成立例題數系 b 0 範例 : 將式子 + b 5 化為最簡? : 若 b = c 驗證 d c = b 是否成立? d b : 若 b = c +b 驗證 = c+d 是否成立? d b d 5 ;b 5, 5 (b 5) 順伯的窩數與式 [ 第頁 / 共頁 ] yes yes

4 4 高中數學講義數與式 c : 化簡 d : 式子 =? x x x 8x 4 可化簡為下列哪一選項? () 4 () 4 () x 4(x ) (4) (+) 7x 4(x ) 範例 : 若為正整數, 且 4 < 0. < 99 99, 求值? = : 選出正確的選項? (). 0.9 < (). 0.9 = (). 0.4 = (4). 0.4 >,4,5 (5). 0.4 = b : 將 0.8 化為最簡分數? c : 下列選項中哪些為無理數?() 0.45 () ().44 (4) (5) π (6) 49,,5 5 範例 : 已知 5 < 6 < 7, 試問 6 比較接近 5 或 7? : 設 = 0+ 8,b = + 6,c = + 7, 試比較,b,c 之大小順序? b : 設 =,b = 4,c = 5 4, 試比較,b,c 之大小? 範例 4: 設,b 為有理數, 且滿足 ( b)+(+b) = ( )+(4 b), 求,b 值? 較接近 7 > c > b > b > c =,b = 4 : 求下列符號所表示的實數? i. 8 ii. b 4 b iii. 4 8 不存在不能 4b : 若為無理數, 問 (+),( ) 可否均為有理數? 4 4c : 化簡 48x 4 x =? x 4d : 解 x+5 = + x x = 4 4e : 解 4 = = 6 範例 5: 設,b 為實數, 且滿足 ( ) +(b ) = 0, 求,b 值? =,b = 5 : 設,b,c 為整數, 且滿足 ( ) +(b ) +(c+) =, 求,b,c 值? = 0,,b =,c = 5b : 設,b,c 為整數, 且滿足 + b + c+ =, 求,b,c 值? = 0,,b =,c = 順伯的窩數與式 [ 第 4 頁 / 共頁 ]

5 高中數學講義 5 5c : 已知 x++ y + +( z) = 0, 求 x +y +z 值? 4 算幾不等式應用 : 變數間和與變數間乘積的大小關係範例 6: 若,b 均為正數, 且 +b = 6, 求,b 的值為何? 使 b 的値最大為多少? ( 解 :) =,b = ; Mx b = 9 6 : 在 0 x 條件下, 求 y = x ( x) 的最大值? 6b : 一矩形面積為 5, 則此矩形的最小周長為何? x =,Mx = 4 7 6c : 一個農民想在一個面積平方公尺的長方形周圍圍上籬笆他計劃在其中一邊使用的圍欄費用為每公尺 00 元, 而另外三邊的圍欄每公尺花費 00 元問他必須如何規劃此矩形使得購買柵欄費用降至最低? 最低費用為多少元? ( 解 :)00 00 的矩形, 其中圍欄費較高的一邊為 00 公尺, 最低費用為 0000 元 0 6d : 若 0 x, 求 y = ( x)(+x) 的最大值? ( 解 :) 利用 ( x)+(+x)+(+x) ( x)(+x)(+x), 當 x =,mx y = 7 習題 - 數與數線. 下列敘述何者恆真? () n N, 所有的 n + 為質數 () 所有的奇數必為 4n+ 形式, 其中 n 為自然數 () 若某數為 4 與的倍數, 則某數必為 6 的倍數 (4) 任兩相異的平方數之差必為奇數 (5) 若 x 為實數, 則 x+4 4 (6) 任兩相鄰整數的立方差不可能為的倍數 (7) 任意非零實數必大於其倒數 (8) 若某數為奇數則該某數的平方必為奇數. 若 +b,+b 均為整數, 則,b 是否為整數?. 若 +b,+b 均為有理數, 則,b 是否為有理數? 4. 已知,b 為有理數, 且 + +5 b = 4+, 求,b 值? 5. 將 6. 將 7. 滿足 < n 00 < 6 化為最簡分數 b, 求分母及分子 b =? 化為最簡分數, 則其分母為? 的正整數 n 有幾個? 8. 設 x,y Q, 若 (+ 5)x+( 5)y = 8 5, 求 x,y 之值? 9. 設 R, 若 Q 且 5 Q 則是否必為有理數?Why? 0. 設 7 化為小數後, 小數點以下第 n 位數字為 f(n), 則 f()+f()+ +f() =?. 已知 x,y,z 為正實數, 且 xyz =, 求 x+y +z 的最小值? 順伯的窩數與式 [ 第 5 頁 / 共頁 ]

6 6 高中數學講義數與式. 設 x > 0, 若 x = t 時, 使得 x+ 6 x +0 最小值為 m, 求數對 (t,m) =?. 設 x,y 為正實數且 x+y =, 求 4. 設,b 是正實數, 試證 : +b y x + x y 的最小值? b ( 算幾不等式 ) 5. 對於任意實數, 下列說法是否恆成立? 若不對, 請補充一定的條件使之成立 () x+ > (b) 若 x,y 0 則 x+y 0 (c) 若 x > y 則 x < y (d) 若 x = 則 x = (e) 若 x > y 則 x > y 6. 若 x > 0, y = x +x, 利用算幾不等式, 求 x 為何值時? 會使得 y 有最大值為多少?(hint:y = x+ ) x 習題個 4. 可利用 ( b) 0.,5,6,8.,b 未必為整數.,b 必為有理數 4. =,b = 5. = 6677,b = = 式的運算乘法公式 : 8. x =,y = 4 9. 是, Q, 5 = (4,8 +0) x > 0 5b. xy > 0 5c. x > 0,y > 0 5d. 0 5e. x > y > 0, 或 x < y < 0 6. x =, Mx y =. 完全平方公式 : (±b) = ±b+b. 平方差公式 : b = (+b)( b). 立方和公式 : +b = (+b)( b+b ) 4. 立方差公式 : b = ( b)( +b+b ) 5. 和立方公式 : (+b) = + b+b +b = ( +b )+b(+b) 6. 差立方公式 : ( b) = b+b b = ( b ) b( b) 常用式子的和差與積的代換關係式 :. +b = (+b) b. (+b+c) = +b +c +(b+bc+c) 順伯的窩數與式 [ 第 6 頁 / 共頁 ]

7 高中數學講義 7. +b = (+b) b(+b) = (+b)( b+b ) 4. b = ( b) +b( b) = ( b)( +b+b ) 5. +b +c bc = (+b+c)( +b +c b bc c) 分解因式 : 把二次或二次以上的式子分解成較低次數的因式乘積, 稱為因式分解常見的因式分解方法 :. 先提出公因式 :( 分組配對 ) 物以類聚法 xy +y xz z. 乘法公式 : 平方公式平方差公式立方和立方差完全立方公式等. 十字交叉乘法 ( 二次三項式 ):(x+b)(cx+d) 4. 雙十字交叉乘法 :( x+b y +c )( x+b y +c ) 5. 拆項配方 ( 乘法公式 ) 法 : x 4 +x +x 根式的運算性質 : 0, 表為方程式 x = 的非負解. 若,b > 0 則 b = b. 若,b > 0 則 b = b. 若,b > 0 則 = b b 4. x = x ( x) = x ( n x) n = x 根式有理化因子乘積單項二次根式 ( ) 二次根式 + b b ( ) ( b) 二次根式 b + b ( ) ( b) 單項三次根式 ( ) 單項三次根式 ( ) 三次根式 + b [( ) b+( b) ] ( ) +( b) 三次根式 b [( ) + b+( b) ] ( ) ( b) 三次根式 [( ) b+( b) ] + b ( ) +( b) 三次根式 [( ) + b+( b) ] b ( ) ( b) 雙重根式的化簡 : x± y = (+b)± b = ( ± b) = ± b 例題式子化簡範例 : 將 x 6 +6x 5 +5x 4 +0x +5x +6x+ 表示成某式的立方? (x +x+) 順伯的窩數與式 [ 第 7 頁 / 共頁 ]

8 8 高中數學講義數與式 : 化簡 +b +c bc ( b) +(b c) +(c ) b : 將 x +x+4 表示成 (x ) 的多項式 ( 即 (x ) +b(x )+c 形式 ) c : 若 (x +cx+d) 展開式為 x 4 +x +bx 8x+4, 則常係數,b,c,d 值為何? (+b+c) =,b = 5,c = 8 ( 4,8,,) 範例 : 將下列根式的分母有理化 :. + =? ( 解 :) =? ( 解 :) 7 ( ) 0+ : 將表示成兩個無理數乘積, 其中一個無理數為 ;98 b : 若 x =,y = 則 xy =? x +y =? + c : 若 x = 5+ 雙重根式化簡, 求 4x 0x 值? 範例 : 化簡 9 0 値? 化簡 6 4+ =? : 化簡 8 7 値? b : 化簡値? ( 解 :) 4 ( ) c : 求最接近 + 9 的整數? 9 範例 4: 化簡的整數部分為, 正小數部分為 b, 求,b 的值? 4 : 若 x,y 分別是 8 的整數部份和小數部份, 則 xy y =? 4b : 已知方程式 x 5x = 0 的兩根為 675,676 化簡 5+780? 4c : 已知的實數立方根為 +b, 其中,b 為整數, 求實數 d : 比較 = 7+0 ( 與 b = + ) 的大小? = 5,b = = b 順伯的窩數與式 [ 第 8 頁 / 共頁 ]

9 高中數學講義 9 範例 5: 設 x =, 求 ()x+ x = () x + x = () x + x = ( 解 :) 先求出 x x =,x+ x = 4 值, 再利用乘法公式求值 ; ()4,() 4,() 5 5 : 已知 x = 5b : 設 x = 5c : 設 x =, 求 (x+ x ) 4(x+ x )+4 值? 8 +,y =, 選出正確敘述選項?() xy = () x +y = 4 () x+y = 6,,,4,() (4) x y = (5) x 4 的整數部分為 ,y = 7+ 40, 試求 x +xy +y 之值? 習題 - 式子化簡. 因式分解下列各式 : () x +8y () 因式分解下列各式 : () x 4 +x +4 () x 8xy +5y +x 4y. 因式分解 (x+) (x+)(x )+(x ) 4. 若 x =.0 試比較 = x 與 b = x x + 的大小? 又若 x = 0.99 時, 比較 = x 與 b = x x+ 的大小? 5. 設 = + 5 +, 則下列選項何者的值與相等?() 0.68 () + () (4) (5) 6. =,b = 7. 已知 x = +, 問,b 分別最接近哪一整數? +,y =, 求 + 8. 化簡値? 9. 化簡 x = 0. 求 8 60,y = =? 化簡並求出其值 : () (+ 6)( + 6) =? 54 (b) (c) 9 4 (d) (+ ) 4 =. 已知 = +,b = +6 4x 49xy +4y 的值? + 求下列各值 : ()+b ()b () +b (4) b 順伯的窩數與式 [ 第 9 頁 / 共頁 ]

10 0 高中數學講義數與式. 求整數 k 滿足 m = ( (+ ) 5) k 亦為一整數? 並求此整數 m? 4. 說明 0 00 ( ) 略小於習題 -. (x+y)(x xy+4y ),( + +)( +) 6.. = 5,b. = b. c () (x + x + )(x x + ) () (x 5y +)(x y ). 0(x+)(x+) 4. > b; < b 5.,,4, x = 5,y = d ,,4,8. k = 9;m = 深入研究題. 化簡求值 =?. 將分母根式有理化 :. 化簡 =. 數線上的幾何 + = + 9+ 絕對值 : 數線上對應的點 A(), 用符號表示原點 O 與點 A() 的距離, 為的絕對值 4 ( ) 絕對值的性質 :. 當 0 時, = < 0 時, =. 數線上兩點 A(),B(b) 的距離為 AB = b = b. 絕對值性質 : 兩實數,b () 0 (b) = (c) = (d) b = b (e) b = b,b 0 (f) b b (g) 三角不等式 ±b + b ; b ±b 數線上兩點距離與絕對值 : 每一個實數恰對應到數線上一點 A(), 則 A,B 兩點間的距離 AB 用 b 表示順伯的窩數與式 [ 第 0 頁 / 共頁 ]

11 高中數學講義分點公式 : 分點公式 : 設 A(),B(b) 為數線上相異兩點, 若點 P(x) 是線段 AB 上的一點且 PA : PB = m : n, m : n 則 P(x) = ( mb+n n+m ) A P B x 絕對值不等式 :. x 充要條件為 x O x. x 充要條件為 x 或 x O x 三角不等式 : x + y x+y, x y x y 例題數線上的位置範例 : 三個相異實數 b c 滿足 b = c, 如果將 b c 標示在數線上, 則 (). b 在與 c 之間 (). c > b (). 若 d = 4 c, 則 d 在與 c 之間 (4). 到 c 的距離是到 b 的距離的 5 倍 (5). 如果 b = c, 則 b c > 0 : 設,b 為實數, 且 > b, 則下列何者正確? (). > +b (). > +b > +b 4 b > b (4). 5 5,,4 > b (). > +b > > b > +4b (5).,4 > +b > b +b b b : 若已知 0 < x <, 數線上點 = x,b = x,c = x,d = x, 則此四點在數線上由左而右的點依序為何? c : 已知數線上,b 的位置如圖 : 選出下列正確選項? O b d < < < b < c (). 數線上 b 位於的右邊 (). 數線上 b 位於 b 的左邊 (). 數線上 b 位於 b 的右邊 5 b m+nb (4). 數線上位於的左邊 (5). 數線上, 任意實數 m,n, 點必位於,b 之 m+n,,,4 間 4 d : 若 x : x 4 = : 4, 求 x 值? 7 絕對值不等式 x 範例 : 不等式 x < b 之解為 < x < 5 則,b 之值? =,b = 4 順伯的窩數與式 [ 第頁 / 共頁 ]

12 高中數學講義數與式 : 不等式 x+5 > b 之解為 x < 或 x > 6, 求,b 之值? =,b = 7 b : 解不等式 5 x 6 c : 解不等式 x > 7 d : 不等式 x+9 b 之解為 x 5, 求常數,b 之值? 範例 : 解不等式 x+ + x 4 < 5 : 滿足不等式 x + x+ 5 的整數共有幾個? b : 解不等式 x+4 x 7 c : 解不等式 x 4 + x+ 6 x x > 5,x < = 4,b = < x < 7 5 x,x x,x = 範例 4: 利用絕對值在數線上幾何意義 ( 距離 ), 求 x + x + x + x 4 的最小值? ( 解 :) 當 x 代入 ( 中間數 ), 有 min = 4 4 : 若不等式 x + x+4 < 為無解, 此時常數值範圍為何? 4b : 求 x + x + x +4 x 4 的最小值? 4c : 求 x x+ 的最大值? 7 x =,min= 8 Mx = 4d : 求 (x ) +(x ) +(x ) +(x 4) 的最小值? ( 解 :) 當 x = 數線上兩點 A( ),B(5), 求 () AB =? 平均數,min= 5 習題 - 數線上的幾何 (b) 已知 AB 線段上一點 P, 使 PA : PB = :, 求 P 點坐標? (c) 已知 AB 直線上一點 P, 使 PA : PB = :, 求 P 點坐標?. 設,b Q 且 < b, 則下列何者為真? (A) < +b b (C) < +b < +b < b (D) < +b 4 4. 求滿足 x+ = 4 的實數 x 值? 4. 解方程式 x + x 4 = 6,x R 5. 解不等式 < x 解不等式 x 4 > < +b < b (E) < +b 5 < b (B) < +b 4 < +b 5 < b < +b 4 < 順伯的窩數與式 [ 第頁 / 共頁 ]

13 高中數學講義 7. 對任意實數 x, 求 x + x 5 + x 8 的最小值? 8. 若不等式 x+ b 的解為 x 5, 求實數,b 之值? 9. 設,b R, 若 x b 的解為 8 x, 求數對 (,b) =? 0. 解不等式 : x 4 + x+ > 5. 解 < x+ 8 習題 -. AB = 6 b. P() c. P(),P(). A,B,E. x =, 5 4. x =,5 5. < x 5 6. x >,x < =,b = 9. ( 6 5, 5 ) 0. x R. 0 x < 5, < x 6... 教用版 ( 附參考答案 )... 順伯的窩 - End - [ 第頁 / 共頁 ]

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式

目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式二次方根與畢氏定理因式分解一元二次方程式給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd